第一节
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
[知识能否忆起]
一、多面体的结构特征
二、旋转体的形成
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体.
五、三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
[小题能否全取]
1.(教材习题改编) 以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ) A .球的三视图总是三个全等的圆 B .正方体的三视图总是三个全等的正方形 C .水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D .水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析:选A B 中正方体的放置方向不明,不正确.C 中三视图不全是正三角形.D 中
俯视图是两个同心圆.
2.(2012·杭州模拟) 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A .圆柱 C .球体
B .圆锥
D .圆柱、圆锥、球体的组合体
解析:选C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.
3.下列三种叙述,其中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A .0个 C .2个
B .1个 D .3个
解析:选A ①中的平面不一定平行于底面,故①错.②③可用下图反例检验,故②③不正确.
4.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为________.
解析:由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为③
.
答案:③ 1. 正棱柱与正棱锥
(1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层含义:①侧棱垂直于底面;②底面是正多边形.
(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥,注意正棱锥中“正”字包含两层含义:①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心,②底面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.
2.对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形.
(2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.
(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线.
典题导入
[例1] (2012·哈师大附中月考) 下列结论正确的是( ) A .各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B .以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C .棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D .圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
[自主解答]
A 错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的
几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B 错误,如图2,若△ABC 不是直角三角形,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;
图1
图2
C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.
[答案]
D
由题悟法
解决此类题目要准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并会通过反例对概念进行辨析.举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等,也可利用它们的组合体去判断.
三视图的长度特征
三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽,即“长对正,宽相等,高平齐”.
[注意] 画三视图时,要注意虚、实线的区别.
以题试法
2.(1)(2012·莆田模拟) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )
解析:选D 由俯视图排除B 、C ;由正视图、侧视图可排除A. (2)(2012·济南模拟
)
如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2,其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的面积为( )
A .22 3
B .4 D .23
解析:选D 依题意,得此三棱柱的左视图是边长分别为2,3的矩形,故其面积是23.
1.(2012·青岛摸底) 如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图) 中有且仅有两个相同的是(
)
A .②③④ C .①③④
B .①②③ D .①②④
解析:选A ①的三个视图都是边长为1的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图都是边长为1的正方形;③的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧视图是相同的等腰三角形;④的俯视图是边长为1的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形.
2.有下列四个命题:
①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( ) A .1 C .3
B .2 D .4
解析:选A 命题①不是真命题,因为底面是矩形,但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体;命题②不是真命题,因为底面是菱形(非正方形) ,底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体;命题③也不是真命题,因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱
与底面垂直;命题④是真命题,由对角线相等,可知平行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,故平行六面体是直平行六面体.
3.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(
)
解析:选C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选C.
4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是(
)
解析:选B 由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面P AD ,且EC 投影在面P AD 上,故B 正确.
6.(2012·东北三校一模) 一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为(
)
A .2+3 C .2+23
B .13 D .43
1
解析:选D 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于222×3=43.
27.(2012·昆明一中二模) 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积1为则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆.
解析:如图1所示,直三棱柱ABE -A 1B 1E 1符合题设要求,此时俯视图△ABE 是锐角三角形;如图2所示,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1符合题设要求,此时俯视图△ABC 是直角三角形;如图3所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1符合题设要求,此时俯视图(四边形ABCD ) 是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤
.
答案:①②③
8.(2013·安徽名校模拟) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几1113何体的体积为×2×2sin 60°×2-××2×2sin 60°×1=.
2323
5答案:
3
9.7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是
A .2
B. 1
C.
2 3
D.
1 3
俯视图
10一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示,则该几何体的侧视图可以为
图1
正视图
A . B . C . D .
6. 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的左视图为
A
B
C
D
第6小题
第一节
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
[知识能否忆起]
一、多面体的结构特征
二、旋转体的形成
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体.
五、三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
[小题能否全取]
1.(教材习题改编) 以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ) A .球的三视图总是三个全等的圆 B .正方体的三视图总是三个全等的正方形 C .水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D .水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析:选A B 中正方体的放置方向不明,不正确.C 中三视图不全是正三角形.D 中
俯视图是两个同心圆.
2.(2012·杭州模拟) 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A .圆柱 C .球体
B .圆锥
D .圆柱、圆锥、球体的组合体
解析:选C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.
3.下列三种叙述,其中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A .0个 C .2个
B .1个 D .3个
解析:选A ①中的平面不一定平行于底面,故①错.②③可用下图反例检验,故②③不正确.
4.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为________.
解析:由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为③
.
答案:③ 1. 正棱柱与正棱锥
(1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中“正”字包含两层含义:①侧棱垂直于底面;②底面是正多边形.
(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥,注意正棱锥中“正”字包含两层含义:①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心,②底面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.
2.对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形.
(2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.
(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线.
典题导入
[例1] (2012·哈师大附中月考) 下列结论正确的是( ) A .各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B .以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C .棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D .圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
[自主解答]
A 错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的
几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B 错误,如图2,若△ABC 不是直角三角形,或△ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;
图1
图2
C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.
[答案]
D
由题悟法
解决此类题目要准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并会通过反例对概念进行辨析.举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等,也可利用它们的组合体去判断.
三视图的长度特征
三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽,即“长对正,宽相等,高平齐”.
[注意] 画三视图时,要注意虚、实线的区别.
以题试法
2.(1)(2012·莆田模拟) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )
解析:选D 由俯视图排除B 、C ;由正视图、侧视图可排除A. (2)(2012·济南模拟
)
如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2,其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的面积为( )
A .22 3
B .4 D .23
解析:选D 依题意,得此三棱柱的左视图是边长分别为2,3的矩形,故其面积是23.
1.(2012·青岛摸底) 如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图) 中有且仅有两个相同的是(
)
A .②③④ C .①③④
B .①②③ D .①②④
解析:选A ①的三个视图都是边长为1的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图都是边长为1的正方形;③的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧视图是相同的等腰三角形;④的俯视图是边长为1的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形.
2.有下列四个命题:
①底面是矩形的平行六面体是长方体; ②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( ) A .1 C .3
B .2 D .4
解析:选A 命题①不是真命题,因为底面是矩形,但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体;命题②不是真命题,因为底面是菱形(非正方形) ,底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体;命题③也不是真命题,因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱
与底面垂直;命题④是真命题,由对角线相等,可知平行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,故平行六面体是直平行六面体.
3.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(
)
解析:选C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选C.
4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是(
)
解析:选B 由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面P AD ,且EC 投影在面P AD 上,故B 正确.
6.(2012·东北三校一模) 一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为(
)
A .2+3 C .2+23
B .13 D .43
1
解析:选D 依题意得,该几何体的侧视图的面积等于222×3=43.
27.(2012·昆明一中二模) 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积1为则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆.
解析:如图1所示,直三棱柱ABE -A 1B 1E 1符合题设要求,此时俯视图△ABE 是锐角三角形;如图2所示,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1符合题设要求,此时俯视图△ABC 是直角三角形;如图3所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1符合题设要求,此时俯视图(四边形ABCD ) 是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤
.
答案:①②③
8.(2013·安徽名校模拟) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几1113何体的体积为×2×2sin 60°×2-××2×2sin 60°×1=.
2323
5答案:
3
9.7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是
A .2
B. 1
C.
2 3
D.
1 3
俯视图
10一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示,则该几何体的侧视图可以为
图1
正视图
A . B . C . D .
6. 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的左视图为
A
B
C
D
第6小题