实验14 用模拟法测绘静电场
对于带电导体（电极）在其周围空间形成的静电场，一般情况下，由于电极本身的形状各式各样（规则和不规则），所以在周围空间中的电场强度和电势的分布很难用函数关系式来表述。因此一般通过实验来测绘。但是静电场有一非常显著的特性，它对于置于场中的导体（测量仪器、探针）会产生静电感应现象，那么导体的电荷在静电场力的作用下就要重新分布，导体激发的附加电场与原电场叠加就引起原静电场的显著畸变。为了相对准确的测量，在对静电场研究的过程中发现可以用稳恒电流场来代替静电场进行间接测量，从而相对准确地得到了电场强度和电势的关系。
[实验目的]
1．通过模拟法的描述进一步掌握静电场的分布。
2．通过测量，进一步加强对电场强度和电势概念的理解。
3．掌握电场强度与电势的微分关系。
[实验原理]
模拟法的本质是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程模拟不易实现、不便测量的状态或过程，只要这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，并且这些物理量在两状态或过程下满足基本相同的数学方程。
在模拟法中一般所测量的物理量不是我们直接所要研究的对象，要使两个物理量相互对应，必须要满足一定的相似条件。在本实验中，稳恒电流场和被模拟的静电场实现模拟的条件为：（1）两个场中的电极形状必须相同或相似，且在场中的位置相同；（2）电流场中的电极的电导率必须远大于导电介质的电导率，以保证电极可近似地视为等势体。一般电极选用金属（铜或铁）制成，导电介质选用蒸馏水、导电纸（纸上涂有一薄层导电石墨）或其它一些电导率非常小的导电介质；（3）对于真空或空气中的静电场，必须要求电流场中的导电介质为均匀介质，即电导率处处相等。
如图1（a）所示，在真空中有一半径为ra的长圆柱体（电极）A和一内半径为rb的长圆筒导体（电极）B，两电极同轴。设电极A、B的电势分别为UA和UB，且UB=0（接地），各带等量异号电荷，在两极间产生静电场。由静电场的高斯定理可求得在距轴线为r处任一点电势Ur为： rbrbUr=UAln/lnrra
（1）
（a） （b）
图1 无限长同轴圆柱面的电场
可见，两极之间产生的静电场的等势面是同轴的圆柱面。任取一垂直于轴线的截面S，截面上等势线与电场线的分布见图1（b）。
由实现静电场模拟的条件可知，取半径为ra的圆柱电极A和内半经为rb的圆筒电极B，两电极均由导电性良好的导体制成，且使两电极同轴，在两电极之间放入均匀的导电介质。当两电极加上电流I后，就有电流从内电极A辐射状流向外电极B，在电极之间形成一稳恒电流场，如图2（a）所示。下面证明可用此模型来模拟带等量异号电荷的无限长同轴圆柱面间的静电场。
（a） （b）
图2 无限长同轴圆柱面电场模拟模型
如图2（b）所示，取厚度为t的导电介质层，设其电导率为σ，则半径为r到r+dr的圆周之间导电介质层的电阻为：
dR=drdr1dr== σdsσ⋅2πrt2πσtr
对上式积分，得到从r到rb间的电阻为
R=1rbdrrb=ln （2） ∫rrr2πσt2πσt1
同理，从ra到rb之间的电阻为
R=1rbdrrb ln=∫2πσtrar2πσtra1
于是，从电极A流向电极B的总电流为 I=UA−UBr=2πσtUA/lnb （3） Rra
式中UB=0，r与rb之间的电势差为
Ur—UB=Ur=IR （4）
将式（2）及式（3）代入式（4）得
Ur=UAlnrb/lnrb （5） rra
式（5）和式（1）相同，从而说明模拟场与静电场的电势分布相同。
[实验仪器]
静电场描绘仪、直流稳压电源、伏特表、导电纸（或蒸馏水）。
图3 同轴圆柱电极静电场描绘仪
实验装置见图3。导电纸S、内外电极A、B固定在静电场描绘仪的下底板上，坐标纸S′置于上底板上。E为移动探针手柄，通过位于同一铅垂线上的探针C和定位孔C′，可将所测得的等势点记录在坐标纸上。
[实验步骤]
1．按图4接好电路，内电极接正，外电极接负，将伏特表的正负极分别接到内外电极上，调节稳压电源电压输出使的内外两电极之间的电势为5.00V，调好以后，再将伏特表的正极接到探针手柄上方的接线柱上。
2．给内外两极之间加入蒸馏水，用手缓慢移动探针手柄E,根据伏特表的读数找出电势为1.00V的点，同时从定位孔C′用笔在坐标纸S′上作记号。一般须在与轴线对称的不同位置找出至少均匀分布的20个等势点。
3．依次找出Ur=2.00V、3.00V、4.00V的等势点。
图4 电位法测等势点
[数据处理]
给定值：内极半径ra=1.00cm；外极内半径rb=8.00cm
1．任取电势为2.00V的等势点三个点，由几何方法确定其外接圆的圆心。
2．对每一组等势点，任取5点（舍弃明显偏离的点），量出其到圆心的距离，求得平均半径r，以平均半径画出其对应的等势线，并画出电场线。
3．用式（5）计算每组等势线对应的半径理论值r理，并分别计算相对误差
E=r−r理
r理
−×100%
4．用列表法表示Ur所对应的r、r理及E,表格自拟。
[思考题]
1．如果电源电压增加一倍,试问等势线和电场线的形状是否发生变化?电场强度和电势分布是否改变?为什么？
2．两个同样大小的小铜球,球心相距d,带电量分别为+Q和−Q,在真空中产生静电场,试举出这个静电场的”模拟模型”。
3．分析实验中的误差来源。
(吴云沛 孙健美)
实验14 用模拟法测绘静电场
对于带电导体（电极）在其周围空间形成的静电场，一般情况下，由于电极本身的形状各式各样（规则和不规则），所以在周围空间中的电场强度和电势的分布很难用函数关系式来表述。因此一般通过实验来测绘。但是静电场有一非常显著的特性，它对于置于场中的导体（测量仪器、探针）会产生静电感应现象，那么导体的电荷在静电场力的作用下就要重新分布，导体激发的附加电场与原电场叠加就引起原静电场的显著畸变。为了相对准确的测量，在对静电场研究的过程中发现可以用稳恒电流场来代替静电场进行间接测量，从而相对准确地得到了电场强度和电势的关系。
[实验目的]
1．通过模拟法的描述进一步掌握静电场的分布。
2．通过测量，进一步加强对电场强度和电势概念的理解。
3．掌握电场强度与电势的微分关系。
[实验原理]
模拟法的本质是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程模拟不易实现、不便测量的状态或过程，只要这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，并且这些物理量在两状态或过程下满足基本相同的数学方程。
在模拟法中一般所测量的物理量不是我们直接所要研究的对象，要使两个物理量相互对应，必须要满足一定的相似条件。在本实验中，稳恒电流场和被模拟的静电场实现模拟的条件为：（1）两个场中的电极形状必须相同或相似，且在场中的位置相同；（2）电流场中的电极的电导率必须远大于导电介质的电导率，以保证电极可近似地视为等势体。一般电极选用金属（铜或铁）制成，导电介质选用蒸馏水、导电纸（纸上涂有一薄层导电石墨）或其它一些电导率非常小的导电介质；（3）对于真空或空气中的静电场，必须要求电流场中的导电介质为均匀介质，即电导率处处相等。
如图1（a）所示，在真空中有一半径为ra的长圆柱体（电极）A和一内半径为rb的长圆筒导体（电极）B，两电极同轴。设电极A、B的电势分别为UA和UB，且UB=0（接地），各带等量异号电荷，在两极间产生静电场。由静电场的高斯定理可求得在距轴线为r处任一点电势Ur为： rbrbUr=UAln/lnrra
（1）
（a） （b）
图1 无限长同轴圆柱面的电场
可见，两极之间产生的静电场的等势面是同轴的圆柱面。任取一垂直于轴线的截面S，截面上等势线与电场线的分布见图1（b）。
由实现静电场模拟的条件可知，取半径为ra的圆柱电极A和内半经为rb的圆筒电极B，两电极均由导电性良好的导体制成，且使两电极同轴，在两电极之间放入均匀的导电介质。当两电极加上电流I后，就有电流从内电极A辐射状流向外电极B，在电极之间形成一稳恒电流场，如图2（a）所示。下面证明可用此模型来模拟带等量异号电荷的无限长同轴圆柱面间的静电场。
（a） （b）
图2 无限长同轴圆柱面电场模拟模型
如图2（b）所示，取厚度为t的导电介质层，设其电导率为σ，则半径为r到r+dr的圆周之间导电介质层的电阻为：
dR=drdr1dr== σdsσ⋅2πrt2πσtr
对上式积分，得到从r到rb间的电阻为
R=1rbdrrb=ln （2） ∫rrr2πσt2πσt1
同理，从ra到rb之间的电阻为
R=1rbdrrb ln=∫2πσtrar2πσtra1
于是，从电极A流向电极B的总电流为 I=UA−UBr=2πσtUA/lnb （3） Rra
式中UB=0，r与rb之间的电势差为
Ur—UB=Ur=IR （4）
将式（2）及式（3）代入式（4）得
Ur=UAlnrb/lnrb （5） rra
式（5）和式（1）相同，从而说明模拟场与静电场的电势分布相同。
[实验仪器]
静电场描绘仪、直流稳压电源、伏特表、导电纸（或蒸馏水）。
图3 同轴圆柱电极静电场描绘仪
实验装置见图3。导电纸S、内外电极A、B固定在静电场描绘仪的下底板上，坐标纸S′置于上底板上。E为移动探针手柄，通过位于同一铅垂线上的探针C和定位孔C′，可将所测得的等势点记录在坐标纸上。
[实验步骤]
1．按图4接好电路，内电极接正，外电极接负，将伏特表的正负极分别接到内外电极上，调节稳压电源电压输出使的内外两电极之间的电势为5.00V，调好以后，再将伏特表的正极接到探针手柄上方的接线柱上。
2．给内外两极之间加入蒸馏水，用手缓慢移动探针手柄E,根据伏特表的读数找出电势为1.00V的点，同时从定位孔C′用笔在坐标纸S′上作记号。一般须在与轴线对称的不同位置找出至少均匀分布的20个等势点。
3．依次找出Ur=2.00V、3.00V、4.00V的等势点。
图4 电位法测等势点
[数据处理]
给定值：内极半径ra=1.00cm；外极内半径rb=8.00cm
1．任取电势为2.00V的等势点三个点，由几何方法确定其外接圆的圆心。
2．对每一组等势点，任取5点（舍弃明显偏离的点），量出其到圆心的距离，求得平均半径r，以平均半径画出其对应的等势线，并画出电场线。
3．用式（5）计算每组等势线对应的半径理论值r理，并分别计算相对误差
E=r−r理
r理
−×100%
4．用列表法表示Ur所对应的r、r理及E,表格自拟。
[思考题]
1．如果电源电压增加一倍,试问等势线和电场线的形状是否发生变化?电场强度和电势分布是否改变?为什么？
2．两个同样大小的小铜球,球心相距d,带电量分别为+Q和−Q,在真空中产生静电场,试举出这个静电场的”模拟模型”。
3．分析实验中的误差来源。
(吴云沛 孙健美)