中考专题黄金分割

. 中考中的黄金分割问题

一、黄金分割点

例1（湖北十堰）如图1，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有

AC AC AB BC

，则AB 的数值

为______；若AB 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____

位置最好．

2. （2005•太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC= cm ，DC= cm ． 3. （2009•浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已

越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60

，

二、黄金三角形

例1. （2010•本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为

的三角形是黄

金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE= _________ ．

2．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 . 3. 顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC 中，AB=AC，BD 是∠ABC 的角平分线，交AC 于D ，若AC=4cm，则cm ． 4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 为此，请你解答问题(1).

已知：如图(1)，在△ABC

中，AB=AC，∠A=36°，直线BD 平分∠

ABC

交

于点D. 求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形

图 (1)

归纳提升：本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条件改为“在△ABC 中，AB=AC，AD=BD=BC”，求△ABC 中各内角的度数.

(2)在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图(2)、(3)也具有这种特性请你在图(2)、图(3)中分别

画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；

(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形. 请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数.

说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形.

三、黄金矩形

例1 （扬州市）

（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．

（1）操作：请你在如图2所示的黄金矩形

ABCD (AB >AD ) 中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ；

（2）探究：在（1）中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．

．宽与长的比是

的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：

第一步：作一个任意正方形ABCD ；，BC M F 第二步：分别取AD 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过B 作EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，

请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取AB =2N C ）

2. （2010 嵊州市）如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F 、C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ，若CD ＝CF ，

则AE

3. 已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB ，AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（） A 、S 1＞S 2 B 、S 1＜S 2 C 、S 1=S2 D 、S 1≥S2

一、选择题

1、若3a=4b，则（a ﹣b ）：（a+b）的值是（） A 、错误！未找到引用源。 B 、7 C 、﹣错误！未找到引用源。 D 、﹣7

2、（2002•太原）已知，P 是线段AB 上一点，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。等于（）

A 、错误！未找到引用源。 B 、错误！未找到引用源。 C、错误！未找到引用源。 D 、错误！未找到引用源。

3、已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，且MP=（错误！未找到引用源。﹣1）cm ，则MN 等于（） A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、无法计算

4、如图所示，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，则AM 的长为（） A 、错误！未找到引用源。﹣1 B 、错误！未找到引用源。 C、3﹣错误！未找到引用源。 D 、6﹣2错误！未找到引用源。二、填空题

5、若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则，错误！未找到引用源。= ． 6、在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：3，则AP ：AB ：

7、若点C 是线段AB 的黄金分割点，则错误！未找到引用源。等于．

8. （2008•枣庄）将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．