基本物理量的测量与误差分析
摘要：学会用不确定度法分析评估实验结果。通过研究单摆的运动规律，测量本地重力加速度。通过研究扭摆的运动规律，测量转动惯量和切变模量 关键词：单摆，扭摆，误差
一、引言
【实验背景】
让大学生了解大学物理实验的基本操作流程和规范，培养大学生测量物理实验中基本物理量和处理数据的能力。
【实验目的】
1. 学会几种常用测量仪器的正确使用方法。 2. 学习并掌握误差均分原理及其应用。 3. 学会用不确定度法分析评估实验结果。 4. 研究单摆的运动规律，测量本地重力加速度。 5. 研究扭摆的运动规律，测量转动惯量和切变模量。
二、实验内容与数据处理
【实验原理】
（一） 误差均分原理
设间接测量量值为y，它是由n个互不相关的直接测量x1, x2, x3……xn通过函数关系f得到
y=f(x1,x2,x3,...,xn) （1）
根据误差理论，间接测量量的标准不确定度传递公式为
⎛∂f
U2(y)=∑⎜⎜
i=1⎝∂xi
n⎞2
（2） ⎟⎟uc(xi)⎠
2
间接测量量的相对标准不确定度传递公式为
⎛∂lnf
Ur2(y)=∑⎜⎜
i=1⎝∂xi
n⎞2
（3） ⎟⎟uc(xi)⎠
2
若要求间接测量量的相对标准不确定度Ur (y)
∂lnf∂lnf∂lnf
uc(x1)=uc(x2)=......=uc(xn) （4） ∂x1∂x2∂xn
则
2
⎛∂lnfUr2(y)=n⎜⎜∂x
i⎝⎞2
（5） ⎟⎟uc(xi)⎠
这一方法被称之为误差均分原理，它常用于实验设计之中。
以单摆法测量重力加速度实验为例，运用误差均分原理进行实验设计和仪器选配如下： 由公式g=4π2L/T2得到相对标准不确定度传递公式：
Ur(g)== （6）
g式中，g为重力加速度，L为单摆线长，T为单摆摆动周期。 若要求重力加速度Ur (y)
Ug
Ur2(g)⎛UL⎞⎛UT⎞
（7） ⎜⎟=⎜⎟=
LT2⎝⎠⎝⎠
整理得
22
UL
L
×1%,2
UT
T22
×1% （8）
（8）式指明：若要求Ur (y)
若单摆摆长L≈50cm，周期T≈1.4s，由（8）式得
UL
（二） 单摆
理想的单摆是一根长度为l、没有质量和弹性的柔软细线，下端系一个没有体积、质量为m的质点，在与地面垂直的平面内绕支点o作摆角θ趋于零的自由振动。
其摆动周期T为
T=2π(l/g)1/2 （11）
实际的单摆是悬线为一根有质量（弹性很小）的细线，摆球是有质量有体积的刚性小球，摆角不为零，而且又受空气浮力的影响，其摆动周期公式为
ml⎛l⎡d2dml⎞ρ0θ2⎤
T=2π−+⎥⎜1++⎟+⎢1+2
g⎣20l12m⎝2lm⎠2ρ16⎦
（12）
式中，T是单摆的摆动周期，g是重力加速度，l、ml是单摆摆线的长度和质量，d、m、ρ是摆球的直径、质量和密度，ρ0是空气的密度，θ是摆角。 （三）扭摆
将一细金属丝（钢丝）的上端固定，下端联结一个以金属丝为对称轴的物体，当以钢丝为轴将物体扭转一小角度松开后，物体将在钢丝弹性扭转力矩M的作用下作周期性的自由摆动。这就是扭摆。本实验所用扭摆如图4所示，爪手（及圆环）和钢丝一起组成了扭摆。若钢丝在扭转摆动中的角位移以Φ表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为I0，根据转动定律则有
d2Φ (17)
M=−KΦ=I02
dt
d2ΦK
+Φ=0 (18) 2
I0dt
此方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是
T0=2π
I0 (19) K
（19）式中钢丝的扭转系数K和摆动物体绕轴的转动惯量I0可以通过实验测得，方法如下。 首先测得转动系统本身（爪手）绕轴摆动的周期T0，这时转动系统的转动惯量为I0，如图4，再将一个已知内外直径、高度和质量的圆环水平放在爪手上，测得爪手与圆环一起绕钢丝转动的周期T1，系统的转动惯量为系统本身的转动惯量I0与圆环的转动惯量I1之和，由(19)式可得
4π24π22
(I0+I1) T=I0 T1=KK
2
将此两式相减可消去I0，得：
4π2
T−T=I1 (20)
K
21
20
若圆环转动惯量I1已知，可由(20)式求得钢丝的扭转系数K。若K已知，也可由(20)式求得圆环的转动惯量I1。因钢丝的扭转系数K=πGR4/2L，便可由下式计算出钢丝的切变模量G
G=
8πLI1
(21) .422
RT1−T2
由理论推导可知，圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量I1为
b2+c2
(22) I1=M
8
式中，b为圆环的内直径，c为圆环的外直径，M为圆环的质量。
若使圆环在垂直方向绕同一轴摆动，圆环的高度为d，这时圆环的绕轴转动惯量I1为
⎛b2+c2d2⎞I1=M⎜⎜16+12⎟⎟ (23)
⎝⎠
转动惯量的平行轴定理：理论分析证明，若质量为M的物体绕质心轴的转动惯量为I0，若转轴平行移动距离为x时，则物体对新轴的转动惯量为
I=I0+Mx2 (24)
【实验内容】
一、固定单摆摆长测量摆动周期，计算本地重力加速度，检验测量结果是否满足精度要求。 1、用千分尺测量球直径5次
球直径
测量次数 直径d(mm)
1 19.960
2 19.992
3 19.979
4 19.982
5 19.989
平均 19.980
用米尺测量绳长5次
绳长
测量次数 绳长(cm)
1 49.00
2 48.95
3 49.05
4 49.00
5 49.00
平均 49.00
摆长=l=绳长＋球半径=49.999cm (误差U
2、搭建单摆，用秒表测量50个摆动周期的时间，重复测量5次。
50个摆动周期的时间
测量次数 时间t(s)
1
2
3
4
5
平均
1分10秒91 1分10秒85 1分10秒72 1分10秒93 1分11秒14 1分10秒91
平均50个周期时间为1分10秒91 （误差U
1、设置摆长为50 cm，每次增加摆长5 cm直至80 cm，用秒表测量单摆摆动50个周期的时间。
摆长与摆动周期关系
摆长l(cm) 周期T(s)
50 1.4182
55 1.4840
60 1.5538
65 1.6170
70 1.6748
75 1.7354
80 1.7924
三、测量钢丝的扭转系数及系统本身绕对称轴的转动惯量（圆环绕对称轴的转动惯量已知）。 1、分别用电子天平和游标卡尺测量圆环的质量和内、外直径各5次。 圆环质量：560.5g
圆环的内、外直径
测量次数 内径(cm) 外径(cm)
1 7.968 11.000
2 7.946 11.000
3 7.990 11.026
4 7.992 11.002
5 7.994 11.024
平均 7.978 11.010
2、搭建单线扭摆，用智能计时仪测量系统本身绕钢丝转动的5个周期，重复5次。
系统本身绕钢丝转动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 28.90
2 28.73
3 28.66
4 28.95
5 28.31
平均 28.71
平均一个周期5.742s(U
3、测量在爪手上水平放置圆环时整个系统绕钢丝转动的5个周期，重复5次。
整个系统绕钢丝转动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 73.53
2 73.59
3 73.82
4 73.97
5 73.79
平均 73.74
平均一个周期14.748s (U
钢丝的直径
测量次数 直径(mm)
1 0.390
2 0.378
3 0.385
4 0.390
5 0.382
平均 0.385
用游标卡尺测量圆环内径7.978cm, 外径11.010cm, 高度15.990cm 用电子天平称量圆环的质量560.5g
2、搭建单线扭摆，分别将圆环以水平和垂直两种状态放置在爪手上，用智能计时仪测量扭摆摆动5个周期的时间5次。
圆环水平放置扭摆摆动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 14.763
2 14.774
3 14.771
4 14.769
5 14.781
平均 14.772
圆环垂直放置扭摆摆动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 13.532
2 12.398
3 11.254
4 12.816
5 11.974
平均 12.395
【实验方法和技术】 实验仪器：
实验支架与底座、电子秒表、数字式智能计时仪、霍耳开关探测器、爪手、圆环、矩形棒、圆柱形棒、小钢球、小磁钢、细钢丝和铜丝、钢板尺（1米）、游标卡尺、千分尺、电子天平等。实验装置如图5所示。爪手上分别设置有放置圆环或球的凹槽，爪手的下方也分别设置有可悬挂圆环、放置条状棒或方形状棒的凹槽。本仪器主要包括以下部分：
1、爪手 2、圆环 3、钢丝 4、霍耳开关 5、铷铁硼小磁钢 6、底座 7、数字式计数计时仪 8、标志旋钮 9、扭动旋钮 【实验结果的分析和结论】
一、固定单摆摆长测量摆动周期，计算本地重力加速度，检验测
量结果是否满足精度要求。
平均一个周期时间T为1.4182s （误差U
得g=9.814m/s!
武汉本地重力加速度为9.7936m/s! 故误差U(g)
摆长与摆动周期、摆长与摆动周期平方关系图
图5 实验装置简图（图中两个2分别表示圆环垂直和水平两种状态放置）
基本物理量的测量与误差分析
摘要：学会用不确定度法分析评估实验结果。通过研究单摆的运动规律，测量本地重力加速度。通过研究扭摆的运动规律，测量转动惯量和切变模量 关键词：单摆，扭摆，误差
一、引言
【实验背景】
让大学生了解大学物理实验的基本操作流程和规范，培养大学生测量物理实验中基本物理量和处理数据的能力。
【实验目的】
1. 学会几种常用测量仪器的正确使用方法。 2. 学习并掌握误差均分原理及其应用。 3. 学会用不确定度法分析评估实验结果。 4. 研究单摆的运动规律，测量本地重力加速度。 5. 研究扭摆的运动规律，测量转动惯量和切变模量。
二、实验内容与数据处理
【实验原理】
（一） 误差均分原理
设间接测量量值为y，它是由n个互不相关的直接测量x1, x2, x3……xn通过函数关系f得到
y=f(x1,x2,x3,...,xn) （1）
根据误差理论，间接测量量的标准不确定度传递公式为
⎛∂f
U2(y)=∑⎜⎜
i=1⎝∂xi
n⎞2
（2） ⎟⎟uc(xi)⎠
2
间接测量量的相对标准不确定度传递公式为
⎛∂lnf
Ur2(y)=∑⎜⎜
i=1⎝∂xi
n⎞2
（3） ⎟⎟uc(xi)⎠
2
若要求间接测量量的相对标准不确定度Ur (y)
∂lnf∂lnf∂lnf
uc(x1)=uc(x2)=......=uc(xn) （4） ∂x1∂x2∂xn
则
2
⎛∂lnfUr2(y)=n⎜⎜∂x
i⎝⎞2
（5） ⎟⎟uc(xi)⎠
这一方法被称之为误差均分原理，它常用于实验设计之中。
以单摆法测量重力加速度实验为例，运用误差均分原理进行实验设计和仪器选配如下： 由公式g=4π2L/T2得到相对标准不确定度传递公式：
Ur(g)== （6）
g式中，g为重力加速度，L为单摆线长，T为单摆摆动周期。 若要求重力加速度Ur (y)
Ug
Ur2(g)⎛UL⎞⎛UT⎞
（7） ⎜⎟=⎜⎟=
LT2⎝⎠⎝⎠
整理得
22
UL
L
×1%,2
UT
T22
×1% （8）
（8）式指明：若要求Ur (y)
若单摆摆长L≈50cm，周期T≈1.4s，由（8）式得
UL
（二） 单摆
理想的单摆是一根长度为l、没有质量和弹性的柔软细线，下端系一个没有体积、质量为m的质点，在与地面垂直的平面内绕支点o作摆角θ趋于零的自由振动。
其摆动周期T为
T=2π(l/g)1/2 （11）
实际的单摆是悬线为一根有质量（弹性很小）的细线，摆球是有质量有体积的刚性小球，摆角不为零，而且又受空气浮力的影响，其摆动周期公式为
ml⎛l⎡d2dml⎞ρ0θ2⎤
T=2π−+⎥⎜1++⎟+⎢1+2
g⎣20l12m⎝2lm⎠2ρ16⎦
（12）
式中，T是单摆的摆动周期，g是重力加速度，l、ml是单摆摆线的长度和质量，d、m、ρ是摆球的直径、质量和密度，ρ0是空气的密度，θ是摆角。 （三）扭摆
将一细金属丝（钢丝）的上端固定，下端联结一个以金属丝为对称轴的物体，当以钢丝为轴将物体扭转一小角度松开后，物体将在钢丝弹性扭转力矩M的作用下作周期性的自由摆动。这就是扭摆。本实验所用扭摆如图4所示，爪手（及圆环）和钢丝一起组成了扭摆。若钢丝在扭转摆动中的角位移以Φ表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为I0，根据转动定律则有
d2Φ (17)
M=−KΦ=I02
dt
d2ΦK
+Φ=0 (18) 2
I0dt
此方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是
T0=2π
I0 (19) K
（19）式中钢丝的扭转系数K和摆动物体绕轴的转动惯量I0可以通过实验测得，方法如下。 首先测得转动系统本身（爪手）绕轴摆动的周期T0，这时转动系统的转动惯量为I0，如图4，再将一个已知内外直径、高度和质量的圆环水平放在爪手上，测得爪手与圆环一起绕钢丝转动的周期T1，系统的转动惯量为系统本身的转动惯量I0与圆环的转动惯量I1之和，由(19)式可得
4π24π22
(I0+I1) T=I0 T1=KK
2
将此两式相减可消去I0，得：
4π2
T−T=I1 (20)
K
21
20
若圆环转动惯量I1已知，可由(20)式求得钢丝的扭转系数K。若K已知，也可由(20)式求得圆环的转动惯量I1。因钢丝的扭转系数K=πGR4/2L，便可由下式计算出钢丝的切变模量G
G=
8πLI1
(21) .422
RT1−T2
由理论推导可知，圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量I1为
b2+c2
(22) I1=M
8
式中，b为圆环的内直径，c为圆环的外直径，M为圆环的质量。
若使圆环在垂直方向绕同一轴摆动，圆环的高度为d，这时圆环的绕轴转动惯量I1为
⎛b2+c2d2⎞I1=M⎜⎜16+12⎟⎟ (23)
⎝⎠
转动惯量的平行轴定理：理论分析证明，若质量为M的物体绕质心轴的转动惯量为I0，若转轴平行移动距离为x时，则物体对新轴的转动惯量为
I=I0+Mx2 (24)
【实验内容】
一、固定单摆摆长测量摆动周期，计算本地重力加速度，检验测量结果是否满足精度要求。 1、用千分尺测量球直径5次
球直径
测量次数 直径d(mm)
1 19.960
2 19.992
3 19.979
4 19.982
5 19.989
平均 19.980
用米尺测量绳长5次
绳长
测量次数 绳长(cm)
1 49.00
2 48.95
3 49.05
4 49.00
5 49.00
平均 49.00
摆长=l=绳长＋球半径=49.999cm (误差U
2、搭建单摆，用秒表测量50个摆动周期的时间，重复测量5次。
50个摆动周期的时间
测量次数 时间t(s)
1
2
3
4
5
平均
1分10秒91 1分10秒85 1分10秒72 1分10秒93 1分11秒14 1分10秒91
平均50个周期时间为1分10秒91 （误差U
1、设置摆长为50 cm，每次增加摆长5 cm直至80 cm，用秒表测量单摆摆动50个周期的时间。
摆长与摆动周期关系
摆长l(cm) 周期T(s)
50 1.4182
55 1.4840
60 1.5538
65 1.6170
70 1.6748
75 1.7354
80 1.7924
三、测量钢丝的扭转系数及系统本身绕对称轴的转动惯量（圆环绕对称轴的转动惯量已知）。 1、分别用电子天平和游标卡尺测量圆环的质量和内、外直径各5次。 圆环质量：560.5g
圆环的内、外直径
测量次数 内径(cm) 外径(cm)
1 7.968 11.000
2 7.946 11.000
3 7.990 11.026
4 7.992 11.002
5 7.994 11.024
平均 7.978 11.010
2、搭建单线扭摆，用智能计时仪测量系统本身绕钢丝转动的5个周期，重复5次。
系统本身绕钢丝转动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 28.90
2 28.73
3 28.66
4 28.95
5 28.31
平均 28.71
平均一个周期5.742s(U
3、测量在爪手上水平放置圆环时整个系统绕钢丝转动的5个周期，重复5次。
整个系统绕钢丝转动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 73.53
2 73.59
3 73.82
4 73.97
5 73.79
平均 73.74
平均一个周期14.748s (U
钢丝的直径
测量次数 直径(mm)
1 0.390
2 0.378
3 0.385
4 0.390
5 0.382
平均 0.385
用游标卡尺测量圆环内径7.978cm, 外径11.010cm, 高度15.990cm 用电子天平称量圆环的质量560.5g
2、搭建单线扭摆，分别将圆环以水平和垂直两种状态放置在爪手上，用智能计时仪测量扭摆摆动5个周期的时间5次。
圆环水平放置扭摆摆动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 14.763
2 14.774
3 14.771
4 14.769
5 14.781
平均 14.772
圆环垂直放置扭摆摆动5个周期的时间
测量次数 时间(s)
1 13.532
2 12.398
3 11.254
4 12.816
5 11.974
平均 12.395
【实验方法和技术】 实验仪器：
实验支架与底座、电子秒表、数字式智能计时仪、霍耳开关探测器、爪手、圆环、矩形棒、圆柱形棒、小钢球、小磁钢、细钢丝和铜丝、钢板尺（1米）、游标卡尺、千分尺、电子天平等。实验装置如图5所示。爪手上分别设置有放置圆环或球的凹槽，爪手的下方也分别设置有可悬挂圆环、放置条状棒或方形状棒的凹槽。本仪器主要包括以下部分：
1、爪手 2、圆环 3、钢丝 4、霍耳开关 5、铷铁硼小磁钢 6、底座 7、数字式计数计时仪 8、标志旋钮 9、扭动旋钮 【实验结果的分析和结论】
一、固定单摆摆长测量摆动周期，计算本地重力加速度，检验测
量结果是否满足精度要求。
平均一个周期时间T为1.4182s （误差U
得g=9.814m/s!
武汉本地重力加速度为9.7936m/s! 故误差U(g)
摆长与摆动周期、摆长与摆动周期平方关系图
图5 实验装置简图（图中两个2分别表示圆环垂直和水平两种状态放置）