反比例函数对称性研究
万安中学 侯来合 2011/11/1
反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。
【反比例函数中心对称性研究】
中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O 成中心对称，点O 叫做对称中心。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于原点的中心对称点坐标为N （-a,-b ）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。
k 在反比例函数y=(k≠0) 的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于原点的 x
k 中心对称点坐标为N （-a,-b ）也一定在反比例函数y=(k≠0) 的图象上，由中x
k 心对称定义可知，反比例函数y=(k≠0) 的图象双曲线关于点O 成中心对称， x
对称中心是坐标原点o,
k 【例1】已知反比例函数y=(k﹥0) 的图象与y=mx 和 y=nx相交与A B C D四x
点，那么四边形ABCD 是（ ）
A 梯形 B 平行四边形 C 矩形 D 正方形
k 分析：因为反比例函数y=(k﹥0) ，y=mx ，y=nx均关于点O 成中心对称，所以x
交点A 与C ， B与D ，关于点O 成中心对称，所以AO=OC OB=OD ，所以 四
边形ABCD 是平行四边形 故选（B ）
【例2】已知：反比例函数y=k 1与直线y=k 2x 相交与A （-1，m ）B(n,3) x
求： (1) mn
(2) 反比例函数和正比例函数的解析式
解：∵y=k 1与y=k 2x 均关于原点O 中心对称 x
∴ A关于原点O 中心对称与B
∴m=-3 n=1 ∴mn=-3
∴A(-1,-3) ∴-3=
-3=k2x(-1)
∴k 1=k2=3
∴两函数的解析式为y=3和y=3x x k 1 1
【反比例函数轴对称性研究】
现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于y=x的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x的对称点坐标为H (-b,-a)
证明如下：如图，连接OM ON 并过M 做MP ⊥Y 轴 MQ⊥X 轴
在⊿OPM 和 ⊿OQN 中
OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO
= ∠NQO=900
∴⊿OPM ≌⊿OQN
∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ
又因为Y=X平分∠XOY
所以∠XOR=∠YOR=45度
所以∠MOR=∠NOR
由等腰三角形三线合一性质
可知 直线y=x垂直平分MN
所以点M 点N 关于直线
y=x
反比例函数对称性研究
万安中学 侯来合 2011/11/1
反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。
【反比例函数中心对称性研究】
中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O 成中心对称，点O 叫做对称中心。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于原点的中心对称点坐标为N （-a,-b ）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。
k 在反比例函数y=(k≠0) 的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于原点的 x
k 中心对称点坐标为N （-a,-b ）也一定在反比例函数y=(k≠0) 的图象上，由中x
k 心对称定义可知，反比例函数y=(k≠0) 的图象双曲线关于点O 成中心对称， x
对称中心是坐标原点o,
k 【例1】已知反比例函数y=(k﹥0) 的图象与y=mx 和 y=nx相交与A B C D四x
点，那么四边形ABCD 是（ ）
A 梯形 B 平行四边形 C 矩形 D 正方形
k 分析：因为反比例函数y=(k﹥0) ，y=mx ，y=nx均关于点O 成中心对称，所以x
交点A 与C ， B与D ，关于点O 成中心对称，所以AO=OC OB=OD ，所以 四
边形ABCD 是平行四边形 故选（B ）
【例2】已知：反比例函数y=k 1与直线y=k 2x 相交与A （-1，m ）B(n,3) x
求： (1) mn
(2) 反比例函数和正比例函数的解析式
解：∵y=k 1与y=k 2x 均关于原点O 中心对称 x
∴ A关于原点O 中心对称与B
∴m=-3 n=1 ∴mn=-3
∴A(-1,-3) ∴-3=
-3=k2x(-1)
∴k 1=k2=3
∴两函数的解析式为y=3和y=3x x k 1 1
【反比例函数轴对称性研究】
现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于y=x的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x的对称点坐标为H (-b,-a)
证明如下：如图，连接OM ON 并过M 做MP ⊥Y 轴 MQ⊥X 轴
在⊿OPM 和 ⊿OQN 中
OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO
= ∠NQO=900
∴⊿OPM ≌⊿OQN
∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ
又因为Y=X平分∠XOY
所以∠XOR=∠YOR=45度
所以∠MOR=∠NOR
由等腰三角形三线合一性质
可知 直线y=x垂直平分MN
所以点M 点N 关于直线
y=x