极坐标与参数方程题型
1、 题型与考点（1）
{
极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
（2） (3)
{
{
参数方程与普通方程互化
参数方程与直角坐标方程互化
利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x =f (t )（或y =g (t ) ，再代入普通方程
F (x , y )=0，求得另一关系y =g (t ) （或x =f (t )）. 一般地，常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
t -t
⎧⎪x =2-2
例1、方程⎨（t 为参数）表示的曲线是（ ） t -t
⎪⎩y =2+2
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
练习1、与普通方程x 2+y -1=0等价的参数方程是（ ）（t 为能数）
⎧x =sin t A ⎨2
y =cos t ⎩
⎧x =tan t B ⎨2
y =1-tan t ⎩
⎧x =-t
C ⎨⎩y =t
⎧x =cos t D ⎨2
y =sin t ⎩
练习2、设P 是椭圆2x +3y =12上的一个动点，则x +2y 的最大值是为 .
22
（2）、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度. 设点P 的直
⎧ρ2=x 2+y 2
⎧x =ρcos θ⎪
角坐标为(x , y ) ，它的极坐标为(ρ, θ) ，则⎨或⎨；若把直角坐标y
y =ρsin θ⎩⎪tan θ=
x ⎩
化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例2、极坐标方程4ρ⋅sin A. 圆
B. 椭圆
2
θ
2
=5表示的曲线是（ ）
D. 抛物线
C. 双曲线的一支
练习1、已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
) =
2
，则极点到该直线的距离是 2
练习2、极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0转化成直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+y 2=0或y =1 B．x =1 C．x 2+y 2=0或x =1 D．y =1
练习3、点M
的直角坐标是(-1
，则点M 的极坐标为（ ）
ππ2ππ
) D．(2,2k π+),(k ∈Z ) A ．(2,) B．(2,-) C．(2,
3333
（3）、参数方程与直角坐标方程互化
⎧⎪x =-2+cos θ例3：已知曲线C 1的参数方程为⎨（θ为参数），曲线C 2的极坐标方程
⎪⎩y =sin θ
为ρ=2cos θ+6sin θ．
（1）将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C 1，C 2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
练习1、坐标系与参数方程. 已知曲线C ：⎨
⎧x =3+2cos θ
（θ为参数，0≤θ≤2π) ，
⎩y =1+2sin θ
（Ⅰ）将曲线化为普通方程； （Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线C 1：⎨
⎧x =1+cos θ
(θ为参数）上求一点，使它到直线C
2：
⎩y =sin θ
1⎧
x =-t ⎪⎪2
(t 为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离. ⎨
1⎪y =1-t
⎪⎩2
练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆x +y -8x cos θ-6y sin θ+7cos （θ∈R ）的圆心为P (x , y ) ，求2x -y 的取值范.
2
2
2
θ+8=0
3⎧x =-t ⎪⎪5练习2、已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，设直线L 的参数方程是⎨（t 为
4⎪y =t ⎪5⎩
参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求|MN |的最大值.
（5）直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线l 经过点P (1, 1) ，倾斜角α=①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆x 2+y 2=4相交与两点A , B ，求点P 到A , B 两点的距离之积.
π
6
，
4⎧x =1+t ⎪π⎪5
练习1、求直线⎨（t
为参数）被曲线ρ=θ+) 所截的弦长. 4⎪y =-1-3t
⎪5⎩
练习：
1．把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是（ ）
1
⎧⎧x =sin t ⎧x =cos t ⎧x =tan t ⎪x =t 2⎪⎪⎪A ．⎨ B ． C ． D ．111 ⎨⎨⎨1
y =y =y =⎪y =t -2⎪⎪⎪sin t cos t tan t ⎩⎩⎩⎩
2．曲线⎨
⎧x =-2+5t
(t 为参数) 与坐标轴的交点是（ ）
y =1-2t ⎩
25
12
15
12
59
(,0) B ．(0,) (,0) C ．(0,-4) 、(8,0) A ．(0,) (8,0) D ．(0,) 、
3．直线⎨
A ．
⎧x =1+2t
(t 为参数) 被圆x 2+y 2=9截得的弦长为（ ）
⎩y =2+t
12 D
C
B
5⎧x =4t 2
(t 为参数) 上，则PF 等于（ ） 4．若点P (3,m ) 在以点F 为焦点的抛物线⎨
⎩y =4t
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
⎧x =2pt 2
(t 为参数, p 为正常数) 上的两点M , N 对应的参数分别为t 1和t 2, ，5．已知曲线⎨
⎩y =2pt
且t 1+t 2=0，那么MN =_______________。
6．圆的参数方程为⎨
⎧x =3sin θ+4cos θ
(θ为参数) ，则此圆的半径为_______________。
⎩y =4sin θ-3cos θ
1t ⎧-t x =(e +e ) cos θ⎪⎪2
7．分别在下列两种情况下，把参数方程⎨化为普通方程：
1⎪y =(e t -e -t )sin θ⎪⎩2
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
8．过点P (
, 0) 作倾斜角为α的直线与曲线x 2+12y 2=1交于点M , N ， 2
求PM ⋅PN 的值及相应的α的值.
⎧x =cos θ(sinθ+cos θ)
9．参数方程⎨(θ为参数) 表示什么曲线？
y =sin θ(sinθ+cos θ) ⎩
1．下列在曲线⎨
⎧x =sin 2θ
(θ为参数) 上的点是（ ）
⎩y =cos θ+sin θ
31
, ) C
． D
． 42
A
．(, B ．(-
12
2
⎧⎪x =2+sin θ
(θ为参数) 化为普通方程为（ ） 2．将参数方程⎨2
⎪⎩y =sin θ
A ．y =x -2 B ．y =x +2 C ．y =x -2(2≤x ≤3) D ．y =x +2(0≤y ≤1)
3. 若A (3, .
π
) ，B (-3, ) ，则|AB|=___________，S ∆AOB =___________（其中O 是极点） 36
π
1⎧x =2-t ⎪⎪2
(t 为参数) 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为______________ 4．直线⎨
⎪y =-1+1t ⎪⎩2
5. 直线 6.
的轨迹方程为____________。
7. 若方程m ρcos
2
（t 为参数）上任一点P 到的距离为__________
θ+3ρsin 2θ-6cos θ=0的曲线是椭圆，求实数m 的取值范围.
x 2y 2
+=1上一点P 与定点(1, 0) 之间距离的最小值. 8. 求椭圆94
x 2y 2
+=1上找一点，使这一点到直线x -2y -12=0的距离的最小值. 9．在椭圆
1612
⎧⎪x =1+t
(t 为参数
) 和直线l 2:x -y -=0的交点P 的坐标，10．
求直线l 1:⎨及点P
⎪⎩y =-5与Q (1,-5) 的距离.
极坐标与参数方程题型
1、 题型与考点（1）
{
极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
（2） (3)
{
{
参数方程与普通方程互化
参数方程与直角坐标方程互化
利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x =f (t )（或y =g (t ) ，再代入普通方程
F (x , y )=0，求得另一关系y =g (t ) （或x =f (t )）. 一般地，常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
t -t
⎧⎪x =2-2
例1、方程⎨（t 为参数）表示的曲线是（ ） t -t
⎪⎩y =2+2
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
练习1、与普通方程x 2+y -1=0等价的参数方程是（ ）（t 为能数）
⎧x =sin t A ⎨2
y =cos t ⎩
⎧x =tan t B ⎨2
y =1-tan t ⎩
⎧x =-t
C ⎨⎩y =t
⎧x =cos t D ⎨2
y =sin t ⎩
练习2、设P 是椭圆2x +3y =12上的一个动点，则x +2y 的最大值是为 .
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（2）、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度. 设点P 的直
⎧ρ2=x 2+y 2
⎧x =ρcos θ⎪
角坐标为(x , y ) ，它的极坐标为(ρ, θ) ，则⎨或⎨；若把直角坐标y
y =ρsin θ⎩⎪tan θ=
x ⎩
化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例2、极坐标方程4ρ⋅sin A. 圆
B. 椭圆
2
θ
2
=5表示的曲线是（ ）
D. 抛物线
C. 双曲线的一支
练习1、已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
) =
2
，则极点到该直线的距离是 2
练习2、极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0转化成直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+y 2=0或y =1 B．x =1 C．x 2+y 2=0或x =1 D．y =1
练习3、点M
的直角坐标是(-1
，则点M 的极坐标为（ ）
ππ2ππ
) D．(2,2k π+),(k ∈Z ) A ．(2,) B．(2,-) C．(2,
3333
（3）、参数方程与直角坐标方程互化
⎧⎪x =-2+cos θ例3：已知曲线C 1的参数方程为⎨（θ为参数），曲线C 2的极坐标方程
⎪⎩y =sin θ
为ρ=2cos θ+6sin θ．
（1）将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C 1，C 2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
练习1、坐标系与参数方程. 已知曲线C ：⎨
⎧x =3+2cos θ
（θ为参数，0≤θ≤2π) ，
⎩y =1+2sin θ
（Ⅰ）将曲线化为普通方程； （Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线C 1：⎨
⎧x =1+cos θ
(θ为参数）上求一点，使它到直线C
2：
⎩y =sin θ
1⎧
x =-t ⎪⎪2
(t 为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离. ⎨
1⎪y =1-t
⎪⎩2
练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆x +y -8x cos θ-6y sin θ+7cos （θ∈R ）的圆心为P (x , y ) ，求2x -y 的取值范.
2
2
2
θ+8=0
3⎧x =-t ⎪⎪5练习2、已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，设直线L 的参数方程是⎨（t 为
4⎪y =t ⎪5⎩
参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求|MN |的最大值.
（5）直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线l 经过点P (1, 1) ，倾斜角α=①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆x 2+y 2=4相交与两点A , B ，求点P 到A , B 两点的距离之积.
π
6
，
4⎧x =1+t ⎪π⎪5
练习1、求直线⎨（t
为参数）被曲线ρ=θ+) 所截的弦长. 4⎪y =-1-3t
⎪5⎩
练习：
1．把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是（ ）
1
⎧⎧x =sin t ⎧x =cos t ⎧x =tan t ⎪x =t 2⎪⎪⎪A ．⎨ B ． C ． D ．111 ⎨⎨⎨1
y =y =y =⎪y =t -2⎪⎪⎪sin t cos t tan t ⎩⎩⎩⎩
2．曲线⎨
⎧x =-2+5t
(t 为参数) 与坐标轴的交点是（ ）
y =1-2t ⎩
25
12
15
12
59
(,0) B ．(0,) (,0) C ．(0,-4) 、(8,0) A ．(0,) (8,0) D ．(0,) 、
3．直线⎨
A ．
⎧x =1+2t
(t 为参数) 被圆x 2+y 2=9截得的弦长为（ ）
⎩y =2+t
12 D
C
B
5⎧x =4t 2
(t 为参数) 上，则PF 等于（ ） 4．若点P (3,m ) 在以点F 为焦点的抛物线⎨
⎩y =4t
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
⎧x =2pt 2
(t 为参数, p 为正常数) 上的两点M , N 对应的参数分别为t 1和t 2, ，5．已知曲线⎨
⎩y =2pt
且t 1+t 2=0，那么MN =_______________。
6．圆的参数方程为⎨
⎧x =3sin θ+4cos θ
(θ为参数) ，则此圆的半径为_______________。
⎩y =4sin θ-3cos θ
1t ⎧-t x =(e +e ) cos θ⎪⎪2
7．分别在下列两种情况下，把参数方程⎨化为普通方程：
1⎪y =(e t -e -t )sin θ⎪⎩2
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
8．过点P (
, 0) 作倾斜角为α的直线与曲线x 2+12y 2=1交于点M , N ， 2
求PM ⋅PN 的值及相应的α的值.
⎧x =cos θ(sinθ+cos θ)
9．参数方程⎨(θ为参数) 表示什么曲线？
y =sin θ(sinθ+cos θ) ⎩
1．下列在曲线⎨
⎧x =sin 2θ
(θ为参数) 上的点是（ ）
⎩y =cos θ+sin θ
31
, ) C
． D
． 42
A
．(, B ．(-
12
2
⎧⎪x =2+sin θ
(θ为参数) 化为普通方程为（ ） 2．将参数方程⎨2
⎪⎩y =sin θ
A ．y =x -2 B ．y =x +2 C ．y =x -2(2≤x ≤3) D ．y =x +2(0≤y ≤1)
3. 若A (3, .
π
) ，B (-3, ) ，则|AB|=___________，S ∆AOB =___________（其中O 是极点） 36
π
1⎧x =2-t ⎪⎪2
(t 为参数) 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为______________ 4．直线⎨
⎪y =-1+1t ⎪⎩2
5. 直线 6.
的轨迹方程为____________。
7. 若方程m ρcos
2
（t 为参数）上任一点P 到的距离为__________
θ+3ρsin 2θ-6cos θ=0的曲线是椭圆，求实数m 的取值范围.
x 2y 2
+=1上一点P 与定点(1, 0) 之间距离的最小值. 8. 求椭圆94
x 2y 2
+=1上找一点，使这一点到直线x -2y -12=0的距离的最小值. 9．在椭圆
1612
⎧⎪x =1+t
(t 为参数
) 和直线l 2:x -y -=0的交点P 的坐标，10．
求直线l 1:⎨及点P
⎪⎩y =-5与Q (1,-5) 的距离.