教学过程
一、复习
1． 直线的极坐标方程：
若直线过点M (ρ0，θ0) ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α) ．
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M (a, 0) 且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； π
b ，且平行于极轴：ρsin θ＝b . (3)直线过M ⎛⎝22． 圆的极坐标方程：
若圆心为M (ρ0，θ0) ，半径为r 的圆方程为：
2
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0) ＋ρ20－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r, 0) ，半径为r ：ρ＝2r cos θ；
r ，半径为r ：ρ＝2r sin θ. (3)圆心位于M ⎛⎝23． 常见曲线的参数方程：
⎧⎪x ＝r cos θ，
(1)圆x ＋y ＝r 的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪y ＝r sin θ⎩
2
2
2
⎧⎪x ＝x 0＋r cos θ，
(2)圆(x －x 0) ＋(y －y 0) ＝r 的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪y ＝y 0＋r sin θ⎩
2
2
2
⎧⎪x ＝a cos θ，x 2y 2
(3)椭圆1的参数方程为⎨(θ为参数) ．
a b ⎪y ＝b sin θ⎩
2
⎧x ＝2pt ，⎪2
⎨(4)抛物线y ＝2px 的参数方程为(t 为参数) ． ⎪⎩y ＝2pt
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，
(5)过定点P (x 0，y 0) 的倾斜角为α的直线的参数方程为⎨(t 为参数) ．
⎪y ＝y 0＋t sin α⎩
4． 直角坐标与极坐标的互化：
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y ) 和(ρ，θ) ，则 ρ＝x ＋y ⎧⎧⎪⎪x ＝ρcos θ
⎨，⎨ y
⎪y ＝ρsin θtan θx ≠0)⎩⎪x ⎩
222
二、知识讲解
考点/易错点1 极坐标与直角坐标的互化
ρ＝x ＋y ⎧⎧⎪⎪x ＝ρcos θ
极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎨，⎨. y
⎪tan θ＝ (x ≠0)⎩y ＝ρsin θ⎪x ⎩
222
考点/易错点2 参数方程与普通方程的互化
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．
考点/易错点3 极坐标与参数方程的综合应用
解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．
三、例题精析
【例题1】在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是
π
ρcos(θ＋) ＝2和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．
4πππ【解析】∵ρcos(θ＋) ＝ρcos θcos ρsin θsin cos θ－ρsin θ＝32，
44422
∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ. ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .
⎧⎧⎧⎪x －y ＝6⎪x ＝2⎪x ＝18⎨⎨解方程组2，得或⎨， ⎪y ＝8x ⎪⎪⎩⎩y ＝－4⎩y ＝12
所以A (2，－4) ，B (18,12)，
所以AB (18－2)＋[12－(－4)]＝162. 即线段AB 的长为2.
【点评】 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围， 否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
【例题
⎧⎪x ＝4－2t ，x 22
2】已知直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，P 是椭圆＋y ＝1上的任意
4⎪y ＝t －2⎩
一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
⎧⎪x ＝4－2t ，
【解析】 由于直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，
⎪y ＝t －2⎩
故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0.
x 22
因为P 为椭圆＋y ＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ) ，
4
⎪sin ⎛θ＋π⎪22⎪⎝4⎪|2cos θ＋2sin θ|
其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离是d ＝＝.
1＋2π210
所以当θ＝k πk ∈Z 时，d 45
【点评】 (1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．
【例题
⎧⎪x ＝2cos α，
3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨(α为参数) ．
⎪y ＝2＋2sin α⎩
→→
M 是C 1上的动点，P 点满足\s\up6(→(→) OP ＝2\s\up6(→(→) OM ，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；
π
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C 1的异于极点的交点为
3A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
x y 【解析】(1)设P (x ，y ) ，则由条件知M ⎛⎝22. 由于M 点在C 1上，所以⎨y
⎧
x
＝2cos α，2
⎩2＝2＋2sin α，
⎧⎧⎪x ＝4cos α，⎪x ＝4cos α，⎨ 即从而C 2的参数方程为⎨(α为参数) ⎪y ＝4＋4sin α. ⎪y ＝4＋4sin α. ⎩⎩
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
πππ
射线θC 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C 2的交点B 的极径为ρ2＝
333π
8sin .
3
所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝3.
【点评】(1)曲线参数方程有很多优点：
①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．
②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α
直线参数方程⎨(α为倾斜角，t 为参数) ，其中|t |＝PM ，P (x ，y ) 为动点，M (x 0，
⎪y ＝y ＋t sin α⎩0
y 0) 为定点．
(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．
四、课堂运用
【基础】
1. 求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长．
1
【解析】直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝
2
圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .
13将x ＝x 2＋y 2＝2x 得y 2＝∴y ＝242故弦长为23
3. 2
2. 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ) ＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值． 2
2
【解析】 ρ(θ＋sin θ) ＝1，
即ρcos θ＋ρsin θ＝1x ＋y －1＝0，
ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x 将⎛
⎧⎪x ＝t ＋1，
3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，曲线C 的参数方
⎪y ＝2t ⎩
2
⎧⎪x ＝2tan θ，
程为⎨(θ为参数) ．求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
⎪y ＝2tan θ⎩
2
. 2
22⎫222
，0代入x ＋y ＝a 得a 2. ⎝2⎭
1
1⎫. 【答案】(2,2)，⎛⎝2⎭
⎧x ＝t ＋1，⎪
【解析】 因为直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，
⎪y ＝2t ⎩
由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .
⎧⎪y ＝2(x －1)，1
1⎫. 联立方程组⎨2解得公共点的坐标为(2,2)，⎛⎝2⎭⎪y ＝2x ，⎩
.
【巩固】
⎧x ＝2cos t
1. 已知曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数) ，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点
⎩y ＝2sin t
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程． 【答案】ρcos θ＋ρsin θ－2＝0
⎧x 2cos t
【解析】 由⎨(t 为参数) ，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.
⎩y t
则在点(1,1)处的切线l 的方程为y －1＝－(x －1) ， 即x ＋y －2＝0. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
⎧⎪x ＝2cos t ，
2. 已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎨(t 为参数) 上，对应参数分别为t ＝α
⎪y ＝2sin t ⎩
与t ＝2α(0
①求M 的轨迹的参数方程；
②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，
【答案】①⎨②M 的轨迹过坐标原点．
⎪y ＝sin α＋sin 2α⎩
【解析】①依题意有P (2cos α，2sin α) ，Q (2cos 2α，2sin 2α) ，
因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α) ． M 的轨迹的参数方程为
⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，⎨(α为参数，0
②M 点到坐标原点的距离
d x ＋y ＝2＋2cos α(0
【拔高】
⎧⎪x ＝a cos φ
1. 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎨(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与
⎪y ＝b sin φ⎩
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，直线l π2
与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＝m (m 为非零常数) 与ρ＝b . 若直线l 经过椭圆C 的
42焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率． 6
3
x 2y 2
【解析】椭圆C 的标准方程为1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，
a b 圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，
|m |⎧⎪2b
由题意知⎨，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，
⎪⎩a －b ＝|m |∴e c a 3b －b 3b 2633.
2. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数
⎧
方程为⎨1
y ＝⎩tan φ
1x ＝，tan φ
(φ为参数) ，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ) ＝1，
若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．
①求线段AB 的长；
②求点M (－1,2) 到A 、B 两点的距离之积． 【答案】 ②|t 1t 2|＝2.
【解析】 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0) ，
由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，
⎧x ＝－1－22，
则曲线C 的参数方程为⎨
y ＝2＋⎩2
2
(t 为参数) ，
将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0， 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2， 所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)－4t 1t 2＝10. ②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.
课程小结
1． 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化
为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2． 极坐标方程与普通方程互化核心公式：
ρ＝x ＋y ⎧⎧⎪⎪x ＝ρcos θ
⎨，⎨. y ⎪y ＝ρsin θtan θ＝ (x ≠0)⎩⎪x ⎩
222
3． 过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α) ．特别地，①过点
πA (a, 0) ，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a . ②平行于极轴且过点A (b ，) 的
2直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .
2
4． 圆心在点A (ρ0，θ0) ，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0) ．
⎧⎪x ＝x 0＋t cos θ5． 重点掌握直线的参数方程⎨(t 为参数) ，理解参数t 的几何意义.
⎪y ＝y 0＋t sin θ⎩
课后作业
【基础】
1. 在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．
【答案】ρcos θ＝3.
【解析】把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ，
所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3) 2＋y 2＝9，圆心为(3,0)， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.
⎧⎧⎪x ＝2s ＋1，⎪x ＝at ，⎨2. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：(s 为参数) 和直线l 2：⎨ ⎪y ＝s ⎪y ＝2t －1⎩⎩
(t 为参数) 平行，求常数a 的值．
【答案】a ＝4
⎧⎪x ＝2s ＋1，
【解析】由⎨消去参数s ，得x ＝2y ＋1.
⎪y ＝s ⎩
⎧⎪x ＝at ，由⎨消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ⎪y ＝2t －1⎩
211 ∵l 1∥l 2，∴，∴a ＝4.
a 2a
ππ3，，圆心为直线ρsin ⎛θ－⎫＝－与 3. 如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎛4⎝⎝3⎭2 极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案】ρ＝2cos θ.
π3
θ－⎫＝－θ＝0，得ρ＝1， 【解析】在ρsin ⎛⎝3⎭2
π
2，， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎛4⎝所以圆C 的半径PC (2)2＋12－2×12cos ＝1，
4
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
⎧x ＝5cos φ，⎪
4. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎨(φ为参数) 的右焦点，且与直线
⎪y ＝3sin φ⎩
⎧⎪x ＝4－2t ，
⎨(t 为参数) 平行的直线的普通方程． ⎪y ＝3－t ⎩
【答案】x －2y －4＝0.
【解析】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，
将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
11
故所求直线的斜率为y ＝(x －4) ，即x －2y －4＝0.
22
【巩固】
1. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标
2
⎧⎪x ＝t ，
方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎨(t 为参数) 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 3
⎪y ＝t ⎩
【答案】16
⎧x ＝t 2，⎪
【解析】将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎨ 3
⎪y ＝t ⎩
得t ＝±2，从而y ＝±8. 所以A (4,8)，B (4，－8) ．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.
π
θ－上的动点， 2.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎛⎝6 试求PQ 的最大值．
【答案】18
【解析】 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6) 2＝36.
圆心坐标为(0,6)，半径为6. π
θ－， 又∵ρ＝12cos ⎛⎝6ππ
∴ρ2＝12ρ(cos θcos sin θsin ) ，
66 ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －32＋(y －3) 2＝36， 圆心坐标为(33，3) ，半径为6.
∴(PQ ) max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.
π
3. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝ρ∈R ) ，
6 曲线C 1，C 2相交于点M ，N .
(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求线段MN 的长．
【答案】(1)y 3x (2)MN=2 3
【解析】 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，
即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，
π3由θ＝ρ∈R ) 得，曲线C 2的直角坐标方程为y x . 63
(2)把y ＝3代入x 2＋y 2－4y ＝0， 3
13443得x 2＋x 2x ＝0，即x 2－x ＝0， 3333
解得x 1＝0，x 2＝3，
∴y 1＝0，y 2＝1.
∴MN ＝(3)2＋1＝2.
即线段MN 的长为2.
【拔高】
1.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，
πθ－⎫＝22. 直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎛⎝4⎭
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．
x ＝t ＋a ，⎧⎪ 已知直线PQ 的参数方程为 ⎨b 3(t ∈R 为参数) ，求a ，b 的值． y ＋1⎪⎩2
ππ4，，⎛22，⎫ (2)a ＝－1，b ＝2. 【答案】(1)⎛4⎭⎝2⎝
【解析】(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2) 2＝4，
直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
22⎧⎧⎪x ＋(y －2)＝4，⎪x 1＝0，解⎨得⎨⎪x ＋y －4＝0，⎪⎩⎩y 1＝4，3 ⎧⎪x 2＝2，⎨ ⎪y 2＝2. ⎩
ππ4，⎫，⎛22，， 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎛4⎝2⎭⎝
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，
b ab 由参数方程可得y ＝－1， 22
⎧ 所以⎨ab －⎩21＝2，b ＝1，2 解得a ＝－1，b ＝2.
2．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2) 2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示) ；
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
ππ2，⎛2，－. (2) 【答案】(1) ⎛3⎝3⎝
【解析】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
⎧⎪ρ＝2，π解⎨得ρ＝2，θ＝， 3⎪ρ＝4cos θ⎩
ππ2，⎫，⎛2，－⎫. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎛3⎭⎝3⎭⎝
注：极坐标系下点的表示不唯一．
⎧⎪x ＝ρcos θ，(2)方法一 由⎨ ⎪y ＝ρsin θ⎩
得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(13) ，(1，－3) ．
故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
⎧⎧x ＝1，⎛⎫⎪x ＝1，⎪⎨－3≤y 3⎪ －3≤t 3. 或参数方程写成⎨⎪⎪⎩y ＝y ⎩y ＝t ⎝⎭
⎧⎪x ＝ρcos θ，1方法二 将x ＝1代入⎨得ρcos θ＝1，从而ρcos θ⎪y ＝ρsin θ⎩
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
⎧⎪x ＝1，⎨⎪⎩y ＝tan θ ⎛－π ≤θ≤π⎫. 3⎭⎝3
课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）
教学过程
一、复习
1． 直线的极坐标方程：
若直线过点M (ρ0，θ0) ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α) ．
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M (a, 0) 且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； π
b ，且平行于极轴：ρsin θ＝b . (3)直线过M ⎛⎝22． 圆的极坐标方程：
若圆心为M (ρ0，θ0) ，半径为r 的圆方程为：
2
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0) ＋ρ20－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r, 0) ，半径为r ：ρ＝2r cos θ；
r ，半径为r ：ρ＝2r sin θ. (3)圆心位于M ⎛⎝23． 常见曲线的参数方程：
⎧⎪x ＝r cos θ，
(1)圆x ＋y ＝r 的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪y ＝r sin θ⎩
2
2
2
⎧⎪x ＝x 0＋r cos θ，
(2)圆(x －x 0) ＋(y －y 0) ＝r 的参数方程为⎨(θ为参数) ．
⎪y ＝y 0＋r sin θ⎩
2
2
2
⎧⎪x ＝a cos θ，x 2y 2
(3)椭圆1的参数方程为⎨(θ为参数) ．
a b ⎪y ＝b sin θ⎩
2
⎧x ＝2pt ，⎪2
⎨(4)抛物线y ＝2px 的参数方程为(t 为参数) ． ⎪⎩y ＝2pt
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，
(5)过定点P (x 0，y 0) 的倾斜角为α的直线的参数方程为⎨(t 为参数) ．
⎪y ＝y 0＋t sin α⎩
4． 直角坐标与极坐标的互化：
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y ) 和(ρ，θ) ，则 ρ＝x ＋y ⎧⎧⎪⎪x ＝ρcos θ
⎨，⎨ y
⎪y ＝ρsin θtan θx ≠0)⎩⎪x ⎩
222
二、知识讲解
考点/易错点1 极坐标与直角坐标的互化
ρ＝x ＋y ⎧⎧⎪⎪x ＝ρcos θ
极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎨，⎨. y
⎪tan θ＝ (x ≠0)⎩y ＝ρsin θ⎪x ⎩
222
考点/易错点2 参数方程与普通方程的互化
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．
考点/易错点3 极坐标与参数方程的综合应用
解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．
三、例题精析
【例题1】在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是
π
ρcos(θ＋) ＝2和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．
4πππ【解析】∵ρcos(θ＋) ＝ρcos θcos ρsin θsin cos θ－ρsin θ＝32，
44422
∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ. ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .
⎧⎧⎧⎪x －y ＝6⎪x ＝2⎪x ＝18⎨⎨解方程组2，得或⎨， ⎪y ＝8x ⎪⎪⎩⎩y ＝－4⎩y ＝12
所以A (2，－4) ，B (18,12)，
所以AB (18－2)＋[12－(－4)]＝162. 即线段AB 的长为2.
【点评】 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围， 否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
【例题
⎧⎪x ＝4－2t ，x 22
2】已知直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，P 是椭圆＋y ＝1上的任意
4⎪y ＝t －2⎩
一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
⎧⎪x ＝4－2t ，
【解析】 由于直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，
⎪y ＝t －2⎩
故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0.
x 22
因为P 为椭圆＋y ＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ) ，
4
⎪sin ⎛θ＋π⎪22⎪⎝4⎪|2cos θ＋2sin θ|
其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离是d ＝＝.
1＋2π210
所以当θ＝k πk ∈Z 时，d 45
【点评】 (1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．
【例题
⎧⎪x ＝2cos α，
3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨(α为参数) ．
⎪y ＝2＋2sin α⎩
→→
M 是C 1上的动点，P 点满足\s\up6(→(→) OP ＝2\s\up6(→(→) OM ，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；
π
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C 1的异于极点的交点为
3A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
x y 【解析】(1)设P (x ，y ) ，则由条件知M ⎛⎝22. 由于M 点在C 1上，所以⎨y
⎧
x
＝2cos α，2
⎩2＝2＋2sin α，
⎧⎧⎪x ＝4cos α，⎪x ＝4cos α，⎨ 即从而C 2的参数方程为⎨(α为参数) ⎪y ＝4＋4sin α. ⎪y ＝4＋4sin α. ⎩⎩
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
πππ
射线θC 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C 2的交点B 的极径为ρ2＝
333π
8sin .
3
所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝3.
【点评】(1)曲线参数方程有很多优点：
①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．
②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：
⎧⎪x ＝x 0＋t cos α
直线参数方程⎨(α为倾斜角，t 为参数) ，其中|t |＝PM ，P (x ，y ) 为动点，M (x 0，
⎪y ＝y ＋t sin α⎩0
y 0) 为定点．
(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．
四、课堂运用
【基础】
1. 求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长．
1
【解析】直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝
2
圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .
13将x ＝x 2＋y 2＝2x 得y 2＝∴y ＝242故弦长为23
3. 2
2. 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ) ＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值． 2
2
【解析】 ρ(θ＋sin θ) ＝1，
即ρcos θ＋ρsin θ＝1x ＋y －1＝0，
ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x 将⎛
⎧⎪x ＝t ＋1，
3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，曲线C 的参数方
⎪y ＝2t ⎩
2
⎧⎪x ＝2tan θ，
程为⎨(θ为参数) ．求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
⎪y ＝2tan θ⎩
2
. 2
22⎫222
，0代入x ＋y ＝a 得a 2. ⎝2⎭
1
1⎫. 【答案】(2,2)，⎛⎝2⎭
⎧x ＝t ＋1，⎪
【解析】 因为直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ，
⎪y ＝2t ⎩
由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .
⎧⎪y ＝2(x －1)，1
1⎫. 联立方程组⎨2解得公共点的坐标为(2,2)，⎛⎝2⎭⎪y ＝2x ，⎩
.
【巩固】
⎧x ＝2cos t
1. 已知曲线C 的参数方程为⎨(t 为参数) ，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点
⎩y ＝2sin t
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程． 【答案】ρcos θ＋ρsin θ－2＝0
⎧x 2cos t
【解析】 由⎨(t 为参数) ，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.
⎩y t
则在点(1,1)处的切线l 的方程为y －1＝－(x －1) ， 即x ＋y －2＝0. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
⎧⎪x ＝2cos t ，
2. 已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎨(t 为参数) 上，对应参数分别为t ＝α
⎪y ＝2sin t ⎩
与t ＝2α(0
①求M 的轨迹的参数方程；
②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，
【答案】①⎨②M 的轨迹过坐标原点．
⎪y ＝sin α＋sin 2α⎩
【解析】①依题意有P (2cos α，2sin α) ，Q (2cos 2α，2sin 2α) ，
因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α) ． M 的轨迹的参数方程为
⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，⎨(α为参数，0
②M 点到坐标原点的距离
d x ＋y ＝2＋2cos α(0
【拔高】
⎧⎪x ＝a cos φ
1. 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎨(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与
⎪y ＝b sin φ⎩
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，直线l π2
与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＝m (m 为非零常数) 与ρ＝b . 若直线l 经过椭圆C 的
42焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率． 6
3
x 2y 2
【解析】椭圆C 的标准方程为1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，
a b 圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，
|m |⎧⎪2b
由题意知⎨，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，
⎪⎩a －b ＝|m |∴e c a 3b －b 3b 2633.
2. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数
⎧
方程为⎨1
y ＝⎩tan φ
1x ＝，tan φ
(φ为参数) ，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ) ＝1，
若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．
①求线段AB 的长；
②求点M (－1,2) 到A 、B 两点的距离之积． 【答案】 ②|t 1t 2|＝2.
【解析】 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0) ，
由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，
⎧x ＝－1－22，
则曲线C 的参数方程为⎨
y ＝2＋⎩2
2
(t 为参数) ，
将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0， 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2， 所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)－4t 1t 2＝10. ②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.
课程小结
1． 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化
为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2． 极坐标方程与普通方程互化核心公式：
ρ＝x ＋y ⎧⎧⎪⎪x ＝ρcos θ
⎨，⎨. y ⎪y ＝ρsin θtan θ＝ (x ≠0)⎩⎪x ⎩
222
3． 过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α) ．特别地，①过点
πA (a, 0) ，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a . ②平行于极轴且过点A (b ，) 的
2直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .
2
4． 圆心在点A (ρ0，θ0) ，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0) ．
⎧⎪x ＝x 0＋t cos θ5． 重点掌握直线的参数方程⎨(t 为参数) ，理解参数t 的几何意义.
⎪y ＝y 0＋t sin θ⎩
课后作业
【基础】
1. 在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．
【答案】ρcos θ＝3.
【解析】把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ，
所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3) 2＋y 2＝9，圆心为(3,0)， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.
⎧⎧⎪x ＝2s ＋1，⎪x ＝at ，⎨2. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：(s 为参数) 和直线l 2：⎨ ⎪y ＝s ⎪y ＝2t －1⎩⎩
(t 为参数) 平行，求常数a 的值．
【答案】a ＝4
⎧⎪x ＝2s ＋1，
【解析】由⎨消去参数s ，得x ＝2y ＋1.
⎪y ＝s ⎩
⎧⎪x ＝at ，由⎨消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ⎪y ＝2t －1⎩
211 ∵l 1∥l 2，∴，∴a ＝4.
a 2a
ππ3，，圆心为直线ρsin ⎛θ－⎫＝－与 3. 如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎛4⎝⎝3⎭2 极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【答案】ρ＝2cos θ.
π3
θ－⎫＝－θ＝0，得ρ＝1， 【解析】在ρsin ⎛⎝3⎭2
π
2，， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎛4⎝所以圆C 的半径PC (2)2＋12－2×12cos ＝1，
4
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
⎧x ＝5cos φ，⎪
4. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎨(φ为参数) 的右焦点，且与直线
⎪y ＝3sin φ⎩
⎧⎪x ＝4－2t ，
⎨(t 为参数) 平行的直线的普通方程． ⎪y ＝3－t ⎩
【答案】x －2y －4＝0.
【解析】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，
将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
11
故所求直线的斜率为y ＝(x －4) ，即x －2y －4＝0.
22
【巩固】
1. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标
2
⎧⎪x ＝t ，
方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎨(t 为参数) 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 3
⎪y ＝t ⎩
【答案】16
⎧x ＝t 2，⎪
【解析】将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎨ 3
⎪y ＝t ⎩
得t ＝±2，从而y ＝±8. 所以A (4,8)，B (4，－8) ．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.
π
θ－上的动点， 2.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎛⎝6 试求PQ 的最大值．
【答案】18
【解析】 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6) 2＝36.
圆心坐标为(0,6)，半径为6. π
θ－， 又∵ρ＝12cos ⎛⎝6ππ
∴ρ2＝12ρ(cos θcos sin θsin ) ，
66 ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －32＋(y －3) 2＝36， 圆心坐标为(33，3) ，半径为6.
∴(PQ ) max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.
π
3. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝ρ∈R ) ，
6 曲线C 1，C 2相交于点M ，N .
(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求线段MN 的长．
【答案】(1)y 3x (2)MN=2 3
【解析】 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，
即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，
π3由θ＝ρ∈R ) 得，曲线C 2的直角坐标方程为y x . 63
(2)把y ＝3代入x 2＋y 2－4y ＝0， 3
13443得x 2＋x 2x ＝0，即x 2－x ＝0， 3333
解得x 1＝0，x 2＝3，
∴y 1＝0，y 2＝1.
∴MN ＝(3)2＋1＝2.
即线段MN 的长为2.
【拔高】
1.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，
πθ－⎫＝22. 直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎛⎝4⎭
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．
x ＝t ＋a ，⎧⎪ 已知直线PQ 的参数方程为 ⎨b 3(t ∈R 为参数) ，求a ，b 的值． y ＋1⎪⎩2
ππ4，，⎛22，⎫ (2)a ＝－1，b ＝2. 【答案】(1)⎛4⎭⎝2⎝
【解析】(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2) 2＝4，
直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
22⎧⎧⎪x ＋(y －2)＝4，⎪x 1＝0，解⎨得⎨⎪x ＋y －4＝0，⎪⎩⎩y 1＝4，3 ⎧⎪x 2＝2，⎨ ⎪y 2＝2. ⎩
ππ4，⎫，⎛22，， 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎛4⎝2⎭⎝
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，
b ab 由参数方程可得y ＝－1， 22
⎧ 所以⎨ab －⎩21＝2，b ＝1，2 解得a ＝－1，b ＝2.
2．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2) 2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示) ；
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
ππ2，⎛2，－. (2) 【答案】(1) ⎛3⎝3⎝
【解析】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
⎧⎪ρ＝2，π解⎨得ρ＝2，θ＝， 3⎪ρ＝4cos θ⎩
ππ2，⎫，⎛2，－⎫. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎛3⎭⎝3⎭⎝
注：极坐标系下点的表示不唯一．
⎧⎪x ＝ρcos θ，(2)方法一 由⎨ ⎪y ＝ρsin θ⎩
得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(13) ，(1，－3) ．
故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
⎧⎧x ＝1，⎛⎫⎪x ＝1，⎪⎨－3≤y 3⎪ －3≤t 3. 或参数方程写成⎨⎪⎪⎩y ＝y ⎩y ＝t ⎝⎭
⎧⎪x ＝ρcos θ，1方法二 将x ＝1代入⎨得ρcos θ＝1，从而ρcos θ⎪y ＝ρsin θ⎩
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为
⎧⎪x ＝1，⎨⎪⎩y ＝tan θ ⎛－π ≤θ≤π⎫. 3⎭⎝3
课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）