曲线运动知识点

1、曲线运动：

⑴曲线运动定义：曲线运动是一种轨迹是曲线的运动，其速度方向随时间不断变化 ⑵曲线运动中质点的瞬时速度方向：就是曲线的切线方向

⑶曲线运动是一种变速运动，因为物体速度方向不断变化，所以曲线运动的物体总有加速度

【注意】曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度；但变速运动或具有加速度的运动不一定是曲线运动

⑷两种常见的曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动 2、物体做曲线运动的条件：

⑴曲线运动的物体所受的合外力不为零，合外力产生加速度，使速度方向（大小）发生变化 ⑵曲线运动的条件：物体所受的合外力F与物体速度方向不在同一条直线上 ⑶力决定了给定物体的加速度，力与速度的方向关系决定了物体运动的轨迹 F（或a）跟v在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速直线运动； a变化→变加速直线运动。 F（或a）跟v不在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速曲线运动； a变化→变加速曲线运动

⑷根据质点运动轨迹大致判断受力方向：做曲线运动的物体所受的合外力必指向运动轨迹的内侧，也就是运动轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间。 ⑸常见运动的类型有：

①a=0：匀速直线运动或静止。

②a恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线

’

运动；③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方） ③a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

例题：如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F。在此力作用下，物体以后运动情况，下列说法正确的是

‘

、

A．物体不可能沿曲线Ba运动； B．物体不可能沿直线Bb运动； C．物体不可能沿曲线Bc运动； D．物体不可能沿原曲线由B返回A。

解析：因为在曲线运动中，某点的速度方向是轨迹上该点的切线方向，如图所示，在恒力作用下AB为抛物线，由其形状可以画出vA方向和F方向。同样，在B点可以做出vB和－F方向。由于vB和－F不在一条直线上，所以以后运动轨迹不可能是直线。又根据运动合成的知识，物体应该沿BC轨道运动。即物体不会沿Ba运动，也不会沿原曲线返回。

因此，本题应选A、B、D。

掌握好运动和力的关系以及物体的运动轨迹形状由什么决定是解好本题关键。 答案：A、B、D。

3、运动的合成和分解 速度的合成和分解

⑴合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动；那几个运动叫做这个实际运动的分运动 ⑵合运动与分运动的关系：

①等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果

②独立性：某个方向上的运动不会因为其它方向上是否有运动而影响自己的运动性质。③运动独立性原理（叠加原理）：一物体可同时参与几种不同的运动，在研究问题时可以把各分运动都看作互相独立进行，它们互不影响。而一个物体的运动可以看成由几个各自独立进行的运动的叠加而成

④等时性：合运动通过合位移所需的时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等。即各分运动总是同时开始，同时结束

⑶运动合成分解：

①运动的合成和分解：已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解 ②运动的合成和分解的运算法则：是指物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解 a、合运动的位移等于二分运动位移的矢量和，符合平行四边形法则 b、合运动的速度等于二分运动速度的矢量和，符合平行四边形法则 c、合运动和分运动具有等时性

⑷当两直线运动的合速度的方向和合加速度的方向重合时，合运动为直线运动 ⑸曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别研究两方向上的受力和运动规律 4、绳拉物体的速度分解问题：

原理：物体运动的速度v为合速度，这个速度在沿绳子方向的分速度v1就是绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v分就是绳子的摆动速度，它一定和v1垂直总之一句话：绳端速度总沿着绳子方向和垂直于绳子方向分解（可用微元法证明） 5、小船渡河的四个极值问题

渡河问题，是运动合成与分解的典型模型，这里介绍四个极值问题及其应用 设船对水的速度为V1（即船在静水的速度），水的速度为V2（即水对河岸的速度），河的两岸平行，宽度为L

⑴当船头垂直河岸时，渡河时间最短：t

L v1

v2

v1

⑵当V1＞V2，合速度方向垂直河岸时，渡河位移最小：s=L

⑶当V1

⑷船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即V1⊥Vw合时，船相对水的速度最小，且等于V水垂直于航线的分量。 5、平抛运动

⑴平抛运动定义：水平抛出的物体，只在重力作用下的运动叫做平抛运动 ⑵平抛运动的特点：

①只受重力作用，且有一水平初速度。 ②水平方向作匀速直线运动（加速度为零），竖直方向作自由落体运动（加速度为g） ③平抛运动是匀变速曲线运动，它的轨迹是抛物线 ⑶平抛运动的处理方法：

①水平方向：速度为v0的匀速直线运动，vx②竖直方向：自由落体运动，vy

只考虑竖直方向上，vy

③任意时刻的速度：v

tan

vyvx

gtv0

v0

，X



v0t2hg

，tx



Xv0

gt

，Y



12

gt

2

，ty

gT

O

X

2gh

， h

2



22vxvy

， θ为v与v0间的夹角。 Y



x2y2

yx

④任意时刻的位移：s

1gt2v0

12tan

tan

，α为s与v0间的夹角。

⑤平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx=v0。竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点起， 每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点： a、任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0

b、任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy=gΔt

注意：运动学公式只适用于直线运动，因此曲线运动要分解为两个直线运动后才能应用运动学公式。 例题：如图所示，以9.8米/秒的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是

A．

3

秒 3

B．

2秒 3

C．秒

D．2秒

解析：平抛运动可以认为是水平匀速和自由落体运动的合运动。飞行时间与初速无关，它可以从飞行高度或落地竖直分速度的信息中取得，本题可以使用竖直分速度这一信息。把垂直撞在斜面的速度分解为水平分速度v0和竖直分速度

vyvyv0ctg30，vygt，解之得t3秒。正确选项C。

例题：宇航员站在一星球表面的某高处，沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面，测得抛出

点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L，如图所示。已知小球飞行时间为t，且两落地点在同一水平面上。求该星球表面的重力加速度的数值。

解析：本题是近几年来的新题型，它的特色是给出了抛出点与落地点间的距离这一信息而没有直接给出，飞行的高度或水平射程。我们只要把已知的信息与飞行高度或水平射程建立联系，就又把这类习

题改成了传统题，即把未知转化为已知。

设抛出点高度为h，初速度为v，星球表面重力加速度为g。

2

由题意可知：hgt2，L2h2vt2，3L2h22vt。

1

2

解之得：g

2L3t2

2L3t2

答案：该星球表面重力加速度数值为。

如果本题再已知该星球半径为R，万有引力常数为G，还可以求该星球的质量M，读者可以试一试，

2LR23Gt2

答案为M。

例题：如图所示，一个同学做平抛实验时，只在纸上记下过起点的纵坐标y方向，但未记录平抛运动的起点，并描下了平抛运动的一段轨迹，在轨迹上取A、B两点，用刻度尺分别测量出它们到y轴的距离x1、

x2以及AB的竖直距离h，则小球平抛运动的初速度v0

。

解析：画出平抛运动由抛出点开始的轨迹如图所示。用平抛运动是水平匀速和自由落体合运动的知识，把参量还原到抛出点去考虑。又转化成了平抛的基本题。

设从抛出点到A、B的竖直高度分别为HA和HB。 由题意可知：hHBHA

22

。 tA再设平抛到A、B的时间为tA和tB，hgtB

1

2

xv0t，x1v0tA，x2v0tB

22x2x11hg22，v0

2v0v0

22 gx2x1

2h

答案：

v0

22gx2x1

2h

6、匀速圆周运动的特点：

⑴匀速圆周运动的定义：做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等。 ⑵匀速圆周运动的轨迹：是圆，且任意相等的时间内半径转过的角度相等。 ⑶匀速圆周运动的性质：①“匀速”指的是“匀速率”，即速度的大小不变但速度的方向时刻改变。 ②加速度大小不变，但加速度的方向时刻改变，所以是变加速曲线运动。 7、圆周运动的表征物理量：

⑴线速度v：①定义：圆周运动的瞬时速度；单位时间内通过的弧长

②大小：线速度=弧长/时间，即v=s/t； ③方向：圆周的切线方向；

④匀速圆运动线速度的特点：线速度大小不变，但方向时刻改变 ⑵角速度ω： ①定义：半径在单位时间内转过的角度；

②大小：角速度=角度（弧度）/时间即：ω=φ/t ③单位：弧度每秒，即：rad/s；

④匀速圆周运动中角速度特点：角速度恒定不变

⑶周 期T： ①定义：匀速圆周运动物体运动一周所用的时间；

②大小：周期=周长/线速度，即：T=2πr/v ③单位：秒，即s；

④匀速：圆周运动中周期的特点：周期不变

⑷频 率f： ①定义：每秒钟完成匀速圆周运动的转数

②大小：f=1/T

③单位：赫兹，即Hz，1Hz=1转/秒

⑸转 速n： ①定义：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的圈数，符号n

②大小：转速的大小就等于频率的大小

③单位：国际单位制中用转/秒，日常生活中也用转/分

⑹匀速圆周运动各物理量之间的关系：

①各量关系：v=2πr/T，

ω=2π/T=2πf=2πn(n的单位为转/秒)， v=ωr

②同一转盘上半径不同的各点，角速度相等但线速度大小不同

③皮带传动或齿轮传动的两轮边缘线速度大小相等，但角速度不一定相同

④当半径一定时，线速度与角速度成正比；当角速度一定时，线速度与半径成正比 8、向心力

⑴向心力定义：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫做向心力。 【注意】向心力是根据力的作用效果命名，不是某种特殊性质的力。

⑵向心力的可以由重力、弹力、摩擦力等提供。总之是物体所受的合外力提供了物体做匀速圆周运动所

需的向心力。

⑶向心力的方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻与线速度方向垂直，故方向时刻在改变。向心力是

变力。

⑷向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

【原因】向心力指向圆心，而物体的运动方向沿圆周上该处的切线方向，两者相互垂直。物体在运动

方向所受的合外力为零。在这个方向上无加速度。速度大小不会改变，所以向心力只改变速度的方向，。

⑸向心力的大小：

①向心力大小：Fn＝mrω＝mr(

22

22

)＝mr(2πT

f)＝mr(2πn)

22

Fn＝m v/r

②向心力大小与多个变量有关。因此在分析问题时，一定要利用控制变量的方法不处理。即在设定其它量不变的条件下，来分析所需向心力与某一变量的关系。 ③向心力F跟r、ω（或v）是瞬时对应关系。

⑹匀速圆周运动的条件：具有初速度v，合外力大小不变，方向时刻垂直线速度v，指向圆心 【注意】物体在恒力作用下不可能作匀速圆周运动。

9、向心力作用下使物体产生的加速度―――向心加速度an

⑴向心加速度：在向心力作用下物体产生的加速度叫做向心加速度

【注意】向心力与向心加速度具有瞬时对应关系，即向心力改变时，向心加速度随即改变

⑵向心加速度的方向：始终垂直于线速度，沿着半径指向圆心，且每时每刻都在不断地变化。所以匀

速圆周运动是变加速曲线运动 ⑶向心加速度的大小：an＝ rω＝r(

an＝v/r an＝vω

⑷向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。

⑸当v一定时，an与r成反比；当ω一定时an与r成正比，注意：r、v及ω间有制约关系 例题：下列说法正确的是

A．匀速圆周运动是一种匀速运动 B．匀速圆周运动是一种匀变速运动 C．匀速圆周运动是一种变加速运动

D．因为物体有向心力存在，所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动

2

2

22

)＝r(2πT

f)＝r(2πn)

22

解析：匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变，因此属于变加速运动。力是改变物体运动状态的原因，向心力对速度大小的改变没有贡献，它作用只是不断改变速度方向，所以正确选项是C、D。

10、离心现象：

⑴定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动就叫离心运动 ⑵离心现象的应用：

①离心干燥器（洗衣机的脱水筒）：利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉 ②用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内 ③“棉花糖”的制作 ⑶离心现象的防止：

①车辆转弯时速度不能超过规定的速度：车辆转弯时所需的向心力大于最大静摩擦力时，即最大

静摩擦力不能提供汽车转弯时所需的向心力时，汽车将做离心运动而造成交通事故

②高速转动的砂轮、飞轮等都不得超过允许的最大速度，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力时，离心运动会使它们破裂，以致酿成事故。

例题：将来人类离开地球到宇宙中去生活，可以设计成如图所示的宇宙村，它是一个圆形的密封建筑，人们生活在圆环的边上，为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以计它旋转，设这个建筑物的直径为200m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少（r/s）时，人类感觉到像生活在地球上一样要承受10m/s2的加速度？如果转速超过了上述值，人们将有怎样的感觉？

解析：处于宇宙间的物体处于完全失重状态，现要生活在其宇宙村中的人无失重感，题中告诉让该装置转动，即处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转时，所需的向心加速度等于题中所给的10m/s2时对应的转速就是所求转速。

由圆周运动的向心力加速度公式有a=（2πn）2R

得n=

12a

代入数值有n=0.05r/s 。

R

若转速超过此值,由上式可知,其加速度将大于10m/s2，因而人有超重的感觉。

点评 这是一道假设推理题，要求建立一个物理假象的模型，这能培养学生的想象力和处理解决问

题的能力，同时这也是高考趋势的发展方向。要求考生能够根据已知的知识和所给的物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程表达出来，论证推理有助于加强对学生的推理能力的考查。

规律

1、匀速圆周运动解题步骤：

⑴明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找出圆心和半径

⑵确定研究对象在某位置（某时刻）所处状态，进行受力分析，作出受力分析图，找出向心力的来源

222

⑶根据向心力公式Fn= mωr=m v/r=mωv=m（2π/T）r列方程，取“向心”方向为正 ⑷检查结果的合理性，并进行必要的分析讨论。 例题：如图所示一皮带轮传动装置，右轮半径为r，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则

A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等

2R2v2

2R，av。解析：匀速圆周运动中各参量的关系，即vR，v，，a

TTR

在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是：皮带上各点线速度大小相等；同轴的轮上各点角速度相等。由题意可知vavc，cbd再经过简单运算可得出正确选项是C、D。

例题：质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动，

如图所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？

解析：A、B小球受力如图所示，在竖直方向上A与B处于平衡态。在水平方向上根据匀速圆周运动

规律TATBm2OA，

TBm2OB，OB2OA。 TAm2·3OA，TBm22OA，

TA∶TB = 3∶2

答案：TA∶TB = 3∶

2

2、匀速圆周运动的实例分析 ⑴火车拐弯问题：

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大。如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘 所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力，铁轨支持力和侧向压力的合力 提供火车拐弯时所需的向心力

例题：铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H两轨间距为L，火车总质量为M，则： ⑴火车在拐弯处运动的“规定速度vP”大小为 ， ⑵若火车实际速度大于vP，则 轨将受到侧向压力， ⑶若火车实际速度小于vP，则 轨将受到侧向压力。

v2

解析：⑴mgtanθ=m

R

vgRtangRH/L

⑵火车做离心运动，外轨受到侧向压力。

⑶火车做向心运动，内轨受到侧向压力。

例题：在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ．设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,θ应等于( )

v2v2

A .arcsin B . arctan

RgRg

12v2v2

C . arcsin D. arccot

2RgRg

解析：如图所示，要使摩擦力为零，必使车受的重力与支持力的合力捉供向心

v2v2

力，则：Fn=mgtanθ=m，故所以θ＝arctan。即答案为B。

RRg

点评这是一道综合应用题，是用圆周运动知识来解决处理实际物理问题，这在实

际生活中有着广泛的应用，例如铁路、高速公路、杂技表演等，都是利用自身的重力分力提供转弯所需

的向心力。

⑵“水流星”节目分析

例题：⑴绳系杯子在竖直平面内圆运动，最高点杯中水不流

出的原因是： 。 ⑵杯在最高点的最小速度vmin= ， ⑶设杯内水的质量为m，则当最高点的速度v1＞vmin时， 杯对水的压力N= ，

⑷设杯运动到最低点速度为v2，则此时水对杯的压力 N`= 。 解析：⑴水和重力提供水做圆周运动的向心力

v2

⑵mgm vgl

l

v2v2

⑶mgNm Nmmg

ll

⑷Nmgm

v2v2

Nmmg ll

⑶“水流星”节目的变形讨论

①“绳模型”

如图所示，在最高点没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况 例：绳拴一小球在竖直平面内做圆周运动、小球在竖直平面内单轨道的内单侧做圆周运动 ⑴临界条件：绳子或轨道对小球没有作用力

mgm

v2R

v临界gR

（可理解为恰好转过或恰好转不过）

【注意】如果小球带电，且空间存在电、磁场，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合

力等于向心力，此时临界速度v临界≠√gR

⑵小球能过最高点的条件：vgR （当v＞√gR时，绳对球产生拉力，轨道对球产生支持力） ⑶小球不能过最高点条件：vgR（实际上球还没到最高点就脱离了轨道）

⑷绳拴小球或小球在竖直平面内单轨道内侧做圆周运动，在最高点的最小速度vmin=gR

例题：一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时测力计的读数差为△F，已知引力常量为G，试根据题中所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M。

2

v12v211

解析：最高点F1+mg=m，最低点F2-mg= m，根据机械能守恒定律：mv12+mg·2r=mv22，

22rr

FGMmR2

gR2F

可得g=，星球表面上质量为m的物体所受重力等于万有引力，即=mg，M= 2

mRG6Gm

点评这是一道与万有引力知识相结合的试题，一要解决圆运动的问题，二要处理星球表面重力加速

度的概念。

②“杆模型”

如图所示，在最高点有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况

例题：杆粘小球在竖直平面内做圆周运动或小球在竖直平面内双轨道的内侧做圆周运动。 ⑴临界条件：v=0（有物体支承的小球不会脱落轨内，只要还有向前速度都能向前运动） ⑵小球在最高点的受力分析：（杆或双轨道的内外环对小球产生的弹力即可指向圆心也可背向圆心）

①当v＝0时， 杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，

大小为：N＝mg。

②当0＜v＜√gR时，杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，

2

大小为：N＝mg－mv/R； N随v的增大而 减小 。 ③当v＝√gR时， 杆对球作用力N＝0或内外环对球均无作用力。

④当v＞√gR时， 杆对球作用力为拉力或外环对其有支持力，方向指向圆心方向

2

大小为：N＝mv/R－mg； N随v的增大而 增大 。

例题：长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是

A．v极小值为gL

B．v由零增大，向心力也逐渐增大

C．当v由gL逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由gL逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小

解析：由于杆既可以承受压力又可以承受拉力，因此小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小

mv2

球重力，也可以等于小球重力。当杆受力为零时，重力充当向心力mg， vgL。当vgL时杆

L

对小球施拉力；vgL时杆对小球施压力，因此v极小值可以小于gL，只要大于0即可。故正确选项是B、C、D

例题：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是 。

解析：这是一道圆周运动与机械能守恒的综合题目,也是一道情景新颖的讨论题,要求能正确地对A、B两球进行受力分析,判断出A、B受到圆管对它们的作用力的方向，列出正确的方程式,问题便会迎刃而解。由题意可知，为了使在最高点的B球和最低点的A球对圆管的作用力的合力为零，则有：对A，NA－m1g=

2

v0m1（NA的方向必向上）。

R

2v0

对B，NB+m2g= m2 (NB的方向必向下)．又知B球在最低点时速度为 v0，在最高点时速度为

R

v，则应有

1122m2v0= m2v+ m2g·2R,依题意。 22

则有A、B对圆管的合力为零．整理得m1、m2、R及NA=NB,则有A、B对圆管的合力为零。故

2

v0

所以得（m1－m2）+（m1+m2）g＝0。

R

点评本题考查了机械能的有关知识和圆周运动的有关知识。要求对运动物体有正确的守力分析，要对物体的运动状态进行确定。

⑷汽车过桥问题：

例题：汽车质量为m，通过一桥：

2⑴当汽车以速率v通过半径为R的拱形桥，在最高点对桥的压力为： N＝mg－mv/R；且压力随v

时，其在最高点对桥的压力为零；

2R的凹形桥，则最低点桥对车的支持力为N＝mv/R+mg；且支持力随v

的增大而 增大 。

⑸水平转台上物体运动分析：

例题：如图，水平转台上的物体m随转台一起匀速转动，

⑴当半径不变，角速度增大时，设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力 增大 ，弹力 不变 ，向心力 增大 ，向心加速度 增大 ；

⑵当角速度不变，半径增大时，设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力 增大 ，线速度 增大 ，向心加速度 增大 。

例题：如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，

A、B间用长为L的细绳相连，开始时，A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B

与水平转台间摩擦因数均为μ，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的

角速度达到多大时A物块开始滑动？

解析：绳上开始出现张力时，B受的最大静摩擦力刚好充当向心力，

即μmg=mω2·2L，

ω=g/2L

当A所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A开始滑动，

此时，μmg-F=mω21L，F+μmg= mω21·2L

故2μmg=3 mω21L，ω1=2g/3L

点评物体转动的加速度增加，其所需的向心力也相应增加，所以摩擦力逐渐增加，但静摩擦力有一个极值，即最大静摩擦力。如果超过极限，外力不能提供物体作圆周运动所需的向心力就要开始滑动。

11

1、曲线运动：

⑴曲线运动定义：曲线运动是一种轨迹是曲线的运动，其速度方向随时间不断变化 ⑵曲线运动中质点的瞬时速度方向：就是曲线的切线方向

⑶曲线运动是一种变速运动，因为物体速度方向不断变化，所以曲线运动的物体总有加速度

【注意】曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度；但变速运动或具有加速度的运动不一定是曲线运动

⑷两种常见的曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动 2、物体做曲线运动的条件：

⑴曲线运动的物体所受的合外力不为零，合外力产生加速度，使速度方向（大小）发生变化 ⑵曲线运动的条件：物体所受的合外力F与物体速度方向不在同一条直线上 ⑶力决定了给定物体的加速度，力与速度的方向关系决定了物体运动的轨迹 F（或a）跟v在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速直线运动； a变化→变加速直线运动。 F（或a）跟v不在一直线上→直线运动：a恒定→匀变速曲线运动； a变化→变加速曲线运动

⑷根据质点运动轨迹大致判断受力方向：做曲线运动的物体所受的合外力必指向运动轨迹的内侧，也就是运动轨迹必夹在速度方向与合外力方向之间。 ⑸常见运动的类型有：

①a=0：匀速直线运动或静止。

②a恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线

’

运动；③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方） ③a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

例题：如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F。在此力作用下，物体以后运动情况，下列说法正确的是

‘

、

A．物体不可能沿曲线Ba运动； B．物体不可能沿直线Bb运动； C．物体不可能沿曲线Bc运动； D．物体不可能沿原曲线由B返回A。

解析：因为在曲线运动中，某点的速度方向是轨迹上该点的切线方向，如图所示，在恒力作用下AB为抛物线，由其形状可以画出vA方向和F方向。同样，在B点可以做出vB和－F方向。由于vB和－F不在一条直线上，所以以后运动轨迹不可能是直线。又根据运动合成的知识，物体应该沿BC轨道运动。即物体不会沿Ba运动，也不会沿原曲线返回。

因此，本题应选A、B、D。

掌握好运动和力的关系以及物体的运动轨迹形状由什么决定是解好本题关键。 答案：A、B、D。

3、运动的合成和分解 速度的合成和分解

⑴合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动；那几个运动叫做这个实际运动的分运动 ⑵合运动与分运动的关系：

①等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果

②独立性：某个方向上的运动不会因为其它方向上是否有运动而影响自己的运动性质。③运动独立性原理（叠加原理）：一物体可同时参与几种不同的运动，在研究问题时可以把各分运动都看作互相独立进行，它们互不影响。而一个物体的运动可以看成由几个各自独立进行的运动的叠加而成

④等时性：合运动通过合位移所需的时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等。即各分运动总是同时开始，同时结束

⑶运动合成分解：

①运动的合成和分解：已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解 ②运动的合成和分解的运算法则：是指物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解 a、合运动的位移等于二分运动位移的矢量和，符合平行四边形法则 b、合运动的速度等于二分运动速度的矢量和，符合平行四边形法则 c、合运动和分运动具有等时性

⑷当两直线运动的合速度的方向和合加速度的方向重合时，合运动为直线运动 ⑸曲线运动可分解为两个方向上的直线运动，分别研究两方向上的受力和运动规律 4、绳拉物体的速度分解问题：

原理：物体运动的速度v为合速度，这个速度在沿绳子方向的分速度v1就是绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v分就是绳子的摆动速度，它一定和v1垂直总之一句话：绳端速度总沿着绳子方向和垂直于绳子方向分解（可用微元法证明） 5、小船渡河的四个极值问题

渡河问题，是运动合成与分解的典型模型，这里介绍四个极值问题及其应用 设船对水的速度为V1（即船在静水的速度），水的速度为V2（即水对河岸的速度），河的两岸平行，宽度为L

⑴当船头垂直河岸时，渡河时间最短：t

L v1

v2

v1

⑵当V1＞V2，合速度方向垂直河岸时，渡河位移最小：s=L

⑶当V1

⑷船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即V1⊥Vw合时，船相对水的速度最小，且等于V水垂直于航线的分量。 5、平抛运动

⑴平抛运动定义：水平抛出的物体，只在重力作用下的运动叫做平抛运动 ⑵平抛运动的特点：

①只受重力作用，且有一水平初速度。 ②水平方向作匀速直线运动（加速度为零），竖直方向作自由落体运动（加速度为g） ③平抛运动是匀变速曲线运动，它的轨迹是抛物线 ⑶平抛运动的处理方法：

①水平方向：速度为v0的匀速直线运动，vx②竖直方向：自由落体运动，vy

只考虑竖直方向上，vy

③任意时刻的速度：v

tan

vyvx

gtv0

v0

，X



v0t2hg

，tx



Xv0

gt

，Y



12

gt

2

，ty

gT

O

X

2gh

， h

2



22vxvy

， θ为v与v0间的夹角。 Y



x2y2

yx

④任意时刻的位移：s

1gt2v0

12tan

tan

，α为s与v0间的夹角。

⑤平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx=v0。竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点起， 每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点： a、任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0

b、任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy=gΔt

注意：运动学公式只适用于直线运动，因此曲线运动要分解为两个直线运动后才能应用运动学公式。 例题：如图所示，以9.8米/秒的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是

A．

3

秒 3

B．

2秒 3

C．秒

D．2秒

解析：平抛运动可以认为是水平匀速和自由落体运动的合运动。飞行时间与初速无关，它可以从飞行高度或落地竖直分速度的信息中取得，本题可以使用竖直分速度这一信息。把垂直撞在斜面的速度分解为水平分速度v0和竖直分速度

vyvyv0ctg30，vygt，解之得t3秒。正确选项C。

例题：宇航员站在一星球表面的某高处，沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面，测得抛出

点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L，如图所示。已知小球飞行时间为t，且两落地点在同一水平面上。求该星球表面的重力加速度的数值。

解析：本题是近几年来的新题型，它的特色是给出了抛出点与落地点间的距离这一信息而没有直接给出，飞行的高度或水平射程。我们只要把已知的信息与飞行高度或水平射程建立联系，就又把这类习

题改成了传统题，即把未知转化为已知。

设抛出点高度为h，初速度为v，星球表面重力加速度为g。

2

由题意可知：hgt2，L2h2vt2，3L2h22vt。

1

2

解之得：g

2L3t2

2L3t2

答案：该星球表面重力加速度数值为。

如果本题再已知该星球半径为R，万有引力常数为G，还可以求该星球的质量M，读者可以试一试，

2LR23Gt2

答案为M。

例题：如图所示，一个同学做平抛实验时，只在纸上记下过起点的纵坐标y方向，但未记录平抛运动的起点，并描下了平抛运动的一段轨迹，在轨迹上取A、B两点，用刻度尺分别测量出它们到y轴的距离x1、

x2以及AB的竖直距离h，则小球平抛运动的初速度v0

。

解析：画出平抛运动由抛出点开始的轨迹如图所示。用平抛运动是水平匀速和自由落体合运动的知识，把参量还原到抛出点去考虑。又转化成了平抛的基本题。

设从抛出点到A、B的竖直高度分别为HA和HB。 由题意可知：hHBHA

22

。 tA再设平抛到A、B的时间为tA和tB，hgtB

1

2

xv0t，x1v0tA，x2v0tB

22x2x11hg22，v0

2v0v0

22 gx2x1

2h

答案：

v0

22gx2x1

2h

6、匀速圆周运动的特点：

⑴匀速圆周运动的定义：做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等。 ⑵匀速圆周运动的轨迹：是圆，且任意相等的时间内半径转过的角度相等。 ⑶匀速圆周运动的性质：①“匀速”指的是“匀速率”，即速度的大小不变但速度的方向时刻改变。 ②加速度大小不变，但加速度的方向时刻改变，所以是变加速曲线运动。 7、圆周运动的表征物理量：

⑴线速度v：①定义：圆周运动的瞬时速度；单位时间内通过的弧长

②大小：线速度=弧长/时间，即v=s/t； ③方向：圆周的切线方向；

④匀速圆运动线速度的特点：线速度大小不变，但方向时刻改变 ⑵角速度ω： ①定义：半径在单位时间内转过的角度；

②大小：角速度=角度（弧度）/时间即：ω=φ/t ③单位：弧度每秒，即：rad/s；

④匀速圆周运动中角速度特点：角速度恒定不变

⑶周 期T： ①定义：匀速圆周运动物体运动一周所用的时间；

②大小：周期=周长/线速度，即：T=2πr/v ③单位：秒，即s；

④匀速：圆周运动中周期的特点：周期不变

⑷频 率f： ①定义：每秒钟完成匀速圆周运动的转数

②大小：f=1/T

③单位：赫兹，即Hz，1Hz=1转/秒

⑸转 速n： ①定义：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的圈数，符号n

②大小：转速的大小就等于频率的大小

③单位：国际单位制中用转/秒，日常生活中也用转/分

⑹匀速圆周运动各物理量之间的关系：

①各量关系：v=2πr/T，

ω=2π/T=2πf=2πn(n的单位为转/秒)， v=ωr

②同一转盘上半径不同的各点，角速度相等但线速度大小不同

③皮带传动或齿轮传动的两轮边缘线速度大小相等，但角速度不一定相同

④当半径一定时，线速度与角速度成正比；当角速度一定时，线速度与半径成正比 8、向心力

⑴向心力定义：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫做向心力。 【注意】向心力是根据力的作用效果命名，不是某种特殊性质的力。

⑵向心力的可以由重力、弹力、摩擦力等提供。总之是物体所受的合外力提供了物体做匀速圆周运动所

需的向心力。

⑶向心力的方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻与线速度方向垂直，故方向时刻在改变。向心力是

变力。

⑷向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

【原因】向心力指向圆心，而物体的运动方向沿圆周上该处的切线方向，两者相互垂直。物体在运动

方向所受的合外力为零。在这个方向上无加速度。速度大小不会改变，所以向心力只改变速度的方向，。

⑸向心力的大小：

①向心力大小：Fn＝mrω＝mr(

22

22

)＝mr(2πT

f)＝mr(2πn)

22

Fn＝m v/r

②向心力大小与多个变量有关。因此在分析问题时，一定要利用控制变量的方法不处理。即在设定其它量不变的条件下，来分析所需向心力与某一变量的关系。 ③向心力F跟r、ω（或v）是瞬时对应关系。

⑹匀速圆周运动的条件：具有初速度v，合外力大小不变，方向时刻垂直线速度v，指向圆心 【注意】物体在恒力作用下不可能作匀速圆周运动。

9、向心力作用下使物体产生的加速度―――向心加速度an

⑴向心加速度：在向心力作用下物体产生的加速度叫做向心加速度

【注意】向心力与向心加速度具有瞬时对应关系，即向心力改变时，向心加速度随即改变

⑵向心加速度的方向：始终垂直于线速度，沿着半径指向圆心，且每时每刻都在不断地变化。所以匀

速圆周运动是变加速曲线运动 ⑶向心加速度的大小：an＝ rω＝r(

an＝v/r an＝vω

⑷向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。

⑸当v一定时，an与r成反比；当ω一定时an与r成正比，注意：r、v及ω间有制约关系 例题：下列说法正确的是

A．匀速圆周运动是一种匀速运动 B．匀速圆周运动是一种匀变速运动 C．匀速圆周运动是一种变加速运动

D．因为物体有向心力存在，所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动

2

2

22

)＝r(2πT

f)＝r(2πn)

22

解析：匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变，因此属于变加速运动。力是改变物体运动状态的原因，向心力对速度大小的改变没有贡献，它作用只是不断改变速度方向，所以正确选项是C、D。

10、离心现象：

⑴定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动就叫离心运动 ⑵离心现象的应用：

①离心干燥器（洗衣机的脱水筒）：利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉 ②用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内 ③“棉花糖”的制作 ⑶离心现象的防止：

①车辆转弯时速度不能超过规定的速度：车辆转弯时所需的向心力大于最大静摩擦力时，即最大

静摩擦力不能提供汽车转弯时所需的向心力时，汽车将做离心运动而造成交通事故

②高速转动的砂轮、飞轮等都不得超过允许的最大速度，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力时，离心运动会使它们破裂，以致酿成事故。

例题：将来人类离开地球到宇宙中去生活，可以设计成如图所示的宇宙村，它是一个圆形的密封建筑，人们生活在圆环的边上，为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以计它旋转，设这个建筑物的直径为200m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少（r/s）时，人类感觉到像生活在地球上一样要承受10m/s2的加速度？如果转速超过了上述值，人们将有怎样的感觉？

解析：处于宇宙间的物体处于完全失重状态，现要生活在其宇宙村中的人无失重感，题中告诉让该装置转动，即处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转时，所需的向心加速度等于题中所给的10m/s2时对应的转速就是所求转速。

由圆周运动的向心力加速度公式有a=（2πn）2R

得n=

12a

代入数值有n=0.05r/s 。

R

若转速超过此值,由上式可知,其加速度将大于10m/s2，因而人有超重的感觉。

点评 这是一道假设推理题，要求建立一个物理假象的模型，这能培养学生的想象力和处理解决问

题的能力，同时这也是高考趋势的发展方向。要求考生能够根据已知的知识和所给的物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程表达出来，论证推理有助于加强对学生的推理能力的考查。

规律

1、匀速圆周运动解题步骤：

⑴明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找出圆心和半径

⑵确定研究对象在某位置（某时刻）所处状态，进行受力分析，作出受力分析图，找出向心力的来源

222

⑶根据向心力公式Fn= mωr=m v/r=mωv=m（2π/T）r列方程，取“向心”方向为正 ⑷检查结果的合理性，并进行必要的分析讨论。 例题：如图所示一皮带轮传动装置，右轮半径为r，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则

A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等

2R2v2

2R，av。解析：匀速圆周运动中各参量的关系，即vR，v，，a

TTR

在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是：皮带上各点线速度大小相等；同轴的轮上各点角速度相等。由题意可知vavc，cbd再经过简单运算可得出正确选项是C、D。

例题：质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动，

如图所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？

解析：A、B小球受力如图所示，在竖直方向上A与B处于平衡态。在水平方向上根据匀速圆周运动

规律TATBm2OA，

TBm2OB，OB2OA。 TAm2·3OA，TBm22OA，

TA∶TB = 3∶2

答案：TA∶TB = 3∶

2

2、匀速圆周运动的实例分析 ⑴火车拐弯问题：

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大。如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘 所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力，铁轨支持力和侧向压力的合力 提供火车拐弯时所需的向心力

例题：铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H两轨间距为L，火车总质量为M，则： ⑴火车在拐弯处运动的“规定速度vP”大小为 ， ⑵若火车实际速度大于vP，则 轨将受到侧向压力， ⑶若火车实际速度小于vP，则 轨将受到侧向压力。

v2

解析：⑴mgtanθ=m

R

vgRtangRH/L

⑵火车做离心运动，外轨受到侧向压力。

⑶火车做向心运动，内轨受到侧向压力。

例题：在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ．设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,θ应等于( )

v2v2

A .arcsin B . arctan

RgRg

12v2v2

C . arcsin D. arccot

2RgRg

解析：如图所示，要使摩擦力为零，必使车受的重力与支持力的合力捉供向心

v2v2

力，则：Fn=mgtanθ=m，故所以θ＝arctan。即答案为B。

RRg

点评这是一道综合应用题，是用圆周运动知识来解决处理实际物理问题，这在实

际生活中有着广泛的应用，例如铁路、高速公路、杂技表演等，都是利用自身的重力分力提供转弯所需

的向心力。

⑵“水流星”节目分析

例题：⑴绳系杯子在竖直平面内圆运动，最高点杯中水不流

出的原因是： 。 ⑵杯在最高点的最小速度vmin= ， ⑶设杯内水的质量为m，则当最高点的速度v1＞vmin时， 杯对水的压力N= ，

⑷设杯运动到最低点速度为v2，则此时水对杯的压力 N`= 。 解析：⑴水和重力提供水做圆周运动的向心力

v2

⑵mgm vgl

l

v2v2

⑶mgNm Nmmg

ll

⑷Nmgm

v2v2

Nmmg ll

⑶“水流星”节目的变形讨论

①“绳模型”

如图所示，在最高点没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况 例：绳拴一小球在竖直平面内做圆周运动、小球在竖直平面内单轨道的内单侧做圆周运动 ⑴临界条件：绳子或轨道对小球没有作用力

mgm

v2R

v临界gR

（可理解为恰好转过或恰好转不过）

【注意】如果小球带电，且空间存在电、磁场，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合

力等于向心力，此时临界速度v临界≠√gR

⑵小球能过最高点的条件：vgR （当v＞√gR时，绳对球产生拉力，轨道对球产生支持力） ⑶小球不能过最高点条件：vgR（实际上球还没到最高点就脱离了轨道）

⑷绳拴小球或小球在竖直平面内单轨道内侧做圆周运动，在最高点的最小速度vmin=gR

例题：一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时测力计的读数差为△F，已知引力常量为G，试根据题中所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M。

2

v12v211

解析：最高点F1+mg=m，最低点F2-mg= m，根据机械能守恒定律：mv12+mg·2r=mv22，

22rr

FGMmR2

gR2F

可得g=，星球表面上质量为m的物体所受重力等于万有引力，即=mg，M= 2

mRG6Gm

点评这是一道与万有引力知识相结合的试题，一要解决圆运动的问题，二要处理星球表面重力加速

度的概念。

②“杆模型”

如图所示，在最高点有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况

例题：杆粘小球在竖直平面内做圆周运动或小球在竖直平面内双轨道的内侧做圆周运动。 ⑴临界条件：v=0（有物体支承的小球不会脱落轨内，只要还有向前速度都能向前运动） ⑵小球在最高点的受力分析：（杆或双轨道的内外环对小球产生的弹力即可指向圆心也可背向圆心）

①当v＝0时， 杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，

大小为：N＝mg。

②当0＜v＜√gR时，杆对球作用力为支持力或内环对球有支持力，方向和指向圆心方向相反，

2

大小为：N＝mg－mv/R； N随v的增大而 减小 。 ③当v＝√gR时， 杆对球作用力N＝0或内外环对球均无作用力。

④当v＞√gR时， 杆对球作用力为拉力或外环对其有支持力，方向指向圆心方向

2

大小为：N＝mv/R－mg； N随v的增大而 增大 。

例题：长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是

A．v极小值为gL

B．v由零增大，向心力也逐渐增大

C．当v由gL逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由gL逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小

解析：由于杆既可以承受压力又可以承受拉力，因此小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小

mv2

球重力，也可以等于小球重力。当杆受力为零时，重力充当向心力mg， vgL。当vgL时杆

L

对小球施拉力；vgL时杆对小球施压力，因此v极小值可以小于gL，只要大于0即可。故正确选项是B、C、D

例题：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是 。

解析：这是一道圆周运动与机械能守恒的综合题目,也是一道情景新颖的讨论题,要求能正确地对A、B两球进行受力分析,判断出A、B受到圆管对它们的作用力的方向，列出正确的方程式,问题便会迎刃而解。由题意可知，为了使在最高点的B球和最低点的A球对圆管的作用力的合力为零，则有：对A，NA－m1g=

2

v0m1（NA的方向必向上）。

R

2v0

对B，NB+m2g= m2 (NB的方向必向下)．又知B球在最低点时速度为 v0，在最高点时速度为

R

v，则应有

1122m2v0= m2v+ m2g·2R,依题意。 22

则有A、B对圆管的合力为零．整理得m1、m2、R及NA=NB,则有A、B对圆管的合力为零。故

2

v0

所以得（m1－m2）+（m1+m2）g＝0。

R

点评本题考查了机械能的有关知识和圆周运动的有关知识。要求对运动物体有正确的守力分析，要对物体的运动状态进行确定。

⑷汽车过桥问题：

例题：汽车质量为m，通过一桥：

2⑴当汽车以速率v通过半径为R的拱形桥，在最高点对桥的压力为： N＝mg－mv/R；且压力随v

时，其在最高点对桥的压力为零；

2R的凹形桥，则最低点桥对车的支持力为N＝mv/R+mg；且支持力随v

的增大而 增大 。

⑸水平转台上物体运动分析：

例题：如图，水平转台上的物体m随转台一起匀速转动，

⑴当半径不变，角速度增大时，设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力 增大 ，弹力 不变 ，向心力 增大 ，向心加速度 增大 ；

⑵当角速度不变，半径增大时，设物体仍作匀速圆周运动，则物体受到的静摩擦力 增大 ，线速度 增大 ，向心加速度 增大 。

例题：如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，

A、B间用长为L的细绳相连，开始时，A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B

与水平转台间摩擦因数均为μ，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的

角速度达到多大时A物块开始滑动？

解析：绳上开始出现张力时，B受的最大静摩擦力刚好充当向心力，

即μmg=mω2·2L，

ω=g/2L

当A所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A开始滑动，

此时，μmg-F=mω21L，F+μmg= mω21·2L

故2μmg=3 mω21L，ω1=2g/3L

点评物体转动的加速度增加，其所需的向心力也相应增加，所以摩擦力逐渐增加，但静摩擦力有一个极值，即最大静摩擦力。如果超过极限，外力不能提供物体作圆周运动所需的向心力就要开始滑动。

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