第47课时 极坐标
一．教学目标
1. 考查极坐标方程与直角坐标方程的互化；
(2)考查利用极坐标方程讨论直线与直线、直线与曲线的位置关系． 二．知识梳理
常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程
____________表示圆心在(r , 0) 半径为|r |的圆；
____________表示圆心在(r ，π
2
半径为|r |的圆；
________表示圆心在极点，半径为|r |的圆． ②直线的极坐标方程
________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a, 0) 且垂直于极轴的直线；
__________表示过(b π
2
且平行于极轴的直线；
ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α) 表示过(ρ0，θ0) 且与极轴成α角的直线方程． 三．基础练习
1．点P 的直角坐标为(22) ，那么它的极坐标可表示为__________． 2．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将其化为直角坐标方程为____________．
3．在极坐标系(ρ，θ) (0≤θ
4．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为______________．
5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6
(ρ∈R ) 的距离是________．
四．例题选讲
例1 (1)把点M 的极坐标⎛⎝
－5，π
6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1) 化成极坐标．
变式： (1)把点M 的极坐标⎛⎝
8，2π
3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2) 化成极坐标．(ρ>0,0≤θ
例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
ρcos ⎛⎝θπ
3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
练习：⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
例3 在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
1．点M 的直角坐标为(－3，－1) ，则它的极坐标为________． 2．在极坐标系中，点(ρ，θ) 与(－ρ，π＋θ) 的位置关系为________．
3．在极坐标中，直线ρsin(θ＋π
4
＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
在极坐标系中，以a πa
22为圆心，2________．
4．点M (5π
6为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：
①(－5，－π7ππ7π
6) ；②(5，6；③(－5，6) ；④(－5，－6
．
其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号) ．
5．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3π3，(4，－π
6
) ，则AB ＝________，S △AOB ＝________.(其
中O 是极点)
6．在极坐标系中，圆心在2，π) 且过极点的圆的方程为________．
7. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎛⎝2，π4，圆心为直线ρsin ⎛π⎝θ－3
3⎫⎭＝－2
C 的极坐标方程．
8极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θπ2
4＝2
，
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π) 时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为y ＝－x ＋3t 为参数) ．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B . 若点P 的坐标为(3，5) ，求P A ＋PB .
第47课时 极坐标
一．教学目标
1. 考查极坐标方程与直角坐标方程的互化；
(2)考查利用极坐标方程讨论直线与直线、直线与曲线的位置关系． 二．知识梳理
常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程
____________表示圆心在(r , 0) 半径为|r |的圆；
____________表示圆心在(r ，π
2
半径为|r |的圆；
________表示圆心在极点，半径为|r |的圆． ②直线的极坐标方程
________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a, 0) 且垂直于极轴的直线；
__________表示过(b π
2
且平行于极轴的直线；
ρsin(θ－α) ＝ρ0sin(θ0－α) 表示过(ρ0，θ0) 且与极轴成α角的直线方程． 三．基础练习
1．点P 的直角坐标为(22) ，那么它的极坐标可表示为__________． 2．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将其化为直角坐标方程为____________．
3．在极坐标系(ρ，θ) (0≤θ
4．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为______________．
5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6
(ρ∈R ) 的距离是________．
四．例题选讲
例1 (1)把点M 的极坐标⎛⎝
－5，π
6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1) 化成极坐标．
变式： (1)把点M 的极坐标⎛⎝
8，2π
3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2) 化成极坐标．(ρ>0,0≤θ
例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
ρcos ⎛⎝θπ
3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
练习：⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
例3 在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
1．点M 的直角坐标为(－3，－1) ，则它的极坐标为________． 2．在极坐标系中，点(ρ，θ) 与(－ρ，π＋θ) 的位置关系为________．
3．在极坐标中，直线ρsin(θ＋π
4
＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
在极坐标系中，以a πa
22为圆心，2________．
4．点M (5π
6为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：
①(－5，－π7ππ7π
6) ；②(5，6；③(－5，6) ；④(－5，－6
．
其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号) ．
5．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3π3，(4，－π
6
) ，则AB ＝________，S △AOB ＝________.(其
中O 是极点)
6．在极坐标系中，圆心在2，π) 且过极点的圆的方程为________．
7. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎛⎝2，π4，圆心为直线ρsin ⎛π⎝θ－3
3⎫⎭＝－2
C 的极坐标方程．
8极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θπ2
4＝2
，
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π) 时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．
9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为y ＝－x ＋3t 为参数) ．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B . 若点P 的坐标为(3，5) ，求P A ＋PB .