二面角求法
正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、 平面角定义法
此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，
如图二面角α-l-β中，在棱l 上取一点O ，
分别在α、β两个平面内作AO ⊥l ，BO ⊥l ，
∠AOB 即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1
面角O 1-BC-O 的大小。 解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，
易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三角形。
∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，
∴∠OEO 1是二面角O 1-BC-O 的平面角， 连OO 1，OO 1⊥平面ABCD ，
∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=
21
∴tan ∠OEO 1=
OO 1OE
=
112
=2
∴所求二面角θ=arctan2。
例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、
C 1D 1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。
解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂足，连GO ，易证GO ⊥AC ，又BD ⊥AC
∴∠GOH 是所求二面角的平面角，
GH=1，OH=
24
OH
=
124
=22
∴tan ∠GOH=GH
∴所求二面角θ=arctan2
2
。
利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。
二、 利用三垂线定理法
此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，
过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足，
由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，
连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线，
BO 是AO 在平面β中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1，
∵BB 1⊥平面ABCD ，BO ⊥AC
∴B 1O ⊥AC ，
∠BOB 1是二面角B-AC-B 1的平面角，
tan ∠BOB 1=
BB 1BO
=
122
=
2
2
∴所求二面角θ=arctan.
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。 解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点
∵EF ∥AD 1，OC ⊥AD 1 ∴OC ⊥EF 即CG ⊥EF 。
根据三垂线定理逆定理得GH ⊥EF
∴∠CGH 是所求二面角的平面角。 先求得: CG=OC=1
21
(2) -(
2
22
2
213
)
2
=
64
CH=A 1C=
3
1
+(2)
2
=
33
3
∴sin ∠CGH=CH
CG
=
364
=
223
∴所求二面角θ=arctan
223
。
利用三垂线定理寻求作二面角的平面角要注意取点。例3中的B 点、例4中的C 点都是题中特殊位置的点。
三、 线面垂直法
此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。
如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，
过O 作平面γ⊥l ，α∩γ=AO，β∩γ=BO， 得∠AOB 是平面角，
∵l ⊥γ，l ⊥AO ，l ⊥BO 。 ∴∠AOB 是二面角的平面角。
例题5：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C-D
的大小。
解：连接BD 、BC 1、DC 1即作了平面BDC 1交AC 1于H 点，再连接BH 、DH ，易证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BC 1
∴A 1C ⊥平面BDC 1。
连接三线所得平面BDC 1是棱A 1C 的垂面， ∴A 1C ⊥BH ，A 1C ⊥DH ，
∴∠BHD 是所求二面角B-A 1C-D 的平面角， 又∵BD=BC1=DC1=
2
，
在正三角形中易得∠BHD=1200。 ∴所求二面角θ=1200。
例题6：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求平面BC 1D 与平面EC 1F 所成的二面角。
解：平面BC 1D 与平面EC 1F 交点是C 1，且根据已知条件得BD ∥EF
∴可知所求二面角的棱是经过C 1且平行于BD 和EF 的直线l ，连A 1C 1、AC ，平面ACC 1A 1与BD 交于H 、与EF 交于G ，连C 1G 、CH
∵l ∥BD ，易证BD ⊥平面ACC 1A 1， ∴l ⊥平面ACC 1A 1，
则由线面垂直法得∠HC 1G 是所求二面角的平面角。
GH=，C 1H=
21
+(
2
22
) =
2
32
=
62
，
C 1G=
12223() +() =222
在⊿GHC 1中，由余弦定理得： cos ∠HC 1G=
(32) +(
2
122
) -()
2222=336
2⋅⋅
22
6
∴θ
=arccos
223
利用线面垂直法要根据条件寻作棱的特殊位置上的垂面，并找准面面交线所成
的平面角。
四、 判定垂面法
此法根据平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直，反之，若能判0
定两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角是90，无须寻作二面角的平面角。
如图若已知或证得a ⊂α,a ⊥β∴α⊥β。
则二面角α-l-β的大小即是900。
可见判定面面垂直是求二面角的一种特殊情况。
例题7：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面BDC 1与平面ACC 1A 1所成的二面角。
解：连接A 1C 1， 易证A 1C ⊥平面BDC 1
（或证明BD ⊥ACC 1A 1也可以）， 即判定了平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1 ∴所求两平面所成的二面角是900。
例题8：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 是上
下底面正方形的中心，V 是OO 1的中点，求平面AVB
与平面CVD 所成的二面角。 解：取正方形BB 1C 1C 和AA 1D 1D 的中心H 、G ， 易证G 、V 、H 是共线。 即GH 是所求二面角的交线。
∵BH ⊥CH ，BH ⊥CD ∴BH ⊥平面CHGD
∴平面ABHG ⊥平面CDGH
即得：平面AVB ⊥平面CVD
所求两平面所成的二面角是900。
五、 异面直线上两点间距离公式法
此法按高中立体几何课本P45页例2证明的公式，求二面角大小，题意是已知两条异面直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A ’E=m，AF=n，求EF 。如图公式是：EF=
d +m +n ±2mn cos θ
2
2
2
（注意E 、F 在AA 1同侧时取“-”，EF 在AA 1异侧时取“+”
号。）应用该公式是求异面直线上两点间的距离，
若把所求二面角当作θ角， 即是异面直线a 、b 和公垂线AA 1 确定的两个平面所成的二面角， 用函数观念来理解公式中五个量， 已知其中四个量即可求第五个量， 若已知或易求知EF 、d 、m 、n 则求cos θ，
θ即是所求二面角。
例题9：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1
D 1中，H 是BC 棱上一点且BH ：BC=1：3，求二面角H-AA 1-C 1的大小。
解：此题难度不大，但可用公式法解，
A 1C 1即a 线，AH 即b 线，
连C 1H 即EF ，
A 1C 1即m=AH 即n=
2
，A 1A 即d=1，
3
122
+() =
3222
+() =
3
，
3
C 1H 即EF=
代入公式得：
cos θ=
d +m +n -EF
2mn
2
2
2
2
1+(2) +(=
2⋅
22
32⋅
) -(3
2
3
)
2
=
255
∴所求二面角θ
=arccos
255
例题10：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，E 是AB 棱上一点，且AE ：EB=1：2，求二面角A 1-O 1O-E 的大小。
解：用公式：EF=
d +m +n +2mn cos θ
2
2
2
A 1O 1与EO 是两条异面直线， m=A1O 1=n=OE=
12
22
，d=OO1=1，
1
2
2
() +1=3
6
，
3
公式中EF 即A 1E=
2
2
2
122
() +1=3
2
cos θ=
d +m +n -EF
2mn
2
1+(=
2
22
) +(2⋅
22
6⋅
) -(6
2
3
)
2
=
255
∴所求二面角θ
=arccos
255
此公式法求二面角大小要注意公式中EF 、d 、m 、n 、θ的特定位置，并要已知或易求其中EF 、d 、m 、n 四个量才可以求得θ。
六、 平行移动法
若所求二面角的棱线隐含未知或难寻作棱时，可采用将二面角中的一个平面平行移动到适当位置，作得新的二面角大小与所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如图将所求平面α与平面β所成的二面角中α平面平行移动到平面γ位置处，即求γ与β
例题11：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，G 、E 、F 是所在棱的中点，求平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角。
解：此题所求二面角棱线隐含，用平行移动法将平面EFG 移到平面B 1CD 1或移到平面BA 1D ，在正方体中易证平面EFG ∥平面B 1CD 1∥平面BA 1D ，只要求出平面B 1CD 1或平面BA 1D 与底面ABCD 所成二面角，连接A 1O 、AC ，∠A 1OA 是二面角A-BD-A 1的平面角。
在Rt ⊿AOA 1中，tan ∠A 1OA=∴平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角是arctan
2
AA 1AD
=
122
=2
。
例题12：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面正方形的中心，E 、F 是AB 、CD 的中点，求平面AO 1D 与平面EO 1F 所成的二面角。
解：设O 是下底面正方形的中心，O 必在EF 上，取B 1C 1中点G ，连接O 1O 、EG 、FG 、OG ，易证AO 1∥EG ，DO 1∥FG ，AD ∥EF ，
∴平面AO 1D ∥平面EGF ， 题中所求二面角平行移动后 即求二面角O 1-EF-G 的大小， 而∠GOO 1是平面角，
1
tan ∠GOO 1=
O 1G
1
==O 1O 12
12
∴所求二面角θ
=arctan
平行移动法求二面角要注意所移动的平面是以图中特殊线来平行移动为宜。
七、 投影面积法
在二面角一个平面内若已知一个任意多边形的面积为S ，该多边形在另一个平面内投影面积为S 射，该二面角大小θ可用cos θ
=S 射S
来计算。如图所示，此结论证
明本文略。高中课本P68页习题八中11题就是类似证明习题。此方法适合求二面角中易解得S 、S 射时用。
例题13：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 在AA 1上，且A 1F ：FA=1：2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角。
解：取E 1为B 1C 1的中点， 连接EE 1、A 1E 1、EF 、AE ，
易证⊿A 1B 1E 1是截面B 1EF 中⊿B 1EF 在底平面上的
射影。
可算得：AE
AF
2
2
=1+() =1+=
244
2
1
2
15
，
224
=() =39
，EF
2
=
54
+
49
=
6136
，
BF
2
12102
=1+() =
39
2
2
， ，
B 1E =1+() =24
1
2
5
在⊿EFB 1中，
10
cos ∠EB 1F =
B 1E +B 1F -EF
2⋅B 1E ⋅B 1F
2
2
2
=92⋅
+
54
-⋅
6124
3
36=36=2
55522
3
，
sin ∠EB 1F =
1-(
2
25
) =
2
235
，
12⋅52⋅2
⋅235
=
4612
∴S ⊿EFB1=S ⊿A1B1E1=
12
12
B 1E ⋅B 1F ⋅sin ∠EB 1F =
A 1B 1⋅B 1E =
12
⋅1⋅
12
=
14
，
1
S ∆A 1B 1E 1S ∆B 1EF
34646
则利用投影面积法公式cos θ=
=
44612
=
∴所求二面角θ
=arccos
34646
。
例题14：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求平面AED 1与平面ABCD 所成二面角。
解：连接AC ，⊿ACD 是平面
S
⊿ACD =，AD 1=
21
2
，AE=
1232
(2) +() =
22
，ED 1=
1252
+() =
22
，
cos ∠EAD 1=
AD 1+AE
22
-ED 1
2
2⋅AD 1⋅AE
32522
(2) +() -()
2==
32
2⋅2⋅
2
=12⋅2⋅32
，
sin ∠EAD 1=
S ∆ACD
22
，S ⊿AED1=
1
12
⋅AD 1⋅AE ⋅sin ∠EAD
1
⋅
22
=
34
∴cos θ
=
S ∆AED 1
2
==334
，∴所求二面角θ
=arccos
23
。
利用投影面积法求二面角的大小无须寻作二面角的平面角，解题方便。
八、 棱锥体积法
此方法把所求二面角看作为求棱锥的一个侧面与底面所成的二面角，在已知或易求棱锥底面面积、侧面一个面面积和体积前提下，即可用锥体体积公式V=
13S 底⋅h
，来探求二面角大小。
如图已知三棱锥V-ABC 中，VO 是高线， 若已得底面面积是S ，AB=a，
一个侧面⊿ABV 面积是S 1，体积是V ， 求二面角C-AB-V 大小。
现设所求C-AB-V 平面角是如图中的∠VDO ， ⊿ABV 面积S 1=sin ∠VDO=
V =
13
12
a ⋅VD
，
2S 1a
VO VD 13
，∴VD=
⋅S ⋅
2S 1a
，VO
=
2S 1a
⋅sin ∠VDO
，利用棱锥体积公式， ，
⋅S ⋅VO =⋅sin ∠VDO =
2S ⋅S 1
3a
⋅sin ∠VDO
∴sin ∠VDO=
3a ⋅V 2⋅S ⋅S 1
，即求出了二面角C-AB-V 的大小。
例题15：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-A 1C-D 的大小。
解：把二面角A-A 1C-D
ACA 1的所成二面角来求， 易计算有关的量： 棱锥D-A 1AC 的体积
V=
13
S ∆ACD ⋅A
1A =
13⨯(12
⨯1⨯1) ⨯1=
16
a 即A 1C=S 1=S⊿A1CD =S=S⊿A1AC =
12
3
，
2⨯1=
2222
⨯
，
12
⋅1⋅2=
，
122
=
32
∴sin θ
=
3a ⋅V 2⋅S ⋅S 1
3⋅3⋅=2⋅
22⋅
∴所求二面角θ=600。
例题16：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 是所在棱的中点，求平面MDN 与底面ABCD 所成二面角。
解：取AD 的中点H ，连接MH 、NH 、AN ，MH=1是棱锥M-HND 的高，
ND=
+()
2
2
1
2
=
52
，
， ，
S ⊿NHD =V M-HND =MN=
1
111
⋅DH ⋅NH =⋅⋅1=2224S ∆NHD ⋅MH =
13111
⋅⋅1=341252
2
，MD=ND=，
作DG ⊥MN ， DG=
MD
2
-MG
2
=(
5212⋅
) -(
2
2232
) =
2
32
，
∴S ⊿MDN =
12
⋅MN ⋅DG =2⋅=
64
，根据棱锥体积法
sin θ=3⋅ND ⋅V M -HDN
2⋅S ∆NHD ⋅S ∆MND 3⋅=2⋅51
4⋅⋅1=6
456=306
∴所求二面角θ=arcsin30
6。
综述上列八种求二面角大小的方法，并在正方体中例举解题，往往一例题可多解，本文不一一列举。解题中各种方法应灵活掌握，因题宜用，在一题多解时，必须探求简易解题途径，以确定求二面角大小的最简方法。
11
二面角求法
正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、 平面角定义法
此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，
如图二面角α-l-β中，在棱l 上取一点O ，
分别在α、β两个平面内作AO ⊥l ，BO ⊥l ，
∠AOB 即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1
面角O 1-BC-O 的大小。 解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，
易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三角形。
∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，
∴∠OEO 1是二面角O 1-BC-O 的平面角， 连OO 1，OO 1⊥平面ABCD ，
∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=
21
∴tan ∠OEO 1=
OO 1OE
=
112
=2
∴所求二面角θ=arctan2。
例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、
C 1D 1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。
解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂足，连GO ，易证GO ⊥AC ，又BD ⊥AC
∴∠GOH 是所求二面角的平面角，
GH=1，OH=
24
OH
=
124
=22
∴tan ∠GOH=GH
∴所求二面角θ=arctan2
2
。
利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。
二、 利用三垂线定理法
此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，
过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足，
由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，
连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线，
BO 是AO 在平面β中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1，
∵BB 1⊥平面ABCD ，BO ⊥AC
∴B 1O ⊥AC ，
∠BOB 1是二面角B-AC-B 1的平面角，
tan ∠BOB 1=
BB 1BO
=
122
=
2
2
∴所求二面角θ=arctan.
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。 解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点
∵EF ∥AD 1，OC ⊥AD 1 ∴OC ⊥EF 即CG ⊥EF 。
根据三垂线定理逆定理得GH ⊥EF
∴∠CGH 是所求二面角的平面角。 先求得: CG=OC=1
21
(2) -(
2
22
2
213
)
2
=
64
CH=A 1C=
3
1
+(2)
2
=
33
3
∴sin ∠CGH=CH
CG
=
364
=
223
∴所求二面角θ=arctan
223
。
利用三垂线定理寻求作二面角的平面角要注意取点。例3中的B 点、例4中的C 点都是题中特殊位置的点。
三、 线面垂直法
此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。
如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，
过O 作平面γ⊥l ，α∩γ=AO，β∩γ=BO， 得∠AOB 是平面角，
∵l ⊥γ，l ⊥AO ，l ⊥BO 。 ∴∠AOB 是二面角的平面角。
例题5：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C-D
的大小。
解：连接BD 、BC 1、DC 1即作了平面BDC 1交AC 1于H 点，再连接BH 、DH ，易证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BC 1
∴A 1C ⊥平面BDC 1。
连接三线所得平面BDC 1是棱A 1C 的垂面， ∴A 1C ⊥BH ，A 1C ⊥DH ，
∴∠BHD 是所求二面角B-A 1C-D 的平面角， 又∵BD=BC1=DC1=
2
，
在正三角形中易得∠BHD=1200。 ∴所求二面角θ=1200。
例题6：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求平面BC 1D 与平面EC 1F 所成的二面角。
解：平面BC 1D 与平面EC 1F 交点是C 1，且根据已知条件得BD ∥EF
∴可知所求二面角的棱是经过C 1且平行于BD 和EF 的直线l ，连A 1C 1、AC ，平面ACC 1A 1与BD 交于H 、与EF 交于G ，连C 1G 、CH
∵l ∥BD ，易证BD ⊥平面ACC 1A 1， ∴l ⊥平面ACC 1A 1，
则由线面垂直法得∠HC 1G 是所求二面角的平面角。
GH=，C 1H=
21
+(
2
22
) =
2
32
=
62
，
C 1G=
12223() +() =222
在⊿GHC 1中，由余弦定理得： cos ∠HC 1G=
(32) +(
2
122
) -()
2222=336
2⋅⋅
22
6
∴θ
=arccos
223
利用线面垂直法要根据条件寻作棱的特殊位置上的垂面，并找准面面交线所成
的平面角。
四、 判定垂面法
此法根据平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直，反之，若能判0
定两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角是90，无须寻作二面角的平面角。
如图若已知或证得a ⊂α,a ⊥β∴α⊥β。
则二面角α-l-β的大小即是900。
可见判定面面垂直是求二面角的一种特殊情况。
例题7：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面BDC 1与平面ACC 1A 1所成的二面角。
解：连接A 1C 1， 易证A 1C ⊥平面BDC 1
（或证明BD ⊥ACC 1A 1也可以）， 即判定了平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1 ∴所求两平面所成的二面角是900。
例题8：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 是上
下底面正方形的中心，V 是OO 1的中点，求平面AVB
与平面CVD 所成的二面角。 解：取正方形BB 1C 1C 和AA 1D 1D 的中心H 、G ， 易证G 、V 、H 是共线。 即GH 是所求二面角的交线。
∵BH ⊥CH ，BH ⊥CD ∴BH ⊥平面CHGD
∴平面ABHG ⊥平面CDGH
即得：平面AVB ⊥平面CVD
所求两平面所成的二面角是900。
五、 异面直线上两点间距离公式法
此法按高中立体几何课本P45页例2证明的公式，求二面角大小，题意是已知两条异面直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A ’E=m，AF=n，求EF 。如图公式是：EF=
d +m +n ±2mn cos θ
2
2
2
（注意E 、F 在AA 1同侧时取“-”，EF 在AA 1异侧时取“+”
号。）应用该公式是求异面直线上两点间的距离，
若把所求二面角当作θ角， 即是异面直线a 、b 和公垂线AA 1 确定的两个平面所成的二面角， 用函数观念来理解公式中五个量， 已知其中四个量即可求第五个量， 若已知或易求知EF 、d 、m 、n 则求cos θ，
θ即是所求二面角。
例题9：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1
D 1中，H 是BC 棱上一点且BH ：BC=1：3，求二面角H-AA 1-C 1的大小。
解：此题难度不大，但可用公式法解，
A 1C 1即a 线，AH 即b 线，
连C 1H 即EF ，
A 1C 1即m=AH 即n=
2
，A 1A 即d=1，
3
122
+() =
3222
+() =
3
，
3
C 1H 即EF=
代入公式得：
cos θ=
d +m +n -EF
2mn
2
2
2
2
1+(2) +(=
2⋅
22
32⋅
) -(3
2
3
)
2
=
255
∴所求二面角θ
=arccos
255
例题10：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，E 是AB 棱上一点，且AE ：EB=1：2，求二面角A 1-O 1O-E 的大小。
解：用公式：EF=
d +m +n +2mn cos θ
2
2
2
A 1O 1与EO 是两条异面直线， m=A1O 1=n=OE=
12
22
，d=OO1=1，
1
2
2
() +1=3
6
，
3
公式中EF 即A 1E=
2
2
2
122
() +1=3
2
cos θ=
d +m +n -EF
2mn
2
1+(=
2
22
) +(2⋅
22
6⋅
) -(6
2
3
)
2
=
255
∴所求二面角θ
=arccos
255
此公式法求二面角大小要注意公式中EF 、d 、m 、n 、θ的特定位置，并要已知或易求其中EF 、d 、m 、n 四个量才可以求得θ。
六、 平行移动法
若所求二面角的棱线隐含未知或难寻作棱时，可采用将二面角中的一个平面平行移动到适当位置，作得新的二面角大小与所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如图将所求平面α与平面β所成的二面角中α平面平行移动到平面γ位置处，即求γ与β
例题11：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，G 、E 、F 是所在棱的中点，求平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角。
解：此题所求二面角棱线隐含，用平行移动法将平面EFG 移到平面B 1CD 1或移到平面BA 1D ，在正方体中易证平面EFG ∥平面B 1CD 1∥平面BA 1D ，只要求出平面B 1CD 1或平面BA 1D 与底面ABCD 所成二面角，连接A 1O 、AC ，∠A 1OA 是二面角A-BD-A 1的平面角。
在Rt ⊿AOA 1中，tan ∠A 1OA=∴平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角是arctan
2
AA 1AD
=
122
=2
。
例题12：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面正方形的中心，E 、F 是AB 、CD 的中点，求平面AO 1D 与平面EO 1F 所成的二面角。
解：设O 是下底面正方形的中心，O 必在EF 上，取B 1C 1中点G ，连接O 1O 、EG 、FG 、OG ，易证AO 1∥EG ，DO 1∥FG ，AD ∥EF ，
∴平面AO 1D ∥平面EGF ， 题中所求二面角平行移动后 即求二面角O 1-EF-G 的大小， 而∠GOO 1是平面角，
1
tan ∠GOO 1=
O 1G
1
==O 1O 12
12
∴所求二面角θ
=arctan
平行移动法求二面角要注意所移动的平面是以图中特殊线来平行移动为宜。
七、 投影面积法
在二面角一个平面内若已知一个任意多边形的面积为S ，该多边形在另一个平面内投影面积为S 射，该二面角大小θ可用cos θ
=S 射S
来计算。如图所示，此结论证
明本文略。高中课本P68页习题八中11题就是类似证明习题。此方法适合求二面角中易解得S 、S 射时用。
例题13：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 在AA 1上，且A 1F ：FA=1：2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角。
解：取E 1为B 1C 1的中点， 连接EE 1、A 1E 1、EF 、AE ，
易证⊿A 1B 1E 1是截面B 1EF 中⊿B 1EF 在底平面上的
射影。
可算得：AE
AF
2
2
=1+() =1+=
244
2
1
2
15
，
224
=() =39
，EF
2
=
54
+
49
=
6136
，
BF
2
12102
=1+() =
39
2
2
， ，
B 1E =1+() =24
1
2
5
在⊿EFB 1中，
10
cos ∠EB 1F =
B 1E +B 1F -EF
2⋅B 1E ⋅B 1F
2
2
2
=92⋅
+
54
-⋅
6124
3
36=36=2
55522
3
，
sin ∠EB 1F =
1-(
2
25
) =
2
235
，
12⋅52⋅2
⋅235
=
4612
∴S ⊿EFB1=S ⊿A1B1E1=
12
12
B 1E ⋅B 1F ⋅sin ∠EB 1F =
A 1B 1⋅B 1E =
12
⋅1⋅
12
=
14
，
1
S ∆A 1B 1E 1S ∆B 1EF
34646
则利用投影面积法公式cos θ=
=
44612
=
∴所求二面角θ
=arccos
34646
。
例题14：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求平面AED 1与平面ABCD 所成二面角。
解：连接AC ，⊿ACD 是平面
S
⊿ACD =，AD 1=
21
2
，AE=
1232
(2) +() =
22
，ED 1=
1252
+() =
22
，
cos ∠EAD 1=
AD 1+AE
22
-ED 1
2
2⋅AD 1⋅AE
32522
(2) +() -()
2==
32
2⋅2⋅
2
=12⋅2⋅32
，
sin ∠EAD 1=
S ∆ACD
22
，S ⊿AED1=
1
12
⋅AD 1⋅AE ⋅sin ∠EAD
1
⋅
22
=
34
∴cos θ
=
S ∆AED 1
2
==334
，∴所求二面角θ
=arccos
23
。
利用投影面积法求二面角的大小无须寻作二面角的平面角，解题方便。
八、 棱锥体积法
此方法把所求二面角看作为求棱锥的一个侧面与底面所成的二面角，在已知或易求棱锥底面面积、侧面一个面面积和体积前提下，即可用锥体体积公式V=
13S 底⋅h
，来探求二面角大小。
如图已知三棱锥V-ABC 中，VO 是高线， 若已得底面面积是S ，AB=a，
一个侧面⊿ABV 面积是S 1，体积是V ， 求二面角C-AB-V 大小。
现设所求C-AB-V 平面角是如图中的∠VDO ， ⊿ABV 面积S 1=sin ∠VDO=
V =
13
12
a ⋅VD
，
2S 1a
VO VD 13
，∴VD=
⋅S ⋅
2S 1a
，VO
=
2S 1a
⋅sin ∠VDO
，利用棱锥体积公式， ，
⋅S ⋅VO =⋅sin ∠VDO =
2S ⋅S 1
3a
⋅sin ∠VDO
∴sin ∠VDO=
3a ⋅V 2⋅S ⋅S 1
，即求出了二面角C-AB-V 的大小。
例题15：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-A 1C-D 的大小。
解：把二面角A-A 1C-D
ACA 1的所成二面角来求， 易计算有关的量： 棱锥D-A 1AC 的体积
V=
13
S ∆ACD ⋅A
1A =
13⨯(12
⨯1⨯1) ⨯1=
16
a 即A 1C=S 1=S⊿A1CD =S=S⊿A1AC =
12
3
，
2⨯1=
2222
⨯
，
12
⋅1⋅2=
，
122
=
32
∴sin θ
=
3a ⋅V 2⋅S ⋅S 1
3⋅3⋅=2⋅
22⋅
∴所求二面角θ=600。
例题16：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 是所在棱的中点，求平面MDN 与底面ABCD 所成二面角。
解：取AD 的中点H ，连接MH 、NH 、AN ，MH=1是棱锥M-HND 的高，
ND=
+()
2
2
1
2
=
52
，
， ，
S ⊿NHD =V M-HND =MN=
1
111
⋅DH ⋅NH =⋅⋅1=2224S ∆NHD ⋅MH =
13111
⋅⋅1=341252
2
，MD=ND=，
作DG ⊥MN ， DG=
MD
2
-MG
2
=(
5212⋅
) -(
2
2232
) =
2
32
，
∴S ⊿MDN =
12
⋅MN ⋅DG =2⋅=
64
，根据棱锥体积法
sin θ=3⋅ND ⋅V M -HDN
2⋅S ∆NHD ⋅S ∆MND 3⋅=2⋅51
4⋅⋅1=6
456=306
∴所求二面角θ=arcsin30
6。
综述上列八种求二面角大小的方法，并在正方体中例举解题，往往一例题可多解，本文不一一列举。解题中各种方法应灵活掌握，因题宜用，在一题多解时，必须探求简易解题途径，以确定求二面角大小的最简方法。
11