同济大学1998年高等代数
2
4
-3
-32x 2-52-2
2
5
4
1
1
0011
1
02101．（10）设0＝-1-2-1136，求x 2+1-211⎫⎪11⎪， 01⎪⎭x ⎛1 2．（10）设A ＝ 2 2⎝⎛1 0C ＝ 0 ⎝⎛12⎫ ⎪4⎪，B ＝ 0 05⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎪ ⎪0⎪2⎪⎪1⎭
求矩阵X ，使X ⎛0 A ⎝B ⎫⎪＝C 0⎪⎭
3．（10）设V ＝M 2(R ) 是二阶实方阵全体所构成的线性空间。任意A ∈V ，有T （A ）＝A t +A ，
t A 其中表示A 的转置，证明T 是V 的线性变换，并求T 在基
⎛01⎫⎛10⎫⎛00⎫⎛00⎫ ，，， ⎪⎪ ⎪E =E 11= E = B =1221 00⎪ 00⎪ 10⎪ 11⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的矩阵表示。
4．（10）问t 取何值时，二次型tx 12-2x 2-x 3+2x 1x 2+2x 2x 3是负定。
t 225．（8）设A 是n 实可逆阵，证明2(A
6．（10）设方阵A 适合A 3A ) -1是正定阵。 +3A 2+7E =0, 证明A 可逆。
7．（14）问k 取何值时，下面的方程组AX ＝β（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多组解，这时求
它的通解。其中A ＝⎛1 1
k ⎝1⎫⎪-11⎪12⎪⎭k ⎛1⎫⎪ ，β= 1⎪ 1⎪⎝⎭
8．（18）求正交变换化二次型
f =2x 1+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3 222
为标准型。
9．设A ，B 是n 阶方阵，且AB ＝0，证明R(A) + R(B) n ，其中R(A)是矩阵A 的秩。
同济大学1998年高等代数
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-32x 2-52-2
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02101．（10）设0＝-1-2-1136，求x 2+1-211⎫⎪11⎪， 01⎪⎭x ⎛1 2．（10）设A ＝ 2 2⎝⎛1 0C ＝ 0 ⎝⎛12⎫ ⎪4⎪，B ＝ 0 05⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎪ ⎪0⎪2⎪⎪1⎭
求矩阵X ，使X ⎛0 A ⎝B ⎫⎪＝C 0⎪⎭
3．（10）设V ＝M 2(R ) 是二阶实方阵全体所构成的线性空间。任意A ∈V ，有T （A ）＝A t +A ，
t A 其中表示A 的转置，证明T 是V 的线性变换，并求T 在基
⎛01⎫⎛10⎫⎛00⎫⎛00⎫ ，，， ⎪⎪ ⎪E =E 11= E = B =1221 00⎪ 00⎪ 10⎪ 11⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的矩阵表示。
4．（10）问t 取何值时，二次型tx 12-2x 2-x 3+2x 1x 2+2x 2x 3是负定。
t 225．（8）设A 是n 实可逆阵，证明2(A
6．（10）设方阵A 适合A 3A ) -1是正定阵。 +3A 2+7E =0, 证明A 可逆。
7．（14）问k 取何值时，下面的方程组AX ＝β（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多组解，这时求
它的通解。其中A ＝⎛1 1
k ⎝1⎫⎪-11⎪12⎪⎭k ⎛1⎫⎪ ，β= 1⎪ 1⎪⎝⎭
8．（18）求正交变换化二次型
f =2x 1+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3 222
为标准型。
9．设A ，B 是n 阶方阵，且AB ＝0，证明R(A) + R(B) n ，其中R(A)是矩阵A 的秩。