折纸盒问题-正方体折叠展开问题解析

81．左边给定的是正方体的外表面展开图，下面哪一项能由它折叠而成（）

这个题当时貌似没有做出来。现在再看一下。还是不好做，不好分析。

看参考答案：

81．【解析】D。本题属于空间重构类，逐一分析选项，将六个面按顺序标上序号。

A项：六面体展开图中，构成直角的两条边是同一条边。题干面2和面4的公共边（图中红色线）是1/4白三角形的斜边，A项两个面的公共边有一条黑色直角三角形斜边，与题干不对应，排除。

B项：选项中有1/2黑三角形的面是1面或6面。题干中黑色直角边与3面不相邻，因此1/2黑三角形的面不可能是1面，只能是6面。B项中1/4黑三角形的斜边与3面相邻，因此1/4黑三角形的面不可能是4面，只能是2面。又因为2面与6面是相对面，因此不可能同时出现，B项错误，排除。

C项：选项中有1/2黑三角形的面是1面或6面，题干中1面中1/2黑色三角形的直角边与3面相邻，但是C项中两个1/2黑直角三角形与3面都不相邻，排除。

D项：含有1/4黑三角形的两个面相连，且1/4黑三角形相对，正确，当选。

我也是这用这种方法分析一下：

第一步：先标相对面。

A

CBC

B

A

第二步：标点

标点时用到一个重要定理或者说性质：

基础：对于一个正方体平面展开图，对于其中两个面X和Y，折成正方向后，我们两个面相邻。平面展开图中X的四个顶点依次是X1，X2，X3和X4，Y的四个顶点是Y1，Y2，Y3，Y4

定理：如果面X的边X1X2，我们判断出在折成正方体后，在面Y的相对面上，那么折成正方体后，对于面X来说，面X与Y的邻边是X3X4。

证明：首先根据面X和面Y在折成正方体后相邻，我们推出，面X与面Y一定有一个边相邻。既然折成正方体后这个边相邻，我们可以判断出，折成正方体后这个邻边上的点一定在面Y上。而我们判断出在折成正方体后，X1X2在面Y的相对面上，所以“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”。

如果折成正方体后X1X4是邻边，那么可以推出，折成正方体后X1在Y上，这与我们前面得出的结论“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”矛盾。

如果折成正方体后，X2X3是邻边，那么可以推出，折成正方体后，X2在Y上，这与我们前面得出的结论“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”矛盾，

如果折成正方体后，X1X2是邻边，那么可以推出，折成正方体后X1和X2在Y上，这与我们前面得出的结论“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”矛盾。

我们又知道，折成正方体后，面X必有一条线与Y相邻，前面已经排除了3条，所以只能是X3X4.

这个定理，可以这么简述：对于折成正方体后两个相邻的面A和B，如果我们判断出折成正方体后面A的某条边在面B的相对面上，那么我们可以判断后，对于面A来说，面A中这条边的对边就是折成正方体后A与B的邻边。

我们暂且把这个定理叫做标点定理。 1

1A

C22BC

BA1、2、3最容易标记，比如面A和C很容易看出来，标记浅蓝色加粗的边是邻边，从而找到两个1，2和3也是一样。分析A和B的邻边是图中标记绿色加粗的线，对于标点没用；

接着分析A和C的邻边是图中标记红色加粗的线，1

A

1C

1

A

1

5C22这个对于标点，我们已经用过了，用来标记点3B3CBA3接着分析A 和 B 的邻边，对于A而言，由于A 标记绿色加粗的边在B的对面B 上，所以判断出，A 上标记浅蓝色加粗的边是4A 和B的邻边；对于B而言，由于22BCB标记洋红色加粗的边在B5A的对面A上，所以判断出B上标记浅蓝色加粗的边是B与A的邻边；

从而，可以标记4A1

81C

52721BCB5436A

34使用同样的方法，分析A和C的邻边可以标记5分析B和A的邻边可以标记1A

注意，在标记点时，先标记那些最容易判断出来的点，这个题中是1、2和3，然后利用标点定理，分析标记其他点。 分析答案：

不用标点，A也不对，因为存在一个A选项中涉及到的三个面是A,B,C或者A,B,C显然无论是B还是B‘与其他两个面A和C‘的相邻边中有一个是黑色直角三角形的斜边。而在A

选项中，B或者B’与其他两个面的邻边都不是黑色直角三角形的斜边，所以不对。

对于第二个选项：

如果那个小黑色直角三角形所在面是A，那么根据她跟纯白面的邻边是自己的黑色边可知，那个纯白面一定是B，再根据纯白面与大黑色直角三角形面邻边不是大黑色直角三角形的直角边，可知，另一个面一定是A’,而A与A’是相对的，所以一定不对。

如果那个小黑色直角三角形所在面是C’，那么根据她跟纯白面的邻边是自己的黑色边可知，那个纯白面一定是B’，再根据纯白面与大黑色直角三角形面邻边不是大黑色直角三角形的直角边，可知，另一个面一定是C,而C与C’是相对的，所以一定不对。

所以B选项不对。

对于第三个选项，很容易判断，涉及到的三个面是C,A,B或者C,A,B，

而对于C,A,B存在B与其他两个面有一个邻边是大黑色直角三角形的直角边，本项不符合； 对于C,A,B，B’与其他两个面的邻边有一个是大色直角三角形直角边，

本项不符合；

所以不对。

对于第四个选项：前面都排除了，可以选择D了。对于D还是分析一下：

D涉及两种可能情况，A，C’,B或者A，C’,B’

先分析第一种A，C’,B，根据平面展开图中A和B的邻边是小黑色直角三角形斜边可知，立体图中上面是B，右面是A，那前面一定是C’.

直接详细分析：根据平面展开图标记的点可知立体中中B和A的邻边是78，且在平面展开图中对A面中心来说，从7到8是顺时针，对B面中心来说，从7到8是逆时针。

1

81C

52721BCB5436A34 A

由于外表面平面展开图还原回到立体之后，时针顺序是不变的，所以只能标记为下图所示：

87

这里我们发现，B中斜线对应的是7了，而平面展开图中斜线对应的是8，所以这里就可以判断出这个情况不对。

再看B与C‘的邻边，在平面展开图中，邻边是37，在平面展开图中，对于

B中心而言，从3到7是逆时针，对于C’中心而言，从3到7是顺时针。所以在立体中标记为下图所含满足要求：

37

且两次标记不矛盾。继续分析。

再看A和C‘的邻边，在平面展开图中，邻边是27，在平面展开图中，对于A中心而言，从2到7是顺时针，对于C’中心而言，从2到7是逆时针。所以在立体中标记为下图所含满足要求：

7

2

三次标记不矛盾。

综合为：

8

7

23

对照立体图中标记的点和平面展开图中标记的点，看看特殊点特殊边对应有没有问题，，容易发现，立体图中标记的点7有问题，在平面展开图中7不是面B的斜边上的点，所以判断出这种可能性不存在。

1

81C

5272BCB5436A

34 A

第二种情况，A，C’,B’，容易判断如果上表面是B‘，那么右面是C‘，前面是A，

首先看B‘与C‘的邻边，根据平面展开图知道邻边是26，根据时针性质，可以标记如下图所示：

1

6

22721

BCB

5436A

34 81C5A

再看B‘与A的邻边，根据平面展开图知道邻边是12，根据时针性质，可以标记如下图所示：

12

再看A与C‘的邻边，根据平面展开图知道邻边是27，根据时针性质，可以标记如下图所示：

2

7

三次标记不矛盾。

综合为：

6

12

7

对照立体图中标记的点和平面展开图中标记的点，看看特殊点特殊边对应有没有问题，发现没有问题，即可确认正确。

1

81C

52721BCB5436A

34 A

注意：在平面上标记完点以后，我们在立方体上标点时，需要用到时针法。

感悟：这些题做起来太不好弄了。一般就放弃了。考试时一般就放弃了。有时间不如切割一个，折起来看。

81．左边给定的是正方体的外表面展开图，下面哪一项能由它折叠而成（）

这个题当时貌似没有做出来。现在再看一下。还是不好做，不好分析。

看参考答案：

81．【解析】D。本题属于空间重构类，逐一分析选项，将六个面按顺序标上序号。

A项：六面体展开图中，构成直角的两条边是同一条边。题干面2和面4的公共边（图中红色线）是1/4白三角形的斜边，A项两个面的公共边有一条黑色直角三角形斜边，与题干不对应，排除。

B项：选项中有1/2黑三角形的面是1面或6面。题干中黑色直角边与3面不相邻，因此1/2黑三角形的面不可能是1面，只能是6面。B项中1/4黑三角形的斜边与3面相邻，因此1/4黑三角形的面不可能是4面，只能是2面。又因为2面与6面是相对面，因此不可能同时出现，B项错误，排除。

C项：选项中有1/2黑三角形的面是1面或6面，题干中1面中1/2黑色三角形的直角边与3面相邻，但是C项中两个1/2黑直角三角形与3面都不相邻，排除。

D项：含有1/4黑三角形的两个面相连，且1/4黑三角形相对，正确，当选。

我也是这用这种方法分析一下：

第一步：先标相对面。

A

CBC

B

A

第二步：标点

标点时用到一个重要定理或者说性质：

基础：对于一个正方体平面展开图，对于其中两个面X和Y，折成正方向后，我们两个面相邻。平面展开图中X的四个顶点依次是X1，X2，X3和X4，Y的四个顶点是Y1，Y2，Y3，Y4

定理：如果面X的边X1X2，我们判断出在折成正方体后，在面Y的相对面上，那么折成正方体后，对于面X来说，面X与Y的邻边是X3X4。

证明：首先根据面X和面Y在折成正方体后相邻，我们推出，面X与面Y一定有一个边相邻。既然折成正方体后这个边相邻，我们可以判断出，折成正方体后这个邻边上的点一定在面Y上。而我们判断出在折成正方体后，X1X2在面Y的相对面上，所以“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”。

如果折成正方体后X1X4是邻边，那么可以推出，折成正方体后X1在Y上，这与我们前面得出的结论“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”矛盾。

如果折成正方体后，X2X3是邻边，那么可以推出，折成正方体后，X2在Y上，这与我们前面得出的结论“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”矛盾，

如果折成正方体后，X1X2是邻边，那么可以推出，折成正方体后X1和X2在Y上，这与我们前面得出的结论“折成正方体后点X1和X2一定不在面Y上”矛盾。

我们又知道，折成正方体后，面X必有一条线与Y相邻，前面已经排除了3条，所以只能是X3X4.

这个定理，可以这么简述：对于折成正方体后两个相邻的面A和B，如果我们判断出折成正方体后面A的某条边在面B的相对面上，那么我们可以判断后，对于面A来说，面A中这条边的对边就是折成正方体后A与B的邻边。

我们暂且把这个定理叫做标点定理。 1

1A

C22BC

BA1、2、3最容易标记，比如面A和C很容易看出来，标记浅蓝色加粗的边是邻边，从而找到两个1，2和3也是一样。分析A和B的邻边是图中标记绿色加粗的线，对于标点没用；

接着分析A和C的邻边是图中标记红色加粗的线，1

A

1C

1

A

1

5C22这个对于标点，我们已经用过了，用来标记点3B3CBA3接着分析A 和 B 的邻边，对于A而言，由于A 标记绿色加粗的边在B的对面B 上，所以判断出，A 上标记浅蓝色加粗的边是4A 和B的邻边；对于B而言，由于22BCB标记洋红色加粗的边在B5A的对面A上，所以判断出B上标记浅蓝色加粗的边是B与A的邻边；

从而，可以标记4A1

81C

52721BCB5436A

34使用同样的方法，分析A和C的邻边可以标记5分析B和A的邻边可以标记1A

注意，在标记点时，先标记那些最容易判断出来的点，这个题中是1、2和3，然后利用标点定理，分析标记其他点。 分析答案：

不用标点，A也不对，因为存在一个A选项中涉及到的三个面是A,B,C或者A,B,C显然无论是B还是B‘与其他两个面A和C‘的相邻边中有一个是黑色直角三角形的斜边。而在A

选项中，B或者B’与其他两个面的邻边都不是黑色直角三角形的斜边，所以不对。

对于第二个选项：

如果那个小黑色直角三角形所在面是A，那么根据她跟纯白面的邻边是自己的黑色边可知，那个纯白面一定是B，再根据纯白面与大黑色直角三角形面邻边不是大黑色直角三角形的直角边，可知，另一个面一定是A’,而A与A’是相对的，所以一定不对。

如果那个小黑色直角三角形所在面是C’，那么根据她跟纯白面的邻边是自己的黑色边可知，那个纯白面一定是B’，再根据纯白面与大黑色直角三角形面邻边不是大黑色直角三角形的直角边，可知，另一个面一定是C,而C与C’是相对的，所以一定不对。

所以B选项不对。

对于第三个选项，很容易判断，涉及到的三个面是C,A,B或者C,A,B，

而对于C,A,B存在B与其他两个面有一个邻边是大黑色直角三角形的直角边，本项不符合； 对于C,A,B，B’与其他两个面的邻边有一个是大色直角三角形直角边，

本项不符合；

所以不对。

对于第四个选项：前面都排除了，可以选择D了。对于D还是分析一下：

D涉及两种可能情况，A，C’,B或者A，C’,B’

先分析第一种A，C’,B，根据平面展开图中A和B的邻边是小黑色直角三角形斜边可知，立体图中上面是B，右面是A，那前面一定是C’.

直接详细分析：根据平面展开图标记的点可知立体中中B和A的邻边是78，且在平面展开图中对A面中心来说，从7到8是顺时针，对B面中心来说，从7到8是逆时针。

1

81C

52721BCB5436A34 A

由于外表面平面展开图还原回到立体之后，时针顺序是不变的，所以只能标记为下图所示：

87

这里我们发现，B中斜线对应的是7了，而平面展开图中斜线对应的是8，所以这里就可以判断出这个情况不对。

再看B与C‘的邻边，在平面展开图中，邻边是37，在平面展开图中，对于

B中心而言，从3到7是逆时针，对于C’中心而言，从3到7是顺时针。所以在立体中标记为下图所含满足要求：

37

且两次标记不矛盾。继续分析。

再看A和C‘的邻边，在平面展开图中，邻边是27，在平面展开图中，对于A中心而言，从2到7是顺时针，对于C’中心而言，从2到7是逆时针。所以在立体中标记为下图所含满足要求：

7

2

三次标记不矛盾。

综合为：

8

7

23

对照立体图中标记的点和平面展开图中标记的点，看看特殊点特殊边对应有没有问题，，容易发现，立体图中标记的点7有问题，在平面展开图中7不是面B的斜边上的点，所以判断出这种可能性不存在。

1

81C

5272BCB5436A

34 A

第二种情况，A，C’,B’，容易判断如果上表面是B‘，那么右面是C‘，前面是A，

首先看B‘与C‘的邻边，根据平面展开图知道邻边是26，根据时针性质，可以标记如下图所示：

1

6

22721

BCB

5436A

34 81C5A

再看B‘与A的邻边，根据平面展开图知道邻边是12，根据时针性质，可以标记如下图所示：

12

再看A与C‘的邻边，根据平面展开图知道邻边是27，根据时针性质，可以标记如下图所示：

2

7

三次标记不矛盾。

综合为：

6

12

7

对照立体图中标记的点和平面展开图中标记的点，看看特殊点特殊边对应有没有问题，发现没有问题，即可确认正确。

1

81C

52721BCB5436A

34 A

注意：在平面上标记完点以后，我们在立方体上标点时，需要用到时针法。

感悟：这些题做起来太不好弄了。一般就放弃了。考试时一般就放弃了。有时间不如切割一个，折起来看。