学 校： 学员姓名：
年 级： 辅导科目：数学
教学课题:平面向量与解三角形 学科教师：
教学目标 教学内容
复习平面向量与解三角形的重要考点
一. 向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
①向量： 既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c „„来表示， 或用有向线段的起点与终点的大写字母
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表示，如： AB 几何表示法 AB ， a ；坐标表示法 a xi yj ( x, y)
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向量的大小即向量的模（长度） ，
记作| AB | 即向量的大小，记作｜ a ｜
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向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行 零向量 a ＝ 0 ｜ a ｜＝0
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由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是 否有“非零向量”这个条件． （注意与 0 的区别） ③单位向量：模为 1 个单位长度的向量 向量 a0 为单位向量 ｜ a0 ｜＝1
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④平行向量 （共线向量） ： 方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相 同或相反的向量，称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总
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可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向
两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清 楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平 行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b 大小相等，方向
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相同
x x2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) 1 y1 y 2
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1
2、向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 AB a, BC b ，则 a + b = AB BC = AC
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（1） 0 a a 0 a ；
（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的 那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线 段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加 法的三角形法则可推广至多个向量相加：
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AB BC CD
3、向量的减法
． PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”
① 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量
有： （i） (a ) = a ； (ii) a +( a )=( a )+ a = 0 ；
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(iii)若 a 、 b 是互为相反向量，则 a = b , b = a , a + b = 0 ②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，
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记作： a b a (b ) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
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③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）
4、实数与向量的积：
①实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：
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（Ⅰ） a a ；
（Ⅱ） 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时， a 0 ，方向是任意的
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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5、两个向量共线定理： 向量 b 与非零向量 a 共线 有且只有一个实数 ，使得 b = a
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2
6、平面向量的基本定理： 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数
1 , 2 使： a 1e1 2 e2 ，其中不共线的
向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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7 特别注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线（重合） 的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题， 特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的 距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不 等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
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二. 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由
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平面
向量的基本定理知， 该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ， 由于 a 与数对(x,y)是一一对应的， 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标
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(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
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2 平面向量的坐标运算：
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(1)若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 , y1 y2 (2)若 Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ，则 AB x2 x1 , y2 y1 (3)若 a =(x,y)，则 a =( x, y) (4)若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a // b x1 y2 x2 y1 0 (5)若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 y1 y2 若 a b ，则 x1 x2 y1 y2 0
3
3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
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运 算 几何方法 类型 向 1 平行四边形法则 量 2 三角形法则 的 加 法
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坐标方法
运算性质
a b b a
a b (x1 x2 , y1 y2 )
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(a b ) c a (b c )
AB BC AC
向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法
三角形法则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b a (b )
AB BA
OB OA AB
a 是一个向量, 满足: >0 时, a 与 a 同向;
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a (x, y)
(a ) ( )a
( )a a a
(a b ) a b
a ∥ b a b
向 量 的 数 量 积
a b 是一个数
a b x1x2 y1 y2
a b b a
(a) b a (b ) (a b ) (a b ) c a c b c
a 2 |
a | 2 , | a | x 2 y 2
a 0 或 b 0 时, a b =0
a 0 且 b 0 时,
a b | a || b | cos a, b
三．平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：
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| a b || a || b |
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已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积） 规定 0 a 0
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2 向量的投影：︱ b ︱cos =
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a b ∈R，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|
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4
3 数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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4 向量的模与平方的关系： a a a 2 | a |2
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5 乘法公式成立：
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a b a b a b a a b a 2a b b a
2 2
2 2 2
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2
b ；
2a b b
2
2
2
6 平面向量数量积的运算律：
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①交换律成立： a b b a
③分配律成立： a b c a c b c c a b 特别注意： （1）结合律不成立： a b c a b c ；
（2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b c （3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算：
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②对实数的结合律成立： a b a b a b R
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已知两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则 a · b = x1 x2 y1 y2
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8 向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= （ 0 0 1800 ）叫做向量 a
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与 b 的夹角
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cos = cos a , b
a b ab
=
x1 x 2 y1 y 2 x1 y1 x 2 y 2
2 2 2 2
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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时，θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800，同时 0 与其它任何非 零向量之间不谈夹角这一问题
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9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ b
a · b ＝O x1 x2 y1 y 2 0
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四．典型例题精讲
例1 给出下列命题： ① 若| a |＝| b |，则 a = b ； ② 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ， ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ； ⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a // c ， 其中正确的序号是 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：
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① AB BC CD ，② DB AC BD
③ OA OC OB CO
例 3 设非零向量 a 、 b 不共线， c =k a + b ， d = a +k b (kR)，若 c ∥ d ，试求 k
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例 4 已知向量 a (1, 2), b ( x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，求实数 x 的值
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例 5 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB （ O 为坐标原点）交点 P 的坐标
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例 6 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ，若 c 2a b , d 3b a ，试求 c 与 d 的夹角
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例 7 已知 a 4,3 ， b 1, 2 ， m a b , n 2a b ，按下列条件求实数 的值 （1） m n ； （2） m // n ； (3) m n
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例 8 已知 | a | 4 ， | b | 2 ，且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ (a 2b) (a b) ； ⑵ | 2a b | ； ⑶ a 与 a b 的夹角。
例 9 已知向量 a = (1,2) ， b = (3,2) 。 ⑴求 | a b | 与 | a b | ；⑵ 当 k 为何值时，向量 k a b 与 a 3b 垂直？ ⑶ 当 k 为何值时，向量 k a b 与 a 3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向？
例 10 已知 OP = (2,1) ， OA = (1,7) ， OB
= (5,1) ，设 M 是直线 OP 上一点， O 是坐标原点 ⑴求使 MA MB 取最小值时的 OM ； ⑵对（1）中的点 M ，求 AMB 的余弦值。
7
例 11 在 ABC 中， O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM 2 求： OA (OB OC) 的最小值。
正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 a b c 内容 2R sin A sin B sin C
余弦定理
a 2 b2 c 2 2bc cos A, b2 c 2 a 2 2ac cos B, c 2 a 2 b2 2ab cos C.
b2 c2 a 2 ; 2bc a2 c2 b2 cos B ; 2ca a 2 b2 c2 cos C . 2ab cos A
变形形 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; a b c 式 ②sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R ③a:b:c=sinA: sinB: sinC; abc a ④ sin A sin B sin C sin A
解决的 ① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ① 已知三边，求各角； 问题 ② 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其他两角。 ② 已知两角和它们的夹角，求第 三边和其他两个角。 a b 注：在Δ ABC 中，sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 （∵sinA>sinB a>b A>B） 2R 2R 2、Δ ABC 中常用公式 （1）A>B a>b,a+b>c,a-b
8
3.正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角． ③几何作图时，存在多种情况．如已知 a、b 及 A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角
C C C b a b a a b A B A a
B2
B1
A
B
a=b sin A 一解 (2)A 为锐角或钝角 当 a>b 时有一解.
b sin A
ab 一解
4．余弦定理应用范围： （1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边 【典型例题】 [例 1] 已知在 ABC 中， A 45 ， a 2 ， c 6 解此三角形。 练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。 （1） a 5 ， b 4 ， A 120 （2） a 7 ， b 14 ， A 150 （3） a 9 ， b 10 ， A 60 （4） c 50 ， b 72 ， C 135
9
正弦定理余弦定理的应用： 例 2：在 ABC 中，角 A, B, C 所对的 边分 a, b, c .若 a cos A b sin B ，则 sin A cos A cos2 B （
1 1 B． C． -1 D． 1 2 2 练习： 已知 A、B、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求 A+B+C 的值．
）
A．
在△ABC 中， sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin B sin C ，则 A 的取值范围是 （A） (0, ]
6
（B） [ , )
6
（C） (0, ]
3
（D） [ , )
3
利用正弦定理余
弦定理判断三角形的形状及求取值范围 [例 3]若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13 则△ ABC A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形. C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
练习：1、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则
AC
cosA
的值等于______，AC 的取值范围为______．
2、在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， (1)判断△ABC 的性状；
π π b sin2C ＜C＜ 且 ＝ 3 2 a－b sinA－sin2C
(2)若| BA ＋ BC |＝2，求 BA · BC 的取值范围．
B a＋c 3 、 在 △ ABC 中 ， cos2 ＝ ， (a ， b ， c 分 别 为 角 A ， B ， C 的 对 边 ) ， 则 △ ABC 的 形 状 为 2 2c
( ) A．正三角形 C．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 D．等腰直角三角形
利用正余弦定理求三角形面积
10
〖例 4〗 （2009 浙江文） 在 ABC 中， 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， 且满足 cos （I）求 ABC 的面积； （II）若 c 1 ，求 a 的值． 练习：1.在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足
A 2 5 ， AB AC 3 ． cos 2 5 （I）求 ABC 的面积； （II）若 b c 6 ，求 a 的值．
B D
A 2 5 ，AB AC 3 ． 2 5
A
C
2.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，其中 c 2 ， 又向量 m (1 , cosC ) ，n ( cosC , 1) ，m·n=1． （1）若 A 45 ，求 a 的值； （2）若 a b 4 ，求△ ABC 的面积．
A
2.△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ B
11
2
D 1 C
ADC＝
150o，求 AC 的长及△ABC 的面积．
高考题演练： （1） （2010 年陕西）17.（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长.
16、(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c
（Ⅰ）若 a , b , c 成等差数列，证明： sin A sin C 2 sin( A C) ； （Ⅱ）若 a , b , c 成等比数列，求 cos B 的最小值.
（2）在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
12
正余弦定理实际应用问题 〖例 5〗（本小题满分 12 分）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点， 现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与
B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要
多长时间？ 已知在 ABC 中， A 45 ， a 2 ， c 6 解此三角形。
2 2 解：由余弦定理得： b ( 6 ) 2 6b cos45 4
2 ∴ b 2 3b 2 0
∴ b 3 1
cos C 1 2 ， C 60 或 C 120
又 ( 6 ) b 2 2 2b cosC
2 2 2
∴
∴ B 75 或 B
15 ∴ b 3 1 ， C 60 ， B 75 或 b 3 1 ， C 120 ， B 15
[例 4] 已知 a 、b 、c 是 ABC 中，A 、B 、C 的对边， S 是 ABC 的面积， 若 a 4 ，b 5 ，S 5 3 ， 求 c 的长度。 解： ∵ a 4 ，b 5，
sin C 3 2
S 1 ab sin C 5 3 2
∴
∴ C 60 或 120 ∴ c 21 ∴ c 61
2 2 2 ∴ 当 C 60 时， c a b ab 21 2 2 2 当 C 120 时， c a b ab 61
2 即 ( a c) 4
∴ a c 2又a c 1
∴ 1 a c 2
13
[例 6] 在 ABC 中，已知 b a( 3 1) ， C 30 ，求 A、B。 解：
cosC cos30 3 a2 b2 c2 2 2ab
由余弦定理，
2 2 2 2 ∴ a a (4 2 3) c 3a ( 3 1)
∴ c (2 3 )a
2
2
∴
c 2 3a
3 1
3 1 2
a
a a a( 3 1) 2 sin B sin 30 由正弦定理： sin A
sin B 2 sin 30 2 2
∴
∵ ab
∴ AB
∴ B 为锐角
∴ B 45
∴ A 180 (45 30) 105
2 2 [例 7] 已知 ABC 中， 2 2 (sin A sin C) (a b) sin B ，外接圆半径为 2 。
（1）求 C （2）求 ABC 面积的最大值 解：
2 2 （1）由 2 2 (sin A sin C) (a b) sin B
∴
2 2(
a2 c b ) ( a b) 2 2 2R 4R 4R
∴ R 2
2 2 2 ∴ a c ab b
2 2 2 ∴ a b c ab
a2 b2 c2 1 cosC 2ab 2 ∴
又 0 C 180
S
∴ C 60
（2）
1 1 3 absin C ab 2 3 sin A sin B 2 2 2
14
2 3 sin A sin(120 A) 2 3 sin A(sin120 cos A cos120 sin A)
3 sin A cos A 3 sin 2 A 3 2
S max 3 3 2
1 sin 2 B sin B cos B 的取值
3 3 3 sin 2 A cos2 A 2 2 2
3 sin(2 A 30)
∴ 当 2 A 120
即 A 60 时，
[例 8] 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 依次成等比数列，求 范围。 解：
2 ∵ b ac
y
∴
cos B
a 2 c 2 b2 2ac
a 2 c 2 ac 2ac
1 a c 1 1 ( ) 2 c a 2 2
∴
y
0B
3
1 sin 2 B (sin B cos B) 2 sin B cos B 2 sin(B ) sin B cos B sin B cos B 4
∵ 4
B
4
7 12
∴
2 sin(B ) 1 2 4
∴ 1 y 2
[例 9] 在 ABC 中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。 解：
* 设 a k 1 ， b k ， c k 1， k N 且 k 1
cosC
∵ C 是钝角 解得 1 k 4 ∴
* ∵ kN
a2 b2 c2 k 4 0 2ab 2(k 1)
∴ k 2或 3
当 k 2 时， cos C 1 （舍去）
15
当 k 3 时，
cos C
1 4
1 c arccos( ) 4 ∴
1 arccos( ) 4 ∴ 最大角为
高考题演练： 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 3 3 海里的两个观
测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60 度的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点 的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
课后作业
1、若向量 a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于(
)
3 1 a+ b 2 2
A、
1 3 a+ b 2 2
B、
1 3 a b 2 2
C、
3 1 a b 2 2
D、
2、已知，A（2，3） ，B（－4，5） ，则与 AB 共线的单位向量是 A、 e (
（
）
3 10 10 , ) 10 10
B、 e (
3 10 10 3 10 10 , )或( , ) 10 10 10 10
C、 e (6,2)
D、 e (6,2)或(6,2)
3．设 a (2,－3), b (x,2x),且 3a b 4 ,则 x 等于
A．－3 B. 3 C.
1 3
（ D.
1 3
）
16
4．已知 AB (6,1), BC ( x, y),CD (2,3),且BC ∥ DA ，则 x 2 y 的值为 A．0 B. 2 C.
1 2
（
）
D. －2
5．已知向量 a ， b 的夹角为 120 ，且 a 2, b 5 ,则 (2a b ) a
（ D. 13
）
A．3
B. 9
C . 12
6．已知向量 a 、 b 的夹角为 60 ， | a | 3 ， | b | 2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，则 m 的值为（
A.
）
32 23
B.
23 42
C.
29 42
D.
42 29
OP2 2 sin , 2 cos ，则向量 P 7、设 0 2 ，已知两个向量 OP 1 cos , sin ， 1P 2 长度的最
大值是（ A、 2
） B、 3 C、 3 2 D、
8、设 i , j 分别是 x 轴， y 轴正方向上的单位向量， OP 3 cosi 3sin j ， (0, ), OQ i 。若用 2
来表示 OP 与 OQ 的夹角，则 A、 B、
等于 （ D、
）
2
C、
2
9、 ．已知 a (1, 2) , b (3,2) ,当 k 为何值时， （1） ka b 与 a 3b 垂直？
（2） ka b 与 a 3 b 平行？
17
10．设向量 a 与 b 的夹角为θ ，定义 a 与 b 的“向量积”：
a b 是一个向量，它的模 | a b || a | | b | sin .
若 a ( 3,1),b (1, 3) ，则 | a b |
.
11、设向量 a ， b 满足 a b 1, 3a 2b 3 ，求 3a b 的值.
12.已知 a =2， b =3， a b = 7 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是（ A．
） D．
6
B．
4
C．
3
2
13、设 OA (2 sin x, cos2x)， 其中 x∈[0， OB ( cos x， 1)， (1)求 f(x)= OA· OB 的最大值和最小值； (2)当 OA ⊥ OB ，求| AB |、
]、 2
18
1. 在 ABC 中，一定成立的等式是（ A. a sin A b sin B C. a sin B b sin A
）
B. a cos A b cos B D. a cos B b cos A
cos A b 2. 在 ABC 中，若 cos B a ，则 ABC 是（
） D. 等腰或
直角三角形 ）
]
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
3. 已知 ABC 中，AB=1，BC=2，则 C 的取值范围是（
(0 ,
6
A.
]
B.
(0 ,
2
)
C.
(
6 , 2
]
D. ）
(
6 , 3
4. ABC 中，若 3a 2b sin A ，则 B 为（
A. 3
B. 6
2 C. 3 或 3
5 D. 6 或 6
）
5. ABC 的三边满足 (a b c)(a b c) 3ab，则 C 等于（ A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
6. 在 ABC 中，AB=3，BC= 13 ，AC=4，则边 AC 上的高为（
3 2 A. 2 3 3 B. 2
3 C. 2
）
D. 3 3 ）条件 D. 既不充分也不必要 ）
7. ABC 中， “ sin A sin B ”是“A=B”的（ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要
2 2 2 8. ABC 中， sin A sin B sin B sin C sin C ，则 A 等于（
A. 30
B. 60
C. 120
D. 150 ）
9. ABC 中， B 30 ， b 50 3 ， c 150 ，则这个三角形是（ A. 等边三角形 B. Rt 三角形 C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
a b c k 10. 在 ABC 中， sin A sin B sin C ，则 k =（
1 D. 2 R
19
）
A. 2R
B. R
C. 4R
二. 填空： 1. 在 ABC 中，已知 a 7 ， b 8 ，
cos C 13 14 ，则最大角的余弦值为
。
2. 在 ABC 中， sin A 2 cos B sin C ，则三角形为 3. 在 ABC 中， a : b : c ( 3 1) : 6 : 2，则最小角为
S 1 4 3 (b 2 c 2 a 2 )
。 。
4. 若
，则 A=
。
三. 解答题：
2 1. 在 ABC 中，BC= a ， AC b ，a，b 是 x 2 3x 2 0 的两个根，且 2 cos(A B)
=1，求（1）角 C 的度数
（2）AB 的长
（3） ABC 的面积。
2. 在 ABC 中， c 10 ， A 45 ， C 30 ，求 a 、 b 和 B 。
3. 若 2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，求 x 的范围。
2 2 2 4. 在 ABC 中，若 sin A 2 sin B cos C ， sin A sin B sin C ，试判断 ABC 形状。
参考答案 1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C
20
9、(0，0) 5 10、 m 6 11、4
3 x 1 x 1 2 / 12、解：设 A （ｘ，ｙ） ，则有 ，解得 、所以 A/ （1，－1） 。 5 y y 1 2 2
x 13 、 解 ：（ 1 ） OP OQ 2 cos x, | OP || OQ | 1 cos2 x, cos OP OQ 2 cos 2 f ( x) （ 2 ） | OP | | OQ | 1 cos x
cos f ( x)
2 cos x 1 cos 2 x
2 cos x 1 cos x
且 x [
2 , ] ， cos x [ ,1] 4 4 2
2 cos x
1 3 2 cos x 2
2 2 2 2 2 2 ; f ( x) 1, 即 cos 1 max arccos 3 3 3
min 0
14、解：⑴f(x)= OA· OB = -2sinxcosx+cos2x= 2 cos( 2 x
5 ， ∴ ≤2x+ ≤ 、 4 2 4 4 ∴当 2x+ = ，即 x=0 时，f(x)max=1； 4 4 3 当 2x+ =π ，即 x= π 时，f(x)min= - 2 、 8 4 ⑵ OA OB 即 f(x)=0，2x+ = ，∴x= 、 4 2 8
4
)、
∵0≤x≤
此时| AB | (2 sin x cos x) 2 (cos 2 x 1) 2 = 4 sin 2 x cos 2 x 4 sin x cos x (cos 2 x 1) 2 =
7 7 cos2 x 2 sin 2 x cos2 2 x 2 2 7 7 cos 2 sin cos2 2 2 4 4 4
= =
1 16 3 2 、 2
21
15、解：( 1 ) 设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ， 则 AP ( x , y 1) ， BP ( x , y 1) ， PC (1 x , y ) 、 ∵ AP BP k | PC | 2 ，∴ x 2 y 2 1 k ( x 1) 2 y 2 ， 即 (1 k ) x 2 (1 k ) y 2 2kx k 1 0 。 若 k 1 ，则方程为 x 1 ，表示过点 (1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线、 若 k 1 ，则方程为 ( x
1 的圆、 |1 k |
k 2 1 2 k ) y2 ( ) ，表示以 ( , 0 ) 为圆心，以为半径 1 k 1 k 1 k
( 2 ) 当 k 2 时，方程化为 ( x 2) 2 y 2 1 、 AP BP ( x , y 1) ( x , y 1) ( 2 x , 2 y ) ∴ | AP BP | 2 x 2 y 2 、 又∵ ( x 2) 2 y 2 1 ，∴ 令 x 2 cos , y sin ，则
| AP BP | 2 x 2 y 2 2 5 4 cos
∴当 cos 1时， | AP BP | 的最大值为 6 ，当 cos 1 时，最小值为 2 。 . 1. C 二. 1.
1 7
2. D
3. A
4. C
5. D
6. B
7. C
8. C
9. D
10. A
2. 等腰三角形
3. 45
4. 30
三. 1. 解： （1）
cos C cos[ ( A B)] cos( A B) 1 2
∴ C 120
2 （2）∵ a 、 b 是 x 2 3x 2 0 的两个根
a b 2 3 ∴ a b 2
2 2 2 2 2 2 ∴ AB AC BC 2 AC BC cosC b a ab (a b) ab 10
22
∴ AB 10
S ABC 1 3 a b sin C 2 2
（3）
23
学 校： 学员姓名：
年 级： 辅导科目：数学
教学课题:平面向量与解三角形 学科教师：
教学目标 教学内容
复习平面向量与解三角形的重要考点
一. 向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
①向量： 既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c „„来表示， 或用有向线段的起点与终点的大写字母
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表示，如： AB 几何表示法 AB ， a ；坐标表示法 a xi yj ( x, y)
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向量的大小即向量的模（长度） ，
记作| AB | 即向量的大小，记作｜ a ｜
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向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行 零向量 a ＝ 0 ｜ a ｜＝0
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由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是 否有“非零向量”这个条件． （注意与 0 的区别） ③单位向量：模为 1 个单位长度的向量 向量 a0 为单位向量 ｜ a0 ｜＝1
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④平行向量 （共线向量） ： 方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相 同或相反的向量，称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总
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可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向
两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清 楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平 行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b 大小相等，方向
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相同
x x2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) 1 y1 y 2
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1
2、向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 AB a, BC b ，则 a + b = AB BC = AC
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（1） 0 a a 0 a ；
（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的 那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线 段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加 法的三角形法则可推广至多个向量相加：
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AB BC CD
3、向量的减法
． PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”
① 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量
有： （i） (a ) = a ； (ii) a +( a )=( a )+ a = 0 ；
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(iii)若 a 、 b 是互为相反向量，则 a = b , b = a , a + b = 0 ②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，
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记作： a b a (b ) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
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③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）
4、实数与向量的积：
①实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：
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（Ⅰ） a a ；
（Ⅱ） 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反； 当 0 时， a 0 ，方向是任意的
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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5、两个向量共线定理： 向量 b 与非零向量 a 共线 有且只有一个实数 ，使得 b = a
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2
6、平面向量的基本定理： 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数
1 , 2 使： a 1e1 2 e2 ，其中不共线的
向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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7 特别注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线（重合） 的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题， 特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的 距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不 等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
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二. 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由
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平面
向量的基本定理知， 该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ， 由于 a 与数对(x,y)是一一对应的， 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标
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(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
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2 平面向量的坐标运算：
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(1)若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 , y1 y2 (2)若 Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ，则 AB x2 x1 , y2 y1 (3)若 a =(x,y)，则 a =( x, y) (4)若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a // b x1 y2 x2 y1 0 (5)若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 y1 y2 若 a b ，则 x1 x2 y1 y2 0
3
3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
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运 算 几何方法 类型 向 1 平行四边形法则 量 2 三角形法则 的 加 法
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坐标方法
运算性质
a b b a
a b (x1 x2 , y1 y2 )
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(a b ) c a (b c )
AB BC AC
向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法
三角形法则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b a (b )
AB BA
OB OA AB
a 是一个向量, 满足: >0 时, a 与 a 同向;
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a (x, y)
(a ) ( )a
( )a a a
(a b ) a b
a ∥ b a b
向 量 的 数 量 积
a b 是一个数
a b x1x2 y1 y2
a b b a
(a) b a (b ) (a b ) (a b ) c a c b c
a 2 |
a | 2 , | a | x 2 y 2
a 0 或 b 0 时, a b =0
a 0 且 b 0 时,
a b | a || b | cos a, b
三．平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：
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| a b || a || b |
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已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积） 规定 0 a 0
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2 向量的投影：︱ b ︱cos =
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a b ∈R，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|
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4
3 数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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4 向量的模与平方的关系： a a a 2 | a |2
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5 乘法公式成立：
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a b a b a b a a b a 2a b b a
2 2
2 2 2
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2
b ；
2a b b
2
2
2
6 平面向量数量积的运算律：
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①交换律成立： a b b a
③分配律成立： a b c a c b c c a b 特别注意： （1）结合律不成立： a b c a b c ；
（2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b c （3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算：
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②对实数的结合律成立： a b a b a b R
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已知两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则 a · b = x1 x2 y1 y2
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8 向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= （ 0 0 1800 ）叫做向量 a
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与 b 的夹角
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cos = cos a , b
a b ab
=
x1 x 2 y1 y 2 x1 y1 x 2 y 2
2 2 2 2
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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时，θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800，同时 0 与其它任何非 零向量之间不谈夹角这一问题
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9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ b
a · b ＝O x1 x2 y1 y 2 0
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5
四．典型例题精讲
例1 给出下列命题： ① 若| a |＝| b |，则 a = b ； ② 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ， ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ； ⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a // c ， 其中正确的序号是 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：
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① AB BC CD ，② DB AC BD
③ OA OC OB CO
例 3 设非零向量 a 、 b 不共线， c =k a + b ， d = a +k b (kR)，若 c ∥ d ，试求 k
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例 4 已知向量 a (1, 2), b ( x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，求实数 x 的值
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例 5 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB （ O 为坐标原点）交点 P 的坐标
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例 6 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ，若 c 2a b , d 3b a ，试求 c 与 d 的夹角
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6
例 7 已知 a 4,3 ， b 1, 2 ， m a b , n 2a b ，按下列条件求实数 的值 （1） m n ； （2） m // n ； (3) m n
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例 8 已知 | a | 4 ， | b | 2 ，且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ (a 2b) (a b) ； ⑵ | 2a b | ； ⑶ a 与 a b 的夹角。
例 9 已知向量 a = (1,2) ， b = (3,2) 。 ⑴求 | a b | 与 | a b | ；⑵ 当 k 为何值时，向量 k a b 与 a 3b 垂直？ ⑶ 当 k 为何值时，向量 k a b 与 a 3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向？
例 10 已知 OP = (2,1) ， OA = (1,7) ， OB
= (5,1) ，设 M 是直线 OP 上一点， O 是坐标原点 ⑴求使 MA MB 取最小值时的 OM ； ⑵对（1）中的点 M ，求 AMB 的余弦值。
7
例 11 在 ABC 中， O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM 2 求： OA (OB OC) 的最小值。
正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 a b c 内容 2R sin A sin B sin C
余弦定理
a 2 b2 c 2 2bc cos A, b2 c 2 a 2 2ac cos B, c 2 a 2 b2 2ab cos C.
b2 c2 a 2 ; 2bc a2 c2 b2 cos B ; 2ca a 2 b2 c2 cos C . 2ab cos A
变形形 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; a b c 式 ②sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R ③a:b:c=sinA: sinB: sinC; abc a ④ sin A sin B sin C sin A
解决的 ① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ① 已知三边，求各角； 问题 ② 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其他两角。 ② 已知两角和它们的夹角，求第 三边和其他两个角。 a b 注：在Δ ABC 中，sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 （∵sinA>sinB a>b A>B） 2R 2R 2、Δ ABC 中常用公式 （1）A>B a>b,a+b>c,a-b
8
3.正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角． ③几何作图时，存在多种情况．如已知 a、b 及 A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角
C C C b a b a a b A B A a
B2
B1
A
B
a=b sin A 一解 (2)A 为锐角或钝角 当 a>b 时有一解.
b sin A
ab 一解
4．余弦定理应用范围： （1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边 【典型例题】 [例 1] 已知在 ABC 中， A 45 ， a 2 ， c 6 解此三角形。 练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。 （1） a 5 ， b 4 ， A 120 （2） a 7 ， b 14 ， A 150 （3） a 9 ， b 10 ， A 60 （4） c 50 ， b 72 ， C 135
9
正弦定理余弦定理的应用： 例 2：在 ABC 中，角 A, B, C 所对的 边分 a, b, c .若 a cos A b sin B ，则 sin A cos A cos2 B （
1 1 B． C． -1 D． 1 2 2 练习： 已知 A、B、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求 A+B+C 的值．
）
A．
在△ABC 中， sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin B sin C ，则 A 的取值范围是 （A） (0, ]
6
（B） [ , )
6
（C） (0, ]
3
（D） [ , )
3
利用正弦定理余
弦定理判断三角形的形状及求取值范围 [例 3]若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13 则△ ABC A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形. C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
练习：1、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则
AC
cosA
的值等于______，AC 的取值范围为______．
2、在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， (1)判断△ABC 的性状；
π π b sin2C ＜C＜ 且 ＝ 3 2 a－b sinA－sin2C
(2)若| BA ＋ BC |＝2，求 BA · BC 的取值范围．
B a＋c 3 、 在 △ ABC 中 ， cos2 ＝ ， (a ， b ， c 分 别 为 角 A ， B ， C 的 对 边 ) ， 则 △ ABC 的 形 状 为 2 2c
( ) A．正三角形 C．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 D．等腰直角三角形
利用正余弦定理求三角形面积
10
〖例 4〗 （2009 浙江文） 在 ABC 中， 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， 且满足 cos （I）求 ABC 的面积； （II）若 c 1 ，求 a 的值． 练习：1.在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足
A 2 5 ， AB AC 3 ． cos 2 5 （I）求 ABC 的面积； （II）若 b c 6 ，求 a 的值．
B D
A 2 5 ，AB AC 3 ． 2 5
A
C
2.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，其中 c 2 ， 又向量 m (1 , cosC ) ，n ( cosC , 1) ，m·n=1． （1）若 A 45 ，求 a 的值； （2）若 a b 4 ，求△ ABC 的面积．
A
2.△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ B
11
2
D 1 C
ADC＝
150o，求 AC 的长及△ABC 的面积．
高考题演练： （1） （2010 年陕西）17.（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长.
16、(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c
（Ⅰ）若 a , b , c 成等差数列，证明： sin A sin C 2 sin( A C) ； （Ⅱ）若 a , b , c 成等比数列，求 cos B 的最小值.
（2）在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
12
正余弦定理实际应用问题 〖例 5〗（本小题满分 12 分）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点， 现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与
B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要
多长时间？ 已知在 ABC 中， A 45 ， a 2 ， c 6 解此三角形。
2 2 解：由余弦定理得： b ( 6 ) 2 6b cos45 4
2 ∴ b 2 3b 2 0
∴ b 3 1
cos C 1 2 ， C 60 或 C 120
又 ( 6 ) b 2 2 2b cosC
2 2 2
∴
∴ B 75 或 B
15 ∴ b 3 1 ， C 60 ， B 75 或 b 3 1 ， C 120 ， B 15
[例 4] 已知 a 、b 、c 是 ABC 中，A 、B 、C 的对边， S 是 ABC 的面积， 若 a 4 ，b 5 ，S 5 3 ， 求 c 的长度。 解： ∵ a 4 ，b 5，
sin C 3 2
S 1 ab sin C 5 3 2
∴
∴ C 60 或 120 ∴ c 21 ∴ c 61
2 2 2 ∴ 当 C 60 时， c a b ab 21 2 2 2 当 C 120 时， c a b ab 61
2 即 ( a c) 4
∴ a c 2又a c 1
∴ 1 a c 2
13
[例 6] 在 ABC 中，已知 b a( 3 1) ， C 30 ，求 A、B。 解：
cosC cos30 3 a2 b2 c2 2 2ab
由余弦定理，
2 2 2 2 ∴ a a (4 2 3) c 3a ( 3 1)
∴ c (2 3 )a
2
2
∴
c 2 3a
3 1
3 1 2
a
a a a( 3 1) 2 sin B sin 30 由正弦定理： sin A
sin B 2 sin 30 2 2
∴
∵ ab
∴ AB
∴ B 为锐角
∴ B 45
∴ A 180 (45 30) 105
2 2 [例 7] 已知 ABC 中， 2 2 (sin A sin C) (a b) sin B ，外接圆半径为 2 。
（1）求 C （2）求 ABC 面积的最大值 解：
2 2 （1）由 2 2 (sin A sin C) (a b) sin B
∴
2 2(
a2 c b ) ( a b) 2 2 2R 4R 4R
∴ R 2
2 2 2 ∴ a c ab b
2 2 2 ∴ a b c ab
a2 b2 c2 1 cosC 2ab 2 ∴
又 0 C 180
S
∴ C 60
（2）
1 1 3 absin C ab 2 3 sin A sin B 2 2 2
14
2 3 sin A sin(120 A) 2 3 sin A(sin120 cos A cos120 sin A)
3 sin A cos A 3 sin 2 A 3 2
S max 3 3 2
1 sin 2 B sin B cos B 的取值
3 3 3 sin 2 A cos2 A 2 2 2
3 sin(2 A 30)
∴ 当 2 A 120
即 A 60 时，
[例 8] 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 依次成等比数列，求 范围。 解：
2 ∵ b ac
y
∴
cos B
a 2 c 2 b2 2ac
a 2 c 2 ac 2ac
1 a c 1 1 ( ) 2 c a 2 2
∴
y
0B
3
1 sin 2 B (sin B cos B) 2 sin B cos B 2 sin(B ) sin B cos B sin B cos B 4
∵ 4
B
4
7 12
∴
2 sin(B ) 1 2 4
∴ 1 y 2
[例 9] 在 ABC 中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。 解：
* 设 a k 1 ， b k ， c k 1， k N 且 k 1
cosC
∵ C 是钝角 解得 1 k 4 ∴
* ∵ kN
a2 b2 c2 k 4 0 2ab 2(k 1)
∴ k 2或 3
当 k 2 时， cos C 1 （舍去）
15
当 k 3 时，
cos C
1 4
1 c arccos( ) 4 ∴
1 arccos( ) 4 ∴ 最大角为
高考题演练： 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 3 3 海里的两个观
测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60 度的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点 的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
课后作业
1、若向量 a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于(
)
3 1 a+ b 2 2
A、
1 3 a+ b 2 2
B、
1 3 a b 2 2
C、
3 1 a b 2 2
D、
2、已知，A（2，3） ，B（－4，5） ，则与 AB 共线的单位向量是 A、 e (
（
）
3 10 10 , ) 10 10
B、 e (
3 10 10 3 10 10 , )或( , ) 10 10 10 10
C、 e (6,2)
D、 e (6,2)或(6,2)
3．设 a (2,－3), b (x,2x),且 3a b 4 ,则 x 等于
A．－3 B. 3 C.
1 3
（ D.
1 3
）
16
4．已知 AB (6,1), BC ( x, y),CD (2,3),且BC ∥ DA ，则 x 2 y 的值为 A．0 B. 2 C.
1 2
（
）
D. －2
5．已知向量 a ， b 的夹角为 120 ，且 a 2, b 5 ,则 (2a b ) a
（ D. 13
）
A．3
B. 9
C . 12
6．已知向量 a 、 b 的夹角为 60 ， | a | 3 ， | b | 2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，则 m 的值为（
A.
）
32 23
B.
23 42
C.
29 42
D.
42 29
OP2 2 sin , 2 cos ，则向量 P 7、设 0 2 ，已知两个向量 OP 1 cos , sin ， 1P 2 长度的最
大值是（ A、 2
） B、 3 C、 3 2 D、
8、设 i , j 分别是 x 轴， y 轴正方向上的单位向量， OP 3 cosi 3sin j ， (0, ), OQ i 。若用 2
来表示 OP 与 OQ 的夹角，则 A、 B、
等于 （ D、
）
2
C、
2
9、 ．已知 a (1, 2) , b (3,2) ,当 k 为何值时， （1） ka b 与 a 3b 垂直？
（2） ka b 与 a 3 b 平行？
17
10．设向量 a 与 b 的夹角为θ ，定义 a 与 b 的“向量积”：
a b 是一个向量，它的模 | a b || a | | b | sin .
若 a ( 3,1),b (1, 3) ，则 | a b |
.
11、设向量 a ， b 满足 a b 1, 3a 2b 3 ，求 3a b 的值.
12.已知 a =2， b =3， a b = 7 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是（ A．
） D．
6
B．
4
C．
3
2
13、设 OA (2 sin x, cos2x)， 其中 x∈[0， OB ( cos x， 1)， (1)求 f(x)= OA· OB 的最大值和最小值； (2)当 OA ⊥ OB ，求| AB |、
]、 2
18
1. 在 ABC 中，一定成立的等式是（ A. a sin A b sin B C. a sin B b sin A
）
B. a cos A b cos B D. a cos B b cos A
cos A b 2. 在 ABC 中，若 cos B a ，则 ABC 是（
） D. 等腰或
直角三角形 ）
]
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
3. 已知 ABC 中，AB=1，BC=2，则 C 的取值范围是（
(0 ,
6
A.
]
B.
(0 ,
2
)
C.
(
6 , 2
]
D. ）
(
6 , 3
4. ABC 中，若 3a 2b sin A ，则 B 为（
A. 3
B. 6
2 C. 3 或 3
5 D. 6 或 6
）
5. ABC 的三边满足 (a b c)(a b c) 3ab，则 C 等于（ A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
6. 在 ABC 中，AB=3，BC= 13 ，AC=4，则边 AC 上的高为（
3 2 A. 2 3 3 B. 2
3 C. 2
）
D. 3 3 ）条件 D. 既不充分也不必要 ）
7. ABC 中， “ sin A sin B ”是“A=B”的（ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要
2 2 2 8. ABC 中， sin A sin B sin B sin C sin C ，则 A 等于（
A. 30
B. 60
C. 120
D. 150 ）
9. ABC 中， B 30 ， b 50 3 ， c 150 ，则这个三角形是（ A. 等边三角形 B. Rt 三角形 C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
a b c k 10. 在 ABC 中， sin A sin B sin C ，则 k =（
1 D. 2 R
19
）
A. 2R
B. R
C. 4R
二. 填空： 1. 在 ABC 中，已知 a 7 ， b 8 ，
cos C 13 14 ，则最大角的余弦值为
。
2. 在 ABC 中， sin A 2 cos B sin C ，则三角形为 3. 在 ABC 中， a : b : c ( 3 1) : 6 : 2，则最小角为
S 1 4 3 (b 2 c 2 a 2 )
。 。
4. 若
，则 A=
。
三. 解答题：
2 1. 在 ABC 中，BC= a ， AC b ，a，b 是 x 2 3x 2 0 的两个根，且 2 cos(A B)
=1，求（1）角 C 的度数
（2）AB 的长
（3） ABC 的面积。
2. 在 ABC 中， c 10 ， A 45 ， C 30 ，求 a 、 b 和 B 。
3. 若 2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，求 x 的范围。
2 2 2 4. 在 ABC 中，若 sin A 2 sin B cos C ， sin A sin B sin C ，试判断 ABC 形状。
参考答案 1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C
20
9、(0，0) 5 10、 m 6 11、4
3 x 1 x 1 2 / 12、解：设 A （ｘ，ｙ） ，则有 ，解得 、所以 A/ （1，－1） 。 5 y y 1 2 2
x 13 、 解 ：（ 1 ） OP OQ 2 cos x, | OP || OQ | 1 cos2 x, cos OP OQ 2 cos 2 f ( x) （ 2 ） | OP | | OQ | 1 cos x
cos f ( x)
2 cos x 1 cos 2 x
2 cos x 1 cos x
且 x [
2 , ] ， cos x [ ,1] 4 4 2
2 cos x
1 3 2 cos x 2
2 2 2 2 2 2 ; f ( x) 1, 即 cos 1 max arccos 3 3 3
min 0
14、解：⑴f(x)= OA· OB = -2sinxcosx+cos2x= 2 cos( 2 x
5 ， ∴ ≤2x+ ≤ 、 4 2 4 4 ∴当 2x+ = ，即 x=0 时，f(x)max=1； 4 4 3 当 2x+ =π ，即 x= π 时，f(x)min= - 2 、 8 4 ⑵ OA OB 即 f(x)=0，2x+ = ，∴x= 、 4 2 8
4
)、
∵0≤x≤
此时| AB | (2 sin x cos x) 2 (cos 2 x 1) 2 = 4 sin 2 x cos 2 x 4 sin x cos x (cos 2 x 1) 2 =
7 7 cos2 x 2 sin 2 x cos2 2 x 2 2 7 7 cos 2 sin cos2 2 2 4 4 4
= =
1 16 3 2 、 2
21
15、解：( 1 ) 设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ， 则 AP ( x , y 1) ， BP ( x , y 1) ， PC (1 x , y ) 、 ∵ AP BP k | PC | 2 ，∴ x 2 y 2 1 k ( x 1) 2 y 2 ， 即 (1 k ) x 2 (1 k ) y 2 2kx k 1 0 。 若 k 1 ，则方程为 x 1 ，表示过点 (1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线、 若 k 1 ，则方程为 ( x
1 的圆、 |1 k |
k 2 1 2 k ) y2 ( ) ，表示以 ( , 0 ) 为圆心，以为半径 1 k 1 k 1 k
( 2 ) 当 k 2 时，方程化为 ( x 2) 2 y 2 1 、 AP BP ( x , y 1) ( x , y 1) ( 2 x , 2 y ) ∴ | AP BP | 2 x 2 y 2 、 又∵ ( x 2) 2 y 2 1 ，∴ 令 x 2 cos , y sin ，则
| AP BP | 2 x 2 y 2 2 5 4 cos
∴当 cos 1时， | AP BP | 的最大值为 6 ，当 cos 1 时，最小值为 2 。 . 1. C 二. 1.
1 7
2. D
3. A
4. C
5. D
6. B
7. C
8. C
9. D
10. A
2. 等腰三角形
3. 45
4. 30
三. 1. 解： （1）
cos C cos[ ( A B)] cos( A B) 1 2
∴ C 120
2 （2）∵ a 、 b 是 x 2 3x 2 0 的两个根
a b 2 3 ∴ a b 2
2 2 2 2 2 2 ∴ AB AC BC 2 AC BC cosC b a ab (a b) ab 10
22
∴ AB 10
S ABC 1 3 a b sin C 2 2
（3）
23