圆的定义，垂径，圆心角练习题20160930
一、单选题
1、圆内最大的弦长为10cm，则圆的半径（ ）
A、小于5cm
B、大于5cm
C、等于5cm
D、不能确定
2、下列说法正确的是（ ）
A、相等的圆心角所对的弧相等
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C、相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D、圆心到弦的距离相等，则弦相等
3、如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为（ ）
A、40°
B、50°
C、80°
D、100°
4、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A、110°
B、80°
C、40°
D、30°
5、如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A、15
B、15+5
C、20
D、15+5
6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AE=2，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A、4
B、5
C、8
D、10
7、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2， BD=， 则AB的长为（
A、2
B、3
C、4
D、
5
）
8、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A、2
B、8
C、2
D、2
9、如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（ ）个．
A、4
B、3
C、2
D、1
10、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）
A、25°
B、30°
C、50°
D、65°
二、填空题
11、圆上各点到圆心的距离都等于________ ，到圆心距离等于半径的点都在________ ． 12、已知⊙O的半径为R，弦AB的长也为R，则∠AOB=________ ．
13、直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R= ________．
14、已知⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 ________． 15、如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为________ ．
16、 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=________
17、（2016•义乌）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________ cm．
18、（2015•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 ________度．
19、（2015•义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为________ ．
20、如图，若=，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，∠P=30°，则∠BDC=________ ．
三、解答题
21、在平面直角坐标系中，有三点A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），若以点A为圆心、OA长为半径作圆，试判断点P、Q与⊙A的位置关系．
22、如图，以AB为直径的圆中，点C为直径AB上任意一点，若分别以AC，BC为直径画半圆，且AB=6cm，求所得两半圆的长度之和．
23、如图，在A地往北60m的B处有一幢房，西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑．因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内?
24、在圆
求证： 中，
25、如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．
26、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求度数． 的
27、如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，求弦AB的长.
28、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
29、如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． （1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
30、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1、
【答案】
C
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为10cm，所以直径是10cm，半径是5cm．故选C．
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可以得到圆的直径是10cm，再由直径是半径的两倍求出半径． 2、
【答案】
B
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】解：A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确，
故选B．
【分析】A，C，D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”．否则，错误．
3、
【答案】
C
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N=50°，
∴∠MON=180°﹣2×50°=80°．
故选C．
【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数． 4、
【答案】
B
【考点】
三角形内角和定理，旋转的性质
【解析】
【解答】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠A′=40°，
∵∠B′=110°，
∴∠A′CB′=180°-110°-40°=30°，
∴∠ACB=30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选：B．
【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数．
5、
【答案】
B
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】解：连结AD，BP，PA，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠ABD=90°，
∴AD=AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=5，
∴BD=BP=5，
当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5
故选B．
=15+5．
【分析】连结ADBP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到△ABD为等腰直角三角形，则AD=BD，由于△ABC为等边三角形，所以AC=BC=AB=5，BD=BP=5，当点P与点
． D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=15+5
6、
【答案】
B
【考点】
勾股定理，垂径定理
【解析】
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，∴CE=CD=4
OC=OA，OE=OA﹣AE，由勾股定理可得OC2=CE2+（OA﹣AE）2 ， 解得OC=5
故选B．
【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解．
7、
【答案】
B
【考点】
勾股定理，垂径定理
【解析】
【解答】解：连接OD．
由垂径定理得HD=， 由勾股定理得HB=1，
设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
2则R=（22）+（R﹣1） ， 由此得2R=3，
2）=1×（ 2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3 或由相交弦定理得（
故选B．
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
8、
【答案】
D
【考点】
勾股定理，垂径定理，圆周角定理
【解析】
【解答】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2 ， 即r2=42+（r﹣2）2 ， 解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE=
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE=
故选：D．
． =6，
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．
9、
【答案】
A
【考点】
全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质
【解析】
【解答】连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），∴PC=PD，∴AC=BD；在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），OA=OB（半径），OD=OC（半径），∴△AOC≌△BOD，∴③CA=BD；OE=OF；又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；∴②PE=PF；在△PCD和△PAB中，PC：PA=PD：PB，∠DPC=∠BPA，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC=PBA，∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性【分析】
质证明OP是∠APB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．
10、
【答案】
C
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】连接CD，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠ABC=90°﹣25°=65°，∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C．
【分析】连接CD，先根据直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由等腰三角形的性质得出∠CDB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BCD的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论．
二、填空题
11、
【答案】
圆的半径①圆上
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】解：圆上各点到圆心的距离都等于圆的半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 故答案为圆的半径，圆上．
【分析】根据圆的定义求解．
12、
【答案】
60°
【考点】
等边三角形的判定与性质，圆的认识
【解析】
【解答】解：∵⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60°．
【分析】由题意知，△AOB是等边三角形，所以∠AOB=60°．
13、
【答案】
①2.5
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
【解答】解：∵由勾股定理得：斜边=
∴直角三角形的外接圆的半径R=×5=2.5，
故答案为：2.5．
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形外接圆的半径=斜边的一半求出即可． 14、
【答案】
①点P在⊙O上
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
【解答】解：PO=r=3，点P在⊙O上，
故答案为：点P在⊙O上．
【分析】根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
15、
【答案】
①35°
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】解：∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，
∵CD∥AB，
=5，
∴∠AOC=∠C=35°，
∴的度数为35°．
故答案为35°．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠C=35°，再根据平行线的性质
∠AOC=∠C=35°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
16、
【答案】
【考点】
三角形中位线定理，旋转的性质
【解析】
【解答】∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，
∴∠C=60°，BC=BC′= AC=5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′=5，
∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′= BC=
故答案为：
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键.
17、
【答案】
①25
【考点】
垂径定理的应用
【解析】
【解答】解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∴AD=DB= AB=20，∠ADO=90°，
222在RT△AOD中，∵OA=OD+AD ，
∴R2=202+（R﹣10）2 ，
∴R=25．
故答案为25．
【分析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解决问题．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型．
18、
【答案】
30
【考点】
含30度角的直角三角形，垂径定理，圆周角定理
【解析】
【解答】解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，
∴OE=OC，
∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，
∴∠ABC=30°．
故答案为：30．
【分析】根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．
19、
【答案】
3或
【考点】
勾股定理，垂径定理，点与圆的位置关系
【解析】
【解答】解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2 ，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A==，
．
． ∴PA的长为3或故答案为3或
222【分析】连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB+PB=CP ， 则根据勾股定理的逆定理
得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=
20、
【答案】
110°
【考点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】解：连接OC、OD、AC，
∵弧AC=弧CD，
∴AC=CD，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠ODC=∠OAC，∠OCD=∠OCA，∠AOC=∠DOC，
，从而得到满足条件的PA的长为3或．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA，
设∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA=x°，
在△ACP中，∠P+∠PCA+∠PAC=180°，
∴30°+180°﹣2x°+180°﹣x°=180°，
解得：x=70，
∴∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA=70°，
∴∠COD=∠AOC=180°﹣70°﹣70°=40°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠B+∠ODB=∠AOC+∠COD=40°+40°，
∴∠ODB=40°，
∴∠BDC=40°+70°=110°，
故答案为：110°．
【分析】连接OC、OD、AC，证△AOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OAC，∠OCD=∠OCA，∠AOC=∠DOC，在△APC中根据三角形内角和定理求出∠OAC，求出∠AOC，求出∠B=∠ODB=40°，代入
∠BDC=∠BDO+∠ODC求出即可．
三、解答题
21、
【答案】
解：∵A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），
∴OA==，AP=1，AQ==，
即AP＜OA．AQ=OA，
∴点P在⊙A内，点Q在⊙A上．
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA=
方法判断点P、Q与⊙A的位置关系．
， AP=1，AQ=， 然后根据点与圆的位置关系的判定
22、
【答案】
解：所得两半圆的长度之和=•2π•AC+•2π•AB
=π•（AC+BC）
=π•6
=3π（cm）．
答：所得两半圆的长度之和为3πcm．
【考点】
圆的认识
【解析】
【分析】利用圆的周长公式得到所得两半圆的长度之和=•2π•AC+•2π•AB，然后整理后•π•AB，再把AB=6cm代入计算即可．
23、
【答案】
解：连接AD，
∵AB=60，AC=80，
∴BC=
∵D是BC的中点，
∴AD=50.
为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，半径必须比AB、AC、AD的长都小，所以半径应控制在50m内.
【考点】
直角三角形斜边上的中线，勾股定理，点与圆的位置关系
【解析】
【分析】先用勾股定理求出BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到AD的长，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，半径必须比AB、AC、AD的长都小.
24、
【答案】
解： = =100.
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】
【分析】此题考查了圆心角弦弧的关系，利用好相关条件.
25、
【答案】
证明：连接MO
∵
∴∠MOD=∠MOE
又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E
∴MD=ME
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD=∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME． 26、
【答案】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°
∴∠A=90°﹣∠B=65度．
∵CA=CD
∴∠CDA=∠CAD=65°
∴∠ACD=50°
即弧AD的度数是50度．
【考点】
圆的认识
【解析】
【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A=90°﹣∠B=65°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．
27、
【答案】
解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=OP=2，
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴AH=
∴AB=2AH=2
【考点】
勾股定理，垂径定理
【解析】
【分析】首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，由在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH的长，由在Rt△OAH中，OA=3，即可求得AH的长，继而求得答案．
28、
【答案】
证明：(1)∵OD⊥AC OD为半径，
∴弧CD＝弧AD，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
解：(2)∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA＝90°，
∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝AB，∵OD＝AB，
=， ．
∴BC＝OD.
【考点】
垂径定理，圆周角定理
【解析】
【分析】考查垂径定理，圆周角定理。
29、
【答案】
解：（1）连OB，如图，
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∵∠2=∠A+∠1，
∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠2=∠E，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．
【考点】
圆的认识
【解析】
【分析】（1）由AB=O得到AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．
30、
【答案】
解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
CD∥OA，CD=OB=8
过点M作MF⊥CD于F，则CF=CD=4
过C作CE⊥OA于E，
∵A（10，0），
∴OA=10，OM=5
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=5﹣4=1
连接MC，MC=
OA=5
∴在Rt△CMF中，
MF= ==3
∴点C的坐标为（1，3）
【考点】
坐标与图形性质，垂径定理
【解析】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．
圆的定义，垂径，圆心角练习题20160930
一、单选题
1、圆内最大的弦长为10cm，则圆的半径（ ）
A、小于5cm
B、大于5cm
C、等于5cm
D、不能确定
2、下列说法正确的是（ ）
A、相等的圆心角所对的弧相等
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C、相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D、圆心到弦的距离相等，则弦相等
3、如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为（ ）
A、40°
B、50°
C、80°
D、100°
4、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A、110°
B、80°
C、40°
D、30°
5、如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A、15
B、15+5
C、20
D、15+5
6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AE=2，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A、4
B、5
C、8
D、10
7、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2， BD=， 则AB的长为（
A、2
B、3
C、4
D、
5
）
8、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A、2
B、8
C、2
D、2
9、如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（ ）个．
A、4
B、3
C、2
D、1
10、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）
A、25°
B、30°
C、50°
D、65°
二、填空题
11、圆上各点到圆心的距离都等于________ ，到圆心距离等于半径的点都在________ ． 12、已知⊙O的半径为R，弦AB的长也为R，则∠AOB=________ ．
13、直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R= ________．
14、已知⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 ________． 15、如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为________ ．
16、 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=________
17、（2016•义乌）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________ cm．
18、（2015•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 ________度．
19、（2015•义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为________ ．
20、如图，若=，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，∠P=30°，则∠BDC=________ ．
三、解答题
21、在平面直角坐标系中，有三点A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），若以点A为圆心、OA长为半径作圆，试判断点P、Q与⊙A的位置关系．
22、如图，以AB为直径的圆中，点C为直径AB上任意一点，若分别以AC，BC为直径画半圆，且AB=6cm，求所得两半圆的长度之和．
23、如图，在A地往北60m的B处有一幢房，西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑．因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内?
24、在圆
求证： 中，
25、如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．
26、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求度数． 的
27、如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，求弦AB的长.
28、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
29、如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． （1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
30、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1、
【答案】
C
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为10cm，所以直径是10cm，半径是5cm．故选C．
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可以得到圆的直径是10cm，再由直径是半径的两倍求出半径． 2、
【答案】
B
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】解：A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确，
故选B．
【分析】A，C，D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”．否则，错误．
3、
【答案】
C
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N=50°，
∴∠MON=180°﹣2×50°=80°．
故选C．
【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=50°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数． 4、
【答案】
B
【考点】
三角形内角和定理，旋转的性质
【解析】
【解答】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠A′=40°，
∵∠B′=110°，
∴∠A′CB′=180°-110°-40°=30°，
∴∠ACB=30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选：B．
【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数．
5、
【答案】
B
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】解：连结AD，BP，PA，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠ABD=90°，
∴AD=AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=5，
∴BD=BP=5，
当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5
故选B．
=15+5．
【分析】连结ADBP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到△ABD为等腰直角三角形，则AD=BD，由于△ABC为等边三角形，所以AC=BC=AB=5，BD=BP=5，当点P与点
． D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=15+5
6、
【答案】
B
【考点】
勾股定理，垂径定理
【解析】
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，∴CE=CD=4
OC=OA，OE=OA﹣AE，由勾股定理可得OC2=CE2+（OA﹣AE）2 ， 解得OC=5
故选B．
【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解．
7、
【答案】
B
【考点】
勾股定理，垂径定理
【解析】
【解答】解：连接OD．
由垂径定理得HD=， 由勾股定理得HB=1，
设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
2则R=（22）+（R﹣1） ， 由此得2R=3，
2）=1×（ 2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3 或由相交弦定理得（
故选B．
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
8、
【答案】
D
【考点】
勾股定理，垂径定理，圆周角定理
【解析】
【解答】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2 ， 即r2=42+（r﹣2）2 ， 解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE=
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE=
故选：D．
． =6，
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．
9、
【答案】
A
【考点】
全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质
【解析】
【解答】连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），∴PC=PD，∴AC=BD；在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），OA=OB（半径），OD=OC（半径），∴△AOC≌△BOD，∴③CA=BD；OE=OF；又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；∴②PE=PF；在△PCD和△PAB中，PC：PA=PD：PB，∠DPC=∠BPA，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC=PBA，∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性【分析】
质证明OP是∠APB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．
10、
【答案】
C
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】连接CD，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠ABC=90°﹣25°=65°，∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C．
【分析】连接CD，先根据直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由等腰三角形的性质得出∠CDB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BCD的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论．
二、填空题
11、
【答案】
圆的半径①圆上
【考点】
圆的认识
【解析】
【解答】解：圆上各点到圆心的距离都等于圆的半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 故答案为圆的半径，圆上．
【分析】根据圆的定义求解．
12、
【答案】
60°
【考点】
等边三角形的判定与性质，圆的认识
【解析】
【解答】解：∵⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60°．
【分析】由题意知，△AOB是等边三角形，所以∠AOB=60°．
13、
【答案】
①2.5
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
【解答】解：∵由勾股定理得：斜边=
∴直角三角形的外接圆的半径R=×5=2.5，
故答案为：2.5．
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形外接圆的半径=斜边的一半求出即可． 14、
【答案】
①点P在⊙O上
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
【解答】解：PO=r=3，点P在⊙O上，
故答案为：点P在⊙O上．
【分析】根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
15、
【答案】
①35°
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】解：∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，
∵CD∥AB，
=5，
∴∠AOC=∠C=35°，
∴的度数为35°．
故答案为35°．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠C=35°，再根据平行线的性质
∠AOC=∠C=35°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
16、
【答案】
【考点】
三角形中位线定理，旋转的性质
【解析】
【解答】∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，
∴∠C=60°，BC=BC′= AC=5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′=5，
∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′= BC=
故答案为：
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键.
17、
【答案】
①25
【考点】
垂径定理的应用
【解析】
【解答】解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∴AD=DB= AB=20，∠ADO=90°，
222在RT△AOD中，∵OA=OD+AD ，
∴R2=202+（R﹣10）2 ，
∴R=25．
故答案为25．
【分析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解决问题．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用勾股定理列方程解决问题，属于中考常考题型．
18、
【答案】
30
【考点】
含30度角的直角三角形，垂径定理，圆周角定理
【解析】
【解答】解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，
∴OE=OC，
∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，
∴∠ABC=30°．
故答案为：30．
【分析】根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．
19、
【答案】
3或
【考点】
勾股定理，垂径定理，点与圆的位置关系
【解析】
【解答】解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2 ，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A==，
．
． ∴PA的长为3或故答案为3或
222【分析】连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB+PB=CP ， 则根据勾股定理的逆定理
得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=
20、
【答案】
110°
【考点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】解：连接OC、OD、AC，
∵弧AC=弧CD，
∴AC=CD，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠ODC=∠OAC，∠OCD=∠OCA，∠AOC=∠DOC，
，从而得到满足条件的PA的长为3或．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA，
设∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA=x°，
在△ACP中，∠P+∠PCA+∠PAC=180°，
∴30°+180°﹣2x°+180°﹣x°=180°，
解得：x=70，
∴∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA=70°，
∴∠COD=∠AOC=180°﹣70°﹣70°=40°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠B+∠ODB=∠AOC+∠COD=40°+40°，
∴∠ODB=40°，
∴∠BDC=40°+70°=110°，
故答案为：110°．
【分析】连接OC、OD、AC，证△AOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OAC，∠OCD=∠OCA，∠AOC=∠DOC，在△APC中根据三角形内角和定理求出∠OAC，求出∠AOC，求出∠B=∠ODB=40°，代入
∠BDC=∠BDO+∠ODC求出即可．
三、解答题
21、
【答案】
解：∵A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），
∴OA==，AP=1，AQ==，
即AP＜OA．AQ=OA，
∴点P在⊙A内，点Q在⊙A上．
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA=
方法判断点P、Q与⊙A的位置关系．
， AP=1，AQ=， 然后根据点与圆的位置关系的判定
22、
【答案】
解：所得两半圆的长度之和=•2π•AC+•2π•AB
=π•（AC+BC）
=π•6
=3π（cm）．
答：所得两半圆的长度之和为3πcm．
【考点】
圆的认识
【解析】
【分析】利用圆的周长公式得到所得两半圆的长度之和=•2π•AC+•2π•AB，然后整理后•π•AB，再把AB=6cm代入计算即可．
23、
【答案】
解：连接AD，
∵AB=60，AC=80，
∴BC=
∵D是BC的中点，
∴AD=50.
为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，半径必须比AB、AC、AD的长都小，所以半径应控制在50m内.
【考点】
直角三角形斜边上的中线，勾股定理，点与圆的位置关系
【解析】
【分析】先用勾股定理求出BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到AD的长，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，半径必须比AB、AC、AD的长都小.
24、
【答案】
解： = =100.
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【解答】
【分析】此题考查了圆心角弦弧的关系，利用好相关条件.
25、
【答案】
证明：连接MO
∵
∴∠MOD=∠MOE
又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E
∴MD=ME
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
【分析】连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD=∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD=ME． 26、
【答案】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°
∴∠A=90°﹣∠B=65度．
∵CA=CD
∴∠CDA=∠CAD=65°
∴∠ACD=50°
即弧AD的度数是50度．
【考点】
圆的认识
【解析】
【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A=90°﹣∠B=65°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．
27、
【答案】
解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=OP=2，
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴AH=
∴AB=2AH=2
【考点】
勾股定理，垂径定理
【解析】
【分析】首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，由在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH的长，由在Rt△OAH中，OA=3，即可求得AH的长，继而求得答案．
28、
【答案】
证明：(1)∵OD⊥AC OD为半径，
∴弧CD＝弧AD，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
解：(2)∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA＝90°，
∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝AB，∵OD＝AB，
=， ．
∴BC＝OD.
【考点】
垂径定理，圆周角定理
【解析】
【分析】考查垂径定理，圆周角定理。
29、
【答案】
解：（1）连OB，如图，
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∵∠2=∠A+∠1，
∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠2=∠E，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．
【考点】
圆的认识
【解析】
【分析】（1）由AB=O得到AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．
30、
【答案】
解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
CD∥OA，CD=OB=8
过点M作MF⊥CD于F，则CF=CD=4
过C作CE⊥OA于E，
∵A（10，0），
∴OA=10，OM=5
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=5﹣4=1
连接MC，MC=
OA=5
∴在Rt△CMF中，
MF= ==3
∴点C的坐标为（1，3）
【考点】
坐标与图形性质，垂径定理
【解析】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．