浙江省杭州外国语学校2014届高三3月月考数学(文科)试卷

浙江省杭州外国语学校2014届高三3月月考数学（文科）试卷

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1. 若集合A{x|0x2},B{x|x21}，则A

B（ ）

A．{x|0x1} B．{x|x0或x1} C．{x|1x2} D．{x|0x2} 2. 已知向量a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”“a//(ab)”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图， 样本重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，

是

[15,20]，则样本重量落在[15,20]内的频数为（ ）

A．10 B．20 C．30 D．40 4. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A．5

B．7 C．9

2

D．11

5. 函数y2sinx图象的一条对称轴方程可以为（ ） 3

A．x B．x C．x D．x

434

6. 函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7. 设a,b是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则能得出



ab的是（ ）

A．a，b//， B．a，b，// C．a，b，// D．a，b//，

x2

8．实数x,y满足x2y40,若zkxy的最大值为13,则实数k的值为（ ）

2xy40

A. 2 B.

13

2

C.

9 4

D. 5

y2

1，点A（﹣1，0）9. 已知双曲线x，在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒2

2

过定点（ ） A． （3，0）

B． （1，0） C． （﹣3，0） D． （4，0）

10. 在实数集R中定义一种运算“”，对任意a,bR，ab为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意aR，a0a；

（2）对任意a,bR，abab(a0)(b0). 则函数f(x)(e)A．2

x

1

的最小值为 （ ） ex

C．6

D．8

B．3

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11．已知tan(12. 复数z

6

)

11

,tan(),则tan() 263

1

（其中i为虚数单位）的虚部为 2i

13. 从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是

x2y2

14. 设F1，F2是椭圆C：221（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若

ab

AB⊥AF2，|AB|:|AF2|=3:4，则椭圆的离心率为 ．

15. 如图所示是一个四棱锥的三视图， 则该几何体的体积为

左视图

x2x,x1

32

16. 已知函数f(x)logx, x1 ，若对任意的xR，不等式f(x)mm恒成立，则实

143

数m的取值范围为

17．非零向量，夹角为600，且||1，则||的取值范围为

三、解答题：本大题共5题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分14分）

在ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2cosAcosC12sinAsinC. （Ⅰ）求B的大小;

（Ⅱ）若ac

，b求ABC的面积. 2

19．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F

分别是PC，PD的中点． （Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

20．（本题满分14分）

已知{an}是等差数列，公差为d，首项a13，前n项和为Sn.令cn(1)nSn(nN),{cn}的前20项和T20330.数列{bn}满足bn2(a2)d（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn1bn，nN，求a的取值范围.

n2

2n1，aR.

21．(本小题满分15分)

已知函数f(x)

23

x2ax23x. 3

（Ⅰ）当a0时，求曲线yf(x)在点(3,f(3))的切线方程；

（Ⅱ）对一切x0,,af(x)4a2xlnx3a1恒成立,求实数a的取值范围； （Ⅲ）当a0时，试讨论f(x)在(1,1)内的极值点的个数.

22．(本小题满分15分)

已知圆C过定点A(0,1)，圆心C在抛物线x22y上，M、N为圆C与x轴的交点． （Ⅰ）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （Ⅱ）当圆心C在抛物线上运动时，MN是否为一定值？请证明你的结论． （Ⅲ）当圆心C在抛物线上运动时，记AMm，ANn，求

mn

的最大值，并求出此时圆nm

C的方程．

杭州外国语学校2013-2高三3月月考数学答题卷（文科）

三、解答题：

18．（本小题满分14分）

在ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2cosAcosC12sinAsinC. （Ⅰ）求B的大小; （Ⅱ）若ac

，b求ABC的面积. 2

19. （本小题满分14分）

如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点． （Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分14分）

已知{an}是等差数列，公差为d，首项a13，前n项和为Sn.令cn(1)nSn(nN),{cn}的前20项和T20330.数列{bn}满足bn2(a2)d（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn1bn，nN，求a的取值范围.

n2

2n1，aR.

21．(本小题满分15分)

已知函数f(x)

23

x2ax23x. 3

（Ⅰ）当a0时，求曲线yf(x)在点(3,f(3))的切线方程；

（Ⅱ）对一切x0,,af(x)4a2xlnx3a1恒成立,求实数a的取值范围； （Ⅲ）当a0时，试讨论f(x)在(1,1)内的极值点的个数.

22. (本小题满分15分)

已知圆C过定点A(0,1)，圆心C在抛物线x22y上，M、N为圆C与x轴的交点． （Ⅰ）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （Ⅱ）当圆心C在抛物线上运动时，MN是否为一定值？请证明你的结论． （Ⅲ）当圆心C在抛物线上运动时，记AMm，ANn，求

mn

的最大值，并求出此时圆nm

C的方程．

高三数学（文科）3月月考参考答案

二．

11． 1 15. 4

12. 

1

51or4

13.

3 5

14.

16. mm1

17.

三．解答题：

18．解：（Ⅰ）由2cosAcosC12sinAsinC得：

2(cosAcosCsinAsinC)1

1

cos(AC)，………………………………………………………………………4分

21

cosB，又0B

2

B………………………………………………………………………………………7分

3

a2cb21

（Ⅱ）由余弦定理得：cosB

2ac2

(ac)22acb21

，…………………………………………………………………10分

2ac2

又ac

2

，b

275

2ac3ac，ac……………………………………………………………12分 44

115SABCacsinB. ……………………………………………14分

224

20. 解： (Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为cn(1)nSn 所以T20S1S2S3S4则a2a4a6则10(3d)

S20330

a20330 ……………………………………………………………3分

109

2d330 解得d3 2

所以an33(n1)3n ………………………………………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知bn2(a2)3

n2

2n1

bn1bn2(a2)3n12n[2(a2)3n22n1]4(a2)3n22n1

12

43n2[(a2)()n2]

23

12n212()0a2()n2 …………………………11分 2323

12n212n25因为2()随着n的增大而增大，所以n1时，2()最小值为 23234

5所以a…………………………………………………………………………………14分 4

2321．解：(Ⅰ) 由题意知f(x)x3x,所以f(x)2x23 3由bn1bn(a2)又f(3)9，f(3)15

所以曲线yf(x)在点(3,f(3))的切线方程为15xy360………………………5分

lnx1 22x

lnx132lnxg(x)设g(x),则 2x22x3(Ⅱ)由题意:2ax21lnx,即a

当0xe时,g(x)0；当xe时, g(x)0 所以当xe时，g(x)取得最大值g(x)max

故实数a的取值范围为[3232321 34e1,). ……………………………………………………10分 4e3

1

41) 42(Ⅲ)f(x)2x4ax3 ，f(1)4(a)，f(1)4(a

1f(1)4(a)014①当a时, ∵ ∴存在x0(1,1),使得f(x0)0 4f'(1)4(a1)04

2因为f(x)2x4ax3开口向上，所以在(1,x0)内f(x)0,在( x0,1)内f(x)0

即f(x)在(1,x0)内是增函数, f(x)在( x0,1)内是减函数 故a1时，f(x)在(1,1)内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………12分 4

1f(1)4(a)014②当0a时,因  4f'(1)4(a1)04

又因为f(x)2x4ax3开口向上 2

所以在(1,1)内f(x)0,则f(x)在(1,1)内为减函数，故没有极值点…………14分

综上可知：当a11，f(x)在(1,1)内的极值点的个数为1；当0a时, f(x)在 44

(1,1)内的极值点的个数为0. …………………………………………………………15分

122．解：（1）抛物线x22y的顶点为(0,0)，准线方程为y，圆的半径等于1，圆C的方2

程为x2y21．弦长2()21

223„„„„„„„„„4分 2

（2）设圆心C(a,121a)，则圆C的半径ra2(a21)2， 22

2圆C的方程是为：(xa)(y

221221a)a2(a21)2„„„„6分 22令y0，得x2axa10，得x1a1，x2a1， MNx2x12是定值．„„„„„„8分

（3）由（2）知，不妨设M(a1,0)，N(a1,0)，mx121(a1)21a222a，

2mx21(a1)21a222a．

mnm2n22a244a2

24．„„„„„„11分 4nmmna4a4

当a0时，mn2．„„„„„„12分 nm

mnm2n22a244a24当a0时，24222． 44nmmna4a4a22a

当且仅当a2时，等号成立„„„„„„„„„„14分

所以当a2时，mn取得最大值22，此时圆C的方程为nm

(x2)2(y1)22．„„„„„„„„„„„„15分

浙江省杭州外国语学校2014届高三3月月考数学（文科）试卷

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1. 若集合A{x|0x2},B{x|x21}，则A

B（ ）

A．{x|0x1} B．{x|x0或x1} C．{x|1x2} D．{x|0x2} 2. 已知向量a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”“a//(ab)”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图， 样本重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，

是

[15,20]，则样本重量落在[15,20]内的频数为（ ）

A．10 B．20 C．30 D．40 4. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A．5

B．7 C．9

2

D．11

5. 函数y2sinx图象的一条对称轴方程可以为（ ） 3

A．x B．x C．x D．x

434

6. 函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7. 设a,b是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则能得出



ab的是（ ）

A．a，b//， B．a，b，// C．a，b，// D．a，b//，

x2

8．实数x,y满足x2y40,若zkxy的最大值为13,则实数k的值为（ ）

2xy40

A. 2 B.

13

2

C.

9 4

D. 5

y2

1，点A（﹣1，0）9. 已知双曲线x，在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒2

2

过定点（ ） A． （3，0）

B． （1，0） C． （﹣3，0） D． （4，0）

10. 在实数集R中定义一种运算“”，对任意a,bR，ab为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意aR，a0a；

（2）对任意a,bR，abab(a0)(b0). 则函数f(x)(e)A．2

x

1

的最小值为 （ ） ex

C．6

D．8

B．3

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11．已知tan(12. 复数z

6

)

11

,tan(),则tan() 263

1

（其中i为虚数单位）的虚部为 2i

13. 从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是

x2y2

14. 设F1，F2是椭圆C：221（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若

ab

AB⊥AF2，|AB|:|AF2|=3:4，则椭圆的离心率为 ．

15. 如图所示是一个四棱锥的三视图， 则该几何体的体积为

左视图

x2x,x1

32

16. 已知函数f(x)logx, x1 ，若对任意的xR，不等式f(x)mm恒成立，则实

143

数m的取值范围为

17．非零向量，夹角为600，且||1，则||的取值范围为

三、解答题：本大题共5题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分14分）

在ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2cosAcosC12sinAsinC. （Ⅰ）求B的大小;

（Ⅱ）若ac

，b求ABC的面积. 2

19．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F

分别是PC，PD的中点． （Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

20．（本题满分14分）

已知{an}是等差数列，公差为d，首项a13，前n项和为Sn.令cn(1)nSn(nN),{cn}的前20项和T20330.数列{bn}满足bn2(a2)d（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn1bn，nN，求a的取值范围.

n2

2n1，aR.

21．(本小题满分15分)

已知函数f(x)

23

x2ax23x. 3

（Ⅰ）当a0时，求曲线yf(x)在点(3,f(3))的切线方程；

（Ⅱ）对一切x0,,af(x)4a2xlnx3a1恒成立,求实数a的取值范围； （Ⅲ）当a0时，试讨论f(x)在(1,1)内的极值点的个数.

22．(本小题满分15分)

已知圆C过定点A(0,1)，圆心C在抛物线x22y上，M、N为圆C与x轴的交点． （Ⅰ）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （Ⅱ）当圆心C在抛物线上运动时，MN是否为一定值？请证明你的结论． （Ⅲ）当圆心C在抛物线上运动时，记AMm，ANn，求

mn

的最大值，并求出此时圆nm

C的方程．

杭州外国语学校2013-2高三3月月考数学答题卷（文科）

三、解答题：

18．（本小题满分14分）

在ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2cosAcosC12sinAsinC. （Ⅰ）求B的大小; （Ⅱ）若ac

，b求ABC的面积. 2

19. （本小题满分14分）

如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点． （Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分14分）

已知{an}是等差数列，公差为d，首项a13，前n项和为Sn.令cn(1)nSn(nN),{cn}的前20项和T20330.数列{bn}满足bn2(a2)d（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn1bn，nN，求a的取值范围.

n2

2n1，aR.

21．(本小题满分15分)

已知函数f(x)

23

x2ax23x. 3

（Ⅰ）当a0时，求曲线yf(x)在点(3,f(3))的切线方程；

（Ⅱ）对一切x0,,af(x)4a2xlnx3a1恒成立,求实数a的取值范围； （Ⅲ）当a0时，试讨论f(x)在(1,1)内的极值点的个数.

22. (本小题满分15分)

已知圆C过定点A(0,1)，圆心C在抛物线x22y上，M、N为圆C与x轴的交点． （Ⅰ）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （Ⅱ）当圆心C在抛物线上运动时，MN是否为一定值？请证明你的结论． （Ⅲ）当圆心C在抛物线上运动时，记AMm，ANn，求

mn

的最大值，并求出此时圆nm

C的方程．

高三数学（文科）3月月考参考答案

二．

11． 1 15. 4

12. 

1

51or4

13.

3 5

14.

16. mm1

17.

三．解答题：

18．解：（Ⅰ）由2cosAcosC12sinAsinC得：

2(cosAcosCsinAsinC)1

1

cos(AC)，………………………………………………………………………4分

21

cosB，又0B

2

B………………………………………………………………………………………7分

3

a2cb21

（Ⅱ）由余弦定理得：cosB

2ac2

(ac)22acb21

，…………………………………………………………………10分

2ac2

又ac

2

，b

275

2ac3ac，ac……………………………………………………………12分 44

115SABCacsinB. ……………………………………………14分

224

20. 解： (Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为cn(1)nSn 所以T20S1S2S3S4则a2a4a6则10(3d)

S20330

a20330 ……………………………………………………………3分

109

2d330 解得d3 2

所以an33(n1)3n ………………………………………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知bn2(a2)3

n2

2n1

bn1bn2(a2)3n12n[2(a2)3n22n1]4(a2)3n22n1

12

43n2[(a2)()n2]

23

12n212()0a2()n2 …………………………11分 2323

12n212n25因为2()随着n的增大而增大，所以n1时，2()最小值为 23234

5所以a…………………………………………………………………………………14分 4

2321．解：(Ⅰ) 由题意知f(x)x3x,所以f(x)2x23 3由bn1bn(a2)又f(3)9，f(3)15

所以曲线yf(x)在点(3,f(3))的切线方程为15xy360………………………5分

lnx1 22x

lnx132lnxg(x)设g(x),则 2x22x3(Ⅱ)由题意:2ax21lnx,即a

当0xe时,g(x)0；当xe时, g(x)0 所以当xe时，g(x)取得最大值g(x)max

故实数a的取值范围为[3232321 34e1,). ……………………………………………………10分 4e3

1

41) 42(Ⅲ)f(x)2x4ax3 ，f(1)4(a)，f(1)4(a

1f(1)4(a)014①当a时, ∵ ∴存在x0(1,1),使得f(x0)0 4f'(1)4(a1)04

2因为f(x)2x4ax3开口向上，所以在(1,x0)内f(x)0,在( x0,1)内f(x)0

即f(x)在(1,x0)内是增函数, f(x)在( x0,1)内是减函数 故a1时，f(x)在(1,1)内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………12分 4

1f(1)4(a)014②当0a时,因  4f'(1)4(a1)04

又因为f(x)2x4ax3开口向上 2

所以在(1,1)内f(x)0,则f(x)在(1,1)内为减函数，故没有极值点…………14分

综上可知：当a11，f(x)在(1,1)内的极值点的个数为1；当0a时, f(x)在 44

(1,1)内的极值点的个数为0. …………………………………………………………15分

122．解：（1）抛物线x22y的顶点为(0,0)，准线方程为y，圆的半径等于1，圆C的方2

程为x2y21．弦长2()21

223„„„„„„„„„4分 2

（2）设圆心C(a,121a)，则圆C的半径ra2(a21)2， 22

2圆C的方程是为：(xa)(y

221221a)a2(a21)2„„„„6分 22令y0，得x2axa10，得x1a1，x2a1， MNx2x12是定值．„„„„„„8分

（3）由（2）知，不妨设M(a1,0)，N(a1,0)，mx121(a1)21a222a，

2mx21(a1)21a222a．

mnm2n22a244a2

24．„„„„„„11分 4nmmna4a4

当a0时，mn2．„„„„„„12分 nm

mnm2n22a244a24当a0时，24222． 44nmmna4a4a22a

当且仅当a2时，等号成立„„„„„„„„„„14分

所以当a2时，mn取得最大值22，此时圆C的方程为nm

(x2)2(y1)22．„„„„„„„„„„„„15分


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