2014 年学大教育中考高频考点数学模拟卷
一、选择题（每题 3 分共 24 分） 1．22 的值为（ ）
A．﹣4
B．0
C．4
D．2
【知识点】 ：有理数的乘方． 【考查能力】 ：运算能力 【思路方法】 ：根据有理数数的乘方的定义计算即可得解． 【易错点】本题考查了有理数的乘方，运算的准确性是学生容易错的地方。 2．一个不透明口袋中装着只有颜色不同的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从中摸出一个球， 摸到白球的概率为（ A． 【知识点】 ：概率公式． 【考查能力】 ：分析解决问题能力。 【思路方法】 ：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目； 二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为 1+2=3，白球的数目为 2． ） B． C． D．1
【易错点】可能情况容易数错 3．如果分式 A． 全体实数 有意义，则 x 的取值范围是（ B． x=1 C． x≠1 D． x=0 ）
【知识点】 ：分式有意义的条件
【考查能力】 ：掌握基础知识点能力 【思路方法】 ：分式有意义，分母 x﹣1≠0，据此可以求得 x 的取值范围． 【易错点】运算出错 4．把不等式组： 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A
B．
C
D
【知识点】 ：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【考查能力】 ：运算能力
【思路方法】 ：首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断． 【易错点】运算出错 5、下列图形中，不是中心对称图形的是（ A． B． ） C． D．
【知识点】 ： 中心对称图形 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案． 【易错点】 概念混淆分不清什么是中心对称，什么是轴对称． 6. 已知实数 x，y 满足 A． 3 B． 0 C． 1 ，则 x﹣y 等于（ D． ﹣1 ）
【知识点】 ： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：原式左边后三项利用完全平方公式变形，利用两非负数之和为 0，两非负数 【易错点】 ：配方出错 7、已知圆锥底面圆的半径为 2，母线长是 4，则它的全面积为（ A． 4 π B． 8π C． 12π D． 16π ）
【知识点】 ：圆锥的计算 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即 可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．
【易错点】 ：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系 是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇
形的弧长． 8．在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则 BC 等于（ A．45 B． 5 C． ） D．
【知识点】 ： 解直角三角形． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据正弦函数的定义求解． 【易错点】 ： 此题考查三角函数的定义． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9、写出一个比﹣4 小的无理数： ﹣ 【知识点】 ： 估算无理数的大小． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：由于 17＞16，则＞，于是﹣＜﹣4，所以﹣为满足条件的一个无理数． 【易错点】 ：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小 进行估算． 10.计算 的结果是 ﹣2 ． ．
【知识点】 ： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：本题涉及零指数幂、乘方、负指数幂等考点．针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【易错点】 ：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题 目的关键是掌握零指数幂、乘方、负指数幂等考点的运算．
11．分解因式：x2y﹣y= y（x+1） （x﹣1） ． 【知识点】 ： 提公因式法与公式法的综合运用． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： 观察原式 x2y﹣y，找到公因式 y 后，提出公因式后发现 x2﹣1 符合平方
差公式，利用平方差公式继续分解可得． 【易错点】 ： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解， 一个多项式有公因式首先提 取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行 10 次立定跳远测试，他们的平 均成绩相同， 方差分别是 【知识点】 ：方差 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差 越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【易错点】 ：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13.把直线 y=2x﹣1 向上平移 2 个单位，所得直线的解析式是 y=2x+1 ． 【知识点】 ： 一次函数图象与几何变换 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【易错点】 ： 本题考查的是一次函数的图象与几何变换， 熟知函数图象平移的法则是解答
此 题的关键． ， ， 则甲、 乙两名同学成绩更稳定的是 乙 ．
14.若矩形 ABCD 的对角线长为 10，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 则四边形 EFGH 的周长是 20 ． 【知识点】 ： 中点四边形
【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： 根据三角形的中位线定理可以得到四边形 EFGH 的四边分别是对角线的一半， 然后根据矩形的对角线相等即可求解． 【易错点】 ： 本题考查了中点四边形的知识， 解题的关键是根据三角形的中位线定理求得其 边长等于对角线长的一半． 15．如图，点 A，B 分别在一次函数 y=x，y=8x 的图象上，其横坐标分别为 a，b （a＞ 0，b＞0） ．设直线 AB 的解析式为 y=kx+m，若 是整数时，k 也是整数，满足条件的 k 值 共有 2 个．
【知识点】 ： 待定系数法求一次函数解析式． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： 先求出点 A、 B 的坐标， 再把点 A、 B 的坐标代入函数解析式得到两个关于 k、 m 的等式，整理得到 k 的表达式，再根据是整数、k 也是整数判断出 1﹣的值，然后求出 k 值可以有两个． 【易错点】 ：本题主要考查待定系数法求函数解析式，解答本题的关键在于对、k 是整数的 理解．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别是（﹣1，﹣1） 、 （0，2） 、 （2， 0） ，点 P 在 y 轴上，且坐标为（0，﹣2） ．点 P 关于点 A 的对称点为 P1，点 P1 关于点 B 的对称点为 P2，点 P2 关于点 C 的对称点为 P3，点 P3 关于点 A 的对称点为 P4，点 P4 关于 点 B 的对称点为 P5，点 P5 关于点 C 的对称点为 P6，点 P6 关于点 A 的对称点为 P7…，按 此规律进行下去，则点 P2013 的坐标、是 （2，﹣4） ．
【知识点】 ： 规律型：点的坐标 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据对称依次作出对称点，便不难发现，点 P6 与点 P 重合，也就是每 6 次 对称为一个循环组循环，用 2013 除以 6，根据商和余数的情况确定点 P2013 的位置，然 后写出坐标即可． 【易错点】 ： 本题是对点的变化规律的考查，作出图形，观察出每 6 次对称为一个循环组 循环是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 76 分） 19． （6 分）化简求值： ，其中 ．
【知识点】 ：二次根式的化简求值；分式的化简求值． 【考查能力】 ：综合能力
【思路方法】 ：先把分式化简：把分子、分母能分解因式的分解，能约分的约分，然后先除后减，化简为最简形 最后把 a 的值代入计算． 解答： 解：原式= = = = 当 原式= = ， 时， ．
【易错点】 ：此题考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等． 18、某中
学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、 丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的 统计图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）这四个班共 植树 200 棵； （2）请你在答题卡上不全两幅统计图； （3）求图 1 中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若四个班级植树的平均成活率是 95%，全校共植树 2000 棵，请你估计全校种植的树 中成活的树有多少棵？
【知识点】 ：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1）根据乙班植树 40 棵，所占比为 20%，即可求出这四个班种树总棵数； （2）根据丁班植树 70 棵，总棵数是 200，即可求出丁所占的百分比，再用整体 1 减去其 它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总棵数，即可得出丙植树的棵数，从而 补全统计图； （3）根据甲班级所占的百分比，再乘以 360°，即可得出答案； （4）用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数． 解答： 解： （1）四个班共植树的棵数是： 40÷20%=200（棵） ；
（2）丁所占的百分比是：
×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%， 则丙植树的棵数是：200×15%=30（棵） ；
如图：
（3）甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；
（4）根据题意得：2000×95%=1900（棵） ． 答：全校种植的树中成活的树有 1900 棵． 故答案为：200． 【易错点】 ：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19、如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且 CE=DC，连接 AE 分别交 BC、BD 于点 F、G． （1）求证：△AFB≌△EFC； （2）若 BD=12cm，求 DG 的长．
【知识点】 ：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定；平行线分线段成比例． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：
（1）根据平行四边形性质推出 AB=CD=CE，AB∥CD，推出∠ABF=FCE，∠BAF=∠FEC，根据全等三角形的判 证出即可； （2）求出 解答： （1）证明：在平行四边形 ABCD 中， ∵AB∥CD， ∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF， ∵AB=CD，CE=CD， ∴AB=CE， 在△AFB 和△EFC 中 ， ∴△AFB≌△EFC． （2）解：∵ED=2CD=2AB， ∴ ， = = ，把 BD 的长代入求出即可．
∵AB∥CD， ∴ ，
又∵BD=12， ∴DG= BD=8cm， 答：DG 的长是 8cm． 【易错点】 ： 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性
质，全等三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识点， 主要考查学生能否根据性质进行推理，题目比较典型，难度也适中．
20．如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 A（0，2 数 y= 的图象交于点 C 和点 D（﹣1，a） ． （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO 的度数．
） ，B（2，0） ，直线 AB 与反比例函
【知识点】 ： 切线的判定；弧长的计算 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1）连接 BD，OD，求出 OD∥BC，推出 OD⊥DE，根据切线判定推出即可； （2）求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD 的度数，根据弧长公式求出即可． 解答： （1）证明：连接 BD、OD， ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， ∵AB=BC， ∴AD=DC， ∵AO=OB， ∴DO∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD 为半径， ∴DE 是⊙O 切线；
（2）解：∵DG⊥AB，OB 过圆心 O，
∴弧 BG=弧 BD， ∵∠A=35°， ∴∠BOD=2∠A=70°， ∴∠BOG=∠BOD=70°， ∴∠GOD=140°， ∴劣弧 DG 的长是 = π．
【易错点】 ： 本题考查了弧长公式，切线的判定，平行线性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和 判定， 三角形的中位线等知识点的应用， 主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 22．2013 年第十二届全国运动会将在辽宁召开，某市掀起了全民健身运动的热潮．某体育 用品商店预测某种品牌的运动鞋会畅销，就用 4800 元购进了一批这种运动鞋，上市后很快 脱销，该商店又用 10800 元购进第二批这种运动鞋，所购数量是第一批购进数量的 2 倍， 但每双鞋进价多用了 20 元． （1）求该商店第二次购进这种运动鞋多少双？
（2）如果这两批运动鞋每双的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每双鞋 售价至少是多少元？
【知识点】 ： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1） 设该商场 第一次购进这种运动鞋 x 双， 则第二次购进数量为 2x 双， 根据关键语句“每 双进价多了 20 元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价+20=第二次购进运动鞋的单 价，根据等量关系列出方程，求出方程的解，再进行检验即可得出答案； （2）设每双售价是 y 元，根据数量关系： （总售价﹣总进价）÷总进价≥20%，列出不等式， 解出不等式的解即可． 解答： 解（1）设该商场第一次购进这种运动鞋 x 双，由题意得：
+20=
，
解得：x=30 经检验，x=30 是原方程的解，符合题意， 则第二次购进这种运动鞋是 30×2=60（双） ； 答：该商场第二次购进这种运动鞋 60 双．
（2）设每双售价是 y 元，由题意得： ×100%≥21%， 解这个不等式，得 y≥208， 答：
每双运动鞋的售价至少是 208 元． 点评： 本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语， 找到合 适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．用到的公式是：利润率= ×100%．
23．在与水平面夹角是 30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部 CD 是水平的，在阳光的照射下，古塔 AB 在斜坡上的影长 DE 为 18 米，斜坡顶部的影长 DB 为 6 米，光线 AE 与斜坡的夹角为 30°，求古塔的高（ ） ．
【知识点】 ： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【考查能力】 ：综合能力． 【思路方法】 ： 延长 BD 交 AE 于点 F，作 FG⊥ED 于点 G，Rt△FGD 中利用锐角三角函数求得 FD 的长， 从而求得 FB 的长，然后在直角三角形 ABF 中利用锐角三角函数求得 AB 的长即可． 解答： 解：延长 BD 交 AE 于点 F，作 FG⊥ED 于点 G， ∵斜坡的顶部 CD 是水平的，斜坡与地面的夹角为 30°， ∴∠FDE=∠AED=30°， ∴FD=FE， ∵DE=18 米， ∴EG=GD= ED=9 米， 在 Rt△FGD 中， DF= = =6 ，
∴FB=（6
+6）米，
在 Rt△AFB 中， AB=FB•tan60°=（6 +6）× =（18+6 ）≈28.2 米，
所以古塔的高约为 28.2 米．
【易错点】 ： 此题主要考查了解直角三角形的应用， 解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上 两部分．
24． （2013•抚顺）某服装店以每件 40 元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月 销售量 y（件）与销售单价 x（x 为正整数） （元）之间符合一次函数关系，当销售单价为 55 元时，月销售量为 140 件；当销售单价为 70 元时，月销售量为 80 件． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用 1 元，设服装店每月销售该种衬衫获利为 w 元， 求 w 与 x 之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是 多少元？
【知识点】 ： 二 次函数的应用 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1）设 y 与 x 的函数关系式 y=kx+b，根据售价与销量之间的数量关系建立方程组，求出
其解即可； （2）根据利润=（售价﹣进价）×数量就可以表示出 W， 解答： 解： （1）设 y 与 x 的函数关系式 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ，
∴y 与 x 的函数关系式为：y=﹣4x+360；
（2）由题意，得 W=y（x﹣40）﹣y =（﹣4x+360） （x﹣40）﹣（﹣4x+360） =﹣4x2+160x+360x﹣14400+4x﹣360 =﹣4x2+524x﹣14760， ∴w 与 x 之间的函数关系式为：W=﹣4x2+524x﹣14760， ∴W=﹣4（x2﹣131x）﹣14760=﹣4（x﹣65.5）2+2401， 当 x=65.5 时，最大利润为 2401 元， ∵x 为整数， ∴x=66 或 65 时，W=2400 元． ∴x=65 或 66 时，W 最大=2400 元． 【易错点】 ： 本
题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用， 解答时求出函数的解析式是关键．
25．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点 D 是 AB 的中点，DE⊥BC，垂足为点 E， 连接 CD． （1）如图 1，DE 与 BC 的数量关系是 DE= BC ；
（2）如图 2，若 P 是线段 CB 上一动点（点 P 不与点 B、C 重合） ，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关 系，并证明你的结论； （3）若点 P 是线段 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3 中补全图形，并 直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系．
【知识点】 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 【考查能力】 ：综合能力
【思路方法】 ： （1） 由∠ACB=90°， ∠A=30°得到∠B=60°， 根据直角三角形斜边上中线性质得到 DB=DC，
则可判断△DCB 为等边三角形，由于 DE⊥BC，DE=
BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可 判断△DCP≌△DBF，则 CP=BF，利用 CP=BC﹣BP，DE= BC 可得到 BF+BP= DE；
（3） 与 （2） 的证明方法一样得到△DCP≌△DBF 得到 CP=BF， 而 CP=BC+BP， 则 BF﹣BP=BC， 所以 BF﹣BP= 解答： 解： （1）∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴DB=DC， ∴△DCB 为等边三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE= BC； DE．
（2）BF+BP=
DE．理由如下：
∵线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到线段 DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF， 而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF， 在△DCP 和△DBF 中
， ∴△DCP≌△DBF（SAS） ， ∴CP=BF， 而 CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE= ∴BC= ∴BF+BP= BC， DE， DE；
（3）如图， 与（2）一样可证明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF， 而 CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP= 故答案为 DE= DE． BC．
【易错点】 ： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、 “ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含 30 度的直角三角形三边的关系．
26．如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点 F 的 坐标； （3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间 为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角
形？直接写出所有符合条 件的 t 值．
【知识点】 ： 二次函数综合题 【考查能力】 ：综合能力 分析： （1）先由直线 AB 的解析式为 y=x+3，求出它与 x 轴的交点 A、与 y 轴的交点 B 的坐标， 再将 A、B 两点的坐标代入 y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点 F 的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3） ，运用配方法求出抛物线的对称 轴及顶点 D 的坐标，再设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，根据 S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，进而得出点 F 的坐标； （3）设 P 点坐标为（﹣1，n） ．先由 B、C 两点坐标，运用勾股定理求出 BC2=10，再分 三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出 PB2+BC2=PC2，据此列出关于 n 的 方程，求出 n 的值，再计算出 PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应 的 t 值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的 t 值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的 t 值． 解答： 解： （1）∵y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ∴当 y=0 时，x=﹣3，即 A 点坐标为（﹣3，0） ， 当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3） ， 将 A（﹣3，0） ，B（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c， 得 解得 ， ，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
（2） 如图 1， 设第三象限内的点 F 的坐标为 （m， ﹣m2﹣2m+3） ， 则 m＜0， ﹣m2﹣2m+3 ＜0． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线 x=﹣1，顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（﹣1，0） ，AG=2． ∵直线 AB 的解析式为 y=x+3， ∴当 x=﹣1 时，y=﹣1+3=2， ∴E 点坐 标为（﹣1，2） ． ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG= ×2×2+ ×2×（m2+2m﹣3）﹣ ×2×（﹣1﹣m） =m2+3m， ∴以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m2+3m=3， 解得 m1= 当 m= ∴点 F 的坐标为（ ，m2= （舍去） ， ，
时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m= ， ） ；
（3）设 P 点坐标为（﹣1，n） ． ∵B（0，3） ，C（1，0） ， ∴BC2=12+32=10． 分三种情况： ①如图 2，如果∠PBC=90°，那么 PB2+BC2=PC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2，
化简整理得 6n=16，解得 n= ， ∴P 点坐标为（﹣1， ） ， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， ∴PD=4﹣ = ， ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t1= ； ②如图 3，如果∠BPC=90°，那么 PB2+PC2=BC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10， 化简整理得 n2﹣3n+2=0，解得 n=2 或 1， ∴P 点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1） ， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， ∴PD=4﹣2=2 或 PD=4﹣1=3， ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t2=2，t3= 3； ③如图 4，如果∠B
CP=90°，那么 BC2+PC2=PB2， 即 10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2， 化简整理得 6n=﹣4，解得 n=﹣ ， ∴P 点坐标为（﹣1，﹣ ） ， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， ∴PD=4+ = ，
∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t4= ；
综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或
秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形．
【易错点】 ： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析 式， 函数图象上点的坐标特征， 抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法， 直角三角形的性质， 勾股定理．综合性较强，难度适中． （2）中将△AEF 的面积表示成 S△AEG+S△AFG﹣S△EFG， 是解题的关键； （3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进 行分类讨论是解题的关键．
【知识点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：
（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k≠0） ，将 A 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AB 的解析式，
D 坐标代入直线 AB 解析式中求出 a 的值，确定出 D 的坐标，将 D 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值，即可 定出反比例解析式；
（2） 联立两函数解析式求出 C 坐标， 过 C 作 CH 垂直于 x 轴， 在直角三角形 OCH 中， 由 OH 与 HC 的长求出 tan∠C
的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH 的度数，在三角形 AOB 中，由 OA 与 OB 的长求出 tan∠ABO 的值 进而求出∠ABO 的度数，由∠ABO﹣∠COH 即可求出∠ACO 的度数． 解答： 解： （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k≠0） ， 将 A（0，2 解得： ） ，B（2，0）代入得： ， ，
故直线 AB 解析式为 y=﹣
x+2
， +2 =3 ，
将 D（﹣1，a）代入直线 AB 解析式得：a= 则 D（﹣1，3 ） ， ，
将 D 坐标代入 y= 中，得：m=﹣3
则反比例解析式为 y=﹣
； （2）联立两函数解析式得：
，
解得：
或
，
则 C 坐标为（3，﹣
） ，
过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H， 在 Rt△OHC 中，CH= tan∠COH= ∠COH=30°， 在 Rt△AOB 中，tan∠ABO= ∠ABO=60°， ∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°． = = ， = ， ，OH=3，
【易错点】 ： 21、此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式， 一次函数与 x 轴的交点，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （2013•抚顺）如图，在△ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，DE⊥BC，垂足为 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 DG⊥AB，垂足为点 F，交⊙O 于点 G，∠A=35°，⊙O 半径为 5，求劣弧 DG 的长． （结果保留 π）
2014 年学大教育中考高频考点数学模拟卷
一、选择题（每题 3 分共 24 分） 1．22 的值为（ ）
A．﹣4
B．0
C．4
D．2
【知识点】 ：有理数的乘方． 【考查能力】 ：运算能力 【思路方法】 ：根据有理数数的乘方的定义计算即可得解． 【易错点】本题考查了有理数的乘方，运算的准确性是学生容易错的地方。 2．一个不透明口袋中装着只有颜色不同的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从中摸出一个球， 摸到白球的概率为（ A． 【知识点】 ：概率公式． 【考查能力】 ：分析解决问题能力。 【思路方法】 ：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目； 二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为 1+2=3，白球的数目为 2． ） B． C． D．1
【易错点】可能情况容易数错 3．如果分式 A． 全体实数 有意义，则 x 的取值范围是（ B． x=1 C． x≠1 D． x=0 ）
【知识点】 ：分式有意义的条件
【考查能力】 ：掌握基础知识点能力 【思路方法】 ：分式有意义，分母 x﹣1≠0，据此可以求得 x 的取值范围． 【易错点】运算出错 4．把不等式组： 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A
B．
C
D
【知识点】 ：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【考查能力】 ：运算能力
【思路方法】 ：首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断． 【易错点】运算出错 5、下列图形中，不是中心对称图形的是（ A． B． ） C． D．
【知识点】 ： 中心对称图形 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案． 【易错点】 概念混淆分不清什么是中心对称，什么是轴对称． 6. 已知实数 x，y 满足 A． 3 B． 0 C． 1 ，则 x﹣y 等于（ D． ﹣1 ）
【知识点】 ： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：原式左边后三项利用完全平方公式变形，利用两非负数之和为 0，两非负数 【易错点】 ：配方出错 7、已知圆锥底面圆的半径为 2，母线长是 4，则它的全面积为（ A． 4 π B． 8π C． 12π D． 16π ）
【知识点】 ：圆锥的计算 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即 可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．
【易错点】 ：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系 是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇
形的弧长． 8．在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则 BC 等于（ A．45 B． 5 C． ） D．
【知识点】 ： 解直角三角形． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据正弦函数的定义求解． 【易错点】 ： 此题考查三角函数的定义． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9、写出一个比﹣4 小的无理数： ﹣ 【知识点】 ： 估算无理数的大小． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：由于 17＞16，则＞，于是﹣＜﹣4，所以﹣为满足条件的一个无理数． 【易错点】 ：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小 进行估算． 10.计算 的结果是 ﹣2 ． ．
【知识点】 ： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：本题涉及零指数幂、乘方、负指数幂等考点．针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【易错点】 ：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题 目的关键是掌握零指数幂、乘方、负指数幂等考点的运算．
11．分解因式：x2y﹣y= y（x+1） （x﹣1） ． 【知识点】 ： 提公因式法与公式法的综合运用． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： 观察原式 x2y﹣y，找到公因式 y 后，提出公因式后发现 x2﹣1 符合平方
差公式，利用平方差公式继续分解可得． 【易错点】 ： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解， 一个多项式有公因式首先提 取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行 10 次立定跳远测试，他们的平 均成绩相同， 方差分别是 【知识点】 ：方差 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差 越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【易错点】 ：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13.把直线 y=2x﹣1 向上平移 2 个单位，所得直线的解析式是 y=2x+1 ． 【知识点】 ： 一次函数图象与几何变换 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【易错点】 ： 本题考查的是一次函数的图象与几何变换， 熟知函数图象平移的法则是解答
此 题的关键． ， ， 则甲、 乙两名同学成绩更稳定的是 乙 ．
14.若矩形 ABCD 的对角线长为 10，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 则四边形 EFGH 的周长是 20 ． 【知识点】 ： 中点四边形
【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： 根据三角形的中位线定理可以得到四边形 EFGH 的四边分别是对角线的一半， 然后根据矩形的对角线相等即可求解． 【易错点】 ： 本题考查了中点四边形的知识， 解题的关键是根据三角形的中位线定理求得其 边长等于对角线长的一半． 15．如图，点 A，B 分别在一次函数 y=x，y=8x 的图象上，其横坐标分别为 a，b （a＞ 0，b＞0） ．设直线 AB 的解析式为 y=kx+m，若 是整数时，k 也是整数，满足条件的 k 值 共有 2 个．
【知识点】 ： 待定系数法求一次函数解析式． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： 先求出点 A、 B 的坐标， 再把点 A、 B 的坐标代入函数解析式得到两个关于 k、 m 的等式，整理得到 k 的表达式，再根据是整数、k 也是整数判断出 1﹣的值，然后求出 k 值可以有两个． 【易错点】 ：本题主要考查待定系数法求函数解析式，解答本题的关键在于对、k 是整数的 理解．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别是（﹣1，﹣1） 、 （0，2） 、 （2， 0） ，点 P 在 y 轴上，且坐标为（0，﹣2） ．点 P 关于点 A 的对称点为 P1，点 P1 关于点 B 的对称点为 P2，点 P2 关于点 C 的对称点为 P3，点 P3 关于点 A 的对称点为 P4，点 P4 关于 点 B 的对称点为 P5，点 P5 关于点 C 的对称点为 P6，点 P6 关于点 A 的对称点为 P7…，按 此规律进行下去，则点 P2013 的坐标、是 （2，﹣4） ．
【知识点】 ： 规律型：点的坐标 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：根据对称依次作出对称点，便不难发现，点 P6 与点 P 重合，也就是每 6 次 对称为一个循环组循环，用 2013 除以 6，根据商和余数的情况确定点 P2013 的位置，然 后写出坐标即可． 【易错点】 ： 本题是对点的变化规律的考查，作出图形，观察出每 6 次对称为一个循环组 循环是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 76 分） 19． （6 分）化简求值： ，其中 ．
【知识点】 ：二次根式的化简求值；分式的化简求值． 【考查能力】 ：综合能力
【思路方法】 ：先把分式化简：把分子、分母能分解因式的分解，能约分的约分，然后先除后减，化简为最简形 最后把 a 的值代入计算． 解答： 解：原式= = = = 当 原式= = ， 时， ．
【易错点】 ：此题考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等． 18、某中
学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、 丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的 统计图，请根据图中的信息，完成下列问题： （1）这四个班共 植树 200 棵； （2）请你在答题卡上不全两幅统计图； （3）求图 1 中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若四个班级植树的平均成活率是 95%，全校共植树 2000 棵，请你估计全校种植的树 中成活的树有多少棵？
【知识点】 ：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1）根据乙班植树 40 棵，所占比为 20%，即可求出这四个班种树总棵数； （2）根据丁班植树 70 棵，总棵数是 200，即可求出丁所占的百分比，再用整体 1 减去其 它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总棵数，即可得出丙植树的棵数，从而 补全统计图； （3）根据甲班级所占的百分比，再乘以 360°，即可得出答案； （4）用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数． 解答： 解： （1）四个班共植树的棵数是： 40÷20%=200（棵） ；
（2）丁所占的百分比是：
×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%， 则丙植树的棵数是：200×15%=30（棵） ；
如图：
（3）甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；
（4）根据题意得：2000×95%=1900（棵） ． 答：全校种植的树中成活的树有 1900 棵． 故答案为：200． 【易错点】 ：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19、如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且 CE=DC，连接 AE 分别交 BC、BD 于点 F、G． （1）求证：△AFB≌△EFC； （2）若 BD=12cm，求 DG 的长．
【知识点】 ：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定；平行线分线段成比例． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：
（1）根据平行四边形性质推出 AB=CD=CE，AB∥CD，推出∠ABF=FCE，∠BAF=∠FEC，根据全等三角形的判 证出即可； （2）求出 解答： （1）证明：在平行四边形 ABCD 中， ∵AB∥CD， ∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF， ∵AB=CD，CE=CD， ∴AB=CE， 在△AFB 和△EFC 中 ， ∴△AFB≌△EFC． （2）解：∵ED=2CD=2AB， ∴ ， = = ，把 BD 的长代入求出即可．
∵AB∥CD， ∴ ，
又∵BD=12， ∴DG= BD=8cm， 答：DG 的长是 8cm． 【易错点】 ： 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性
质，全等三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识点， 主要考查学生能否根据性质进行推理，题目比较典型，难度也适中．
20．如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 A（0，2 数 y= 的图象交于点 C 和点 D（﹣1，a） ． （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO 的度数．
） ，B（2，0） ，直线 AB 与反比例函
【知识点】 ： 切线的判定；弧长的计算 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1）连接 BD，OD，求出 OD∥BC，推出 OD⊥DE，根据切线判定推出即可； （2）求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD 的度数，根据弧长公式求出即可． 解答： （1）证明：连接 BD、OD， ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， ∵AB=BC， ∴AD=DC， ∵AO=OB， ∴DO∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD 为半径， ∴DE 是⊙O 切线；
（2）解：∵DG⊥AB，OB 过圆心 O，
∴弧 BG=弧 BD， ∵∠A=35°， ∴∠BOD=2∠A=70°， ∴∠BOG=∠BOD=70°， ∴∠GOD=140°， ∴劣弧 DG 的长是 = π．
【易错点】 ： 本题考查了弧长公式，切线的判定，平行线性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和 判定， 三角形的中位线等知识点的应用， 主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 22．2013 年第十二届全国运动会将在辽宁召开，某市掀起了全民健身运动的热潮．某体育 用品商店预测某种品牌的运动鞋会畅销，就用 4800 元购进了一批这种运动鞋，上市后很快 脱销，该商店又用 10800 元购进第二批这种运动鞋，所购数量是第一批购进数量的 2 倍， 但每双鞋进价多用了 20 元． （1）求该商店第二次购进这种运动鞋多少双？
（2）如果这两批运动鞋每双的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每双鞋 售价至少是多少元？
【知识点】 ： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1） 设该商场 第一次购进这种运动鞋 x 双， 则第二次购进数量为 2x 双， 根据关键语句“每 双进价多了 20 元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价+20=第二次购进运动鞋的单 价，根据等量关系列出方程，求出方程的解，再进行检验即可得出答案； （2）设每双售价是 y 元，根据数量关系： （总售价﹣总进价）÷总进价≥20%，列出不等式， 解出不等式的解即可． 解答： 解（1）设该商场第一次购进这种运动鞋 x 双，由题意得：
+20=
，
解得：x=30 经检验，x=30 是原方程的解，符合题意， 则第二次购进这种运动鞋是 30×2=60（双） ； 答：该商场第二次购进这种运动鞋 60 双．
（2）设每双售价是 y 元，由题意得： ×100%≥21%， 解这个不等式，得 y≥208， 答：
每双运动鞋的售价至少是 208 元． 点评： 本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语， 找到合 适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．用到的公式是：利润率= ×100%．
23．在与水平面夹角是 30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部 CD 是水平的，在阳光的照射下，古塔 AB 在斜坡上的影长 DE 为 18 米，斜坡顶部的影长 DB 为 6 米，光线 AE 与斜坡的夹角为 30°，求古塔的高（ ） ．
【知识点】 ： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【考查能力】 ：综合能力． 【思路方法】 ： 延长 BD 交 AE 于点 F，作 FG⊥ED 于点 G，Rt△FGD 中利用锐角三角函数求得 FD 的长， 从而求得 FB 的长，然后在直角三角形 ABF 中利用锐角三角函数求得 AB 的长即可． 解答： 解：延长 BD 交 AE 于点 F，作 FG⊥ED 于点 G， ∵斜坡的顶部 CD 是水平的，斜坡与地面的夹角为 30°， ∴∠FDE=∠AED=30°， ∴FD=FE， ∵DE=18 米， ∴EG=GD= ED=9 米， 在 Rt△FGD 中， DF= = =6 ，
∴FB=（6
+6）米，
在 Rt△AFB 中， AB=FB•tan60°=（6 +6）× =（18+6 ）≈28.2 米，
所以古塔的高约为 28.2 米．
【易错点】 ： 此题主要考查了解直角三角形的应用， 解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上 两部分．
24． （2013•抚顺）某服装店以每件 40 元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月 销售量 y（件）与销售单价 x（x 为正整数） （元）之间符合一次函数关系，当销售单价为 55 元时，月销售量为 140 件；当销售单价为 70 元时，月销售量为 80 件． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用 1 元，设服装店每月销售该种衬衫获利为 w 元， 求 w 与 x 之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是 多少元？
【知识点】 ： 二 次函数的应用 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ： （1）设 y 与 x 的函数关系式 y=kx+b，根据售价与销量之间的数量关系建立方程组，求出
其解即可； （2）根据利润=（售价﹣进价）×数量就可以表示出 W， 解答： 解： （1）设 y 与 x 的函数关系式 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ，
∴y 与 x 的函数关系式为：y=﹣4x+360；
（2）由题意，得 W=y（x﹣40）﹣y =（﹣4x+360） （x﹣40）﹣（﹣4x+360） =﹣4x2+160x+360x﹣14400+4x﹣360 =﹣4x2+524x﹣14760， ∴w 与 x 之间的函数关系式为：W=﹣4x2+524x﹣14760， ∴W=﹣4（x2﹣131x）﹣14760=﹣4（x﹣65.5）2+2401， 当 x=65.5 时，最大利润为 2401 元， ∵x 为整数， ∴x=66 或 65 时，W=2400 元． ∴x=65 或 66 时，W 最大=2400 元． 【易错点】 ： 本
题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用， 解答时求出函数的解析式是关键．
25．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点 D 是 AB 的中点，DE⊥BC，垂足为点 E， 连接 CD． （1）如图 1，DE 与 BC 的数量关系是 DE= BC ；
（2）如图 2，若 P 是线段 CB 上一动点（点 P 不与点 B、C 重合） ，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关 系，并证明你的结论； （3）若点 P 是线段 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3 中补全图形，并 直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系．
【知识点】 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 【考查能力】 ：综合能力
【思路方法】 ： （1） 由∠ACB=90°， ∠A=30°得到∠B=60°， 根据直角三角形斜边上中线性质得到 DB=DC，
则可判断△DCB 为等边三角形，由于 DE⊥BC，DE=
BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可 判断△DCP≌△DBF，则 CP=BF，利用 CP=BC﹣BP，DE= BC 可得到 BF+BP= DE；
（3） 与 （2） 的证明方法一样得到△DCP≌△DBF 得到 CP=BF， 而 CP=BC+BP， 则 BF﹣BP=BC， 所以 BF﹣BP= 解答： 解： （1）∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴DB=DC， ∴△DCB 为等边三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE= BC； DE．
（2）BF+BP=
DE．理由如下：
∵线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到线段 DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF， 而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF， 在△DCP 和△DBF 中
， ∴△DCP≌△DBF（SAS） ， ∴CP=BF， 而 CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE= ∴BC= ∴BF+BP= BC， DE， DE；
（3）如图， 与（2）一样可证明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF， 而 CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP= 故答案为 DE= DE． BC．
【易错点】 ： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、 “ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含 30 度的直角三角形三边的关系．
26．如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点 F 的 坐标； （3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间 为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角
形？直接写出所有符合条 件的 t 值．
【知识点】 ： 二次函数综合题 【考查能力】 ：综合能力 分析： （1）先由直线 AB 的解析式为 y=x+3，求出它与 x 轴的交点 A、与 y 轴的交点 B 的坐标， 再将 A、B 两点的坐标代入 y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点 F 的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3） ，运用配方法求出抛物线的对称 轴及顶点 D 的坐标，再设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，根据 S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，进而得出点 F 的坐标； （3）设 P 点坐标为（﹣1，n） ．先由 B、C 两点坐标，运用勾股定理求出 BC2=10，再分 三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出 PB2+BC2=PC2，据此列出关于 n 的 方程，求出 n 的值，再计算出 PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应 的 t 值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的 t 值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的 t 值． 解答： 解： （1）∵y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ∴当 y=0 时，x=﹣3，即 A 点坐标为（﹣3，0） ， 当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3） ， 将 A（﹣3，0） ，B（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c， 得 解得 ， ，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
（2） 如图 1， 设第三象限内的点 F 的坐标为 （m， ﹣m2﹣2m+3） ， 则 m＜0， ﹣m2﹣2m+3 ＜0． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线 x=﹣1，顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（﹣1，0） ，AG=2． ∵直线 AB 的解析式为 y=x+3， ∴当 x=﹣1 时，y=﹣1+3=2， ∴E 点坐 标为（﹣1，2） ． ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG= ×2×2+ ×2×（m2+2m﹣3）﹣ ×2×（﹣1﹣m） =m2+3m， ∴以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m2+3m=3， 解得 m1= 当 m= ∴点 F 的坐标为（ ，m2= （舍去） ， ，
时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m= ， ） ；
（3）设 P 点坐标为（﹣1，n） ． ∵B（0，3） ，C（1，0） ， ∴BC2=12+32=10． 分三种情况： ①如图 2，如果∠PBC=90°，那么 PB2+BC2=PC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2，
化简整理得 6n=16，解得 n= ， ∴P 点坐标为（﹣1， ） ， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， ∴PD=4﹣ = ， ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t1= ； ②如图 3，如果∠BPC=90°，那么 PB2+PC2=BC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10， 化简整理得 n2﹣3n+2=0，解得 n=2 或 1， ∴P 点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1） ， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， ∴PD=4﹣2=2 或 PD=4﹣1=3， ∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t2=2，t3= 3； ③如图 4，如果∠B
CP=90°，那么 BC2+PC2=PB2， 即 10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2， 化简整理得 6n=﹣4，解得 n=﹣ ， ∴P 点坐标为（﹣1，﹣ ） ， ∵顶点 D 的坐标为（﹣1，4） ， ∴PD=4+ = ，
∵点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴t4= ；
综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或
秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形．
【易错点】 ： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析 式， 函数图象上点的坐标特征， 抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法， 直角三角形的性质， 勾股定理．综合性较强，难度适中． （2）中将△AEF 的面积表示成 S△AEG+S△AFG﹣S△EFG， 是解题的关键； （3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进 行分类讨论是解题的关键．
【知识点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题． 【考查能力】 ：综合能力 【思路方法】 ：
（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k≠0） ，将 A 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AB 的解析式，
D 坐标代入直线 AB 解析式中求出 a 的值，确定出 D 的坐标，将 D 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值，即可 定出反比例解析式；
（2） 联立两函数解析式求出 C 坐标， 过 C 作 CH 垂直于 x 轴， 在直角三角形 OCH 中， 由 OH 与 HC 的长求出 tan∠C
的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH 的度数，在三角形 AOB 中，由 OA 与 OB 的长求出 tan∠ABO 的值 进而求出∠ABO 的度数，由∠ABO﹣∠COH 即可求出∠ACO 的度数． 解答： 解： （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k≠0） ， 将 A（0，2 解得： ） ，B（2，0）代入得： ， ，
故直线 AB 解析式为 y=﹣
x+2
， +2 =3 ，
将 D（﹣1，a）代入直线 AB 解析式得：a= 则 D（﹣1，3 ） ， ，
将 D 坐标代入 y= 中，得：m=﹣3
则反比例解析式为 y=﹣
； （2）联立两函数解析式得：
，
解得：
或
，
则 C 坐标为（3，﹣
） ，
过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H， 在 Rt△OHC 中，CH= tan∠COH= ∠COH=30°， 在 Rt△AOB 中，tan∠ABO= ∠ABO=60°， ∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°． = = ， = ， ，OH=3，
【易错点】 ： 21、此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式， 一次函数与 x 轴的交点，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （2013•抚顺）如图，在△ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，DE⊥BC，垂足为 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 DG⊥AB，垂足为点 F，交⊙O 于点 G，∠A=35°，⊙O 半径为 5，求劣弧 DG 的长． （结果保留 π）