1-6 试说明如题图1-6(a)所示液面自动控制系统的工作原理。若将系统的结构改为如题图1-6(b)所示，将对系统工作有何影响？
(a) (b)
题图1-6 液面自动控制系统
答：（a ）图所示系统，当出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门开启，水流进水槽，浮子上升。
（b ）图所示系统，假设当前出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门会随着水的流出而逐渐关闭，直至水槽中的水全部流出。
2-7 用拉氏变换的方法解下列微分方程 （2）x ''+2x '+2x =0, x (0)=0, x '(0)=1
解：x " +2x ' +2x =0x (0)=0, x '(0)=1
s 2x (s ) -sx (0)-x '(0)+2sx (s ) -2x (0)+2x (s ) =0(s 2+2s +2) x (s ) =1x (s ) =
11
=
s 2+2s +2(s +1) 2+1
x (t ) =e -t sin t
3-1求题图3-1(a)、(b)所示系统的微分方程。
(b)
题图 3-1
（b ）解：(1) 输入f(t),输出y(t)
(2)引入中间变量x(t)为k 1, k 2连接点向右的位移，（y>x） (3)k 1x =k 2(y -x ) ①
f -k 2(y -x )=my " ②
(4)由①、②消去中间变量得：my " +
3-2 求题图3-2(a)、(b)、(c)所示三个机械系统的传递函数。图中，x 表示输入位移，y 表示输出位移。假设输出端的负载效应可以忽略。
（b ）解：（1）输入x r , 输出x c
（2）引入中间变量x 为k 1与c 之间连接点的位移 (x r >x >x c ) （3）k 1(x r -x ) =c (x -x c ) ① c (x -x c ) =k 2x c ② （4）消去中间变量x, 整理得：
'
'
'
'
k 1k 2
y =f
k 1+k 2
题图3-2
c (k 1+k 2) '
x c +k 2x c =cx r ' k 1
（5）两边拉氏变换：
c (k 1+k 2)
sX c (s ) +k 2X c (s ) =csX r (s ) k 1
（6）传递函数：G (s ) =
X c (s ) cs
=
c (k +k ) X r (s ) 12
s +k 2
k 1
3-3 证明题图3-3(a)和(b)所示系统是相似系统。
解：（a ）(1)输入u r ，输出u c
（2）系统的传递函数：G (s ) =u c (s ) =
u r (s )
(a)
R 2+R 1+
1C 2s
11+R 2+C 1s C 2s
=
（b ）（1）输入x r ，输出x c
(R 2C 2s +1)(R 1C 1s +1)
2
R 1R 2C 1C 2s +R 1C 1s +R 2C 2s +R 1C 2s +1
（2）引入中间变量x 为k 1与c 1之间连接点的位移 (x r >x c >x )
- c x ) ② （3）k 1x =c 1(x c -x ) ① c 1(x c -x ) =k 2(r x -c x ) +2c (r x
（4）两边拉氏变换：k 1x (s ) =c 1sx c (s ) -c 1sx (s ) ①
c 1sx c (s ) -c 1sx (s ) =k 2x r (s ) -k 2x c (s ) +c 2sx r (s ) -c 2sx c (s ) ②
（5）消去中间变量x (s ) 整理得：
' ' ' ' ' '
k 1c 1sx c (s )
+k 2x c (s ) +c 2sx c (s ) =k 2x r (s ) +c 2sx r (s )
k 1+c 1s
(1+
c 2s c s )(1+1) k 2k 1
（6）传递函数：G (s ) =
c 1c 2s 2c 2s c 1s c 1s
++++1k 1k 2k 2k 1k 2
（a ）和（b ）两系统具有相同的数学模型，故两系统为相似系统。
3-5 已知一系统由如下方程组组成，试绘制系统结构图并求闭环传递函数C(s)/R(s)。
-) X 1(s ) =G 1(s ) R (s
1
G [(s ) 7G -(s )
8
G ](s ) C (s )
([) X 1s (-) G 6s X () s () X 2(s ) =G 2s 3] (-) G 5s (C ) s ](G ) 3s () X 3(s ) =[X 2s
C (s ) =G 4(s ) X 3(s )
解：根据系统方程组可绘制系统结构图，如题图3-5所示。
题图3-5 系统结构图
由 X 2=G 2(X 1-G 6X )3
-G 3G 5 C 可得： X 3=G 2G 3X 1
1+G 2G 3G 6
X =3(
X -2
G )5C , G 3
代入X 1=G 1R -G 1(G 7-G 8)C 得 X 3=
G 2G 3⎡-⎣G 1R
G -(1G 7
-)G 8⎤⎦C
G C 3G 5
1+G 2G 3G 6
又因为 C =G 4X 3 故 C =
G 2G 3G 4⎡R ⎣G 1-
G (1
G -7
)G 8⎤⎦
C -
1+G 2G 3G 6
=
G C 3G 4G 5
即
C (s )R s G 1G 2G G 34
1+G 2G 3G 6+G G G +G G G G G -G 345123478
又解：（1）运用结构简化的办法，将X 3(s ) 的引出点后移，可得系统的前向通道传递函数为
G 3G 41+G 3G 4G 5G 1G 2G 3G 4
G =1
G 3G 4G 61+G 2G 3G 6+G 3G 4G 5
1+G 2
1+G 3G 4G 5G 4
G 2
则系统的闭环传递函数为
G 1G 2G G 34
G 1G 2G 3G 41+G 2G 3G 6+G G 3G 45 C (s ) = =
G 1G 2G G 1+G 2G 3G 6+G 3G 4G +G 1G 2G (G 7) G 8R (s ) 1+53G 4-34
(G 7-G 8)
1+G 2G 3G 6+G 3G 4G 5（2）运用信号流图的办法，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路
L 1=-G 2G 3G 6, L 2=-G 3G 4G 5, L 3=-G 1G 2G 3G 4(G 7-G 8)
∆=1-(L 1+L 2
+L 3) =1+G 2G 3G 6+G 3G 4G 5+G 1G 2G (-3G 4G 7) G
p 1=G 1G 2G 3G 4， ∆1=1
由梅逊公式可得系统的传递函数为
3-6 试简化题图3-6所示系统结构图，并求出相应的传递函数C (s ) /R (s ) 和C (s ) /N (s ) 。
C (s )R s p ∆=
i
i
∆
=
G 1G 2G G 34
1+G 2G 3G 6+G G G +G G G G G -G 34512347
8
题图3-6
解：当仅考虑R (s )作用时，经过反馈连接等效可得简化结构图（题图3-6(a)），则系统的传递函数为
题图3-6（a ）R (s ) 作用时的简化结构图
G 1G 21-G 2H 2G 1G 2C (s )
==
G G R (s ) 1+12
H 31-G 2H 2+G 1G 2H 3
1-G 2H 2
当仅考虑N (s ) 作用时，系统结构如题图3-6（b ）所示。系统经过比较点后移和 串、并联等效，可得简化结构图，如题图3-6（c ）所示。则系统传递函数为
(1-G 1H 1) G 2G 2-G 1G 2H 1C (s )
==
N (s ) 1-G 2(H 2-G 1H 3) 1-G 2H 2+G 1G 2H 3
N 题图3-6(b) N (s ) 作用时的系统结构图
N
题图3-6（c ）N (s ) 作用时的简化结构图
又解：可用信号流图方法对结果进行验证。 题图3-6系统的信号流图如题图3-6（d ）所示。
题图3-6（d ）系统信号流图
当仅考虑R (s ) 作用时，由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，无互不接触回路，即
L 1=G 2H 2, L 2=-G 1G 2H 3, ∆=1-(L 1+L 2)=1+G 1G 2H 3-G 2H 2
p 1=G 1G 2, ∆1=1
由梅逊公式可得系统的传递函数为
C (s )
=
R (s )
p ∆
i
i
∆
=
G 1G 2
1-G 2H 2+G 1G 2H 3
当仅考虑N (s ) 作用时，由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，无互不接 触回路，即
L 1=G 2H 2, L 2=-G 1G 2H 3, ∆=1-(L 1+L 2)=1+G 1G 2H 3-G 2H 2
p 1=G 2， ∆1=1 p 2=-G 1G 2H 1， ∆2=1
由梅逊公式可得系统的传递函数为
C (s )
=
N (s )
p ∆
i
i
∆
=
G 2-G 1G 2H 1
.
1-G 2H 2+G 1G 2H 3
3-7 已知某系统的传递函数方框如题图3-7所示，其中，R (s ) 为输入，C (s ) 为输出，N (s ) 为干扰，试求，G (s ) 为何值时，系统可以消除干扰的影响。
解：φCN (s )=
C N (s )N s =
k 4s -k 1k 2G (s )
s
k 3
k 1k 2k 3+s Ts +1若使C N (s ) =φCN (s ) N (s ) =0， 则k 4s -k 1k 2G (s ) =0，即G (s ) =
k 4s
k 1k 2
3-8 求题图3-8所示系统的传递函数C (s ) /R (s ) 。
解：G (s ) =
3-9 求题图3-9所示系统的传递函数C (s ) /R (s ) 。
题图3-8
G 1G 2G 3G 4
1-G 2G 3H 1+G 1G 2G 3H 2-G 1G 2G 3G 4H 3+G 3G 4H 4
解：G (S )=
题图3-9
G 1G 2G 3+G 4
1-G 1G 2G 3H 1H 2+G 1G 2G 3H 3+G 4H 3
3-10 求题图3-10所示系统的传递函数C (s ) R (s ) 。
题图3-10
解：G (s ) =
G 1G 2G 3G 4G 5+G 1G 2G 5
1+G 1G 2H 1-G 2G 3H 2+G 1G 2G 3G 4G 5+G 1G 2G 5
3-11 求题图3-11所示系统的传递函数C (s ) R (s )
R s
)
R (s )
(a)
-H 1 -H 2 -H 3
(b)
题图3-11
解：（b ）
t 1=G 1G 2G 3G 4G 5t 2=G 1G 5G 6
l 11=-G 2H 1l 12=-G 3H 2l 13=-G 4H 3
∑l
i
1i
=-G 2H 1-G 3H 2-G 4H 3
l 21=G 2G 3H 1H 2l 22=G 2G 4H 1H 3l 23=G 3G 4H 2H 3
∑l
j
2j
=G 2G 3H 1H 2+G 2G 4H 1H 3+G 3G 4H 2H 3
l 3=G 2G 3G 4H 1H 2H 3
∆=1-∑l 1i +∑l 2j -∑l 3k
i
j
k
∆1=1 ∆2=1
G 1G 2G 3G 4G 5+G 1G 5G 6(1+G 2H 1+G 3H 2+G 4H 3+G 2G 3H 1H 2+G 2G 4H 1H 3+G 3G 4H 2H 3+G 2G 3G 4H 1H 2H 3) G (s ) =
1+G 2H 1+G 3H 2+G 4H 3+G 2G 3H 1H 2+G 2G 4H 1H 3+G 3G 4H 2H 3+G 2G 3G 4H 1H 2H 3
4-4 如题图4-4所示的电网络，试求其单位阶跃响应、单位脉冲响应和单位斜坡响应，并画出相应的响应曲线。
解：如图RC 电网络的传递函数为：
G (s ) =
1
RCs +1
c (t
-t RC
T =RC （1）单位阶跃响应：
c (t ) =1-e
-
t T
=1-e
单位阶跃响应曲线如题图4-4(a)所示。
（2）单位脉冲响应：
t t
1-T 1-RC
c (t ) =e =e
T RC
题图4-4(a) 系统的单位阶跃响应曲线
单位脉冲响应曲线如题图4-4(b)所示。
（3）单位斜坡响应：
C (t ) =t -T (1-e 单位斜坡响应曲线如题图4-4(c)所示。 4-7 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
-t
T
c (t 题图4-4(b) 系统的单位脉冲阶跃响应曲线
题图4-4(c) 系统的单位斜坡阶跃响应曲线
) =t -RC (1-e
-
t RC
)
G (s ) =
1
s (s +1)
试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。 解：系统的闭环传递函数为
Φ(s ) =
因为 ωn =1 所以 ωn =1 又因为 2ξωn =1 所以 ξ=
0.5
2
1
2
s +s +1
π-cos -1ξ-1-1t r ====2.42(s )
ωd
t p =
π===3.63(s )
ωd
M p =e t s =
3
=e
=16.3 ∆=0.02
ξωn
=
3
=6(s ) 0.5
或者
t s =
4
ξωn
=
4
=8(s ) 0.5
∆=0.05
系统的单位阶跃响应曲线如题图 4-7所示。
4-10 题图4-10为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求：
（1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率ωn 。 （2）求该系统的M p ，t p 和t s 。
题图4-7 系统的单位阶跃响应曲线
题图4-10
解：（1）系统的闭环传递函数为Φ(s ) =由系统的闭环传递函数得
1
s 2+s +9
ωn 2=9⇒ωn =3
2ξωn =1⇒ξ=
12ωn
=
1
=0. 17 6
（2
）M p
=e =e =
58.8%
t p =
π===1.062(s ) ωd 4
∆=0.02时t s =
ξωn
3
=
4
ξωn
=
4
=7.84(s )
0.17⨯3
∆=0.05时t s =
ξωn
=
3
=5.88(s )
0.17⨯3
系统的单位阶跃响应曲线如题图4-10(a)所示。
4-12 要使题图4-12所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间t p 为2秒， 试确定K 和K f 的值。
解：系统的闭环传递函数为
题图4-12
Φ(s ) =
K
s 2+KK f s +K
因为M p 解得
=e =25%
ξ=0. 4
题图4-12(a) 系统的单位阶跃响应曲线
又因为t p =
=2
解得
ωn =1. 7 1
和二阶系统的标准式比较，有
K =ωn 2=1.712=2.92 KK f =2ξωn =2⨯0.4⨯1.71=1.368
K , =解得 K f =0. 47
2. 9
系统的单位阶跃响应曲线如题图4-12(a)所示。 4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
K
s (s +1)(s +2)
试确定系统稳定时开环放大系数（开环增益）K 值的范围。 解：根据系统的开环传递函数可得系统的特征方程为
D(s ) =s 3+3s 2+2s +K =0
列出劳斯表如下：
s 3 1 2 s 2 3 K
s 1
6-K
3
s 0 K
若系统稳定，则： （1）
6-K
>0,即K
（2）K>0;
所以系统稳定时K 值的范围为：0
G (s ) =
K
s (s +1)(s +5)
求斜坡函数输入时，系统的稳态误差e ss =0.01的K 值。
解：
G (s ) =
1
s (s +1)(s +1)
5
K
所以，开环增益为 K *=型次 ν=1 输入r (t ) =t
K 5
εss =e ss =
15==0.01 *K K
1
，试求输入R (s ) 和扰动N (s ) 作用下的 s
则 K =500
4-16 如题图4-16所示系统，已知R (s ) =N (s ) =稳态误差。
解：（1）只考虑R (s ) =
由题图4-16(a)可知，系统的开环传递函数为
题图4-16 (a) N (s ) =0时系统的结构图
题图4-16
1
作用于系统时，N (s ) =0，系统的结构图如题图4-16（a ）所示。 s
G (s ) =
4
4s +1
因为系统为0型系统，且R (s ) =所以，系统的稳态偏差为
1 s
11
==0.2 1+K 1+4
εss =
R
又因为 H (s ) =1 所以，有
e ss R =εss R =0.2
（2）只考虑N (s ) =
1
作用于系统时，R (s ) =0，以偏差E n (s ) =0为输出时系统的结s
构图如题图4-16（c ）所示。
由题图4-16(c)可知
E N (s ) =ΦNE (s ) N (s ) =-
所以 εss N =lim sE N (s ) =lim s ⋅
s →0
s →0
4s +111
⋅⋅ 4s +53s +1s
-(4s +1) 1
⋅=-0.2
(4s +5)(3s +1) s
又因为
H (s ) =1
所以，有
e ss N =εss N =-0.2
（3）当R (s ) =N (s ) =
1
同时作用于系统时 s
e ss =e ss R +e ss N =0.2-0.2=0
4-17 设单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
2
100
s (0.1s +1)
试求当输入信号r (t ) =2+4t +5t 时，系统的稳态误差。 解：(1) 系统的闭环传递函数为
Φ(s ) =
100
0.1s 2+s +100
该系统为二阶系统，且特征方程的各项系数都大于0，所以系统就稳定。 （2）系统在输入信号作用下的误差传递函数为
Φe (s ) =
1s (0. 1s +1)
=2
1+G (s ) 0. 1s +s +100
2
（3）输入信号r (t ) =2+4t +5t 的拉氏变换为R (s ) =（4）利用终值定理可求得系统的稳态误差为
e ss =lim sE (s ) =lim s Φe (s ) R (s ) =lim s
s →∞
s →∞
s →∞
2410+2+3 s s s
s (0. 1s +1) 2410
(+2+3) →∞ 2
0. 1s +s +100s s s
又解：由于Ⅰ型系统在阶跃输入信号作用下的稳态误差为0，在斜坡输入信号作用下的稳态误差为
v
，在加速度输入信号作用下的稳态误差为∞，该系统为Ⅰ型系统，所以其在给定K
输入信号作用下的稳态误差为∞。
6-2 已知系统的单位阶跃响应为c (t ) =1-1.8e -4t +0.8e -9t ，t ≥0；试求系统幅频特性和相频特性。
解：
c (t ) =1-1.8e -4t +0.8e -9t
11.80.8 C (s ) =-+
s s +4s +9
11.80.8-+
C (s ) 36 C (s ) =Φ(s ) R (s ) ⇒Φ(s ) ===
R (s ) (s +4)(s +
9) s
ωω
A (ω) ϕ(ω) =-arctg -arctg
496-6 画出下列各开环传递函数的奈奎斯特图，并判别系统是否稳定。 （1） G (s ) H (s ) =
100
(s +1)(0. 1s +1)
解：系统的频率特性为
100⎡(1-0.1ω2) -j 1.1ω⎤100⎣⎦ G (j ω) H (j ω) ==22
(j ω+1)(j 0.1ω+1) (1+ω)(1+0.01ω)
100(1-0. 1ω2) 110ω
= -j
(1+ω2)(1+0. 01ω2) (1+ω2)(1+0. 01ω2)
①当ω=0时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=100，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =0
②当ω→∞时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=0，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =-180
系统的奈奎斯特图在第Ⅲ和第Ⅳ象限间变化，且不包围点(-1，j0），MATLAB 验证如题图6-6(a)所示，该系统稳定。
200 s (s +1)(0. 1s +1)
（3） G (s ) H (s ) =
解：系统的频率特性为
2001. 1ω2+j (-0. 1ω3+ω) 200
G (j ω) H (j ω) ==
j ω(j ω+1)(j 0. 1ω+1) -ω2(1+ω2)(1+0. 01ω2) 200(0. 1ω2-1) 220
=-+j 2222
(1+ω)(1+0. 01ω) ω(1+ω)(1+0. 01ω)
[]
①当ω=0时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=220，I e [G (j ω) H (j ω) ]=-∞，ϕ(ω) =-90
②当ω→∞时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=0，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =-270
③与实轴的交点
令I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，解得 ωx =3. 16 则R e [G (j ωx ) H (j ωx ) ]=-18. 1
系统的奈奎斯特图在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化，且包围点(-1，j0）一圈，MATLAB 验证如题图6-6(c)所示，该系统不稳定。
（8）G (s
) H (s ) =
50(0. 6s +1)
s
2(4s +1)
解：系统的频率特性为
50(j 0. 6ω+1) 50(1+2. 4ω2-j 3. 4ω) 50(1+2. 4ω2) 170ω
G (j ω) H (j ω) ===-+j
-ω2(j 4ω+1) -ω2(1+16ω2) ω2(1+16ω2) ω2(1+16ω2)
①当ω=0时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=-∞，I e [G (j ω) H (j ω) ]=∞，ϕ(ω) =-90
②当ω→∞时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=0，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =-180
系统的奈奎斯特图在第Ⅱ象限间变化，顺时针包围点(-1，j0）半圈，MATLAB 验证如题图6-6(h)所示，该系统不稳定。
6-8 试绘制具有下列传递函数的系统的对数坐标图并判断系统的稳定性。 （2）G (s ) =
50 s (s +1)(s +2)
解：系统的频率特性为
G (j ω) =
则系统的对数幅频和相频特性为
50
j ω(j ω+1)(j ω+2)
L (ω) =20lg 50-20lg ω-20lg +ω2-20lg +4ω2
ϕ(ω) =-90 -arctan ω-arctan 2ω
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(b)所示。
在题图6-8(b)中，因为v =1，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作1⨯90的垂线。在L (ω) >0的频段内，其对数相频特性曲线穿越-180线一次，且为负穿越，则
N =N +-N -=-1
而P =0，于是闭环极点位于s 右半平面的个数为
Z =P -2N =2
（4）G (s ) =
2. 5(s +10)
2
s (0. 2s +1)
解：系统的频率特性为
G (j ω) =
则系统的对数幅频和相频特性为
2. 5(j ω+10)
2
-ω(j 0. 2ω+1)
L (ω) =20lg 2. 5+20lg +ω2-40lg ω-20lg +0. 04ω2
ϕ(ω) =arctan
ω
10
-180 -arctan 0. 2ω
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(d)所示。
在题图6-8(d)中，因为v =2，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作2⨯90的垂线。在L (ω) >0的频段内，其对数相频特性曲线穿越-180线一次，且为负穿越，则
N =N +-N -=1
而P =0，于是闭环极点位于s 右半平面的个数为
Z =P -2N =2
所以，系统闭环不稳定。
（5）G (s ) =
2. 5(s +10) s (s 2+4s +100)
解：系统的频率特性为
G (j ω) =
则系统的对数幅频和相频特性为
2. 5(j ω+10)
2
j ω(100-ω+j 4ω)
L
(ω) =20lg 2. 5+20lg +ω2-2lg ω-20lg (100-ω2) 2+16ω2
ϕ(ω) =arctan
ω
10
-90 -arctan
4ω
100-ω2
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(e)所示。
在题图6-8(e)中，因为v =1，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作1⨯90的垂线。在L (ω) >0的频段内，其对数相频特性曲线没有穿越-180线，则
N =N +-N -=0
而P =0，于是闭环极点位于s 右半平面的个数为
Z =P -2N =0
所以，系统闭环稳定。
6-12 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为
Ks 2
G (s ) H (s ) =
(0. 02s +1)(0. 2s +1)
试绘制系统的伯德图，并确定剪切频率ωc =5rad /s 时的K 值。 解：由系统的开环传递函数，可得
G (j ωc ) H (j ωc ) ) =
=5
c
=1
解得 K =0.0569
当剪切频率为ωc =5rad /s 时，系统的开环传递函数为
0.0569s G (s ) H (s ) =
(0.02s +1)(0.2s +1)
2
对应的伯德图如题图6-12(b)所示。
6-13 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
3500 s (s +10s +70)
2
试绘制系统的伯德图，并确定当相位裕度等于30 时系统的开环放大系数的应增大或减小多少？
解：系统的频率特性为
G (j ω) H (j ω) =
3500
2
j ω(j ω) +j 10ω+70
系统的对数幅频特性和相频特性分别为
L (ω) =20lg 3500-20lg ω-20lg (70-ω2) 2+100ω2
ϕ(ω) =-90 -arctan
10ω
70-ω2
绘出系统的伯德图如题图6-13(a)所示。
根据相位裕度的定义，当相位裕度等于30时，对应系统的相频特性为ϕ(ωc ) =-150，由题图6-13(a)可知，当ϕ(ω) =-150时对应的幅频特性L (ω) =18. 6dB >0，要使
L (ω) =0, 且ϕ(ω) =-150 ，应减小系统的开环放大系数K ，使原系统的幅频特性向下平
移18. 6dB , 即20lg K =-18. 6dB ，求得
'
K ' =0. 117
这相当于给系统串联了一个放大倍数为K =0. 117的放大环节。 增加放大环节后系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
411 s (s +10s +70)
2
'
MATLAB 验证结果如题图6-13(b)所示。
6-14 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
K
(s +
1)(7s +1)(3s +1)
求幅值裕度为20dB 时的K 值。 解：系统的频率特性为
G (j ω) H (j ω) =
K
(j ω+1)(j 7ω+1)(j 3ω+1)
系统的对数幅频特性和相频特性分别为
L (ω) =20lg K -20lg 2+1-20lg 49ω2+1-20lg 9ω2+1
ϕ(ω) =arctan ω-arctan 7ω-arctan 3ω
根据幅值裕度的定义，当ϕ(ωg ) =-180时，K g =
1
G (j ωg ) H (j ωg )
有 ϕ(ωg ) =arctan ωg -arctan 7ωg -arctan 3ωg 解得 ωg =0. 725rad s 。
将ωg =0. 725rad s 代入幅值裕度的计算式，有
20lg K g =-20lg G (j ωg ) H (j ωg )
=-=20dB
解得 K =1. 53
MATLAB 验证结果图如题图6-14所示。
7-3 某单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G 0(s ) =
6
2
s (s +4s +6)
（1）计算校正前系统的剪切频率和相位裕度。
（2）串联传递函数为G c (s ) =s +1的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相位裕度。
0. 2s +1
（3）串联传递函数为G c (s ) =10s +1的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相位裕度。
100s +1
（4）讨论串联超前、串联滞后校正的不同作用。
解：（1）绘出校正前系统的对数幅频渐近特性曲线，如题图7-3(a)中曲线L (ω) 所示。由图7-3(a)得出待校正系统的剪切频率为ωc 1=1rad s ，算出待校正系统的相位裕度为
'
γ=180 -90 -arctan
（2）给系统串联传递函数为G c (s ) =
4ωc 16-ωc 21
=51. 3
ωc 1=1
s +1
的超前校正装置后，系统的传递函数为
0. 2s +1
6s +1
G (s ) =G 0(s ) G c (s ) =⋅
s (s 2+4s +6) 0. 2s +1
在题图7-3(a)中，曲线L c 1(ω) 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线L (ω) 为校正后系统的对数幅频渐近线，由题图7-3(a)可知，校正后系统的剪切频率仍为ωc 1=1rad s ，但是由于串入了一个超前装置，使得系统相频特性曲线发生变化，在剪切频率处的相位相对未校正前的相位有所增加，从而相位裕度增大，即
‘
4ωc 1'
γ=180-90-(arctan-arctan ωc 1' +arctan 0.2ωc 1' ) '2
6-ωc 1
ω
=85
' c 1=1
通过上述分析，可以看到，校正后系统的相位裕度由原来的51. 3增大到85，但是剪切频率没变。
L c 1(ω)
L 0(ω)
L (ω)
（3）给系统串联传递函数为G c (s ) =的滞后校正装置后，系统的传递函数为
100
s +1
G (s ) =G 0(s ) G c (s ) =
610s +1
⋅2
s (s +4s +6) 100s +1
在题图7-3(b)中，曲线L c 2(ω) 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线L (ω) 为校正后系统的对
数幅频渐近线，由题图7-3(b)可知，校正后系统的剪切频率为ωc 2=0. 1rad s 。由于串入了一个滞后装置，使得系统的相频特性有所下降，从而相位裕度减小，即
‘
4ωc 2' ' '
γ=180-90-(arctan-arctan10ω+arctan100ωc 2c 2) '2
6-ωc 2
ω
=46.83
c 2'
=0.1
通过上述分析，可以看到，校正后系统的相位裕度由原来的51. 3减小到46. 83。 （4）相位超前校正既能提高系统的响应速度，保证系统的其他特性不变。 相位滞后校正减小了稳态误差而又不影响稳定性和响应的快速性。
7-4如题图7-4所示，最小相位系统开环对数幅频渐近特性为L '(ω) ，串联校正装置对数幅频渐近特性为L c (ω) 。
（1）求未校正系统开环传递函数G 0(s ) 及串联校正装置G c (s ) ；
（2）在图中画出校正后系统的开环对数幅频渐近特性L (ω) ，并求校正后系统的相位裕度γ； （3）简要说明这种校正装置的特点。
L 0(ω)
L c 2(ω)
L (ω)
(rad s )
解：(1)求G 0(s ) 和G c (s )
①确定系统积分环节或微分环节的个数。因为对数幅频特性的低频段渐近线的斜率为
-20dec ，故有v =1。
②确定系统传递函数结构形式。在ω=10处，斜率变化-20dec ，对应惯性环节；在
ω=100处，斜率变化-20dec ，对应惯性环节，因此系统应具有下述传递函数：
G 0(s ) =
K
s (0. 1s +1）(0. 01s +1)
③由给定条件确定传递函数参数。由于低频渐近线通过点(10, 20) ，故
20lg
K
=20
ω=10
ω
解得K =100，于是，系统的传递函数为
G 0(s ) =
100
s (0. 1s +1）(0. 01s +1)
绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性线，如题图7-4(a)中曲线L 0(ω) 所示。 同样可求得串联校正装置的传递函数为
G c (s ) =
1+2.5s
1+50s
其对应的对数幅频渐近特性线，如题图7-4(a)中曲线L c (ω) 所示。 （2）校正后系统的开环传递函数为
G (s ) =
1001+2.5s
⋅
s (1+0.1s )(1+0.01s ) 1+50s
题图7-4(a)中曲线L (ω) 为对应的对数幅频渐近特性曲线（点划线）。
由题图7-4(a)中可测得校正后系统的剪切频率为ωc =5rad s ，从而求得校正后的相位裕度为
γ=180 -90 -(arctan0. 1ωc +arctan 0. 01ωc -arctan 2. 5ωc +arctan 50ωc ) ω=5=56. 01
c
（3）此为滞后校正，采用原系统L 0(ω) 的-20dec 做校正后系统的中频段，使相位裕度增加，动态性能之平稳性变好；截止频率降低，快速性变差；抗干扰性能增强。
L (ω)
L 0(ω)
L c (ω)
ω(rad s )
题图7-4(a) 校正前后系统的对数幅频渐近线(MATLAB)
7-5 单位负反馈系统开环传递函数为
G 0(s )=
500K
s s +5
采用超前校正，使校正后系统速度误差系数K v =100/s ，相位裕度γ≥45。 解：
（1）将系统的开环传递函数化为时间常数的标准式
G 0(s ) =
由题意，有
100K
s (0.2s +1)
K v =100K =100
取K =1，则待校正系统的开环传递函数为
G 0(s ) =
100
s (0.2s +1)
（2）绘制出待校正系统的对数幅频特性渐近曲线，如题图7-5(a)中曲线L 0(ω) 所示。由题图7-5(a)得待校正系统的剪切频率为ωc =22. 4rad s ，算出待校正系统的相位裕度为
'
γ' =180 -90 -arctan 0. 2ωc ' =12. 6
根据题目要求，有
ϕm =γ-γ' =45 -12. 6 +8 =40. 4
（3）假设超前校正装置的传递函数为
G c (s ) =K ' ⋅
11+αTs ⋅(α>1, K ' =α) α1+Ts
（a ）确定超前装置的参数α和T 。
由于 ϕm =arcsin 则 （b ）
α-1
=40. 4 α+1
α=4. 7
10lg α=10lg 4. 7=6. 7dB
"
在题图7-5(a)中曲线L 0(ω) 上-6. 7dB 处的ω取为新的剪切频率，即ωc 。由题图7-5(a)可求出
ωc " =ωm =32. 9rad s
根据T =
1
ωm ，可求得
T =0. 014
（c ）超前校正装置的传递函数为
G c (s ) =
1+4. 7⨯0. 014s 1+0. 066s
=
1+0. 0141+0. 014s
L c (ω)
ω(rad s )
L (ω)
L 0(ω)
题图7-5(a) 校正前后系统的对数幅频特性渐近线
（d ）校正后系统的传递函数为
G (s ) =
1001+0. 066s
⋅
s (0. 2s +1) 1+0. 014s
题图7-5(a)中L c (ω) 为校正环节的对数幅频特性渐近线，L (ω) 为校正后系统的的对数幅频特性渐近线。
（4）MATLAB 验证。待校正系统的开环伯德图如题图7-5（b ）所示，单位阶跃响应如题图7-5（d ）所示，系统稳定。测得
ωc ' =22. 1rad s ，γ' =12. 8 M p =70. 3%, t p =0. 14s , t s =25s (∆=2%)
校正后系统的开环伯德图如题图7-5（c ）所示，单位阶跃响应如题图7-5（e ）所示，系统稳定。测得 题图7-5(d) 待校正系统的时间响应 题图7-5(e) 校正后系统的时间响应
题图7-5(b) 待校正系统的伯德图
题图7-5(c) 校正后系统的伯德图
ωc " =32. 7rad s ，γ" =49. 2 ，M p =23%, t p =0. 086s , t s =0. 17s (∆=2%) 通过比较可知，校正后系统的超调量下降，稳定裕度提高，响应的快速性明显提高。系统的动态性能得到较好改善。
1-6 试说明如题图1-6(a)所示液面自动控制系统的工作原理。若将系统的结构改为如题图1-6(b)所示，将对系统工作有何影响？
(a) (b)
题图1-6 液面自动控制系统
答：（a ）图所示系统，当出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门开启，水流进水槽，浮子上升。
（b ）图所示系统，假设当前出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门会随着水的流出而逐渐关闭，直至水槽中的水全部流出。
2-7 用拉氏变换的方法解下列微分方程 （2）x ''+2x '+2x =0, x (0)=0, x '(0)=1
解：x " +2x ' +2x =0x (0)=0, x '(0)=1
s 2x (s ) -sx (0)-x '(0)+2sx (s ) -2x (0)+2x (s ) =0(s 2+2s +2) x (s ) =1x (s ) =
11
=
s 2+2s +2(s +1) 2+1
x (t ) =e -t sin t
3-1求题图3-1(a)、(b)所示系统的微分方程。
(b)
题图 3-1
（b ）解：(1) 输入f(t),输出y(t)
(2)引入中间变量x(t)为k 1, k 2连接点向右的位移，（y>x） (3)k 1x =k 2(y -x ) ①
f -k 2(y -x )=my " ②
(4)由①、②消去中间变量得：my " +
3-2 求题图3-2(a)、(b)、(c)所示三个机械系统的传递函数。图中，x 表示输入位移，y 表示输出位移。假设输出端的负载效应可以忽略。
（b ）解：（1）输入x r , 输出x c
（2）引入中间变量x 为k 1与c 之间连接点的位移 (x r >x >x c ) （3）k 1(x r -x ) =c (x -x c ) ① c (x -x c ) =k 2x c ② （4）消去中间变量x, 整理得：
'
'
'
'
k 1k 2
y =f
k 1+k 2
题图3-2
c (k 1+k 2) '
x c +k 2x c =cx r ' k 1
（5）两边拉氏变换：
c (k 1+k 2)
sX c (s ) +k 2X c (s ) =csX r (s ) k 1
（6）传递函数：G (s ) =
X c (s ) cs
=
c (k +k ) X r (s ) 12
s +k 2
k 1
3-3 证明题图3-3(a)和(b)所示系统是相似系统。
解：（a ）(1)输入u r ，输出u c
（2）系统的传递函数：G (s ) =u c (s ) =
u r (s )
(a)
R 2+R 1+
1C 2s
11+R 2+C 1s C 2s
=
（b ）（1）输入x r ，输出x c
(R 2C 2s +1)(R 1C 1s +1)
2
R 1R 2C 1C 2s +R 1C 1s +R 2C 2s +R 1C 2s +1
（2）引入中间变量x 为k 1与c 1之间连接点的位移 (x r >x c >x )
- c x ) ② （3）k 1x =c 1(x c -x ) ① c 1(x c -x ) =k 2(r x -c x ) +2c (r x
（4）两边拉氏变换：k 1x (s ) =c 1sx c (s ) -c 1sx (s ) ①
c 1sx c (s ) -c 1sx (s ) =k 2x r (s ) -k 2x c (s ) +c 2sx r (s ) -c 2sx c (s ) ②
（5）消去中间变量x (s ) 整理得：
' ' ' ' ' '
k 1c 1sx c (s )
+k 2x c (s ) +c 2sx c (s ) =k 2x r (s ) +c 2sx r (s )
k 1+c 1s
(1+
c 2s c s )(1+1) k 2k 1
（6）传递函数：G (s ) =
c 1c 2s 2c 2s c 1s c 1s
++++1k 1k 2k 2k 1k 2
（a ）和（b ）两系统具有相同的数学模型，故两系统为相似系统。
3-5 已知一系统由如下方程组组成，试绘制系统结构图并求闭环传递函数C(s)/R(s)。
-) X 1(s ) =G 1(s ) R (s
1
G [(s ) 7G -(s )
8
G ](s ) C (s )
([) X 1s (-) G 6s X () s () X 2(s ) =G 2s 3] (-) G 5s (C ) s ](G ) 3s () X 3(s ) =[X 2s
C (s ) =G 4(s ) X 3(s )
解：根据系统方程组可绘制系统结构图，如题图3-5所示。
题图3-5 系统结构图
由 X 2=G 2(X 1-G 6X )3
-G 3G 5 C 可得： X 3=G 2G 3X 1
1+G 2G 3G 6
X =3(
X -2
G )5C , G 3
代入X 1=G 1R -G 1(G 7-G 8)C 得 X 3=
G 2G 3⎡-⎣G 1R
G -(1G 7
-)G 8⎤⎦C
G C 3G 5
1+G 2G 3G 6
又因为 C =G 4X 3 故 C =
G 2G 3G 4⎡R ⎣G 1-
G (1
G -7
)G 8⎤⎦
C -
1+G 2G 3G 6
=
G C 3G 4G 5
即
C (s )R s G 1G 2G G 34
1+G 2G 3G 6+G G G +G G G G G -G 345123478
又解：（1）运用结构简化的办法，将X 3(s ) 的引出点后移，可得系统的前向通道传递函数为
G 3G 41+G 3G 4G 5G 1G 2G 3G 4
G =1
G 3G 4G 61+G 2G 3G 6+G 3G 4G 5
1+G 2
1+G 3G 4G 5G 4
G 2
则系统的闭环传递函数为
G 1G 2G G 34
G 1G 2G 3G 41+G 2G 3G 6+G G 3G 45 C (s ) = =
G 1G 2G G 1+G 2G 3G 6+G 3G 4G +G 1G 2G (G 7) G 8R (s ) 1+53G 4-34
(G 7-G 8)
1+G 2G 3G 6+G 3G 4G 5（2）运用信号流图的办法，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路
L 1=-G 2G 3G 6, L 2=-G 3G 4G 5, L 3=-G 1G 2G 3G 4(G 7-G 8)
∆=1-(L 1+L 2
+L 3) =1+G 2G 3G 6+G 3G 4G 5+G 1G 2G (-3G 4G 7) G
p 1=G 1G 2G 3G 4， ∆1=1
由梅逊公式可得系统的传递函数为
3-6 试简化题图3-6所示系统结构图，并求出相应的传递函数C (s ) /R (s ) 和C (s ) /N (s ) 。
C (s )R s p ∆=
i
i
∆
=
G 1G 2G G 34
1+G 2G 3G 6+G G G +G G G G G -G 34512347
8
题图3-6
解：当仅考虑R (s )作用时，经过反馈连接等效可得简化结构图（题图3-6(a)），则系统的传递函数为
题图3-6（a ）R (s ) 作用时的简化结构图
G 1G 21-G 2H 2G 1G 2C (s )
==
G G R (s ) 1+12
H 31-G 2H 2+G 1G 2H 3
1-G 2H 2
当仅考虑N (s ) 作用时，系统结构如题图3-6（b ）所示。系统经过比较点后移和 串、并联等效，可得简化结构图，如题图3-6（c ）所示。则系统传递函数为
(1-G 1H 1) G 2G 2-G 1G 2H 1C (s )
==
N (s ) 1-G 2(H 2-G 1H 3) 1-G 2H 2+G 1G 2H 3
N 题图3-6(b) N (s ) 作用时的系统结构图
N
题图3-6（c ）N (s ) 作用时的简化结构图
又解：可用信号流图方法对结果进行验证。 题图3-6系统的信号流图如题图3-6（d ）所示。
题图3-6（d ）系统信号流图
当仅考虑R (s ) 作用时，由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，无互不接触回路，即
L 1=G 2H 2, L 2=-G 1G 2H 3, ∆=1-(L 1+L 2)=1+G 1G 2H 3-G 2H 2
p 1=G 1G 2, ∆1=1
由梅逊公式可得系统的传递函数为
C (s )
=
R (s )
p ∆
i
i
∆
=
G 1G 2
1-G 2H 2+G 1G 2H 3
当仅考虑N (s ) 作用时，由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，无互不接 触回路，即
L 1=G 2H 2, L 2=-G 1G 2H 3, ∆=1-(L 1+L 2)=1+G 1G 2H 3-G 2H 2
p 1=G 2， ∆1=1 p 2=-G 1G 2H 1， ∆2=1
由梅逊公式可得系统的传递函数为
C (s )
=
N (s )
p ∆
i
i
∆
=
G 2-G 1G 2H 1
.
1-G 2H 2+G 1G 2H 3
3-7 已知某系统的传递函数方框如题图3-7所示，其中，R (s ) 为输入，C (s ) 为输出，N (s ) 为干扰，试求，G (s ) 为何值时，系统可以消除干扰的影响。
解：φCN (s )=
C N (s )N s =
k 4s -k 1k 2G (s )
s
k 3
k 1k 2k 3+s Ts +1若使C N (s ) =φCN (s ) N (s ) =0， 则k 4s -k 1k 2G (s ) =0，即G (s ) =
k 4s
k 1k 2
3-8 求题图3-8所示系统的传递函数C (s ) /R (s ) 。
解：G (s ) =
3-9 求题图3-9所示系统的传递函数C (s ) /R (s ) 。
题图3-8
G 1G 2G 3G 4
1-G 2G 3H 1+G 1G 2G 3H 2-G 1G 2G 3G 4H 3+G 3G 4H 4
解：G (S )=
题图3-9
G 1G 2G 3+G 4
1-G 1G 2G 3H 1H 2+G 1G 2G 3H 3+G 4H 3
3-10 求题图3-10所示系统的传递函数C (s ) R (s ) 。
题图3-10
解：G (s ) =
G 1G 2G 3G 4G 5+G 1G 2G 5
1+G 1G 2H 1-G 2G 3H 2+G 1G 2G 3G 4G 5+G 1G 2G 5
3-11 求题图3-11所示系统的传递函数C (s ) R (s )
R s
)
R (s )
(a)
-H 1 -H 2 -H 3
(b)
题图3-11
解：（b ）
t 1=G 1G 2G 3G 4G 5t 2=G 1G 5G 6
l 11=-G 2H 1l 12=-G 3H 2l 13=-G 4H 3
∑l
i
1i
=-G 2H 1-G 3H 2-G 4H 3
l 21=G 2G 3H 1H 2l 22=G 2G 4H 1H 3l 23=G 3G 4H 2H 3
∑l
j
2j
=G 2G 3H 1H 2+G 2G 4H 1H 3+G 3G 4H 2H 3
l 3=G 2G 3G 4H 1H 2H 3
∆=1-∑l 1i +∑l 2j -∑l 3k
i
j
k
∆1=1 ∆2=1
G 1G 2G 3G 4G 5+G 1G 5G 6(1+G 2H 1+G 3H 2+G 4H 3+G 2G 3H 1H 2+G 2G 4H 1H 3+G 3G 4H 2H 3+G 2G 3G 4H 1H 2H 3) G (s ) =
1+G 2H 1+G 3H 2+G 4H 3+G 2G 3H 1H 2+G 2G 4H 1H 3+G 3G 4H 2H 3+G 2G 3G 4H 1H 2H 3
4-4 如题图4-4所示的电网络，试求其单位阶跃响应、单位脉冲响应和单位斜坡响应，并画出相应的响应曲线。
解：如图RC 电网络的传递函数为：
G (s ) =
1
RCs +1
c (t
-t RC
T =RC （1）单位阶跃响应：
c (t ) =1-e
-
t T
=1-e
单位阶跃响应曲线如题图4-4(a)所示。
（2）单位脉冲响应：
t t
1-T 1-RC
c (t ) =e =e
T RC
题图4-4(a) 系统的单位阶跃响应曲线
单位脉冲响应曲线如题图4-4(b)所示。
（3）单位斜坡响应：
C (t ) =t -T (1-e 单位斜坡响应曲线如题图4-4(c)所示。 4-7 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
-t
T
c (t 题图4-4(b) 系统的单位脉冲阶跃响应曲线
题图4-4(c) 系统的单位斜坡阶跃响应曲线
) =t -RC (1-e
-
t RC
)
G (s ) =
1
s (s +1)
试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。 解：系统的闭环传递函数为
Φ(s ) =
因为 ωn =1 所以 ωn =1 又因为 2ξωn =1 所以 ξ=
0.5
2
1
2
s +s +1
π-cos -1ξ-1-1t r ====2.42(s )
ωd
t p =
π===3.63(s )
ωd
M p =e t s =
3
=e
=16.3 ∆=0.02
ξωn
=
3
=6(s ) 0.5
或者
t s =
4
ξωn
=
4
=8(s ) 0.5
∆=0.05
系统的单位阶跃响应曲线如题图 4-7所示。
4-10 题图4-10为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求：
（1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率ωn 。 （2）求该系统的M p ，t p 和t s 。
题图4-7 系统的单位阶跃响应曲线
题图4-10
解：（1）系统的闭环传递函数为Φ(s ) =由系统的闭环传递函数得
1
s 2+s +9
ωn 2=9⇒ωn =3
2ξωn =1⇒ξ=
12ωn
=
1
=0. 17 6
（2
）M p
=e =e =
58.8%
t p =
π===1.062(s ) ωd 4
∆=0.02时t s =
ξωn
3
=
4
ξωn
=
4
=7.84(s )
0.17⨯3
∆=0.05时t s =
ξωn
=
3
=5.88(s )
0.17⨯3
系统的单位阶跃响应曲线如题图4-10(a)所示。
4-12 要使题图4-12所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间t p 为2秒， 试确定K 和K f 的值。
解：系统的闭环传递函数为
题图4-12
Φ(s ) =
K
s 2+KK f s +K
因为M p 解得
=e =25%
ξ=0. 4
题图4-12(a) 系统的单位阶跃响应曲线
又因为t p =
=2
解得
ωn =1. 7 1
和二阶系统的标准式比较，有
K =ωn 2=1.712=2.92 KK f =2ξωn =2⨯0.4⨯1.71=1.368
K , =解得 K f =0. 47
2. 9
系统的单位阶跃响应曲线如题图4-12(a)所示。 4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
K
s (s +1)(s +2)
试确定系统稳定时开环放大系数（开环增益）K 值的范围。 解：根据系统的开环传递函数可得系统的特征方程为
D(s ) =s 3+3s 2+2s +K =0
列出劳斯表如下：
s 3 1 2 s 2 3 K
s 1
6-K
3
s 0 K
若系统稳定，则： （1）
6-K
>0,即K
（2）K>0;
所以系统稳定时K 值的范围为：0
G (s ) =
K
s (s +1)(s +5)
求斜坡函数输入时，系统的稳态误差e ss =0.01的K 值。
解：
G (s ) =
1
s (s +1)(s +1)
5
K
所以，开环增益为 K *=型次 ν=1 输入r (t ) =t
K 5
εss =e ss =
15==0.01 *K K
1
，试求输入R (s ) 和扰动N (s ) 作用下的 s
则 K =500
4-16 如题图4-16所示系统，已知R (s ) =N (s ) =稳态误差。
解：（1）只考虑R (s ) =
由题图4-16(a)可知，系统的开环传递函数为
题图4-16 (a) N (s ) =0时系统的结构图
题图4-16
1
作用于系统时，N (s ) =0，系统的结构图如题图4-16（a ）所示。 s
G (s ) =
4
4s +1
因为系统为0型系统，且R (s ) =所以，系统的稳态偏差为
1 s
11
==0.2 1+K 1+4
εss =
R
又因为 H (s ) =1 所以，有
e ss R =εss R =0.2
（2）只考虑N (s ) =
1
作用于系统时，R (s ) =0，以偏差E n (s ) =0为输出时系统的结s
构图如题图4-16（c ）所示。
由题图4-16(c)可知
E N (s ) =ΦNE (s ) N (s ) =-
所以 εss N =lim sE N (s ) =lim s ⋅
s →0
s →0
4s +111
⋅⋅ 4s +53s +1s
-(4s +1) 1
⋅=-0.2
(4s +5)(3s +1) s
又因为
H (s ) =1
所以，有
e ss N =εss N =-0.2
（3）当R (s ) =N (s ) =
1
同时作用于系统时 s
e ss =e ss R +e ss N =0.2-0.2=0
4-17 设单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
2
100
s (0.1s +1)
试求当输入信号r (t ) =2+4t +5t 时，系统的稳态误差。 解：(1) 系统的闭环传递函数为
Φ(s ) =
100
0.1s 2+s +100
该系统为二阶系统，且特征方程的各项系数都大于0，所以系统就稳定。 （2）系统在输入信号作用下的误差传递函数为
Φe (s ) =
1s (0. 1s +1)
=2
1+G (s ) 0. 1s +s +100
2
（3）输入信号r (t ) =2+4t +5t 的拉氏变换为R (s ) =（4）利用终值定理可求得系统的稳态误差为
e ss =lim sE (s ) =lim s Φe (s ) R (s ) =lim s
s →∞
s →∞
s →∞
2410+2+3 s s s
s (0. 1s +1) 2410
(+2+3) →∞ 2
0. 1s +s +100s s s
又解：由于Ⅰ型系统在阶跃输入信号作用下的稳态误差为0，在斜坡输入信号作用下的稳态误差为
v
，在加速度输入信号作用下的稳态误差为∞，该系统为Ⅰ型系统，所以其在给定K
输入信号作用下的稳态误差为∞。
6-2 已知系统的单位阶跃响应为c (t ) =1-1.8e -4t +0.8e -9t ，t ≥0；试求系统幅频特性和相频特性。
解：
c (t ) =1-1.8e -4t +0.8e -9t
11.80.8 C (s ) =-+
s s +4s +9
11.80.8-+
C (s ) 36 C (s ) =Φ(s ) R (s ) ⇒Φ(s ) ===
R (s ) (s +4)(s +
9) s
ωω
A (ω) ϕ(ω) =-arctg -arctg
496-6 画出下列各开环传递函数的奈奎斯特图，并判别系统是否稳定。 （1） G (s ) H (s ) =
100
(s +1)(0. 1s +1)
解：系统的频率特性为
100⎡(1-0.1ω2) -j 1.1ω⎤100⎣⎦ G (j ω) H (j ω) ==22
(j ω+1)(j 0.1ω+1) (1+ω)(1+0.01ω)
100(1-0. 1ω2) 110ω
= -j
(1+ω2)(1+0. 01ω2) (1+ω2)(1+0. 01ω2)
①当ω=0时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=100，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =0
②当ω→∞时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=0，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =-180
系统的奈奎斯特图在第Ⅲ和第Ⅳ象限间变化，且不包围点(-1，j0），MATLAB 验证如题图6-6(a)所示，该系统稳定。
200 s (s +1)(0. 1s +1)
（3） G (s ) H (s ) =
解：系统的频率特性为
2001. 1ω2+j (-0. 1ω3+ω) 200
G (j ω) H (j ω) ==
j ω(j ω+1)(j 0. 1ω+1) -ω2(1+ω2)(1+0. 01ω2) 200(0. 1ω2-1) 220
=-+j 2222
(1+ω)(1+0. 01ω) ω(1+ω)(1+0. 01ω)
[]
①当ω=0时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=220，I e [G (j ω) H (j ω) ]=-∞，ϕ(ω) =-90
②当ω→∞时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=0，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =-270
③与实轴的交点
令I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，解得 ωx =3. 16 则R e [G (j ωx ) H (j ωx ) ]=-18. 1
系统的奈奎斯特图在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化，且包围点(-1，j0）一圈，MATLAB 验证如题图6-6(c)所示，该系统不稳定。
（8）G (s
) H (s ) =
50(0. 6s +1)
s
2(4s +1)
解：系统的频率特性为
50(j 0. 6ω+1) 50(1+2. 4ω2-j 3. 4ω) 50(1+2. 4ω2) 170ω
G (j ω) H (j ω) ===-+j
-ω2(j 4ω+1) -ω2(1+16ω2) ω2(1+16ω2) ω2(1+16ω2)
①当ω=0时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=-∞，I e [G (j ω) H (j ω) ]=∞，ϕ(ω) =-90
②当ω→∞时，R e [G (j ω) H (j ω) ]=0，I e [G (j ω) H (j ω) ]=0，ϕ(ω) =-180
系统的奈奎斯特图在第Ⅱ象限间变化，顺时针包围点(-1，j0）半圈，MATLAB 验证如题图6-6(h)所示，该系统不稳定。
6-8 试绘制具有下列传递函数的系统的对数坐标图并判断系统的稳定性。 （2）G (s ) =
50 s (s +1)(s +2)
解：系统的频率特性为
G (j ω) =
则系统的对数幅频和相频特性为
50
j ω(j ω+1)(j ω+2)
L (ω) =20lg 50-20lg ω-20lg +ω2-20lg +4ω2
ϕ(ω) =-90 -arctan ω-arctan 2ω
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(b)所示。
在题图6-8(b)中，因为v =1，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作1⨯90的垂线。在L (ω) >0的频段内，其对数相频特性曲线穿越-180线一次，且为负穿越，则
N =N +-N -=-1
而P =0，于是闭环极点位于s 右半平面的个数为
Z =P -2N =2
（4）G (s ) =
2. 5(s +10)
2
s (0. 2s +1)
解：系统的频率特性为
G (j ω) =
则系统的对数幅频和相频特性为
2. 5(j ω+10)
2
-ω(j 0. 2ω+1)
L (ω) =20lg 2. 5+20lg +ω2-40lg ω-20lg +0. 04ω2
ϕ(ω) =arctan
ω
10
-180 -arctan 0. 2ω
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(d)所示。
在题图6-8(d)中，因为v =2，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作2⨯90的垂线。在L (ω) >0的频段内，其对数相频特性曲线穿越-180线一次，且为负穿越，则
N =N +-N -=1
而P =0，于是闭环极点位于s 右半平面的个数为
Z =P -2N =2
所以，系统闭环不稳定。
（5）G (s ) =
2. 5(s +10) s (s 2+4s +100)
解：系统的频率特性为
G (j ω) =
则系统的对数幅频和相频特性为
2. 5(j ω+10)
2
j ω(100-ω+j 4ω)
L
(ω) =20lg 2. 5+20lg +ω2-2lg ω-20lg (100-ω2) 2+16ω2
ϕ(ω) =arctan
ω
10
-90 -arctan
4ω
100-ω2
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(e)所示。
在题图6-8(e)中，因为v =1，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作1⨯90的垂线。在L (ω) >0的频段内，其对数相频特性曲线没有穿越-180线，则
N =N +-N -=0
而P =0，于是闭环极点位于s 右半平面的个数为
Z =P -2N =0
所以，系统闭环稳定。
6-12 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为
Ks 2
G (s ) H (s ) =
(0. 02s +1)(0. 2s +1)
试绘制系统的伯德图，并确定剪切频率ωc =5rad /s 时的K 值。 解：由系统的开环传递函数，可得
G (j ωc ) H (j ωc ) ) =
=5
c
=1
解得 K =0.0569
当剪切频率为ωc =5rad /s 时，系统的开环传递函数为
0.0569s G (s ) H (s ) =
(0.02s +1)(0.2s +1)
2
对应的伯德图如题图6-12(b)所示。
6-13 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
3500 s (s +10s +70)
2
试绘制系统的伯德图，并确定当相位裕度等于30 时系统的开环放大系数的应增大或减小多少？
解：系统的频率特性为
G (j ω) H (j ω) =
3500
2
j ω(j ω) +j 10ω+70
系统的对数幅频特性和相频特性分别为
L (ω) =20lg 3500-20lg ω-20lg (70-ω2) 2+100ω2
ϕ(ω) =-90 -arctan
10ω
70-ω2
绘出系统的伯德图如题图6-13(a)所示。
根据相位裕度的定义，当相位裕度等于30时，对应系统的相频特性为ϕ(ωc ) =-150，由题图6-13(a)可知，当ϕ(ω) =-150时对应的幅频特性L (ω) =18. 6dB >0，要使
L (ω) =0, 且ϕ(ω) =-150 ，应减小系统的开环放大系数K ，使原系统的幅频特性向下平
移18. 6dB , 即20lg K =-18. 6dB ，求得
'
K ' =0. 117
这相当于给系统串联了一个放大倍数为K =0. 117的放大环节。 增加放大环节后系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
411 s (s +10s +70)
2
'
MATLAB 验证结果如题图6-13(b)所示。
6-14 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
K
(s +
1)(7s +1)(3s +1)
求幅值裕度为20dB 时的K 值。 解：系统的频率特性为
G (j ω) H (j ω) =
K
(j ω+1)(j 7ω+1)(j 3ω+1)
系统的对数幅频特性和相频特性分别为
L (ω) =20lg K -20lg 2+1-20lg 49ω2+1-20lg 9ω2+1
ϕ(ω) =arctan ω-arctan 7ω-arctan 3ω
根据幅值裕度的定义，当ϕ(ωg ) =-180时，K g =
1
G (j ωg ) H (j ωg )
有 ϕ(ωg ) =arctan ωg -arctan 7ωg -arctan 3ωg 解得 ωg =0. 725rad s 。
将ωg =0. 725rad s 代入幅值裕度的计算式，有
20lg K g =-20lg G (j ωg ) H (j ωg )
=-=20dB
解得 K =1. 53
MATLAB 验证结果图如题图6-14所示。
7-3 某单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G 0(s ) =
6
2
s (s +4s +6)
（1）计算校正前系统的剪切频率和相位裕度。
（2）串联传递函数为G c (s ) =s +1的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相位裕度。
0. 2s +1
（3）串联传递函数为G c (s ) =10s +1的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相位裕度。
100s +1
（4）讨论串联超前、串联滞后校正的不同作用。
解：（1）绘出校正前系统的对数幅频渐近特性曲线，如题图7-3(a)中曲线L (ω) 所示。由图7-3(a)得出待校正系统的剪切频率为ωc 1=1rad s ，算出待校正系统的相位裕度为
'
γ=180 -90 -arctan
（2）给系统串联传递函数为G c (s ) =
4ωc 16-ωc 21
=51. 3
ωc 1=1
s +1
的超前校正装置后，系统的传递函数为
0. 2s +1
6s +1
G (s ) =G 0(s ) G c (s ) =⋅
s (s 2+4s +6) 0. 2s +1
在题图7-3(a)中，曲线L c 1(ω) 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线L (ω) 为校正后系统的对数幅频渐近线，由题图7-3(a)可知，校正后系统的剪切频率仍为ωc 1=1rad s ，但是由于串入了一个超前装置，使得系统相频特性曲线发生变化，在剪切频率处的相位相对未校正前的相位有所增加，从而相位裕度增大，即
‘
4ωc 1'
γ=180-90-(arctan-arctan ωc 1' +arctan 0.2ωc 1' ) '2
6-ωc 1
ω
=85
' c 1=1
通过上述分析，可以看到，校正后系统的相位裕度由原来的51. 3增大到85，但是剪切频率没变。
L c 1(ω)
L 0(ω)
L (ω)
（3）给系统串联传递函数为G c (s ) =的滞后校正装置后，系统的传递函数为
100
s +1
G (s ) =G 0(s ) G c (s ) =
610s +1
⋅2
s (s +4s +6) 100s +1
在题图7-3(b)中，曲线L c 2(ω) 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线L (ω) 为校正后系统的对
数幅频渐近线，由题图7-3(b)可知，校正后系统的剪切频率为ωc 2=0. 1rad s 。由于串入了一个滞后装置，使得系统的相频特性有所下降，从而相位裕度减小，即
‘
4ωc 2' ' '
γ=180-90-(arctan-arctan10ω+arctan100ωc 2c 2) '2
6-ωc 2
ω
=46.83
c 2'
=0.1
通过上述分析，可以看到，校正后系统的相位裕度由原来的51. 3减小到46. 83。 （4）相位超前校正既能提高系统的响应速度，保证系统的其他特性不变。 相位滞后校正减小了稳态误差而又不影响稳定性和响应的快速性。
7-4如题图7-4所示，最小相位系统开环对数幅频渐近特性为L '(ω) ，串联校正装置对数幅频渐近特性为L c (ω) 。
（1）求未校正系统开环传递函数G 0(s ) 及串联校正装置G c (s ) ；
（2）在图中画出校正后系统的开环对数幅频渐近特性L (ω) ，并求校正后系统的相位裕度γ； （3）简要说明这种校正装置的特点。
L 0(ω)
L c 2(ω)
L (ω)
(rad s )
解：(1)求G 0(s ) 和G c (s )
①确定系统积分环节或微分环节的个数。因为对数幅频特性的低频段渐近线的斜率为
-20dec ，故有v =1。
②确定系统传递函数结构形式。在ω=10处，斜率变化-20dec ，对应惯性环节；在
ω=100处，斜率变化-20dec ，对应惯性环节，因此系统应具有下述传递函数：
G 0(s ) =
K
s (0. 1s +1）(0. 01s +1)
③由给定条件确定传递函数参数。由于低频渐近线通过点(10, 20) ，故
20lg
K
=20
ω=10
ω
解得K =100，于是，系统的传递函数为
G 0(s ) =
100
s (0. 1s +1）(0. 01s +1)
绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性线，如题图7-4(a)中曲线L 0(ω) 所示。 同样可求得串联校正装置的传递函数为
G c (s ) =
1+2.5s
1+50s
其对应的对数幅频渐近特性线，如题图7-4(a)中曲线L c (ω) 所示。 （2）校正后系统的开环传递函数为
G (s ) =
1001+2.5s
⋅
s (1+0.1s )(1+0.01s ) 1+50s
题图7-4(a)中曲线L (ω) 为对应的对数幅频渐近特性曲线（点划线）。
由题图7-4(a)中可测得校正后系统的剪切频率为ωc =5rad s ，从而求得校正后的相位裕度为
γ=180 -90 -(arctan0. 1ωc +arctan 0. 01ωc -arctan 2. 5ωc +arctan 50ωc ) ω=5=56. 01
c
（3）此为滞后校正，采用原系统L 0(ω) 的-20dec 做校正后系统的中频段，使相位裕度增加，动态性能之平稳性变好；截止频率降低，快速性变差；抗干扰性能增强。
L (ω)
L 0(ω)
L c (ω)
ω(rad s )
题图7-4(a) 校正前后系统的对数幅频渐近线(MATLAB)
7-5 单位负反馈系统开环传递函数为
G 0(s )=
500K
s s +5
采用超前校正，使校正后系统速度误差系数K v =100/s ，相位裕度γ≥45。 解：
（1）将系统的开环传递函数化为时间常数的标准式
G 0(s ) =
由题意，有
100K
s (0.2s +1)
K v =100K =100
取K =1，则待校正系统的开环传递函数为
G 0(s ) =
100
s (0.2s +1)
（2）绘制出待校正系统的对数幅频特性渐近曲线，如题图7-5(a)中曲线L 0(ω) 所示。由题图7-5(a)得待校正系统的剪切频率为ωc =22. 4rad s ，算出待校正系统的相位裕度为
'
γ' =180 -90 -arctan 0. 2ωc ' =12. 6
根据题目要求，有
ϕm =γ-γ' =45 -12. 6 +8 =40. 4
（3）假设超前校正装置的传递函数为
G c (s ) =K ' ⋅
11+αTs ⋅(α>1, K ' =α) α1+Ts
（a ）确定超前装置的参数α和T 。
由于 ϕm =arcsin 则 （b ）
α-1
=40. 4 α+1
α=4. 7
10lg α=10lg 4. 7=6. 7dB
"
在题图7-5(a)中曲线L 0(ω) 上-6. 7dB 处的ω取为新的剪切频率，即ωc 。由题图7-5(a)可求出
ωc " =ωm =32. 9rad s
根据T =
1
ωm ，可求得
T =0. 014
（c ）超前校正装置的传递函数为
G c (s ) =
1+4. 7⨯0. 014s 1+0. 066s
=
1+0. 0141+0. 014s
L c (ω)
ω(rad s )
L (ω)
L 0(ω)
题图7-5(a) 校正前后系统的对数幅频特性渐近线
（d ）校正后系统的传递函数为
G (s ) =
1001+0. 066s
⋅
s (0. 2s +1) 1+0. 014s
题图7-5(a)中L c (ω) 为校正环节的对数幅频特性渐近线，L (ω) 为校正后系统的的对数幅频特性渐近线。
（4）MATLAB 验证。待校正系统的开环伯德图如题图7-5（b ）所示，单位阶跃响应如题图7-5（d ）所示，系统稳定。测得
ωc ' =22. 1rad s ，γ' =12. 8 M p =70. 3%, t p =0. 14s , t s =25s (∆=2%)
校正后系统的开环伯德图如题图7-5（c ）所示，单位阶跃响应如题图7-5（e ）所示，系统稳定。测得 题图7-5(d) 待校正系统的时间响应 题图7-5(e) 校正后系统的时间响应
题图7-5(b) 待校正系统的伯德图
题图7-5(c) 校正后系统的伯德图
ωc " =32. 7rad s ，γ" =49. 2 ，M p =23%, t p =0. 086s , t s =0. 17s (∆=2%) 通过比较可知，校正后系统的超调量下降，稳定裕度提高，响应的快速性明显提高。系统的动态性能得到较好改善。