实验十九 金属中电子的费米—狄拉克分布验证
一、实验目的
（１）通过实验验证费米—狄拉克分布。
（２）学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。
二、理论分析
近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为
g (ε) =
1
（1）
exp (ε-εf ) /kT +1
金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级分布密集，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为ε
f
(ε
f
称费米能级, ε
f
的值随金属的不同而不同) 的能级全部占据。而高于
费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃, 则靠近费米能级的少数电子由于热运动的增加, 其能量超过ε
f
值,
因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去, 其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。对（1）式求导可得
g ' (ε) =
-exp [(ε-εf ) /kT ]dg (ε) =d εkT {exp(ε-εf ) /kT +1}2
（2
）
（1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。
由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，ε
f
=0。由于电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分
能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能ε
ε
ｋ
=ε-A （3）
k
此外, 在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逸出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士, Я. И符伦克尔和И.E 塔姆的理论, 电子穿越偶电层所需的能量, 也就是该金属的费米能级ε这两个因素之后应对费米函数作适当的修正，修正后的费米函数应为：
f
。考虑到
g (εk ) =
1
（4）
exp (εk -εf ) /kT +1
对（４）式求导得
g ' (εk ) =
dg (εk ) -exp [(εk -εf ) /kT ]= （5） d εk kT {exp(εk -εf ) /kT +1}2
由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。
三、实验方法及数据处理
本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p =0）, 从灯丝发射出电子, 沿半径方向飞向园柱面板极(阳极) ，由于阳板电压为零, 所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。
由于电子的初动能各不相同，如何将它们按相等的动能间隔区分开来，并且求出电子数目的相对值，便成为本实验的焦点。由图（4）可知，从二极管灯丝（即园心）发射出的电子，沿半径方向飞向园柱面阳极（即园周），在螺线管所产生的磁感应强度Ｂ的作用下，电子将受到罗仑兹力Ｆ=-ev ×B 而作匀速圆周运动。罗仑兹力是向心力，它不改变电子的动能，由于v ⊥Ｂ，所以罗仑兹力公式可用下式表示：
mv 2
f L =Bev = （6）
R
v =
BeR
（7） m
（7）式中的v 是电子沿二极管半径方向的速度，或者电子的速度在半径方向的分量，R 是电子作匀速圆周运动的半径，ｍ是电子的质量，B 是螺线管中间部分的磁感应强度，B 的计算公式为：
B =
μ0NI B L +D
2
2
（8）
-7
（8）式中，μ0=4π×10(H/m)是真空中的磁导率；N 是螺线管的总匝数；Ｌ和Ｄ分别是螺线管的长度和直径，ＩＢ是通过螺线管的电流强度。将（7）、（8）代入（6）式可得真空中电子的动能为：
1m μ20N 2R 2e 222
εk =mv =() I B （9）
2222L +D m
由图（4）可看出，若电子作匀速圆周运动的半径R>电子就能达到阳极, 形成阳极电流, 若R
d
(d是园柱面阳极的直径), 4
d
, 电子就不能到达阳极, 这一部分电子对阳4
极电流无贡献。可见电子作匀速圆周运动的半径(取决于I B ) 直接影响阳极电流的大小, 将R=
d
代入(9)式可得 4
εk =KI 2B （10）
其中
π2N 2d 2m e 2K =() ⨯10-14 22
2(L +D ) m
为一常数。
由(10)式可知真空中发射电子的动能与螺线管中的电流强度的平方成正比, 而罗仑兹力不改变电子的动能, 它只影响电子作匀速圆周运动的半径的大小, 对动能一定的电子, 向心力越大(即I B 越大) 匀速圆周运动的半径越小, 当动能增加△ε相应数量的电子因其圆周运动的半径小于I p 。又因为ε
2
2
k
2
k
时, 将有
d
而不能到达阳极, 所以阳极电流将减小△4
k
与I B 成正比, 所以可用I B 代替变量ε进行实验及数据处理。
实验中，设灯丝电流强度稳定不变，阳极电压为零，理想二极管的饱和电流为
I P 0=n0e (11)
(11)式中的n 0以及下面的n 1;n 2;n 3; ……均为单位时间内到达阳极的电子数目, 当I B 以相等的改变量依次增加下去, 我们将得到一组方程:
2
I P 1=n 1e ⎫
⎪
I P 2=n 2e ⎬ (12)
⎪
⎭
由（11）、（12）式联立可得
∆I P 1=I P 0-I P 1=(n 0-n 1) e =∆n 1e ⎫
⎪
∆I P 2=I P 1-I P 2=(n 1-n 2) e =∆n 2e ⎬ (13)
⎪
⎭
(12) 得 (11)
I P 1/I P 0=n 1/n 0⎫
⎪
I P 2/I P 0=n 2/n 0⎬ (14)
⎪
⎭
(13) 得 (11)
∆I P 1/I P 0=∆n 1/n 0⎫
⎪
∆I P 2/I P 0=∆n 2/n 0⎬ (15)
⎪
⎭
为了配合理论上的要求，操作时事先选好ＩＢ的值，使其等间隔的增加，然后以其平方根的值，作为实验测量时的电流值，进行实际测试。
四、数据记录：
１．螺线管的总匝数 N=525匝 ２．螺线管的长度 L=0.145m ３．螺线管的平均直径 D=0.065m
４．真空中的磁导率 μ0=4π×10(H/m)
５．园柱面极的直径 ｄ=8.4mm(用测量显微镜测) (1)以I P i /I P 0为y 轴, 以I B 为x 轴, 作g(ε
2
2
k
-7２
)-ε
k
k
曲线。
k
(2) 以∆I P i /I P 0为y 轴, 以I B 为x 轴, 作g(ε(3)求
)-ε曲线。
∑=
∆I P i I P 0
, 检查是否满足归一化条件。
(4)计算g ´(ε
k
) ~ ε
k
曲线峰值对应的ε
k
值即为ε
f
值(以eV 为单位) 。
五、数据处理和分析讨论
2
K =1.0709974⨯10-18 εk =1.0709974⨯10-18I 2B (J) =6. 685I B (eV)
6
费米—狄拉克分布实验仪使用说明
一、组成
FM-Ⅱ型费米——狄拉克分布实验仪，是由理想二极管实验装置及测试仪电源两部分组成。电源部分由灯丝电源，螺线管电源及微安表组成。
二、操作方法
1．将实验装置与电源部分对应连接。 2．反时针方向将灯丝电流调节旋钮到头。
3．开启电源开关。顺时针方向调节灯丝电流旋钮。同时观察数显电流表的显示值到合
适值为止（电流值写在理想二极管的玻璃壳上，此时对应的灯丝温度约为1500℃）。预热10分钟。
4．反向针方向调节螺旋管励磁调节旋钮使励磁电流值为零即记录I B =0。
5．记录I B =0时的板流(微安表) 的示数, 即为I p 。 6．依次调节I B 值，记录相应的I ｐｉ值，到I B =1A为止。 三、注意事项
１．电源输入电压为交流220V(最好通过电子交流稳压器) 。 ２．必须保证预热时间，等灯丝电流稳定之后，按步骤测试。
３．由于理想二极管的灯丝，很难保证处于轴线位置，因此有些管子作出的分布曲线欠佳。
4．由于理想二极管灯丝直径不完全相等，而此实验需要灯丝的温度值约为1500℃，所以对不同直径的灯丝，其灯丝电流应不同。
5．为能作出分布比较理想的曲线，对不同的理想二极管，我们给了一个参考的灯丝电流值。
6．在灯丝灼热的状况下，严禁倾斜，特别是平放，以免灯丝弯曲。 7．理想二极管是玻璃制品，严禁碰撞，以免破裂。
四、本仪器采用数字式电表，其稳定度是最后一位数字±２个字。
K =1.0709974⨯10-18
实验十九 金属中电子的费米—狄拉克分布验证
一、实验目的
（１）通过实验验证费米—狄拉克分布。
（２）学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。
二、理论分析
近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为
g (ε) =
1
（1）
exp (ε-εf ) /kT +1
金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级分布密集，形成能带。当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。此时金属中的电子将能量从零到能量为ε
f
(ε
f
称费米能级, ε
f
的值随金属的不同而不同) 的能级全部占据。而高于
费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃, 则靠近费米能级的少数电子由于热运动的增加, 其能量超过ε
f
值,
因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去, 其分布曲线如图(1)中的虚线所示。我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。对（1）式求导可得
g ' (ε) =
-exp [(ε-εf ) /kT ]dg (ε) =d εkT {exp(ε-εf ) /kT +1}2
（2
）
（1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。
由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，ε
f
=0。由于电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分
能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能ε
ε
ｋ
=ε-A （3）
k
此外, 在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逸出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士, Я. И符伦克尔和И.E 塔姆的理论, 电子穿越偶电层所需的能量, 也就是该金属的费米能级ε这两个因素之后应对费米函数作适当的修正，修正后的费米函数应为：
f
。考虑到
g (εk ) =
1
（4）
exp (εk -εf ) /kT +1
对（４）式求导得
g ' (εk ) =
dg (εk ) -exp [(εk -εf ) /kT ]= （5） d εk kT {exp(εk -εf ) /kT +1}2
由（4）、（5）两式可以看出，真空中发射电子的动能分布也遵从费米—狄拉克分布。
三、实验方法及数据处理
本实验是利用理想二极管的特殊结构，在管子的外面套一个螺线管，并且通以直流电流，则螺线管中的磁感应强度Ｂ的方向与管子的轴线（灯丝）平行，在二极管不加板压的情况下（u p =0）, 从灯丝发射出电子, 沿半径方向飞向园柱面板极(阳极) ，由于阳板电压为零, 所以电子在不受外电场力的作用下，保持其初动能飞向阳极形成阳极饱和电流，其线路如图(3)所示。
由于电子的初动能各不相同，如何将它们按相等的动能间隔区分开来，并且求出电子数目的相对值，便成为本实验的焦点。由图（4）可知，从二极管灯丝（即园心）发射出的电子，沿半径方向飞向园柱面阳极（即园周），在螺线管所产生的磁感应强度Ｂ的作用下，电子将受到罗仑兹力Ｆ=-ev ×B 而作匀速圆周运动。罗仑兹力是向心力，它不改变电子的动能，由于v ⊥Ｂ，所以罗仑兹力公式可用下式表示：
mv 2
f L =Bev = （6）
R
v =
BeR
（7） m
（7）式中的v 是电子沿二极管半径方向的速度，或者电子的速度在半径方向的分量，R 是电子作匀速圆周运动的半径，ｍ是电子的质量，B 是螺线管中间部分的磁感应强度，B 的计算公式为：
B =
μ0NI B L +D
2
2
（8）
-7
（8）式中，μ0=4π×10(H/m)是真空中的磁导率；N 是螺线管的总匝数；Ｌ和Ｄ分别是螺线管的长度和直径，ＩＢ是通过螺线管的电流强度。将（7）、（8）代入（6）式可得真空中电子的动能为：
1m μ20N 2R 2e 222
εk =mv =() I B （9）
2222L +D m
由图（4）可看出，若电子作匀速圆周运动的半径R>电子就能达到阳极, 形成阳极电流, 若R
d
(d是园柱面阳极的直径), 4
d
, 电子就不能到达阳极, 这一部分电子对阳4
极电流无贡献。可见电子作匀速圆周运动的半径(取决于I B ) 直接影响阳极电流的大小, 将R=
d
代入(9)式可得 4
εk =KI 2B （10）
其中
π2N 2d 2m e 2K =() ⨯10-14 22
2(L +D ) m
为一常数。
由(10)式可知真空中发射电子的动能与螺线管中的电流强度的平方成正比, 而罗仑兹力不改变电子的动能, 它只影响电子作匀速圆周运动的半径的大小, 对动能一定的电子, 向心力越大(即I B 越大) 匀速圆周运动的半径越小, 当动能增加△ε相应数量的电子因其圆周运动的半径小于I p 。又因为ε
2
2
k
2
k
时, 将有
d
而不能到达阳极, 所以阳极电流将减小△4
k
与I B 成正比, 所以可用I B 代替变量ε进行实验及数据处理。
实验中，设灯丝电流强度稳定不变，阳极电压为零，理想二极管的饱和电流为
I P 0=n0e (11)
(11)式中的n 0以及下面的n 1;n 2;n 3; ……均为单位时间内到达阳极的电子数目, 当I B 以相等的改变量依次增加下去, 我们将得到一组方程:
2
I P 1=n 1e ⎫
⎪
I P 2=n 2e ⎬ (12)
⎪
⎭
由（11）、（12）式联立可得
∆I P 1=I P 0-I P 1=(n 0-n 1) e =∆n 1e ⎫
⎪
∆I P 2=I P 1-I P 2=(n 1-n 2) e =∆n 2e ⎬ (13)
⎪
⎭
(12) 得 (11)
I P 1/I P 0=n 1/n 0⎫
⎪
I P 2/I P 0=n 2/n 0⎬ (14)
⎪
⎭
(13) 得 (11)
∆I P 1/I P 0=∆n 1/n 0⎫
⎪
∆I P 2/I P 0=∆n 2/n 0⎬ (15)
⎪
⎭
为了配合理论上的要求，操作时事先选好ＩＢ的值，使其等间隔的增加，然后以其平方根的值，作为实验测量时的电流值，进行实际测试。
四、数据记录：
１．螺线管的总匝数 N=525匝 ２．螺线管的长度 L=0.145m ３．螺线管的平均直径 D=0.065m
４．真空中的磁导率 μ0=4π×10(H/m)
５．园柱面极的直径 ｄ=8.4mm(用测量显微镜测) (1)以I P i /I P 0为y 轴, 以I B 为x 轴, 作g(ε
2
2
k
-7２
)-ε
k
k
曲线。
k
(2) 以∆I P i /I P 0为y 轴, 以I B 为x 轴, 作g(ε(3)求
)-ε曲线。
∑=
∆I P i I P 0
, 检查是否满足归一化条件。
(4)计算g ´(ε
k
) ~ ε
k
曲线峰值对应的ε
k
值即为ε
f
值(以eV 为单位) 。
五、数据处理和分析讨论
2
K =1.0709974⨯10-18 εk =1.0709974⨯10-18I 2B (J) =6. 685I B (eV)
6
费米—狄拉克分布实验仪使用说明
一、组成
FM-Ⅱ型费米——狄拉克分布实验仪，是由理想二极管实验装置及测试仪电源两部分组成。电源部分由灯丝电源，螺线管电源及微安表组成。
二、操作方法
1．将实验装置与电源部分对应连接。 2．反时针方向将灯丝电流调节旋钮到头。
3．开启电源开关。顺时针方向调节灯丝电流旋钮。同时观察数显电流表的显示值到合
适值为止（电流值写在理想二极管的玻璃壳上，此时对应的灯丝温度约为1500℃）。预热10分钟。
4．反向针方向调节螺旋管励磁调节旋钮使励磁电流值为零即记录I B =0。
5．记录I B =0时的板流(微安表) 的示数, 即为I p 。 6．依次调节I B 值，记录相应的I ｐｉ值，到I B =1A为止。 三、注意事项
１．电源输入电压为交流220V(最好通过电子交流稳压器) 。 ２．必须保证预热时间，等灯丝电流稳定之后，按步骤测试。
３．由于理想二极管的灯丝，很难保证处于轴线位置，因此有些管子作出的分布曲线欠佳。
4．由于理想二极管灯丝直径不完全相等，而此实验需要灯丝的温度值约为1500℃，所以对不同直径的灯丝，其灯丝电流应不同。
5．为能作出分布比较理想的曲线，对不同的理想二极管，我们给了一个参考的灯丝电流值。
6．在灯丝灼热的状况下，严禁倾斜，特别是平放，以免灯丝弯曲。 7．理想二极管是玻璃制品，严禁碰撞，以免破裂。
四、本仪器采用数字式电表，其稳定度是最后一位数字±２个字。
K =1.0709974⨯10-18