傅里叶变换
周期函数fT(t)可表示为：
a0+∞
fT(t)=+∑(ancosnωt+bnsinnωt)
2n=1
其中：
a0=
2T
T2
⎰f
-T2T2
T
(t)dt
an=
2T
⎰f
-T2T2
T
(t)cosnωtdt
bn=
2T
⎰f
-T2
T
(t)sinnωtdt
周期函数fT(t)的周期为T。频率f=数。
周期函数fT(t)的直流分量d=频率。
a01=2T
T2
12π，角频率ω=，n为正整TT
⎰f
-T2
T
(t)dt。fn=nf为各次谐波的
周期函数fT(t)可化为：(三角函数公式：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB)
fT(t)=∑Ancos(nωt+ϕn)+d
n=1+∞
其中：
22
An=an+bn
n
t) ϕn=-arc(
ban
即周期函数fT(t)可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率f
为基波的频率。
根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，有：
eiθ+e-iθ
cosθ=
2eiθ-e-iθ
sinθ=
2i
所以周期函数fT(t)可表示为：
a0+∞einωt+e-inωteinωt-e-inωt
fT(t)=+∑(an+bn)
2n=122i
a0+∞an-ibninωtan+ibn-inωt
= +∑(+e)
2n=122
而
T
⎡T⎤22
an-ibn1⎢⎥
=⎢⎰fT(t)cosnωtdt-i⎰fT(t)sinnωtdt⎥ 2TTT
⎢-⎥-
2⎣2⎦
T
2
=
1T
⎰f
-T2T2
T
(t)(cosnωt-isinnωt)dt
=
1T
⎰
-
fT(t)e-inωtdt
T2
T
⎡T⎤22
an+ibn1⎢⎥
=⎢⎰fT(t)cosnωtdt+i⎰fT(t)sinnωtdt⎥ 2TTT
⎢-⎥-
2⎣2⎦
T
2
=
1T
⎰f
-T2T2
T
(t)(cosnωt+isinnωt)dt
=
1T
⎰
-
fT(t)einωtdt
T2
令
c0=
1T
T2
⎰f
-T2
T
(t)dt
cn=
an-ibn1
=2T
T
2
⎰f
T2T2
T
(t)e-inωtdt
-
c-n=
则
an-ibn1
=2T
⎰
fT(t)einωtdt n为正整数
-
T
2
fT(t)=c0+∑(cneinωt+c-ne-inωt)
n=1
+∞
当 n取整数时，c可以合写为一个式子
1cn=
T
所以有
T2
⎰
fT(t)e-inωtdt （n = 0, ±1，±2，...）
-
T2
fT(t)=
n=-∞
∑ce
n
+∞
inωt
n为整数
非周期函数f(t)，当T→+∞时，有
f(t)=limfT(t)
T→+∞
所以
⎡T⎤2+∞
1⎢⎥
f(t)=lim∑⎢⎰fT(t)e-inωtdt⎥einωt
T→+∞Tn=-∞
⎢-T⎥⎣2⎦2π
取ωn=nω，ω=∆ωn=ωn-ωn-1=，当T→+∞时，∆ωn→0。
T
从而
⎡T⎤2+∞
∆ωn⎢⎥iωnt-iωnt
f(t)=limf(t)edte ∑T⎰⎢⎥
∆ωn→02πn=-∞
⎢-T⎥⎣2⎦
亦即
1
f(t)=lim
∆ωn→02π
⎡+∞f(t)e-iωntdt⎤eiωnt∆ω ∑n⎰⎢⎥-∞⎣⎦n=-∞
+∞
令
F(ωn)=⎰f(t)e-iωntdt
-∞+∞
则
1
f(t)=lim
∆ωn→02π
n=-∞
∑F(ω)eω
in
+∞
nt
∆ωn
12π1
=
2π
=
⎰⎰
+∞
-∞+∞
F(ωn)eiωntdωn F(ω)eiωtdω
-∞
因此有
F(ω)=⎰-∞f(t)e-iωtdt (1)
1f(t)=
2π
+∞
⎰
+∞
-∞
F(ω)eiωtdω (2)
称式(1)中函数F(ω)为函数f(t)的傅里叶变换，式(2)中函数f(t)为函数
F(ω)的傅里叶逆变换。函数F(ω)即为函数f(t)的频谱。
图1 是函数y1和y2的函数图。其中 y1=sin(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。 y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。
图1 谐波分量图
图2 是偶次谐波的函数图。
图2 偶次谐波图
图3 是偶次谐波的频谱图。
图3 偶次谐波频谱图
图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。
图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
傅里叶分析在电路上的应用
函数f(t)的傅里叶变换记为F
[f(t)] ，函数g(t)的傅里叶变换记为
F[g(t)]，即F(ω)=F[f(t)]，G(ω)=F[g(t)]。 则有
F[αf(t)+βg(t)] = α
F(ω) +
傅里叶变换的线性性质
β
G(ω)
傅里叶变换的微分性质
F
傅里叶变换的积分性质
⎡df(t)⎤⎢dt⎥ ⎣⎦
= iωF(ω)
F
电路上的一个例子。
⎡tf(t)dt⎤⎢⎥⎣⎰-∞⎦ =
1
F(ω) iω
有一段RLC电路如图5所示
图5 RLC电路
求电路的电流i(t) ，列方程有
Ri(t)+L
di(t)1t
+⎰i(t)dt=u(t) dtC-∞
函数i(t)的傅里叶变换为I(ω)，函数u(t)的傅里叶变换为U(ω)，对方程两边做傅里叶变换，有
RI(ω)+iωLI(ω)+
1
I(ω)=U(ω) iωC
求I(ω)得
I(ω)=
U(ω)1
R+iωL+
iωC
求I(ω)的傅里叶逆变换得
i(t)=
12π
⎰
t
-∞
I(ω)eiωtdt
代入具体的参数值，即可求得电路的电流i(t)。
函数的卷积
已知函数f(t)，g(t)，则积分
h(t)=⎰
+∞-∞
f(τ)g(t-τ)dτ
称为函数f(t)和g(t)的卷积，记为
h(t)=f(t)*g(t)
按傅里叶变换的定义，有
F[f(t)*g(t)] = ⎰
= = =
+∞
-∞+∞
[f(t)*g(t)]e-iωtdt
+∞
⎰
-∞
[⎰f(τ)g(t-τ)dτ]e-iωtdt
-∞
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
f(τ)e-iωτg(t-τ)e-iω(t-τ)dτdt
+∞
⎰
+∞
-∞
f(τ)e-iωτdτ⎰g(t-τ)e-iω(t-τ)d(t-τ)
-∞
=
F[f(t)] ∙ F[g(t)]
=F(ω)∙G(ω)
即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。
数字低通滤波器的设计
模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。
图6 模拟二阶低通滤波器电路
用傅里叶变换分析电路，可以证明
A1R1R2C1C2
Uo(s)
=
Ui(s)s2+(++(1-A))s+
R1C1R2C1R2C2R1R2C1C2
R4
。设 R3
其中s=iω，A=1+
G(s)=
Uo(s)
Ui(s)1
R1R2C1C21
2πR1R2C1C2
ωc=
fc=
Q=
1
R2C2
+R1C1
R1C2RC
+(1-A)11
R2C1R2C2
则有
G(s)=
s2+
c
Q
Aωc2
s+ωc2
函数G(s)为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。A为放大系数，ωc为滤波器的截止角频率，Q为滤波器的品质因数。
取R1=R2=159.155kΩ，C1=C2=0.01μF，R3=R4=10kΩ，则A=2，
fc=100Hz，ωc=200πrad/s，Q=1。函数G(s)的频谱图如图7所示。
图7 函数G(s)的频谱图(Q=1)
特别的，取R3=∞，R4=0，则A=1, Q=0.5，函数G(s)的频谱图如图8所 示。
图8 函数G(s)的频谱图(Q=0.5)
取A=1, Q=0.5的参数，当G(s)=
G(s)的半功率点。
1
， 求得f=64.3594Hz。即为函数 2
函数G(s)的零极点图如图9所示。Q>0时极点位于左半平面。
图9 函数G(s)的零极点图(A=1)
特别的，当R1=R2，C1=C2时，Q=
1
。当A≥3时，Q≤0，函数G(s)3-A
的零极点位于右半平面。取A=3，函数G(s)的零极点图如图10所示。 函数G(s)极点位于右半平面。
图10 函数G(s)的零极点图(A 3)
函数G(s)的相频图如图11所示。
图11函数G(s)的相频图
将函数G(s)级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。
图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(Q=0.5)
由Uo(s)=Ui(s)∙G(s)，根据卷积定理得uo(t)=ui(t)*g(t)。在频域上对函数G(s)采样，并对函数G(s)做傅里叶逆变换得g(t)= F [G(s)]。二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数g(t)的图形如图13所示。 对函数ui(t)和函数g(t)做卷积运算，求得函数uo(t)，即通过数字滤波器滤波后的结果。函数ui(t)和函数uo(t)的图形如图15所示。
图14是函数ui(t)的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。 图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。函数uo(t)和图6中模拟电路给出的结果是一致的。
-1
图13时域上的传递函数g(t)
图14 滤波器的相位延时
图15 函数ui(t)和函数uo(t)
图16 模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果
标准表的计算公式
电压表达式： v(t)=∑vksinkω(t+ϕk)
k=1∞∞
电流表达式： i(t)=∑iksinkω(t+γk) 电压有效值
电流有效值
瞬时有功功率
平均有功功率
瞬时无功功率
平均无功功率
视在功率
功率因数
k=1
N
V1
rms=
N
∑v2[n]
n=1
N
Irms=
1N
∑i2[n]
n=1
p(t)=v(t)⨯i(t)
1N
P=
N
∑p[n]
n=1
q(t)=v(t)⨯i'(t)=v(t)⨯i(t-T
4
) (注)
Q=
1N
∑N
q[n]
n=1
S=Vrms⨯Irms
cosθ=
PS (注sinθ≠QS
)
有功电能
t
Energy=⎰p(t)dt=lim
∆t→0
⎧∞⎫⎨∑p[n]⨯∆t⎬ ⎩n=1⎭
无功电能
t
ReactiveEnergy=⎰q(t)dt=lim
∆t→0
⎧∞⎫
q[n]⨯∆t⎨∑⎬ ⎩n=1⎭
视在电能
t
ApparentEnergy=⎰s(t)dt=lim
∆t→0
⎧∞⎫⎨∑s[n]⨯∆t⎬ ⎩n=1⎭
脉冲频率
1度电(P、Q、S)
表常数
fp、q、s=
离散傅里叶变换(DFT)
N-1n=0
-i2πnkN
X[k]=∑x[n]e
离散傅里叶变换的逆变换(IDFT)
1x[n]=
N
N-1k=0
i2πnkN
∑X[k]e
奈奎斯特采样定理
fNyquist≥2f
标准表的插值算法
定频采样的同步问题需要插值算法。对采样到的波形分段插值。一副正弦曲线图
用线性分段插值后的图形如下。
将线性分段插值的图像局部放大，如下图所示。
使用三次样条插值算法，得到的图形如下
将三次样条插值的图像局部放大，如下图所示。
三次样条插值
对于 n+1 个给定点的数据集 {xi} ，我们可以用 n 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果
表示对函数 f 进行插值的样条函数，则样条函数S(x)满足以下条件。
插值特性：S(xi) = f(xi)
样条相互连接：Si-1(xi) = Si(xi), i=1,...,n-1
两次连续可导：S'i-1(xi) = S'i(xi) 以及 S''i-1(xi) = S''i(xi), i=1,...,n-1。
由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成 S的 n 个三次多项式来说，这就意味着需要 4n 个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了 n + 1 个条件，内部数据点给出 n + 1 − 2 = n − 1 个条件，总计是 4n − 2 个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。
其中一项选择条件可以得到给定 u 与 v 的钳位三次样条，
21
S'(x0) =u
S'(xn) =v
另外，可以设
S''(x0) = S''(xn) = 0
这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数 f 的最小震荡。
其他插值算法
Lagrange插值、Newton插值、抛物线插值和Hermite插值。
高阶插值算法中的“龙格现象”。
22
傅里叶变换
周期函数fT(t)可表示为：
a0+∞
fT(t)=+∑(ancosnωt+bnsinnωt)
2n=1
其中：
a0=
2T
T2
⎰f
-T2T2
T
(t)dt
an=
2T
⎰f
-T2T2
T
(t)cosnωtdt
bn=
2T
⎰f
-T2
T
(t)sinnωtdt
周期函数fT(t)的周期为T。频率f=数。
周期函数fT(t)的直流分量d=频率。
a01=2T
T2
12π，角频率ω=，n为正整TT
⎰f
-T2
T
(t)dt。fn=nf为各次谐波的
周期函数fT(t)可化为：(三角函数公式：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB)
fT(t)=∑Ancos(nωt+ϕn)+d
n=1+∞
其中：
22
An=an+bn
n
t) ϕn=-arc(
ban
即周期函数fT(t)可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率f
为基波的频率。
根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，有：
eiθ+e-iθ
cosθ=
2eiθ-e-iθ
sinθ=
2i
所以周期函数fT(t)可表示为：
a0+∞einωt+e-inωteinωt-e-inωt
fT(t)=+∑(an+bn)
2n=122i
a0+∞an-ibninωtan+ibn-inωt
= +∑(+e)
2n=122
而
T
⎡T⎤22
an-ibn1⎢⎥
=⎢⎰fT(t)cosnωtdt-i⎰fT(t)sinnωtdt⎥ 2TTT
⎢-⎥-
2⎣2⎦
T
2
=
1T
⎰f
-T2T2
T
(t)(cosnωt-isinnωt)dt
=
1T
⎰
-
fT(t)e-inωtdt
T2
T
⎡T⎤22
an+ibn1⎢⎥
=⎢⎰fT(t)cosnωtdt+i⎰fT(t)sinnωtdt⎥ 2TTT
⎢-⎥-
2⎣2⎦
T
2
=
1T
⎰f
-T2T2
T
(t)(cosnωt+isinnωt)dt
=
1T
⎰
-
fT(t)einωtdt
T2
令
c0=
1T
T2
⎰f
-T2
T
(t)dt
cn=
an-ibn1
=2T
T
2
⎰f
T2T2
T
(t)e-inωtdt
-
c-n=
则
an-ibn1
=2T
⎰
fT(t)einωtdt n为正整数
-
T
2
fT(t)=c0+∑(cneinωt+c-ne-inωt)
n=1
+∞
当 n取整数时，c可以合写为一个式子
1cn=
T
所以有
T2
⎰
fT(t)e-inωtdt （n = 0, ±1，±2，...）
-
T2
fT(t)=
n=-∞
∑ce
n
+∞
inωt
n为整数
非周期函数f(t)，当T→+∞时，有
f(t)=limfT(t)
T→+∞
所以
⎡T⎤2+∞
1⎢⎥
f(t)=lim∑⎢⎰fT(t)e-inωtdt⎥einωt
T→+∞Tn=-∞
⎢-T⎥⎣2⎦2π
取ωn=nω，ω=∆ωn=ωn-ωn-1=，当T→+∞时，∆ωn→0。
T
从而
⎡T⎤2+∞
∆ωn⎢⎥iωnt-iωnt
f(t)=limf(t)edte ∑T⎰⎢⎥
∆ωn→02πn=-∞
⎢-T⎥⎣2⎦
亦即
1
f(t)=lim
∆ωn→02π
⎡+∞f(t)e-iωntdt⎤eiωnt∆ω ∑n⎰⎢⎥-∞⎣⎦n=-∞
+∞
令
F(ωn)=⎰f(t)e-iωntdt
-∞+∞
则
1
f(t)=lim
∆ωn→02π
n=-∞
∑F(ω)eω
in
+∞
nt
∆ωn
12π1
=
2π
=
⎰⎰
+∞
-∞+∞
F(ωn)eiωntdωn F(ω)eiωtdω
-∞
因此有
F(ω)=⎰-∞f(t)e-iωtdt (1)
1f(t)=
2π
+∞
⎰
+∞
-∞
F(ω)eiωtdω (2)
称式(1)中函数F(ω)为函数f(t)的傅里叶变换，式(2)中函数f(t)为函数
F(ω)的傅里叶逆变换。函数F(ω)即为函数f(t)的频谱。
图1 是函数y1和y2的函数图。其中 y1=sin(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。 y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。
图1 谐波分量图
图2 是偶次谐波的函数图。
图2 偶次谐波图
图3 是偶次谐波的频谱图。
图3 偶次谐波频谱图
图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。
图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
傅里叶分析在电路上的应用
函数f(t)的傅里叶变换记为F
[f(t)] ，函数g(t)的傅里叶变换记为
F[g(t)]，即F(ω)=F[f(t)]，G(ω)=F[g(t)]。 则有
F[αf(t)+βg(t)] = α
F(ω) +
傅里叶变换的线性性质
β
G(ω)
傅里叶变换的微分性质
F
傅里叶变换的积分性质
⎡df(t)⎤⎢dt⎥ ⎣⎦
= iωF(ω)
F
电路上的一个例子。
⎡tf(t)dt⎤⎢⎥⎣⎰-∞⎦ =
1
F(ω) iω
有一段RLC电路如图5所示
图5 RLC电路
求电路的电流i(t) ，列方程有
Ri(t)+L
di(t)1t
+⎰i(t)dt=u(t) dtC-∞
函数i(t)的傅里叶变换为I(ω)，函数u(t)的傅里叶变换为U(ω)，对方程两边做傅里叶变换，有
RI(ω)+iωLI(ω)+
1
I(ω)=U(ω) iωC
求I(ω)得
I(ω)=
U(ω)1
R+iωL+
iωC
求I(ω)的傅里叶逆变换得
i(t)=
12π
⎰
t
-∞
I(ω)eiωtdt
代入具体的参数值，即可求得电路的电流i(t)。
函数的卷积
已知函数f(t)，g(t)，则积分
h(t)=⎰
+∞-∞
f(τ)g(t-τ)dτ
称为函数f(t)和g(t)的卷积，记为
h(t)=f(t)*g(t)
按傅里叶变换的定义，有
F[f(t)*g(t)] = ⎰
= = =
+∞
-∞+∞
[f(t)*g(t)]e-iωtdt
+∞
⎰
-∞
[⎰f(τ)g(t-τ)dτ]e-iωtdt
-∞
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
f(τ)e-iωτg(t-τ)e-iω(t-τ)dτdt
+∞
⎰
+∞
-∞
f(τ)e-iωτdτ⎰g(t-τ)e-iω(t-τ)d(t-τ)
-∞
=
F[f(t)] ∙ F[g(t)]
=F(ω)∙G(ω)
即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。
数字低通滤波器的设计
模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。
图6 模拟二阶低通滤波器电路
用傅里叶变换分析电路，可以证明
A1R1R2C1C2
Uo(s)
=
Ui(s)s2+(++(1-A))s+
R1C1R2C1R2C2R1R2C1C2
R4
。设 R3
其中s=iω，A=1+
G(s)=
Uo(s)
Ui(s)1
R1R2C1C21
2πR1R2C1C2
ωc=
fc=
Q=
1
R2C2
+R1C1
R1C2RC
+(1-A)11
R2C1R2C2
则有
G(s)=
s2+
c
Q
Aωc2
s+ωc2
函数G(s)为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。A为放大系数，ωc为滤波器的截止角频率，Q为滤波器的品质因数。
取R1=R2=159.155kΩ，C1=C2=0.01μF，R3=R4=10kΩ，则A=2，
fc=100Hz，ωc=200πrad/s，Q=1。函数G(s)的频谱图如图7所示。
图7 函数G(s)的频谱图(Q=1)
特别的，取R3=∞，R4=0，则A=1, Q=0.5，函数G(s)的频谱图如图8所 示。
图8 函数G(s)的频谱图(Q=0.5)
取A=1, Q=0.5的参数，当G(s)=
G(s)的半功率点。
1
， 求得f=64.3594Hz。即为函数 2
函数G(s)的零极点图如图9所示。Q>0时极点位于左半平面。
图9 函数G(s)的零极点图(A=1)
特别的，当R1=R2，C1=C2时，Q=
1
。当A≥3时，Q≤0，函数G(s)3-A
的零极点位于右半平面。取A=3，函数G(s)的零极点图如图10所示。 函数G(s)极点位于右半平面。
图10 函数G(s)的零极点图(A 3)
函数G(s)的相频图如图11所示。
图11函数G(s)的相频图
将函数G(s)级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。
图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(Q=0.5)
由Uo(s)=Ui(s)∙G(s)，根据卷积定理得uo(t)=ui(t)*g(t)。在频域上对函数G(s)采样，并对函数G(s)做傅里叶逆变换得g(t)= F [G(s)]。二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数g(t)的图形如图13所示。 对函数ui(t)和函数g(t)做卷积运算，求得函数uo(t)，即通过数字滤波器滤波后的结果。函数ui(t)和函数uo(t)的图形如图15所示。
图14是函数ui(t)的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。 图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。函数uo(t)和图6中模拟电路给出的结果是一致的。
-1
图13时域上的传递函数g(t)
图14 滤波器的相位延时
图15 函数ui(t)和函数uo(t)
图16 模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果
标准表的计算公式
电压表达式： v(t)=∑vksinkω(t+ϕk)
k=1∞∞
电流表达式： i(t)=∑iksinkω(t+γk) 电压有效值
电流有效值
瞬时有功功率
平均有功功率
瞬时无功功率
平均无功功率
视在功率
功率因数
k=1
N
V1
rms=
N
∑v2[n]
n=1
N
Irms=
1N
∑i2[n]
n=1
p(t)=v(t)⨯i(t)
1N
P=
N
∑p[n]
n=1
q(t)=v(t)⨯i'(t)=v(t)⨯i(t-T
4
) (注)
Q=
1N
∑N
q[n]
n=1
S=Vrms⨯Irms
cosθ=
PS (注sinθ≠QS
)
有功电能
t
Energy=⎰p(t)dt=lim
∆t→0
⎧∞⎫⎨∑p[n]⨯∆t⎬ ⎩n=1⎭
无功电能
t
ReactiveEnergy=⎰q(t)dt=lim
∆t→0
⎧∞⎫
q[n]⨯∆t⎨∑⎬ ⎩n=1⎭
视在电能
t
ApparentEnergy=⎰s(t)dt=lim
∆t→0
⎧∞⎫⎨∑s[n]⨯∆t⎬ ⎩n=1⎭
脉冲频率
1度电(P、Q、S)
表常数
fp、q、s=
离散傅里叶变换(DFT)
N-1n=0
-i2πnkN
X[k]=∑x[n]e
离散傅里叶变换的逆变换(IDFT)
1x[n]=
N
N-1k=0
i2πnkN
∑X[k]e
奈奎斯特采样定理
fNyquist≥2f
标准表的插值算法
定频采样的同步问题需要插值算法。对采样到的波形分段插值。一副正弦曲线图
用线性分段插值后的图形如下。
将线性分段插值的图像局部放大，如下图所示。
使用三次样条插值算法，得到的图形如下
将三次样条插值的图像局部放大，如下图所示。
三次样条插值
对于 n+1 个给定点的数据集 {xi} ，我们可以用 n 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果
表示对函数 f 进行插值的样条函数，则样条函数S(x)满足以下条件。
插值特性：S(xi) = f(xi)
样条相互连接：Si-1(xi) = Si(xi), i=1,...,n-1
两次连续可导：S'i-1(xi) = S'i(xi) 以及 S''i-1(xi) = S''i(xi), i=1,...,n-1。
由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成 S的 n 个三次多项式来说，这就意味着需要 4n 个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了 n + 1 个条件，内部数据点给出 n + 1 − 2 = n − 1 个条件，总计是 4n − 2 个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。
其中一项选择条件可以得到给定 u 与 v 的钳位三次样条，
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S'(x0) =u
S'(xn) =v
另外，可以设
S''(x0) = S''(xn) = 0
这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数 f 的最小震荡。
其他插值算法
Lagrange插值、Newton插值、抛物线插值和Hermite插值。
高阶插值算法中的“龙格现象”。
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