函数奇偶性

1．设f （x ）为定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上为增函数，则f （-2），f （-π），f （3）的大小顺序是 ________.

2．如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在[-7，-3]上是_________（填“增”或“减”）函数，最_____（填“大”或“小”）值为____.

3．判断函数f (x ) ＝｛x 2+2x +3 x ＜0 2 x=0 −x 2+2x −3 x ＞0｝的奇偶性为：

4．已知f （x ）是定义在（-1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a-2）＜f （4-a 2），求 a的取值范围

5．若f （x ）是偶函数，且当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x-1，则f （x-1）＜0的解集是 ______.

6．若f （x ）是奇函数，且在区间（-∞，0）上是单调增函数，又f （2）=0，则xf （x ）＜0的解集为 ________

7．已知奇函数f （x ）是定义在（-1，1）上的增函数，如果f （1-a ）+f（1-a 2）＜0，则实数a 的取值范围是 _______

8．已知函数y=f（x ），当x ＞1时，函数单调递减，又f （x ）=f（2-x ），试比较f （0），f （-2），f （π）的大小顺序

9．设函数f （x ）对任意x ，都有f （x+y）=f（x ）+f（y ），且x ＞0时f （x ）＜0，f

（1）=-1

（1）求证：f （x ）是奇函数

（2）判断f （x ）的单调性并证明

（3）试问当-3≤x≤3时f （x ）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由

10．f （x ）为奇函数且在R 上单调递减，则则g （x ）=[f（x ）]的单调性_______奇偶性 ___________.

1 1、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=－f （x ），则，（6）f 的值为（）

A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

12、已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x （1＋x ），当x ＜0时，f （x ）等于 [ ] A. －x （1－x ） B. x（1－x ） C. －x （1＋x ） D. x（1＋x ）

13、函数y=f（x ）与y=g（x ）的图象如图所示，则函数y=f（x ）·g （x ）的图象可能为（． )

14、设f(x)是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（）

D 、()()fxfx 是偶函数

A 、()()fxfx 是奇函数； B 、()()fxfx 是奇函数； C 、()()fxfx 是偶函数；

f （-2）＜f （3）＜f （-π）大，-5．有解析式可知，此函数的定义域为：x ∈R ，当x ＞0时，函数f （x ）=-x2+2x-3，此时-x ＜0，f （-x ）=（-x ）2+2（-x ）+3=x2-2x+3=-f（x ）；当x ＜0时，函数f （x ）=x2+2x+3，此时-x ＞0，f （-x ）=-（-x ）2+2（-x ）-3=-x2-2x-3=-f（x ）；但是若为奇函数时，x=0时，f （0）=0时，此函数才为奇函数，由此分析此函数应为非奇非偶．

1. ，2）．

2. 解：∵当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x-1

∴当x ∈[0，+∞）时，f （x ）＜0

即x-1＜0

解得：[0，1）

又∵函数f （x ）是偶函数

∴f （x ）＜0的解集为（-1，1）

∴f （x-1）＜0可化为：

-1＜x-1＜1

解得：0＜x ＜2 故答案为：（0，2）

解：∵f （x ）是奇函数，且在区间（-∞，0）上是单调增函数，又f （2）=0，

∴f （-2）=0，且当x ＜-2与0＜x ＜2时，函数图象在x 轴下方，当x ＞2与-2＜x ＜0时函数图象在x 轴上方

∴xf （x ）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2）

故答案为：（-2，0）∪（0，2）

点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查根据函数的性质推测出函数图象的特征，利用函数图象的特征解不等式，求解本题的不等式时要注意不等式中表达式的结构形式

xf （x ）＜0，它说明自变量与函数值的符号是相反的，由此特征结合函数的图象不难得出不等式的解集．由此可以看出求解本题的关键是把函数图象特征研究清楚，以形助数

1＜a ＜

3. f （-2）＜f （π）＜f （0）

（1）先令x=y=0，求得f （0），再令y=-x构造f （-x ）+f（x ）=f（0）得结论．

（2）先设x 1＞x 2，∴由主条件构造f （x 1）-f （x 2）=f（x 1-x 2）由x ＞0时f （x ）＜0得证．

（3）由（2）知f （x ）是减函数，则在端点处取得最大值和最小值．

解答：解：（1）令x=y=0，f （0）=0

令y=-x

∴f （-x ）+f（x ）=f（0）=0

∴f （x ）是奇函数

（2）设x 1＞x 2

∴f （x 1）-f （x 2）=f（x 1-x 2）＜0

∴f （x ）是减函数

（3）f （3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-3

f （-3）=3

由（2）知f （x ）是减函数

∴最大值为3，最小值为-3

点评：本题主要考查抽象函数奇偶性和单调性以及函数最值的求法，这类问题用赋值法和性质的定义比较常见

g （x ）=[f（x ）]是对f （x ）取整的函数，其图象为一组与x 轴平行的线段，故其不具有单调性与奇偶性．

解答：证明：不妨令f （x ）=-x，则g （x ）=[f（x ）]=

…

1 x ∈(−2，

−1]

0 x ∈(−1，

−1 x ∈(0，

−2 x ∈(1，

…

（只列出了（-2，2]上的解析式）由解析式可以看出

函数g （x ）=[f（x ）]不具有单调性与奇偶性

故答案为：不存在不存在

点评：本题考查函数的性质，模型函数是取整函数，本题在求解判断时用了特值法，此方法在验证某事物不是恒成立的问题时经常用到，其原理是若存在一个特例使得某个关系不成立，则这个关系就不是恒成