不定积分解题方法总结
摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法
换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1. 当出现
2±x 2，x 2-a 2形式时，一般使用x =a ⋅sin t ，x =a ⋅sec t ，
x =a ⋅tan t 三种代换形式。
⎰⎰
dx a +x dx
2
2
x =a tan t ⎰sec t =ln sec t +tan t +C
2+x 2
=ln x +2+x 2+C
2. 当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。
⎰sin x dx t =x 2⎰t sin tdt =-2(t cos t -⎰cos tdt )
=-2t cos t +2sin t +C =-2cos x +2sin x +C
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
⎰x
=-⎰=-=-
dx x 12-1
1
x =
1
t
⎰t ⋅
11
t 12
t 6
-t 1
12
-1
⎛1⎫⋅ -t 2⎪⎪dt ⎝⎭
t
dt =-⎰dt 6
t 5
-t
12
dt
1
6
⎰
-t 12
1
arcsin x -6+c 6
3. 当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换t =tan
x
2
，
⎰
=
1
dx =
2+sin x
⎰2+2t 1+t 2
1
2
dt 2
1+t
2
⎰1+t
23
1+t
2
dt =
2tan
⎰3/4+t
x
23+1
+c
1+1/2dt
=arctan
对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。
2 不定积分中三角函数的处理
不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。 1. 分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数
⎰
1
dx 上下同乘sin x 变形为 22
sin x +cos x
⎰
1cos xd (cos x ) dx =-⎰2
sin x +cos x 1-cos x 1+cos x 令u =cos x ，则为
udu 111
=(--⎰1-u 21+u ⎰21+u 241+u 41-u ) du
111+cos x
=--ln +c
21+cos x 41-cos x 1x 1x =ln tan 2-sec 2+c
-
2242
2. 只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin x +cos x =1的使用。
22
sin x cos x 1(sin x +cos x )-1
dx =dx ⎰sin x +cos x 2⎰sin x +cos x
⎤1⎡dx
=⎢sin x -cos x -⎰ ⎥2⎣2sin(x +π/4) ⎦
2
=
1x π⎫
(sin x -cos x )-1ln tan ⎛+⎪+c ⎪28⎭2⎝2
三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用
三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次
m n
①形如sin x cos xdx 的积分（m ，n 为非负整数）
⎰
当m 为奇数时，可令u =cos x ，于是
⎰sin x cos x dx =-⎰sin ⎰sin
m
m n m -1
x cos xd cos x =-⎰1-u
n
(
2
m -1
2
u n du ，
转化为多项式的积分
当n 为奇数时，可令u =sin x ，于是
x cos xdx =
n
⎰sin
m
x cos
n -1
xd sin x =
⎰u (1-u m
2
u -1
2
du ，
同样转化为多项式的积分。
当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
1
s i n 2x , 21-c o s 2x 2
, s i n x =
21+c o s 2x 2
c o s x =,
2s i n x c o s x =
不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。
n
② 形如tan xdx 和
⎰⎰
cot n xdx 的积分（n 为正整数）
令u =tan xdx ，则x =arctan u ，dx =
du
，从而 2
1+u
⎰tan
n
xdx =
⎰
u n
du , 2
1+u
已转化成有理函数的积分。
n
类似地，cot xdx 可通过代换u =cot x 转为成有理函数的积分。
⎰
n m
③形如sec xdx 和csc xdx 的积分（n 为正整数）
⎰⎰
当n 为偶数时，若令u =tan x ，则x =arctan u , dx =
du
，于是 2
1+u
⎰sec
n
xdx =
⎰(1+tan x dx
2
2
n
=
⎰(1+u n
22
1
=2
1+u
⎰(1+u 22-1
n
du
已转化成多项式的积分。
n
类似地，csc xdx 可通过代换u =cot x 转化成有理函数的积分。
⎰
当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。
4. 当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。
2
⎰x sin xdx =
121x -4411=x 2-44=
1-cos 2x 11
=x 2-⎰x cos 2xdx 2421211
()xd sin 2x =x -x sin 2x +sin 2xdx ⎰⎰444
1
x sin 2x -cos 2x +c
8
⎰x ⋅
3有理函数积分法的总结
有理函数积分法主要分为两步：1. 化有理假分式为有理真分式；2. 化有理真分式为部分分式之和。有理假分式化为有理真分式的方法由我们已经掌握的代数学的方法可得，这里不做讨论。
1. 有理真分式化为部分分式之和求解 ①简单的有理真分式的拆分
⎰
1
dx =
x 1+x 4
⎛1x 3⎫
⎪⎰ x -1+x 4⎪dx
⎝⎭
=ln x -
1
ln +x 4+c 4
②注意分子和分母在形式上的联系
⎰x 3+x 7
dx
=
=
13
⎛11⎫ln t ln (3+t ) ⎪-dt =-+c ⎪⎰ 3+t ⎭33⎝t
⎰x 3+x 7
7
x 6dx
t =x 7⎰
t 3+t dt
ln x 7-ln 3+x 7
=+c
3
此类题目一般还有另外一种题型：
()()
⎰
=
x +11
dx =
2x 2+2x +5
⎰
1
ln x 2+2x +5+c 2
()
2x +2
dx
x 2+2x +5
2. 注意分母（分子）有理化的使用
⎰
dx
2x +3+
x -1
=
⎰
2x +3-
4
2x -1
33
11
(2x +32-(2x +32+C =1212
4 特殊题型
该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。但在平时训练这些题型
有助于提高数学的思维逻辑能力。 1. 善于利用e ，因为其求导后不变。
x
e x (x +1)
⎰⎰e x x 1+xe x dx =
1t
t =xe x ⎰dt =ln +c
t 1+t 1+t x +1
dx =
x 1+xe x
⎰
1
d xe x
x x xe 1+xe
()
xe x
=ln +c x
1+xe
这道题目中首先会注意到xe ，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为
x
e x +xe x 与分母差e x ，另外因为e x 求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以e x 。
2. 某些题正的不行倒着来
⎰
==
ln sin x 1u 2ln u
dx sin x =⎰
u sin 2x 1
1-2
⎛1⎫ u 2⎪⎪du ⎝⎭
u
⎰
u ln u 2-1
2
du =
⎰ln ud
2-1
-1ln u -
⎰
2-1
du u
⎰
=
2-1tan y
du u =sec y ⎰⋅sec y ⋅tan ydy u sec y
⎰tan
2
ydy =tan y -y +c
原式=-⎰sin xd (cot x )=-cot x ln sin x +cos x cos x
⎰sin x sin x dx
=-cot x ln sin x +⎰cot 2xdx =-cot x ln sin x +
=-cot x ln sin x -cot x -x +c
⎰cot xd (ln sin x )
这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u =sin x ，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u =sin x 这类一般的换元法行不通时尝试下
1
u
=sin x 。这种思路类似于证明题中的反证法。
3. 注意复杂部分求导后的导数
⎰
ln x +2t +2
dx t =ln x dt ⎰22t
x ln x 1-2x ln x t 1-2t e
注意到:
1-6t 2e t -2t 3e t
y 1=
t -2t 3e t t -2t 3e t
y 2=3t
t -2t e 1-2t 2e t
y 3=
t 1-2t 2e t
t +2
=y 1-y 2-3y 3 2t
t 1-2t e
t +2
∴⎰dt =2t
t 1-2t e
3t
⎰=ln (t -2t e )-t -3ln t +c
1-6t 2e t -2t 3e t
dt -3t
t -2t e t -2t 3e t 1-2t 2e t
⎰t -2t 3e t -3⎰t 1-2t 2e t dt
=ln ln x -2(ln x )e ln x -ln x -3ln ln x +c
3
()
本题把被积函数拆为三部分：y 1, y 2, y 3，y 1的分子为分母的导数，y 2的值为1，y 3的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。 4. 对于
⎰R (x ,
2
ax 2+bx +c ) dx (a =/0) 型积分，考虑∆=b -4ac 的符号来确定取
不同的变换。
2
如果∆>0，设方程ax +bx +c =0两个实根为α, β，令
可使上述积分有理化。
2+bx +c =t (x -∂)，
2
如果∆
2+bx +c =x ±t ，
可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设
ax 2+bx +c =xt ±，
至于采用哪种替换，具体问题具体分析。
不定积分解题方法总结
摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法
换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1. 当出现
2±x 2，x 2-a 2形式时，一般使用x =a ⋅sin t ，x =a ⋅sec t ，
x =a ⋅tan t 三种代换形式。
⎰⎰
dx a +x dx
2
2
x =a tan t ⎰sec t =ln sec t +tan t +C
2+x 2
=ln x +2+x 2+C
2. 当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。
⎰sin x dx t =x 2⎰t sin tdt =-2(t cos t -⎰cos tdt )
=-2t cos t +2sin t +C =-2cos x +2sin x +C
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，
⎰x
=-⎰=-=-
dx x 12-1
1
x =
1
t
⎰t ⋅
11
t 12
t 6
-t 1
12
-1
⎛1⎫⋅ -t 2⎪⎪dt ⎝⎭
t
dt =-⎰dt 6
t 5
-t
12
dt
1
6
⎰
-t 12
1
arcsin x -6+c 6
3. 当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换t =tan
x
2
，
⎰
=
1
dx =
2+sin x
⎰2+2t 1+t 2
1
2
dt 2
1+t
2
⎰1+t
23
1+t
2
dt =
2tan
⎰3/4+t
x
23+1
+c
1+1/2dt
=arctan
对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。
2 不定积分中三角函数的处理
不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。 1. 分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数
⎰
1
dx 上下同乘sin x 变形为 22
sin x +cos x
⎰
1cos xd (cos x ) dx =-⎰2
sin x +cos x 1-cos x 1+cos x 令u =cos x ，则为
udu 111
=(--⎰1-u 21+u ⎰21+u 241+u 41-u ) du
111+cos x
=--ln +c
21+cos x 41-cos x 1x 1x =ln tan 2-sec 2+c
-
2242
2. 只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin x +cos x =1的使用。
22
sin x cos x 1(sin x +cos x )-1
dx =dx ⎰sin x +cos x 2⎰sin x +cos x
⎤1⎡dx
=⎢sin x -cos x -⎰ ⎥2⎣2sin(x +π/4) ⎦
2
=
1x π⎫
(sin x -cos x )-1ln tan ⎛+⎪+c ⎪28⎭2⎝2
三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用
三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次
m n
①形如sin x cos xdx 的积分（m ，n 为非负整数）
⎰
当m 为奇数时，可令u =cos x ，于是
⎰sin x cos x dx =-⎰sin ⎰sin
m
m n m -1
x cos xd cos x =-⎰1-u
n
(
2
m -1
2
u n du ，
转化为多项式的积分
当n 为奇数时，可令u =sin x ，于是
x cos xdx =
n
⎰sin
m
x cos
n -1
xd sin x =
⎰u (1-u m
2
u -1
2
du ，
同样转化为多项式的积分。
当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
1
s i n 2x , 21-c o s 2x 2
, s i n x =
21+c o s 2x 2
c o s x =,
2s i n x c o s x =
不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。
n
② 形如tan xdx 和
⎰⎰
cot n xdx 的积分（n 为正整数）
令u =tan xdx ，则x =arctan u ，dx =
du
，从而 2
1+u
⎰tan
n
xdx =
⎰
u n
du , 2
1+u
已转化成有理函数的积分。
n
类似地，cot xdx 可通过代换u =cot x 转为成有理函数的积分。
⎰
n m
③形如sec xdx 和csc xdx 的积分（n 为正整数）
⎰⎰
当n 为偶数时，若令u =tan x ，则x =arctan u , dx =
du
，于是 2
1+u
⎰sec
n
xdx =
⎰(1+tan x dx
2
2
n
=
⎰(1+u n
22
1
=2
1+u
⎰(1+u 22-1
n
du
已转化成多项式的积分。
n
类似地，csc xdx 可通过代换u =cot x 转化成有理函数的积分。
⎰
当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。
4. 当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。
2
⎰x sin xdx =
121x -4411=x 2-44=
1-cos 2x 11
=x 2-⎰x cos 2xdx 2421211
()xd sin 2x =x -x sin 2x +sin 2xdx ⎰⎰444
1
x sin 2x -cos 2x +c
8
⎰x ⋅
3有理函数积分法的总结
有理函数积分法主要分为两步：1. 化有理假分式为有理真分式；2. 化有理真分式为部分分式之和。有理假分式化为有理真分式的方法由我们已经掌握的代数学的方法可得，这里不做讨论。
1. 有理真分式化为部分分式之和求解 ①简单的有理真分式的拆分
⎰
1
dx =
x 1+x 4
⎛1x 3⎫
⎪⎰ x -1+x 4⎪dx
⎝⎭
=ln x -
1
ln +x 4+c 4
②注意分子和分母在形式上的联系
⎰x 3+x 7
dx
=
=
13
⎛11⎫ln t ln (3+t ) ⎪-dt =-+c ⎪⎰ 3+t ⎭33⎝t
⎰x 3+x 7
7
x 6dx
t =x 7⎰
t 3+t dt
ln x 7-ln 3+x 7
=+c
3
此类题目一般还有另外一种题型：
()()
⎰
=
x +11
dx =
2x 2+2x +5
⎰
1
ln x 2+2x +5+c 2
()
2x +2
dx
x 2+2x +5
2. 注意分母（分子）有理化的使用
⎰
dx
2x +3+
x -1
=
⎰
2x +3-
4
2x -1
33
11
(2x +32-(2x +32+C =1212
4 特殊题型
该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。但在平时训练这些题型
有助于提高数学的思维逻辑能力。 1. 善于利用e ，因为其求导后不变。
x
e x (x +1)
⎰⎰e x x 1+xe x dx =
1t
t =xe x ⎰dt =ln +c
t 1+t 1+t x +1
dx =
x 1+xe x
⎰
1
d xe x
x x xe 1+xe
()
xe x
=ln +c x
1+xe
这道题目中首先会注意到xe ，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为
x
e x +xe x 与分母差e x ，另外因为e x 求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以e x 。
2. 某些题正的不行倒着来
⎰
==
ln sin x 1u 2ln u
dx sin x =⎰
u sin 2x 1
1-2
⎛1⎫ u 2⎪⎪du ⎝⎭
u
⎰
u ln u 2-1
2
du =
⎰ln ud
2-1
-1ln u -
⎰
2-1
du u
⎰
=
2-1tan y
du u =sec y ⎰⋅sec y ⋅tan ydy u sec y
⎰tan
2
ydy =tan y -y +c
原式=-⎰sin xd (cot x )=-cot x ln sin x +cos x cos x
⎰sin x sin x dx
=-cot x ln sin x +⎰cot 2xdx =-cot x ln sin x +
=-cot x ln sin x -cot x -x +c
⎰cot xd (ln sin x )
这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u =sin x ，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u =sin x 这类一般的换元法行不通时尝试下
1
u
=sin x 。这种思路类似于证明题中的反证法。
3. 注意复杂部分求导后的导数
⎰
ln x +2t +2
dx t =ln x dt ⎰22t
x ln x 1-2x ln x t 1-2t e
注意到:
1-6t 2e t -2t 3e t
y 1=
t -2t 3e t t -2t 3e t
y 2=3t
t -2t e 1-2t 2e t
y 3=
t 1-2t 2e t
t +2
=y 1-y 2-3y 3 2t
t 1-2t e
t +2
∴⎰dt =2t
t 1-2t e
3t
⎰=ln (t -2t e )-t -3ln t +c
1-6t 2e t -2t 3e t
dt -3t
t -2t e t -2t 3e t 1-2t 2e t
⎰t -2t 3e t -3⎰t 1-2t 2e t dt
=ln ln x -2(ln x )e ln x -ln x -3ln ln x +c
3
()
本题把被积函数拆为三部分：y 1, y 2, y 3，y 1的分子为分母的导数，y 2的值为1，y 3的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。 4. 对于
⎰R (x ,
2
ax 2+bx +c ) dx (a =/0) 型积分，考虑∆=b -4ac 的符号来确定取
不同的变换。
2
如果∆>0，设方程ax +bx +c =0两个实根为α, β，令
可使上述积分有理化。
2+bx +c =t (x -∂)，
2
如果∆
2+bx +c =x ±t ，
可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设
ax 2+bx +c =xt ±，
至于采用哪种替换，具体问题具体分析。