反比例函数教材分析

第十七章 反比例函数 2006.12.27

本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础. 一、本章特点

1．突出反比例函数与现实世界的联系. 2．注重数学思想方法的渗透.

二、本章要求 1．知识结构框图

2．课程学习目标

⑴ 使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析

k

式y(k为常数，k≠0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.

x

⑵ 能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.

k

⑶ 能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数y(k为常数，k≠0)的函数关系和性

x

质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.

⑷ 再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型. ⑸ 使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. 3．课时安排

本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.

17.1 反比例函数 3课时 17.2 实际问题与反比例函数 4课时 小结 1课时 三、对教学的几点建议

1．注意做好与已学内容的衔接.

2．加强反比例函数与正比例函数的对比.

3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索.

4．密切反比例函数与现实世界的联系. 5．注意突破知识的难点和重点.

四、具体知识

1．反比例函数的概念

k

⑴ y (k≠0)可以写成ykx1 (k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关

x

自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；

k

⑵ y (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，

x

从而得到反比例函数的解析式；

k

⑶ 反比例函数y的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点.

x

2．反比例函数的图象

k

在用描点法画反比例函数y的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，故x应从1

x

和-1开始对称取点. 3

k

4．反比例函数y

xk

⑴ 过双曲线y(k≠0) x

所得矩形的面积为k.

⑵ 过双曲线y

k

(k≠0) x

5．实际问题与反比例函数.

⑴ ⑵ 6五、例题 [例1]

⑴ 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）

A. y=3x B. y -3=2x C. 3xy=1 D. y=x2

⑵ 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）

1111

A.y B.y2 C.y D. y1

x24xxx[例2]

⑴ k = 时，函数y(k2)xk⑵ 如果函数y(k2)xk

2

2

2k1

是反比例函数.

2k1

2

的图象是双曲线，那么k=________.

是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么

⑶ 如果函数y(k1)xk

. ⑷ 如果函数y(k1)xk[例3]

2

k3

k3

是反比例函数，且y随x的增大而减小，那么.

⑴ 已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y象限.

⑵ 已知反比例函数y

ab

的图象位于第________x

k

k0，当x0时，y随x的增大而增大，那么一次函数x

ykxk 的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

k

⑶ 若反比例函数y经过点(-1，2)，则一次函数y= -kx+2的图象一定不经过第.

x

a

⑷ 已知a·b0，点P（a，b）在反比例函数y的图象上，则直线yaxb不经过的象

x

限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ⑸ 若P（2，2）和Q（m，-m2）是反比例函数y

k

图象上的两点，则一次函数y=kx+mx

的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

k

⑹ 已知函数y=k (x-1)和y (k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）

x

yyyy

xxxxOO

ABC[例4]

k

⑴ 在反比例函数yk0的图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2，且x1x20，则

x

y1y2的值为（ ）

A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数

a2111

⑵ 在函数y（a为常数）的图象上有三个点(1,y1)，(,y2)，(,y3)，则函

x42

数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A.y2

k

(k>0)的图象上有三点A1 (x1，y1)，A2 (x2，y2)，A3 ( x3，y3)，已知 x

x1

A. y1

55

⑷ 下列四个函数中：①y5x；②y5x；③y；④y.y随x的增大而减小的

xx

函数有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

k

⑸ 已知反比例函数y的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这

x

个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）

⑶ 在函数y[例5]

11

⑴ 若y与成反比例，x与成正比例，则y是z的（ ）

xz

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

k

⑵ 若正比例函数y=2x与反比例函数y的图象有一个交点为 (2，m)，则m=_____，

x

k=________，它们的另一个交点为.

m2m

⑶ 已知反比例函数y的图象经过点2,8，反比例函数y的图象在第二、四象

xx

限，求m的值.

m1

⑷ 已知一次函数y=x+m与反比例函数y(m≠-1)的图象在第一象限内的交点为

x

P (x 0，3). (1) 求x 0的值；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式.

[例6] ⑴ 将x

21

代入反比例函数y

x3

得函数值记为y2，再将x = y2+1y2005=_________. ⑵ 两个反比例函数y

36

，y在第一象限内 xx的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005

6在反比例函数y图象上，它们的横坐标 x

分别是x1，x2，x3，„，x2005，纵坐标分别是

1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，„，P2005分别作y轴的平行线，与

3

， y的图象交点依次是Q1（x1，y1）

xQ2Q[例7]

⑴ xA. C. ⑵ 如图，A，B是函数y

1

的图象上关于原点x

AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积S A.S=1 B.1S2 C.S=2 m， x

⑶ 如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y且S△AOB=3，求m的值.

m2m

⑶ 已知反比例函数y的图象经过点2,8，反比例函数y的图象在第二、四象

xx

限，求m的值.

m1

⑷ 已知一次函数y=x+m与反比例函数y(m≠-1)的图象在第一象限内的交点为

x

P (x 0，3). (1) 求x 0的值；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式.

[例6] ⑴ 将x

21

代入反比例函数y

x3

得函数值记为y2，再将x = y2+1y2005=_________. ⑵ 两个反比例函数y

36

，y在第一象限内 xx的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005

6在反比例函数y图象上，它们的横坐标 x

分别是x1，x2，x3，„，x2005，纵坐标分别是

1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，„，P2005分别作y轴的平行线，与

3

， y的图象交点依次是Q1（x1，y1）

xQ2Q[例7]

⑴ xA. C. ⑵ 如图，A，B是函数y

1

的图象上关于原点x

AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积S A.S=1 B.1S2 C.S=2 m， x

⑶ 如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y且S△AOB=3，求m的值.

5

4

的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，x

过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小.

1

⑸ 如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数y的图象相交于A、C两点，

过A作x轴垂线交x轴于B⑹ 如图在Rt△ABO中，顶点A3

AB⊥x轴于B且S△ABO=.

2

①求这两个函数的解析式；

②求直线与双曲线的两个交点⑷ 已知函数y

例7⑷ ⑺ 如图，已知正方形OABCk(k＞0，x＞x上任意一点，过P分别作x设矩形OEPF在正方形OABC① 求B点坐标和k的值；

9② 当S时，求点P2③ 写出S关于m点B在函数y[例8]

⑴ 近视眼镜的度数y (度)0.25米，则眼镜度数y ⑵ 甲、乙两地相距100千米，与汽车的平均速度x（千米/象的草图. ⑶ A. 正比例函数 B.

⑷ 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内

的气压P (千帕)是气球的体积V(米3)的反比例函数，其图 象如图所示 (千帕是一种压强单位). ① 求出这个函数的解析式；

② 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少 千帕？

③ 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了 安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

⑸ 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立

方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每 立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答 下列问题：

① 药物燃烧时y关于x的函数关系式为，

自变量x 的取值范围是____________ ___；药物燃 烧后y关于x的函数关系式为_________________.

② 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ [例9]

⑴ 若函数y=k1x（k1≠0）和函数y

k2

（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1x

和k2（ ）

A. 互为倒数 B. 符号相同 C. 绝对值相等 D. 符号相反 ⑵ 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例数y

m x

y

的图象交于A、B两点：A (-2，1)，B (1，n). ① 求反比例函数和一次函数的解析式；

② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数 的值的x的取值范围. ⑶ 如图所示，已知一次函数y=kx+b (k≠0)的图象与x 轴、

OB

x

m

y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y (m≠0)

x

的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D， 若OA=OB=OD=1.

① 求点A、B、D的坐标；

② 求一次函数和反比例函数的解析式.

7

y

A

D

x

⑷ 如图，一次函数yaxb的图象与反比例函数y

kx

的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B点，连结OC，OD（O是坐标原点）.

① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

⑸ 不解方程，判断下列方程解的个数.

① 1x4x0 ②1

x

4x0

8

第十七章 反比例函数 2006.12.27

本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础. 一、本章特点

1．突出反比例函数与现实世界的联系. 2．注重数学思想方法的渗透.

二、本章要求 1．知识结构框图

2．课程学习目标

⑴ 使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析

k

式y(k为常数，k≠0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.

x

⑵ 能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.

k

⑶ 能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数y(k为常数，k≠0)的函数关系和性

x

质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.

⑷ 再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型. ⑸ 使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. 3．课时安排

本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.

17.1 反比例函数 3课时 17.2 实际问题与反比例函数 4课时 小结 1课时 三、对教学的几点建议

1．注意做好与已学内容的衔接.

2．加强反比例函数与正比例函数的对比.

3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索.

4．密切反比例函数与现实世界的联系. 5．注意突破知识的难点和重点.

四、具体知识

1．反比例函数的概念

k

⑴ y (k≠0)可以写成ykx1 (k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关

x

自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；

k

⑵ y (k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，

x

从而得到反比例函数的解析式；

k

⑶ 反比例函数y的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点.

x

2．反比例函数的图象

k

在用描点法画反比例函数y的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，故x应从1

x

和-1开始对称取点. 3

k

4．反比例函数y

xk

⑴ 过双曲线y(k≠0) x

所得矩形的面积为k.

⑵ 过双曲线y

k

(k≠0) x

5．实际问题与反比例函数.

⑴ ⑵ 6五、例题 [例1]

⑴ 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）

A. y=3x B. y -3=2x C. 3xy=1 D. y=x2

⑵ 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）

1111

A.y B.y2 C.y D. y1

x24xxx[例2]

⑴ k = 时，函数y(k2)xk⑵ 如果函数y(k2)xk

2

2

2k1

是反比例函数.

2k1

2

的图象是双曲线，那么k=________.

是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么

⑶ 如果函数y(k1)xk

. ⑷ 如果函数y(k1)xk[例3]

2

k3

k3

是反比例函数，且y随x的增大而减小，那么.

⑴ 已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y象限.

⑵ 已知反比例函数y

ab

的图象位于第________x

k

k0，当x0时，y随x的增大而增大，那么一次函数x

ykxk 的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

k

⑶ 若反比例函数y经过点(-1，2)，则一次函数y= -kx+2的图象一定不经过第.

x

a

⑷ 已知a·b0，点P（a，b）在反比例函数y的图象上，则直线yaxb不经过的象

x

限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ⑸ 若P（2，2）和Q（m，-m2）是反比例函数y

k

图象上的两点，则一次函数y=kx+mx

的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

k

⑹ 已知函数y=k (x-1)和y (k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）

x

yyyy

xxxxOO

ABC[例4]

k

⑴ 在反比例函数yk0的图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2，且x1x20，则

x

y1y2的值为（ ）

A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数

a2111

⑵ 在函数y（a为常数）的图象上有三个点(1,y1)，(,y2)，(,y3)，则函

x42

数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A.y2

k

(k>0)的图象上有三点A1 (x1，y1)，A2 (x2，y2)，A3 ( x3，y3)，已知 x

x1

A. y1

55

⑷ 下列四个函数中：①y5x；②y5x；③y；④y.y随x的增大而减小的

xx

函数有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

k

⑸ 已知反比例函数y的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这

x

个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）

⑶ 在函数y[例5]

11

⑴ 若y与成反比例，x与成正比例，则y是z的（ ）

xz

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

k

⑵ 若正比例函数y=2x与反比例函数y的图象有一个交点为 (2，m)，则m=_____，

x

k=________，它们的另一个交点为.

m2m

⑶ 已知反比例函数y的图象经过点2,8，反比例函数y的图象在第二、四象

xx

限，求m的值.

m1

⑷ 已知一次函数y=x+m与反比例函数y(m≠-1)的图象在第一象限内的交点为

x

P (x 0，3). (1) 求x 0的值；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式.

[例6] ⑴ 将x

21

代入反比例函数y

x3

得函数值记为y2，再将x = y2+1y2005=_________. ⑵ 两个反比例函数y

36

，y在第一象限内 xx的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005

6在反比例函数y图象上，它们的横坐标 x

分别是x1，x2，x3，„，x2005，纵坐标分别是

1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，„，P2005分别作y轴的平行线，与

3

， y的图象交点依次是Q1（x1，y1）

xQ2Q[例7]

⑴ xA. C. ⑵ 如图，A，B是函数y

1

的图象上关于原点x

AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积S A.S=1 B.1S2 C.S=2 m， x

⑶ 如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y且S△AOB=3，求m的值.

m2m

⑶ 已知反比例函数y的图象经过点2,8，反比例函数y的图象在第二、四象

xx

限，求m的值.

m1

⑷ 已知一次函数y=x+m与反比例函数y(m≠-1)的图象在第一象限内的交点为

x

P (x 0，3). (1) 求x 0的值；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式.

[例6] ⑴ 将x

21

代入反比例函数y

x3

得函数值记为y2，再将x = y2+1y2005=_________. ⑵ 两个反比例函数y

36

，y在第一象限内 xx的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005

6在反比例函数y图象上，它们的横坐标 x

分别是x1，x2，x3，„，x2005，纵坐标分别是

1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，„，P2005分别作y轴的平行线，与

3

， y的图象交点依次是Q1（x1，y1）

xQ2Q[例7]

⑴ xA. C. ⑵ 如图，A，B是函数y

1

的图象上关于原点x

AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积S A.S=1 B.1S2 C.S=2 m， x

⑶ 如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y且S△AOB=3，求m的值.

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4

的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，x

过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小.

1

⑸ 如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数y的图象相交于A、C两点，

过A作x轴垂线交x轴于B⑹ 如图在Rt△ABO中，顶点A3

AB⊥x轴于B且S△ABO=.

2

①求这两个函数的解析式；

②求直线与双曲线的两个交点⑷ 已知函数y

例7⑷ ⑺ 如图，已知正方形OABCk(k＞0，x＞x上任意一点，过P分别作x设矩形OEPF在正方形OABC① 求B点坐标和k的值；

9② 当S时，求点P2③ 写出S关于m点B在函数y[例8]

⑴ 近视眼镜的度数y (度)0.25米，则眼镜度数y ⑵ 甲、乙两地相距100千米，与汽车的平均速度x（千米/象的草图. ⑶ A. 正比例函数 B.

⑷ 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内

的气压P (千帕)是气球的体积V(米3)的反比例函数，其图 象如图所示 (千帕是一种压强单位). ① 求出这个函数的解析式；

② 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少 千帕？

③ 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了 安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

⑸ 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立

方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每 立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答 下列问题：

① 药物燃烧时y关于x的函数关系式为，

自变量x 的取值范围是____________ ___；药物燃 烧后y关于x的函数关系式为_________________.

② 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ [例9]

⑴ 若函数y=k1x（k1≠0）和函数y

k2

（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1x

和k2（ ）

A. 互为倒数 B. 符号相同 C. 绝对值相等 D. 符号相反 ⑵ 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例数y

m x

y

的图象交于A、B两点：A (-2，1)，B (1，n). ① 求反比例函数和一次函数的解析式；

② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数 的值的x的取值范围. ⑶ 如图所示，已知一次函数y=kx+b (k≠0)的图象与x 轴、

OB

x

m

y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y (m≠0)

x

的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D， 若OA=OB=OD=1.

① 求点A、B、D的坐标；

② 求一次函数和反比例函数的解析式.

7

y

A

D

x

⑷ 如图，一次函数yaxb的图象与反比例函数y

kx

的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B点，连结OC，OD（O是坐标原点）.

① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

⑸ 不解方程，判断下列方程解的个数.

① 1x4x0 ②1

x

4x0

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