不等式的解法· 不等式的解法·典型例题
【例 1】
解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】 如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等 式 f(x)＞0(或 f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴． 然后从右上开始画曲线顺次经过三个根， 其解集如图(5－1)的阴影 部分．
(2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5 或-5＜x＜-4 或 x＞2｝． 【说明】 用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为 正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可 直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．
【例 2】
解下列不等式：
变形
解：(1)原不等式等价于
用“区间法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．
用“区间法”
【例 3】
解下列不等式：
【分析】 无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解， 但 要注意变换的等价性． 解：(1)原不等式等价于
(2)原不等式等价于
∴原不等式解集为｛x|x≥5｝． (3)原不等式等价于
【说明】 解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次 根号下被开数大于或等于零； 二是要注意只有两边都是非负时， 两边同时平方 后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)．
原不等式化为 t2-2t-3＜0(t≥0)解得 0≤t＜3
【说明】 【例 4】
有些题目若用数形结合的方法将更简便． 解下列不等式：
解：(1)原不等式等价于
令 2x=t(t＞0)，则原不等式可化为
(2)原不等式等价于
∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【说明】 解对数不等式需注意各真数必为正数．在利用对数性质
价性，否则会出现增解或漏解． 【例 5】 【分析】 解不等式|x2-4|＜x+2． 解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用
解：原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2．
故原不等式解集为(1，3)．
这是解含绝对值不等式常用方法． 【例 6】 解下列不等式：
换底公式先化为同底对数．不等式(2)中先解绝对值不等式，再解无理不 等式． 解：(1)原不等式等价于 log2(2x-1)〔-log2(2x-1)〕＞-2
令 log2(2x-1)=t，则上述不等式变为 t(-1-t)＞-2 即 t2+t-2＜0． -2＜t＜1，从而-2＜log2(2x-1)＜1．
解之，得
【例 7】
解不等式 log2x2-1(3x2+2x-1)＜1．
【分析】 题目中未知数出现在底数部分， 就必须对底数大于零还是位于 零与 1 之间进行讨论． 解：原不等式等价于
【说明】 【例 8】
当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论． 解关于 x 不等
式 a2x+1＜ax+2+ax-2，其中 a＞0 且 a≠1．
【分析】 题目通过变形可看作是关于 ax 的二次不等式．对于底数 a 分 a＞1 或 0＜a＜1 两种情况讨论． 解：原不等式等价于 (ax)2-(a2+a-2)ax+1＜0
(*) 当 a＞1 时，a2＞a-2，于是(*)式得 a-2＜ax＜a2，即-2＜x＜2． 当 0＜a＜1 时，a-2＞a2，于是(*)式得 a2＜ax＜a-2，即-2＜x＜2． 综上所述，原不等式解集为(-2，2)． 【说明】 本题在化成关于 ax 的二次不等式后， 解题关键是利用 a2· -2=1 a 进行因式分解． 【例 9】 设 a＞0；a≠1 解关于 x 的不等式 xlogax＜a3x2．
【分析】 这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”．在两 边取对数的时候用到对数函数的单调性，因此必须对 a 进行讨论后再取对数． 解：当 a＞1 时，原不等式两边取对数，得
当 0＜a＜1 时，原不等式等价于
① (1)当 a＞1 时，①式等价于
②
(2)当 0＜a＜1 时，②等价于
③
不等式的解法· 不等式的解法·典型例题
【例 1】
解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】 如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等 式 f(x)＞0(或 f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴． 然后从右上开始画曲线顺次经过三个根， 其解集如图(5－1)的阴影 部分．
(2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5 或-5＜x＜-4 或 x＞2｝． 【说明】 用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为 正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可 直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．
【例 2】
解下列不等式：
变形
解：(1)原不等式等价于
用“区间法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．
用“区间法”
【例 3】
解下列不等式：
【分析】 无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解， 但 要注意变换的等价性． 解：(1)原不等式等价于
(2)原不等式等价于
∴原不等式解集为｛x|x≥5｝． (3)原不等式等价于
【说明】 解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次 根号下被开数大于或等于零； 二是要注意只有两边都是非负时， 两边同时平方 后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)．
原不等式化为 t2-2t-3＜0(t≥0)解得 0≤t＜3
【说明】 【例 4】
有些题目若用数形结合的方法将更简便． 解下列不等式：
解：(1)原不等式等价于
令 2x=t(t＞0)，则原不等式可化为
(2)原不等式等价于
∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【说明】 解对数不等式需注意各真数必为正数．在利用对数性质
价性，否则会出现增解或漏解． 【例 5】 【分析】 解不等式|x2-4|＜x+2． 解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用
解：原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2．
故原不等式解集为(1，3)．
这是解含绝对值不等式常用方法． 【例 6】 解下列不等式：
换底公式先化为同底对数．不等式(2)中先解绝对值不等式，再解无理不 等式． 解：(1)原不等式等价于 log2(2x-1)〔-log2(2x-1)〕＞-2
令 log2(2x-1)=t，则上述不等式变为 t(-1-t)＞-2 即 t2+t-2＜0． -2＜t＜1，从而-2＜log2(2x-1)＜1．
解之，得
【例 7】
解不等式 log2x2-1(3x2+2x-1)＜1．
【分析】 题目中未知数出现在底数部分， 就必须对底数大于零还是位于 零与 1 之间进行讨论． 解：原不等式等价于
【说明】 【例 8】
当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论． 解关于 x 不等
式 a2x+1＜ax+2+ax-2，其中 a＞0 且 a≠1．
【分析】 题目通过变形可看作是关于 ax 的二次不等式．对于底数 a 分 a＞1 或 0＜a＜1 两种情况讨论． 解：原不等式等价于 (ax)2-(a2+a-2)ax+1＜0
(*) 当 a＞1 时，a2＞a-2，于是(*)式得 a-2＜ax＜a2，即-2＜x＜2． 当 0＜a＜1 时，a-2＞a2，于是(*)式得 a2＜ax＜a-2，即-2＜x＜2． 综上所述，原不等式解集为(-2，2)． 【说明】 本题在化成关于 ax 的二次不等式后， 解题关键是利用 a2· -2=1 a 进行因式分解． 【例 9】 设 a＞0；a≠1 解关于 x 的不等式 xlogax＜a3x2．
【分析】 这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”．在两 边取对数的时候用到对数函数的单调性，因此必须对 a 进行讨论后再取对数． 解：当 a＞1 时，原不等式两边取对数，得
当 0＜a＜1 时，原不等式等价于
① (1)当 a＞1 时，①式等价于
②
(2)当 0＜a＜1 时，②等价于
③