例题讲解
1、(易 向量的概念) 下列命题中, 正确的是( )
A. 若a b , 则a 与b 的方向相同或相反 B. 若a b , b c , 则a c C. 若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等 D. 若a =b , b =c , 则a =c .
1 2
2、(易 线性表示) 已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足OB =OA +OC , 则
33
|AB|:|BC |=( )
A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2
3、(易 坐标运算) 已知向量a = (1,3),b = (3,n ), 若2a –b 与b 共线, 则实数n 的值是( ) A. 6
B. 9 C. 3+2
D 3-2
4、(易 向量的概念) 向量AB =(4,-5) 按向量a =(1,2) 平移后得向量A 'B ', 则A 'B '的坐标为
( )
A. (4,-5) B. (5,-3) C. (1,2) D. (3,-7) 5、(中 线性表示) 如图, 在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,
F 是EC 的中点, 若AB =a , AC =b , 则AF =( )
13131717A. a +b B. a -b C. a +b D. a -b 44448888
6、(中 坐标运算) 若函数f (x ) =cos2x +1的图象按向量a 平移后, 得到的图象关于原点对称, 则向量a 可以是( ) A. (
πππ
, -1) B. (, -1) C. (,1) D. (0,1) 424
二、填空题:共3小题
7、(易 线性表示) 设a , b 是两个不共线的非零向量, 若向量k a +2b 与8a +k b 的方向相反, 则
k =
8、(易 线性运算) 若a =b +c , 化简3(a +2b ) -2(3b +c ) -2(a +b ) = 9、(中 坐标运算) 已知正△ABC 的边长为1 ,则BC +2CA +3AB 等于
检测题
1、(易 线性运算) 已知非零向量a , b 满足a =λb , b =λa (λ∈R ), 则λ= ( ) A. -1 B. ±1 C.0 D. 0
2、(易 向量不等式) 设a , b 是非零向量, 则下列不等式中不恒成立的是 ( )
A. a +b ≤a +b B. a -b ≤a +b C. a -b ≤a +b D. a ≤a +b 3、(中 坐标运算) 已知a =(-3,1) , b =(1,-2) , (-2a +b ) (a +k b ) , 则实数k 的值是 ( )
A. B.
53251
C. - D. -17 112
4、(中 坐标运算) 已知平面向量a =(x ,1) , b =(-x , x 2) , 则向量a +b ( ). A. 平行于第一、三象限的角平分线 B. 平行于y 轴 C. 平行于第二、四象限的角平分线 D. 平行于x 轴
5、(中 坐标运算) 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后, 得到的图象与一次函数
y =2x -5的图象只有一个公共点(3,1), 则向量a =( )
A. (2,0) B. (2,1) C. (3,0) D. (3,1)
6. 如图, 在正六边形ABCDEF 中,
已知AC =c , AD =d , 则AE =(用c 与d 表示).
巩固练习
π
1. 若e 1, e 2是夹角为的单位向量，且a =2e 1+e 2, b =-3e 1+2e 2，则a ⋅b =（ C ）
3
A . 1 B . -4 C . -
77 D . 22
2. 设=(1, -2) , =(-3, 4) , =(3, 2) 则(+2) ⋅= （ ） A. (-15,12) B.0 C.-3 D.-11 答案 C
3. 在∆ABC 中, 已知向量=(cos18︒, cos 72︒), =(2cos 63︒, 2cos 27︒), 则∆ABC 的
面积等于 A ．
B ．
（ ）
2
22 4
C ．
3 2
D ．2
答案A
4. 在∆ABC 中, a =5, b =8, C =60︒, 则⋅的值为 A ．10 B ．20 C．－10 5. 已知下列命题中：
D ．20
（ ）
（1）若k ∈R ，且kb =0，则k =0或b =0，
（2）若a ⋅b =0，则a =0或b =0
（3）若不平行的两个非零向量a , b ，满足|a |=|b |，则(a +b ) ⋅(a -b ) =0
（4）若a 与b 平行，则a b =|a |⋅|b |
（5）p 2⋅q 2=(p⋅q) 2
其中真命题的个数是（ ）A ．0 B．1 C．2 D．3
6. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA +OB +CO =0, 则△ABC 的内角A 等于（ ）
A. 30 B.60 C.90 D.120 7. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE
的延长
线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =
A ．
（ ）
D．a +
11a +b 42
B ．
2111
a +b C ．a +b 33241
32b 3
答案 B
8. 已知a =1, b =6, a (b -a ) =2，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）
A ．
π
6
B ．
π 4
C ．
π 3
D ．
π
2
答案 C
9. 在平行四边形ABCD 中，若BC +BA =BC +AB ，则必有( ) A. ABCD 是菱形 B.ABCD 是矩形 C. ABCD 是正方形 D. 以上皆错
10. 已知向量=(cosθ, sin θ) , 向量=(3, -1) 则|2-|的最大值，最小值分别是（ ）
A ．42, 0 B．4, 42 C．16,0 D．4,0 二. 填空题
11. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则⋅+⋅+⋅的值等于答案 －25
12. 设p = (2,7)，q = (x , -3) ，若p 与q 的夹角θ∈[0,
π
2
) ，则x 的取值范围是
13. 若平面向量，
+=1，+平行于x 轴，=(2, -1) ，则=答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)
解析 a +b =(1, 0) 或(-1, 0) ，则a =(1, 0) -(2, -1) =(-1, 1) 或=(-1, 0) -(2, -1) =(-3, 1) .
14. 在∆ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则⋅(+) 的最小值是________。 答案 －2
15. 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m =(a , b ) ，
n =(sinB ,sin A ) ，p =(b -2, a -2) .
（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角
ΔABC 的面积 .
u v v
证明：（1）Q m //n , ∴a sin A =b sin B ,
即a ⋅三角形
a b
=b ⋅，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a =b ∴∆ABC 为等腰2R 2R
u v u v
解（2）由题意可知m //p =0, 即a (b -2) +b (a -2) =0 ∴a +b =ab
由余弦定理可知， 4=a 2+b 2-ab =(a +b ) 2-3ab
即(ab ) 2-3ab -4=0
∴ab =4(舍去ab =-1)
∴S =
11π
ab sin C =⋅4⋅sin =223
课后练习
1、已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且AB =a ，AD ＝b ，则BE ＝（ ）
（A ） b +a （B ） b －a （C ） a ＋b （D ） a －b
2
2
2
2
−−→→−−→→−−→
→→→→→→→→
2、设非零向量a 与b 的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是（ ）
(1)a＋b ＝0 (2)a－b 的方向与a 的方向一致 (3)a＋b 的方向与a 的方向一致 (4)若a ＋b 的方向与b 一致，则|a|
11
B. - C. 2 D. －2 22
4、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A ．e 1=(0, 0), e 2=(-2, 1) B. e 1=(4, 6), e 2=(6, 9)
C ．e 1=(2, -5), e 2=(-6, 4) D. e 1=(2, -3), e 2=(, -) 5、已知向量a,b 的夹角为120 ，且|a|=2,|b|=5, 则（2a-b ）²a = （ ） A ．3 B. 9 C . 12 D. 13 6、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．4
1
234
7、若向量a 与b 的夹角为60，|b |=4,(a +2b ).(a -3b ) =-72, 则向量a 的模为（ ）
A ．2
B ．4 C ．6
D ．12
8、已知=(6, 1), =(x , y ), =(-2, -3), 且∥，则x+2y的值为（ ） A ．0 B. 2 C.
1
D. －2 2
9、P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
10、直线3x +4y -12=0的方向向量可以是（ ）
A. （4,3） B.(4,-3) C.(3,4) D.(-3,4) 11、点（2，-3）到直线5x -12y +4=0的距离为（ ） A .
50222646
B . C . D . 13131313
12、下列命题中：
①a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b =λa ；②e 为单位向量，且a ∥e ，则a =±||²；③|⋅⋅|=||；④与共线，与共线，则与共线；⑤若
3
a ⋅b =b ⋅c 则b ≠c , 当且仅当a =0时成立其中正确命题的序号是（ ）
A ．①⑤ B ．②③④
一、 填空题（4*4’）
C ．②③ D ．①④⑤
→
13、与向量a =(12,5)平行的单位向量为
14、已知向量OA =(k ,12), OB =(4,5),OC =(-k ,10) ，且A 、B 、C 三点共线，则k 的值
为 _______
15、已知|a |=,|b |=5, |c |=2, 且a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =_______
16、∆ABC 中，有命题①-=；②++=；③若
→
→
→
→→→→→→→→→→
(+) ⋅(-) =0，则∆ABC 为等腰三角形；④若⋅>0，则∆ABC 为锐角三角形. 上述命题正确的是_____________
三、解答题(12'+12'+12'+12'+12'+14')
17、ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD,M、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，
−−→
→
−AD −→
→→−→
＝b , 试用a 、b →−表示MN 。
18、已知|a |=4，|b |=2，且与夹角为120°求： ⑴(a -2b ) ∙(a +b ) ； ⑵|2-|； ⑶a 与a +b 的夹角。
19、设向量a ，b 满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值。
第三讲 平面向量 一、选择题
1．(2010•安徽，3) 设向量a ＝(1,0)， b ＝12，12，则下列结论中正确的是A ．|a|＝|b| B ．a •b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b 解析：，A 项，∵|a|＝1， |b|＝ 122＋122＝22， ∴|a|≠|b|；
B 项，∵a •b ＝1³12＋0³12＝12；
C 项，∵a －b ＝(1,0)－12，12＝12，－12， ∴(a－b) •b ＝12，－12•12，12＝14－14＝0； D 项，∵1³12－0³12≠0，∴a 不平行b. 故选C. 答案：C
( )
2．若向量a 与b 不共线，a •b ≠0，且c ＝a －a •aa •bb ，则向量a 与c 的夹角为 ( ) A ．0 B. π6 C. π3 D. π2 解析：∵a •c ＝a •a －a •aa •bb ＝a •a －a2a •ba •b ＝a2－a2＝0，
又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D. 答案：D
3．(2010•全国Ⅱ) △ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB. 若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，
|b|＝2，则CD →＝ ( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：由角平分线的性质得|AD→|＝2|DB→|，即有AD →＝23AB →＝23(CB→－CA →) ＝23(a－b) ．
从而CD →＋AD →＝b ＋23(a－b) ＝23a ＋13b. 故选B. 答案：B 4．（2010•辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于 ( ) A.|a|2|b|2－ a •b 2 B.|a|2|b|2＋ a •b 2 C.12|a|2|b|2－ a •b 2 D.12|a|2|b|2＋ a •b 2
解析：∵cos 〈a ，b 〉＝a •b|a||b|， ∴sin 〈a ，b 〉＝ 1－cos2〈a ，b 〉 ＝ 1－a •b|a||b|2
＝|a|2|b|2－ a •b 2|a||b|，
∴S △OAB ＝12|OA→|OB→|sin〈OA →，OB →〉 ＝12|a||b|sin〈a ，b 〉，
＝12|a|2|b|2－ a •b 2， 故选C. 答案：C
5．若向量a ＝(cos α，sin α) ，b ＝(cos β，sin β) ，a ≠±b ，则a 与b 一定满足( ) A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．a ⊥b C ．a ∥b
D ．(a＋b) ⊥(a－b)
解析：∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) ， a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β) ，
∴(a＋b) •(a－b) ＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0， 可知(a＋b) ⊥(a－b) ． 答案：D
二、填空题
6．(2010•陕西) 已知向量a ＝(2，－1) ，b ＝(－1，m) ，c ＝(－1，2) ，若(a＋b) ∥c ，则m ＝________.
解析：a ＝(2，－1) ，b ＝(－1，m) ，c ＝(－1,2) ，∴a ＋b ＝(1，m －1) ， (a＋b) ∥c ，∴2＋m －1＝0，∴m ＝－1. 答案：－1
7．(2010•江西) 已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a－b|＝________. 解析：|a－b|＝ a －b 2＝a2＋b2－2a •b ＝12＋22－2³1³2cos 60°＝3. 答案：3
8．(2010•浙江) 已知平面向量α，β(α≠0，α≠β) 满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，
则|α|的取值范围是________．
解析：如图，数形结合知β=AB→，α＝AC →，|AB|＝1，C 点在圆弧上运动，∠ACB ＝60°， 设∠ABC ＝θ，由正弦定理知ABsin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝233sin θ≤233，当θ＝90°时取最 大值．
∴|α|∈0，233. 答案：0，233 9．
得(x，y) ＝(2m，－m) ＋(－n ，n) ，
于是x ＝2m －n ，y ＝－m ＋n. 由2m2－n2＝2，消去m 、n 得M 的轨迹方程为x2－2y2＝2. 答案：x2－2y2＝2
三、解答题 10．
3cos γ＋4cos β＝－5， ① 同理可得，
4cos α＋5cos γ＝－3， ② 3cos α＋5cos β＝－4. ③ 解①②③联立方程组可得，
cos α＝0，cos β＝－45，cos γ＝－35，
即OA →•OB →＝0，OB →•OC →＝－45，OC →•OA →＝－35.
(2)由(1)知sin α＝1，sin β＝35，sin γ＝45.
如右图，S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12³1³1＋12³1³1³35＋12³1³1³45＝65.
11．已知向量a ＝cos3x2，sin3x2， b ＝cosx2，－sinx2，且x ∈0，π2， 求：(1)a•b 及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a •b －2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值． 解：(1)a•b ＝cos3x2•cosx2－sin3x2•sinx2＝cos 2x.
|a＋b|＝ cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22 ＝2＋2cos 2x＝2cos2x.
∵x ∈0，π2，∴cos x≥0， ∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x即 f(x)＝2(cos x－λ) 2－1－2λ2. ∵x ∈0，π2，∴0≤cos x≤1.
①当λ
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，
f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32， 解得λ＝12.
③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时， f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32， 解得λ＝58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ＝12即为所求．
∴x1x2＋14(x1x2)2＝0(x1x2≠0) ． ∴x1x2＝－4.
∴MA →＝x1，－12x21＋2， MB →＝x2，－12x22＋2. ∵x1－12x22＋2－x2－12x21＋2 ＝(x1－x2)12x1x2＋2＝0，
∴MA →∥MB →，即AM →∥AB →. (2)解：∵MA →＝－2MB →，
∴x1＝－2x2，－12x21＋2＝－2－12x22＋2. ∴－2x22＋2＝x22－4，∴x2＝±2.
∴B(2，－1) 或(－2，－1) ，∴kAB ＝22 或－22. ∴AB 的方程为y ＝±22x －2.
文 章来源
莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/gaosan/88858.htm
例题讲解
1、(易 向量的概念) 下列命题中, 正确的是( )
A. 若a b , 则a 与b 的方向相同或相反 B. 若a b , b c , 则a c C. 若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等 D. 若a =b , b =c , 则a =c .
1 2
2、(易 线性表示) 已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足OB =OA +OC , 则
33
|AB|:|BC |=( )
A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2
3、(易 坐标运算) 已知向量a = (1,3),b = (3,n ), 若2a –b 与b 共线, 则实数n 的值是( ) A. 6
B. 9 C. 3+2
D 3-2
4、(易 向量的概念) 向量AB =(4,-5) 按向量a =(1,2) 平移后得向量A 'B ', 则A 'B '的坐标为
( )
A. (4,-5) B. (5,-3) C. (1,2) D. (3,-7) 5、(中 线性表示) 如图, 在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,
F 是EC 的中点, 若AB =a , AC =b , 则AF =( )
13131717A. a +b B. a -b C. a +b D. a -b 44448888
6、(中 坐标运算) 若函数f (x ) =cos2x +1的图象按向量a 平移后, 得到的图象关于原点对称, 则向量a 可以是( ) A. (
πππ
, -1) B. (, -1) C. (,1) D. (0,1) 424
二、填空题:共3小题
7、(易 线性表示) 设a , b 是两个不共线的非零向量, 若向量k a +2b 与8a +k b 的方向相反, 则
k =
8、(易 线性运算) 若a =b +c , 化简3(a +2b ) -2(3b +c ) -2(a +b ) = 9、(中 坐标运算) 已知正△ABC 的边长为1 ,则BC +2CA +3AB 等于
检测题
1、(易 线性运算) 已知非零向量a , b 满足a =λb , b =λa (λ∈R ), 则λ= ( ) A. -1 B. ±1 C.0 D. 0
2、(易 向量不等式) 设a , b 是非零向量, 则下列不等式中不恒成立的是 ( )
A. a +b ≤a +b B. a -b ≤a +b C. a -b ≤a +b D. a ≤a +b 3、(中 坐标运算) 已知a =(-3,1) , b =(1,-2) , (-2a +b ) (a +k b ) , 则实数k 的值是 ( )
A. B.
53251
C. - D. -17 112
4、(中 坐标运算) 已知平面向量a =(x ,1) , b =(-x , x 2) , 则向量a +b ( ). A. 平行于第一、三象限的角平分线 B. 平行于y 轴 C. 平行于第二、四象限的角平分线 D. 平行于x 轴
5、(中 坐标运算) 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后, 得到的图象与一次函数
y =2x -5的图象只有一个公共点(3,1), 则向量a =( )
A. (2,0) B. (2,1) C. (3,0) D. (3,1)
6. 如图, 在正六边形ABCDEF 中,
已知AC =c , AD =d , 则AE =(用c 与d 表示).
巩固练习
π
1. 若e 1, e 2是夹角为的单位向量，且a =2e 1+e 2, b =-3e 1+2e 2，则a ⋅b =（ C ）
3
A . 1 B . -4 C . -
77 D . 22
2. 设=(1, -2) , =(-3, 4) , =(3, 2) 则(+2) ⋅= （ ） A. (-15,12) B.0 C.-3 D.-11 答案 C
3. 在∆ABC 中, 已知向量=(cos18︒, cos 72︒), =(2cos 63︒, 2cos 27︒), 则∆ABC 的
面积等于 A ．
B ．
（ ）
2
22 4
C ．
3 2
D ．2
答案A
4. 在∆ABC 中, a =5, b =8, C =60︒, 则⋅的值为 A ．10 B ．20 C．－10 5. 已知下列命题中：
D ．20
（ ）
（1）若k ∈R ，且kb =0，则k =0或b =0，
（2）若a ⋅b =0，则a =0或b =0
（3）若不平行的两个非零向量a , b ，满足|a |=|b |，则(a +b ) ⋅(a -b ) =0
（4）若a 与b 平行，则a b =|a |⋅|b |
（5）p 2⋅q 2=(p⋅q) 2
其中真命题的个数是（ ）A ．0 B．1 C．2 D．3
6. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA +OB +CO =0, 则△ABC 的内角A 等于（ ）
A. 30 B.60 C.90 D.120 7. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE
的延长
线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =
A ．
（ ）
D．a +
11a +b 42
B ．
2111
a +b C ．a +b 33241
32b 3
答案 B
8. 已知a =1, b =6, a (b -a ) =2，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）
A ．
π
6
B ．
π 4
C ．
π 3
D ．
π
2
答案 C
9. 在平行四边形ABCD 中，若BC +BA =BC +AB ，则必有( ) A. ABCD 是菱形 B.ABCD 是矩形 C. ABCD 是正方形 D. 以上皆错
10. 已知向量=(cosθ, sin θ) , 向量=(3, -1) 则|2-|的最大值，最小值分别是（ ）
A ．42, 0 B．4, 42 C．16,0 D．4,0 二. 填空题
11. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则⋅+⋅+⋅的值等于答案 －25
12. 设p = (2,7)，q = (x , -3) ，若p 与q 的夹角θ∈[0,
π
2
) ，则x 的取值范围是
13. 若平面向量，
+=1，+平行于x 轴，=(2, -1) ，则=答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)
解析 a +b =(1, 0) 或(-1, 0) ，则a =(1, 0) -(2, -1) =(-1, 1) 或=(-1, 0) -(2, -1) =(-3, 1) .
14. 在∆ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则⋅(+) 的最小值是________。 答案 －2
15. 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m =(a , b ) ，
n =(sinB ,sin A ) ，p =(b -2, a -2) .
（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角
ΔABC 的面积 .
u v v
证明：（1）Q m //n , ∴a sin A =b sin B ,
即a ⋅三角形
a b
=b ⋅，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a =b ∴∆ABC 为等腰2R 2R
u v u v
解（2）由题意可知m //p =0, 即a (b -2) +b (a -2) =0 ∴a +b =ab
由余弦定理可知， 4=a 2+b 2-ab =(a +b ) 2-3ab
即(ab ) 2-3ab -4=0
∴ab =4(舍去ab =-1)
∴S =
11π
ab sin C =⋅4⋅sin =223
课后练习
1、已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且AB =a ，AD ＝b ，则BE ＝（ ）
（A ） b +a （B ） b －a （C ） a ＋b （D ） a －b
2
2
2
2
−−→→−−→→−−→
→→→→→→→→
2、设非零向量a 与b 的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是（ ）
(1)a＋b ＝0 (2)a－b 的方向与a 的方向一致 (3)a＋b 的方向与a 的方向一致 (4)若a ＋b 的方向与b 一致，则|a|
11
B. - C. 2 D. －2 22
4、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A ．e 1=(0, 0), e 2=(-2, 1) B. e 1=(4, 6), e 2=(6, 9)
C ．e 1=(2, -5), e 2=(-6, 4) D. e 1=(2, -3), e 2=(, -) 5、已知向量a,b 的夹角为120 ，且|a|=2,|b|=5, 则（2a-b ）²a = （ ） A ．3 B. 9 C . 12 D. 13 6、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．4
1
234
7、若向量a 与b 的夹角为60，|b |=4,(a +2b ).(a -3b ) =-72, 则向量a 的模为（ ）
A ．2
B ．4 C ．6
D ．12
8、已知=(6, 1), =(x , y ), =(-2, -3), 且∥，则x+2y的值为（ ） A ．0 B. 2 C.
1
D. －2 2
9、P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
10、直线3x +4y -12=0的方向向量可以是（ ）
A. （4,3） B.(4,-3) C.(3,4) D.(-3,4) 11、点（2，-3）到直线5x -12y +4=0的距离为（ ） A .
50222646
B . C . D . 13131313
12、下列命题中：
①a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b =λa ；②e 为单位向量，且a ∥e ，则a =±||²；③|⋅⋅|=||；④与共线，与共线，则与共线；⑤若
3
a ⋅b =b ⋅c 则b ≠c , 当且仅当a =0时成立其中正确命题的序号是（ ）
A ．①⑤ B ．②③④
一、 填空题（4*4’）
C ．②③ D ．①④⑤
→
13、与向量a =(12,5)平行的单位向量为
14、已知向量OA =(k ,12), OB =(4,5),OC =(-k ,10) ，且A 、B 、C 三点共线，则k 的值
为 _______
15、已知|a |=,|b |=5, |c |=2, 且a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =_______
16、∆ABC 中，有命题①-=；②++=；③若
→
→
→
→→→→→→→→→→
(+) ⋅(-) =0，则∆ABC 为等腰三角形；④若⋅>0，则∆ABC 为锐角三角形. 上述命题正确的是_____________
三、解答题(12'+12'+12'+12'+12'+14')
17、ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD,M、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，
−−→
→
−AD −→
→→−→
＝b , 试用a 、b →−表示MN 。
18、已知|a |=4，|b |=2，且与夹角为120°求： ⑴(a -2b ) ∙(a +b ) ； ⑵|2-|； ⑶a 与a +b 的夹角。
19、设向量a ，b 满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值。
第三讲 平面向量 一、选择题
1．(2010•安徽，3) 设向量a ＝(1,0)， b ＝12，12，则下列结论中正确的是A ．|a|＝|b| B ．a •b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b 解析：，A 项，∵|a|＝1， |b|＝ 122＋122＝22， ∴|a|≠|b|；
B 项，∵a •b ＝1³12＋0³12＝12；
C 项，∵a －b ＝(1,0)－12，12＝12，－12， ∴(a－b) •b ＝12，－12•12，12＝14－14＝0； D 项，∵1³12－0³12≠0，∴a 不平行b. 故选C. 答案：C
( )
2．若向量a 与b 不共线，a •b ≠0，且c ＝a －a •aa •bb ，则向量a 与c 的夹角为 ( ) A ．0 B. π6 C. π3 D. π2 解析：∵a •c ＝a •a －a •aa •bb ＝a •a －a2a •ba •b ＝a2－a2＝0，
又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D. 答案：D
3．(2010•全国Ⅱ) △ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB. 若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，
|b|＝2，则CD →＝ ( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：由角平分线的性质得|AD→|＝2|DB→|，即有AD →＝23AB →＝23(CB→－CA →) ＝23(a－b) ．
从而CD →＋AD →＝b ＋23(a－b) ＝23a ＋13b. 故选B. 答案：B 4．（2010•辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于 ( ) A.|a|2|b|2－ a •b 2 B.|a|2|b|2＋ a •b 2 C.12|a|2|b|2－ a •b 2 D.12|a|2|b|2＋ a •b 2
解析：∵cos 〈a ，b 〉＝a •b|a||b|， ∴sin 〈a ，b 〉＝ 1－cos2〈a ，b 〉 ＝ 1－a •b|a||b|2
＝|a|2|b|2－ a •b 2|a||b|，
∴S △OAB ＝12|OA→|OB→|sin〈OA →，OB →〉 ＝12|a||b|sin〈a ，b 〉，
＝12|a|2|b|2－ a •b 2， 故选C. 答案：C
5．若向量a ＝(cos α，sin α) ，b ＝(cos β，sin β) ，a ≠±b ，则a 与b 一定满足( ) A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．a ⊥b C ．a ∥b
D ．(a＋b) ⊥(a－b)
解析：∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) ， a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β) ，
∴(a＋b) •(a－b) ＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0， 可知(a＋b) ⊥(a－b) ． 答案：D
二、填空题
6．(2010•陕西) 已知向量a ＝(2，－1) ，b ＝(－1，m) ，c ＝(－1，2) ，若(a＋b) ∥c ，则m ＝________.
解析：a ＝(2，－1) ，b ＝(－1，m) ，c ＝(－1,2) ，∴a ＋b ＝(1，m －1) ， (a＋b) ∥c ，∴2＋m －1＝0，∴m ＝－1. 答案：－1
7．(2010•江西) 已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a－b|＝________. 解析：|a－b|＝ a －b 2＝a2＋b2－2a •b ＝12＋22－2³1³2cos 60°＝3. 答案：3
8．(2010•浙江) 已知平面向量α，β(α≠0，α≠β) 满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，
则|α|的取值范围是________．
解析：如图，数形结合知β=AB→，α＝AC →，|AB|＝1，C 点在圆弧上运动，∠ACB ＝60°， 设∠ABC ＝θ，由正弦定理知ABsin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝233sin θ≤233，当θ＝90°时取最 大值．
∴|α|∈0，233. 答案：0，233 9．
得(x，y) ＝(2m，－m) ＋(－n ，n) ，
于是x ＝2m －n ，y ＝－m ＋n. 由2m2－n2＝2，消去m 、n 得M 的轨迹方程为x2－2y2＝2. 答案：x2－2y2＝2
三、解答题 10．
3cos γ＋4cos β＝－5， ① 同理可得，
4cos α＋5cos γ＝－3， ② 3cos α＋5cos β＝－4. ③ 解①②③联立方程组可得，
cos α＝0，cos β＝－45，cos γ＝－35，
即OA →•OB →＝0，OB →•OC →＝－45，OC →•OA →＝－35.
(2)由(1)知sin α＝1，sin β＝35，sin γ＝45.
如右图，S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12³1³1＋12³1³1³35＋12³1³1³45＝65.
11．已知向量a ＝cos3x2，sin3x2， b ＝cosx2，－sinx2，且x ∈0，π2， 求：(1)a•b 及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a •b －2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值． 解：(1)a•b ＝cos3x2•cosx2－sin3x2•sinx2＝cos 2x.
|a＋b|＝ cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22 ＝2＋2cos 2x＝2cos2x.
∵x ∈0，π2，∴cos x≥0， ∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x即 f(x)＝2(cos x－λ) 2－1－2λ2. ∵x ∈0，π2，∴0≤cos x≤1.
①当λ
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，
f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32， 解得λ＝12.
③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时， f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32， 解得λ＝58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ＝12即为所求．
∴x1x2＋14(x1x2)2＝0(x1x2≠0) ． ∴x1x2＝－4.
∴MA →＝x1，－12x21＋2， MB →＝x2，－12x22＋2. ∵x1－12x22＋2－x2－12x21＋2 ＝(x1－x2)12x1x2＋2＝0，
∴MA →∥MB →，即AM →∥AB →. (2)解：∵MA →＝－2MB →，
∴x1＝－2x2，－12x21＋2＝－2－12x22＋2. ∴－2x22＋2＝x22－4，∴x2＝±2.
∴B(2，－1) 或(－2，－1) ，∴kAB ＝22 或－22. ∴AB 的方程为y ＝±22x －2.
文 章来源
莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/gaosan/88858.htm