第二章习题
2.1判断下列抽样方法是否是等概的：
（1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r，若r=0或r>64则舍弃重抽。 （2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r，r处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64.
（3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r。然后用r+19999作为被抽选的数。
解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。 因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。 2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y的定义和性质有哪些不同？
2.3为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行，现得到其日用电平均值y=9.5（千瓦时），s2=206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少？
解：由已知可得，N=50000，n=300，=9.5，s2=206
ˆ)=v(N)=N21-fs2=500002V(Y
n
1-
300
*206=1706366666 300
v(==41308.19 该市居民用电量的95%置信区间为
[[Ny±zα(y)]=[475000±1.96*41308.19]
2
即为（394035.95，555964.05） 由相对误差公式
uα2v()
≤10%
可得1.96*
-n*206≤9.5*10% n
即n≥862
欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为862
2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%置信区间。
n
解析：由已知得：N=10000 n=200 p=0.35 f==0.02
N
∧∧1-f
又有：E(p)=E(p)=p=0.35 V(p)=p(1-p)=0.0012
n-1
该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：
[E(P)±Zα(P)]
2
∧
∧
代入数据计算得：该区间为[0.2843，0.4157]
2.5研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
文化支出 200 150 170 150 160 130 140 100
编号 11 12 13 14 15 16 17 18
文化支出 150 160 180 130 100 180 100 180
9 10 110 240 19 20 170 120
估计该小区平均的文化支出Y,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：N=200 n=20
120
根据表中数据计算得：y=∑yi=144.5
20i=1
2120
s=y-y=827.06842 ∑i
20-1i=1
2
()
V(y)=
∴ 该小区平均文化支出Y的
[132.544 ,156.456]
1n
(1-)s2=37.21808 (y)=6.10015 nN
95%置信区间为：[y±zα(y)]即是：
2
故估计该小区平均的文化支出Y=144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544 ,156.456]。
2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到y=1120（吨），S2=2560，据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由题意知：y=1120 f=
n50
==0.1429 S2=2560⇒s=160 N350
1-f
s] 代入数据得： n
置信水平95%的置信区间为：[y±zα
2
置信水平95%的置信区间为：[1079.872，1160.872]
2.7某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置信水平95%，现根据以前的调查结果，认为总体方差S2=68，是确定简单随机抽样所需的样本量。若预计有效回答率为70%，则样本量最终为多少?
NZαS2
2
解析：简单随机抽样所需的样本量n1=
2
Nd2+ZαS2
2
2
n2=
n1
70%
由题意知：N=1000 d=2 S=68 代入并计算得：n1=61.3036≈61
n2=
2
Zα=1.96
2
n1
=87.142≈8770%
故知：简单随机抽样所需的样本量为61，若预计有效回答率为70%，则样本量最终为87
2.8某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到y=25，这些企业去年的平均产量为x=22。试估计今年该地区化肥总产量。
=
X2135==21.35N100,=25
∧
解析：由题可知=22，
则，该地区化肥产量均值的比率估计量为
Y=X
y25
=21.35=24.26
24x
=100*24.26=2426ˆ=NYR 该地区化肥产量总值Y的比率估计量为
所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。
2.9如果在解决习题2.5的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表：
置信水平95%的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。
1n1
=∑xi=2300+1700+ +1300）=1580
ni=120解析：由题可知
=144.5
ˆ=r==144.5=≈0.091R
1580
又
R=144.5=1600*=146.3291580
1n
S=(yi-)2=826.053∑n-1i=1
2
Sxy
1n
=∑(yi-)(xi-)=3463.158n-1i=1
1n2=(x-)=8831.579∑i
n-1i=1
Sx
2
故平均文化支出的95%的置信区间为
[R-Zα2
-f21-f2
ˆS+Rˆ2S2),+ZˆS+Rˆ2S2)](S-2R(S-2RyxxRα2yxx
nn
代入数据得（146.329±1.96*1.892）
即为[142.621,150.037]
2.10某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。现从中抽取10头，记录重量，3个月后再次测量，结果如下：
的结果进行比较。
1n1
=102.6 解：由题可知，=∑xi=95+ +105）
ni=110
1n1
150+ 170）=163 =∑yi=ni=110
1n12
S=(y-)=*1910=212.222 ∑i
n-1i=19
2
Sxy
1n1=(y-)(x-)=*1317=146.333 ∑ii
n-1i=19
Sx
2
1n1=(xi-)2=*926.4=106.933 ∑n-1i=19SxySx
2
故有β0=
=
146.333
=1.368
106.933
所以总体均值的回归估计量为
lr=+β0(-)=163+1.368*(100-102.6)=159.443 其方差估计为：
ˆ()=1-f(S2+β2S2-2βS)Vlr0x0xy
n101-
=(212.222+1.3682*106.933-2*1.368*146.333)
10=1.097 1-f2
ˆ(）而V=S
n
=
1-*212.222 10
=19.454
ˆ()
所以，回归估计的结果要优于简单估
第三单元习题答案（仅供参考） 1解：（1）不合适 （2）不合适 （3）合适 （4）不合适
2．将800名同学平均分成8组，在每一级中抽取一名“幸运星”。
=
=20.1
V（）=-
=9.7681-0.2962
=9.4719
=3.0777
（2）置信区间为95%相对误差为10%，则有
按比例分配的总量：n=
=185.4407
185
=n=56，=92，=37
按内曼分配：n=
=175
=33，=99，=43
=
=0.924
根据各层层权及抽样比的结果，可得
（）==0.000396981
=1.99%
估计量的标准差为1.99%，比例为9.24% 按比例分配：
n=2663
=479，
=559，
=373，
=240，
=426，
=586
内曼分配：
n=2565
=536，
=520，
=417，
=304，
=396，
=392
5．解：由题意，有
=
=75.79
购买冷冻食品的平均支出为75.79元
又由V（）=+
又n=
V（）
=53.8086
=7.3354
95%的置信区间为[60.63，90.95]。 7．解：（1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）对
8．解：（1）差错率的估计值=
70%+
30%=0.027
估计的方差v（）==3.1967
标准差为S()=0.0179。
（2）用事后分层的公式计算差错率为==0.03
估计的方差为；v（）=-=2.5726
=0.4，
（2）用分别比估计，有=0.65，所以用分别比估计可计算得=6.4。
用联合比估计，有
=0.5，=0.625，所以用联合比估计可计算得=6.5。
第四章习题
4.1
邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个
解：由题意得到N=400，n=4，M=10，f=
1故==
Mn
n4==0.01 N400
∑
i=1
n
yi=
19+20+16+20
=1.875（份）
10⨯4
=M⋅=10⨯1.875=18.75（份） ˆ=M⋅N⋅=10⨯400=7500（份） Y
2sb
M=
n-1
∑(i=1
n
i
-)2
n
1-f21-f1v()=sb=
nMnM2n-1
∑(i=1
i
-)2
1-0.01(19-18.75)2+ +(20-18.75)2
=⨯
4-14⨯102
=0.00391875
ˆ)=N2M2v()=4002⨯102⨯0.00391875=62700 v(Y
于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875，估计量方差为
0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。
4.2 某工业系统准备实行一项改革措施。该系统共有87个单位，现采用整群抽
样，用简单随机抽样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政
（2） 在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允
许误差不超过8%，则应抽取多少个单位做样本?
解：题目已知N=87，n=15，f=1）由已知估计同意改革的比例
n15
=
N87
ˆ=p
∑y
i=1
ni=1
n
i
=
i
∑M
1=
n
n
646
≈0.709 911
∑M
i=1
i
=60.733
n
11-f1ˆ)=2v(p
nn-1∑(y
i=1
i
ˆMi)2=0.008687 -p
此估计量的标准差为
ˆ)=v(pˆ)=.008687=0.9321 s(p
4.3 某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员
欲估计办公费用支出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整
）。
nn
n10
解：已知N=48, n=10, f==, 由题意得∑yi=736，∑Mi=365，
N48i=1i=1
ˆ=N则办公费用的总支出的估计为Y
n
∑yi=
i=1
n
48
⨯736=3532.8（元） 10
1n1
群总和均值=∑yi=⨯736=73.6（元）
ni=110
ˆ)=N(1-f)⋅v(Y
n
2
∑(y
i=1
n
i
-)2
n-1
10)
(83-73.6)2+(62-73.6)2+...+(80-73.6)2= ⨯
109
1
= 182.4⨯⨯3590.4
9
= 72765.44 482⨯(1-)=269.7507 v(Y
ˆ的置信度为95%的置信区间为3532.8±1.96⨯269.7507，即[3004.089，则Y
4061.511].
4.4 为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机抽样方法，
估计整个林区树的平均高度及95%的置信区间。
解：由已知得N=386，n=20，f=
n20==0.0518 N3866180.8
=5.909 1046
整体的平均高度==
∑M
i=1ni-1
n
i
i
=
i
∑M
1M=
n
∑M
i=1
n
i
=52.3
n
方差估计值v()=v()=
=0.02706
1-fn2
∑(y
i=1
i
-Mi)2
n-1
标准方差s()=v()=0.02706=0.1644
在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为
（±tα/2⋅s()）=(5.909±1.96⨯0.1644)=(5.5868,6.2312)
4.5 某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女
生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进
解：题目已知N=200，n=10，M=6，m=3，f1=
n10m==0.05，f2==0.5 N200M
ˆ=p
∑y
i=1
n
i
nm
=
9
=0.3 10⨯3
11-f1ˆ)=2⋅v(p⋅
nn-1m
∑(y
i=1
n
i
-p⋅m)=0.005747
ˆ)=v(p)=.005747=0.0758 s(p
在置信度95%下，p的置信区间为
ˆ±tα/2v(pˆ))=(0.3±1.96⨯0.0758)=(0.151432,0.448568(p）
4.6 上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的
调查，宿舍间的标准差为S1=326元，宿舍内同学之间的标准差为S2=188元。以一位同学进行调查来计算，调查每个宿舍的时间c1为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据计算等工作，所花费的时间为c0是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的样本宿舍和样本学生是多少？
解：由已知条件得到以下信息：
S1=326（元）S2=188（元）c1=10（分钟）c2=1（分钟）c0=4⨯60=240
（分钟） 由此得到
2S1
=106276，
S22
=35344，
S2u
2
S235344=S1-=106276-=100385.33
M6
mopt=
S2c188⋅1=⨯≈1.82 S1c23261
因而取最优的m=2，进一步计算nopt 由于总时间的限制C=480，由关系式
C=c0+c1n+c2nm得到480=240+10nopt+2nopt
计算方程得到nopt=20，因而取n=20
则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2。
4.7 某居委会欲了解居民健身活动情况，如果一直该居委会有500名居民，居住
在10个单元中。现先抽取4个单元，然后再样本单元中分别抽出若干居民，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，调查了样本居民每天用于健身锻炼的时
（1） 简单估计量 （2） 比率估计量
（3） 对两种估计方法及结果进行评价。 解：（1）简单估计
ˆ=NYu
n
N
Mii=∑ni=1
n
∑Yˆ
ii=1
n
10
⨯(32⨯3.75+45⨯3.4+36⨯4.5+54⨯4.17) 4
=1650，
=
ˆY1650
=3.3， 则u=u=
M0500
1nˆ1 又u=∑Yi=⨯660=165， ni=14
ˆ)=所以v(Yu
N
2
)ˆ-(Y∑(1-f）
i
u
1
i=1
n
2
nn-1
N
+n
Mi(1-f2i)s2i
∑mi=1i
n
22
分别计算
∑(Yˆ-)
i
u
i=1
n
2
n-1
5778==1926
3
1
=⨯[(120-165)2+(153-165)2+(162-165)2+(225-165)2]
3
Mi(1-f2i)s2i
=∑mi=1i
n
22
322⨯(1-
454
)⨯2.92452⨯(1-)⨯2.8362⨯(1-)⨯7++454
542⨯(1-+
6
)⨯2.254=4628.486
n
⎡)2ˆ-(Y∑iu2⎢1N(1-f1）i=1N⎢v(u)=+
所以，M0⎢nn-1n
⎢⎣
⎤
22n
Mi(1-f2i)s2i⎥
⎥∑mi⎥ i=1
⎥⎦
=0.11556+0.046285≈0.162
所以标准差s(u)=v(u)=0.402 (2) 比率估计
n
ˆR=y
∑M
i=1
ni=1
i
i
=
i
∑M
N
2
32⨯3.75+45⨯3.4+36⨯4.5+54⨯4.17
=3.9532
32+45+36+54
ˆR)=v(y
)ˆ-(Y∑(1-f）
i
u
1
i=1
n
2
nn-1
N
+n
Mi(1-f2i)s2i
∑mi=1i
n
22
ˆY其中R=R=
M0
ˆ)v(YRM0
2
∑M
i=1
ni=1
n
i
i
i
∑M
ˆR)=v(y
=0.0715
ˆR)=v(yˆR)=0.0715=0.2647 s(y
ˆR)=0.2647 （3） 简单估计标准差s(u)=0.402，比率估计标准差s(y
∴比率估计更好
第五章不等概抽样习题答案
5.1解：
分析题目可知“代码法”与“拉希里法”都是PPS抽样（放回的与规模大小
成比例的不等概抽样）的实施方法，而此题需要用此两种方法进行不放回抽样，故需进一步进行改进：即采用重抽法抽取，如果抽到重复单元，则放弃此样本单元，重新抽取，直到抽到规定的样本量且所有样本党员不重复： （1） 代码法：由Zi=
MiM
=Ni可假设M0=1000000，则Mi=ZiM0列成数据表
M0
∑Mi
i=1
随机数为444703， 615432， 791937， 921813 ， 738207， 176266， 405706 935470， 916904， 57891按照范围我们可以知道抽取的PSU9, PSU16, PSU19, PSU24, PSU18, PSU2, PSU8 PSU24 PSU23 PSU2,我们看到第2组和24组重复抽取了，故进行重新抽取，抽到4组和6组； 综上所述，抽取的样本为2，4，6，8，9，16，18，19，23，24组
（2）拉希里法：M⨯=78216，N=25，在[1, 25]和[1, 78216]中分别产生（n,m）： （13，38678），M13=40654≥38678,入样； （8， 57764），M8=38981
以此类推，当得到重复入样情况时，同上重新抽取，得到抽取结果为： 2，3，5，6，7，12 ，13，16， 19，24组 5.2解：
由数据可得：
t1=∑y1j=20， t2=∑y2j=25，t3=38， t4=24， t5=21；
j=1
j=1
Mi
M2
结合t值数据，我们可以推得Z的值 Z1=
M15
==0.2,Z2=0.16，Z3=0.32，Z4=0.2，Z5=0.12， M025
由公式πij=
4ZiZj(1-Zi-Zj)
N
⎛Zi
(1-2Zi)(1-2Zj) 1+ ∑1-2Z
i=1i⎝
⎫
⎪⎪⎭
5.3 解：
设：M0=1，则有：Mi=Zi，得到下表：
为103，最后在[1,1000]中产生第三个随机数为982，则它们所对应的第7、1、10号单元被抽中。 5.4 解：
利用汉森-赫维茨估计量对总体总值进行估计：
YHH
∧
∧
1nyi1320120290=∑=⨯[++]=2217.006ni=1Zi30.1380.0620.121
n
⎛yi∧⎫11 -YHH⎪=∑ ⎭nn-1i=1⎝Zi
⎛
v YHH⎝
⎫1⎛320⎫⎪=⨯[-2217.006 ⎪⎪6⎝0.138⎭⎭
2
2
2
2
1⎛120⎫⎛290⎫
+ -2217.006⎪+ -2217.006⎪]=⨯(10370.3+79254.7+32287.9)
6⎝0.062⎭⎝0.121⎭
=20318.8
∴
⎛∧
s YHH⎝
⎫⎛∧⎫
⎪=v YHH⎪=142.5 ⎭⎝⎭
5.5解：由题可知
X0=∑Xi=∑Xi=2+9+3+2+1+6=23
i=1
i=1
N
6
由πi=n
Xi
得下表：
X0
由上表显然有Zi＜1/2，于是我们可以采用布鲁尔方法：
πij=
4ZiZj(1-Zi-Zj)
N
⎛Zi
(1-2Zi)(
1-2Zj) 1+ ∑1-2Z
i=1i⎝
⎫
⎪⎪⎭
(1) ∑XHH
∧
Zi
=0.1053+1.7999+0.1764+0.1053+0.0476+0.5455=2.78
1-2Zi=1i
N
n∧x1nxi
=∑ XHT=∑i
ni=1Zii=1πi
πi=nZi
∴另外：
XHH=XHT
N
2
∧∧
⎛Xi⎫⎛⎫1⎪V XHH⎪=∑Zi -X ⎪⎝⎭ni=1⎝Zi⎭
∧
⎛XXj⎫⎛⎫⎪ V XHT⎪=∑∑(πiπj-πij) i-
⎪⎝⎭i=1j>i
⎝πiπj⎭
∧
N
N
2
代入数据，经计算得到：
⎛∧
V XHH⎝⎫⎛∧⎪=0=V XHT⎭⎝⎫
⎪ ⎭
1N
Y=6 S=∑Yi-Y
N-1i=1
2
()
2
=11.5
所以有：Vy=
∧
)
1-f2
S=10.0625 n
P=y
∧
Y=yY=Ny
∧
R=
∧
y x
⎛∧⎫∴V Y⎪⎪=Vy=10.
0625
⎝⎭
)
⎛∧⎫
V Y⎪=N2Vy=251.5625 ⎝⎭
)
（2）
由定义有：
∧
YR
∧1
=XRN
YR=XRSyx
∧∧
1N
S=Yi-Y∑N-1i=1
2
()
2
=11.5
2
Sx=5.8
1N
=Yi-YXi-X=32∑N-1i=1
()()
∧∧211-f⎛2⎛∧⎫2⎫ S-2RSyx+RSx⎪ V R⎪=2
⎪n⎝⎝⎭X⎭
⎛⎫⎛⎫
∴V YRi⎪=X2V R⎪
⎝⎭⎝⎭
∧∧
⎛⎫⎛X⎫⎛⎫
V YV R⎪Ri⎪= ⎪⎝N⎪⎭⎝⎭⎝⎭
∧
∧
2
结合题目已知条件，我们选择的包含概率与Xi成正比： πi=Zi=P（第i项被选中） 2
7⨯18.49+5⨯5.76+3⨯0+1⨯36+2⨯36⎛∧⎫N⎛∧⎫
∴V Y⎪=∑Zi YHH-Y⎪==254.71
18⎝⎭i=1⎝⎭⎛∧⎫⎛∧⎫⎛∧⎫
由以上计算结果可以看出：V YR⎪>V YHH⎪>V Y⎪，比估计在样本量很小的情
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
况下即使是最小的方差也远比另外两种估计的方差大，而简单估计又比PPS汉森
-赫维茨估计略好。
5.7 解：已知 n=2 m=5 ∑∑yij=340 设公司总人数为M0
i=1j=1n
m
由于这个样本是自加权的，所以有：
M0nmM0
y=⨯340=34M0（分钟） Y=∑∑ij
nmi=1j=110
∧
∴y=
Y
=34（分钟） M0
∧
所以该公司职工上班交通平均所需时间为34分钟。
1nm
νy=∑∑yij-y
nmi=1j=1=
1
⨯2440=24410
)(
1)=10⨯[(40-34)+(10-34)+^+(60-34)+(30-34)]
2
2
2
2
2
∴sy=y=15.62（分钟）
5.8 说明:y6=2561 解:由题可知:YHH
∧
-Yi1110yi110
=∑=∑=∑186yi=495299.4(吨) ni=1Zi10i=1Zi10i=1
n
∧
-
)所以,全集团季度总运量为495299.4吨.
⎛∧⎫
V YHH⎪的一个无偏估计为: ⎝⎭⎛∧ν YHH⎝
∧n⎛∧ Yi⎫11
⎪=∑ Z-YHH⎭nn-1i=1
⎝i
2⎫-∧110⎛⎪⎫
= 186yi-YHH⎪=95183360 ∑⎪90⎭⎪i=1⎝⎭2
因为 tα/2=2.306 所以 tα/2=22497.8 所以置信度95%的置信区间为[472894.6 , 517890.2]
第6章
第2题
⑴证明：将总体平方和按照全部可能的系统样本进行分解，可以得到 (N-1)S=∑∑(yrj-Y)=∑∑(yrj-yr)+∑∑(Yr-Y)2
2
2
2
r=1j=1
k
kn__kn__kn____
r=1j=1
n
r=1j=1
=n∑(yr-Y)+∑∑(yrj-yr)2
2
r=1
____k__
r=1j=1
__
nkk____2kn
=(yr-Y)+∑∑(yrj-yr)2 ∑kr=1r=1j=1
1k____21 ∑(yr-Y)=(N-1)S2-
kr=1nk
[
∑∑(y
r=1j=1
kn
rj
-yr)2
__
]
根据V(ysy)的定义，且nk=N，有
1k____2(N-1)21
V(ysy)=∑(yr-Y)=S-
Nkr=1N
__
__
∑∑(y
r=1j=1
kn
rj
-yr)2
__
令S
2
wsy
kn__
1=(yrj-yr)2 ∑∑k(n-1)r=1j=1
则有V(ysy)=
__
(N-1)2k(n-1)2
S-Swsy NN
⑵证明：在样本量相同的情况下
____
(N-1)2k(n-1)21-f2
V(ysy)-V(ysys)=S-Swsy-S
NNn
(N-1)2N-n2k(n-1)2
=S-S-Swsy
NNnN(N-Nn)2k(n-1)2
=S-Swsy
NNN-k2k(n-1)2k(n-1)22
=S-Swsy=(S-Swsy)
NNN
2
>S2时，系统抽样优于简单随机抽样。 立即可得到当且仅当Swsy
第3题
⎡N⎤⎡40⎤
解：⑴k=⎢⎥=⎢⎥=[5.7]，k取最接近于5.7而不大于5.7的整数5，则将该
⎣n⎦⎣7⎦
班同学编号1~40，随机起点r=5，则该样本单元序号为5，10，15，20，25，30，35。
N
⑵N=35，n=7，k==5。
n
Sethi对称系统抽样：r=5，入样单元为:5，6，10，16，15，26，20 Singh对称系统抽样：由于n为奇数，则从两个断点开始分层，最后中间
的半层取中间位置的单元，r=5，入样单元为：5，31，10，26，15，21，18
第4题
解：由题，N=360，k=8，则n=N/k=45
⎧⎪1 第45(r-1)+j号住户的户主为汉族
取Yrj=⎨，
⎪⎩0 第45(r-1)+j号住户的户主不为汉族
r=1,2, ,8，j=1,2, ,45,
总体均值Y=0.1972
1845
Yrj-Y总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
2
()
2
=0.1588
1
(0.1343+0.2101+0.1768⨯4+0.2+0.1636)=0.1769 8
N-12k(n-1)2
则：Vysy=S-S∙r≈0
NN
451-f2
运用简单随机抽样：n=45，f==0.125，Vysys=S=0.0031
360n
平均样本内方差S∙r2=
()
()
显然：Vysys>Vysy，说明等距样本的精确度较简单随机样本的精确度要高。
()()
第5题
答：⑴欲估计汉族所占比例，选择第⑴种系统抽样的方法好。按照题给条件排序，
在户口册中每5人中抽1人，且平均每户有5口人，分布较均匀，且如此抽样，每户人家基本均有1人入样。
⑵男性所占比例与孩子所占比例。采用简单随机抽样的方法较合适，因为按
题条件排序后，采用等距抽样，若抽得初始单元为1，则男生比例为1，孩子比例为0，如此，则有较大误差。
第6题
⎧1，若总体中第r"群"第j个单元具有所研究的特征
解：取Yrj=⎨
0，若总体中第r"群"第j个单元不具有所研究的特征⎩
__
1n
则总体比例P的简单估计量为P=P=∑yrj=ysy，即对总体比例的估计可化
nj=1
^
成对总体均值的估计。
⎧1，第r"群"第j个单元为男性
① 估计男性所占比例：则，取Yrj=⎨
0，其他⎩
由题意，系统抽样 K=5，n=10，则所有可能样本如下表：
1
总体均值Y=
N
__
∑∑Y
r=1j=1
510
rj
=0.48
__
1510
(Yrj-Y)2=0.2547， 总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
2
152
平均群内方差S=∑Srj=0.2489
5j=1
2.r
以行为“系统样本”的系统抽样：k=5,n=10
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r=0.02559≈0.0256
NNNN
简单随机抽样：n=10，f=20%=0.2 __
1-f21-0.2
V(y)=S=⨯0.2547≈0.0204
n10
V(ysy)>V(y)，说明简单随机抽样精度较高。
⎧1，第r"群"第j个单元为小孩
② 估计孩子所占比例：取Yrj=⎨
0，其他⎩
__
__
由题意，系统抽样：k=5，n=10，则所有可能样本如下表：
__
5
=0.48
1
总体均值Y=
N
2
∑∑Y
r=1j=1
10
rj
__
1510
(Yrj-Y)2=0.2547 总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
152
平均群内方差S=∑Srj≈0.2134
5j=1
2.r
以行为“系统样本”的系统抽样：k=5,n=10
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r≈0.0576
NNNN
简单随机抽样：n=10，f=20%=0.2 __
1-f21-0.2
V(y)=S=⨯0.2547≈0.0204
n10
V(ysy)>V(y)，说明简单随机抽样精度较高。
__
__
⎧1，满足条件
③ 估计具体某种职业的住户人员的比例：取Yrj=⎨
⎩0，不满足条件
由题意，系统抽样 K=5，n=10，则所有可能样本如下表：
__
5
1
总体均值Y=
N
2
∑∑Y
r=1j=1
10
rj
=0.38
__
1510
(Yrj-Y)2=0.2404 总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
152
平均群内方差S=∑Srj≈0.26
5j=1
2.r
以行为“系统样本”的系统抽样：k=5,n=10
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r≈0.0016
NNNN
简单随机抽样：n=10，f=20%=0.2 __
1-f2
V(y)=S=0.01923>0.0016
n
V(ysy)
__
__
第7题
⎡N⎤
解：①由题，N=15，n=3，直线等距抽样k=⎢⎥=5,则所有可能样本如下：
⎣n⎦
__
N
1
总体均值Y=
N
2
∑Y
i=1
i
=8
__
1N
总体方差S=(Yi-Y)2=20 ∑N-1i=1
152
平均样本方差S=∑Sri=25
5i=1
2.r
则以直线等距抽样：
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r=2
NNNN
n
简单随机抽样：n=3，f==1/5=0.2
N
__
1-f2
V(y)=S=5.3334>2
n
V(ysy)
__
__
②由题，要求抽样间距k=4，n=3，nk=12
__
1n
=∑yi ni=1
__
11k__1kn1kn
yrj>∑∑yrj=Y E(ysy)=∑yr()=∑yr=∑∑kknkNr=1j=1r=1r=1r=1j=1
__
k__
所以样本均值不是总体均值的无偏估计。
1kn1
当nk=N时，∑∑yrj=
nkr=1j=1N
∑∑y
r=1j=1
kn
rj
， E(ysy)=Y。
____
即当nk=N时，样本均值为总体均值的无偏估计。
第8题
解：由题，N=30，k=5，则n=30/5=6
则按照所给顺序等距抽样，可能样本如下：
由上表数据可得：
1562
总体方差S=∑∑Yrj-Y
N-1r=1j=1
()
2
=11.8575
平
S∙r2=
均样本内方差
1
(17.4667+7.4667+6.5667+11.4667+18.9667)=12.3867 5
N-12k(n-1)2
则：Vysy=S-S∙r=1.14
NN
第七章（仅供参考）
１、根据题中所给表格，可计算各层的权重：
85125140''
w1'==0.17 w2==0.25 w3==0.28
[1**********]040''
w4==0.22 w5==0.08
500500（1）根据式（7.1），可得该县棉花平均种植面积为：
()
'
stD=∑whh=0.17⨯
h=1
L
[***********]1
+0.25⨯+0.28⨯+0.22⨯+0.08⨯ 172528228
=164.27
该县共有2000个村，帮全县的棉花种植总面积为： =NstD=2000⨯164.27=328540
（2）根据式（7.4），Dts的方差估计为：
11'211L'
v(stD)=∑(-')whsh+('-)∑wh(h-stD)2
nhnNh=1h=1nh
nh1nh122
(yhj-h)=(∑yhj-nh)，由表中数据可得： 由公式 sh=∑nh-1j=1nh-1j=1
L
s1=90.6544 s2=195.7733 s3=1335.6773 s4=855.5519 s5=14334.1429
第一项：
∑(
h=1
L
11'21111-')whsh=(-)⨯0.172⨯90.6544+(-)⨯0.252⨯195.7733nhnh178525125
111111-)⨯0.282⨯1335.6773+(-)⨯0.222⨯855.5519+(-)⨯0.082
[1**********]40
⨯14334.1429=14.1864
第二项： +(
11L'
('-)∑wh(h-stD)2nNh=1
[1**********]23=(-)⨯[0.17⨯(-164.27)2+0.25⨯(-164.27)2+0.28⨯(-[1**********]28
56074101
164.27)2+0.22⨯(-164.27)2+0.08⨯(-164.27)2]
228
=16760.9705
因此 v(stD)=14.1864+16760.9705=16775.1569
该县种植总面积的抽样标准误差估计为
s()=N∙s(ystD)=Nv(ystD)=259037.8883
2
,S2进行估计 2、解：本题首先对S12,S2
由于比例估计的方差 S2=
N
P(1-P) N-1
故我们可以取 S2≈P(1-P)进行估计。
根据题意知：W1=W2=0.5 P1=0.2 P2=0.8 c1=0.25 c2h=10 故总体比例 P=W1P1+W2P2=0.5 从而： S12=P1(1-P1)=0.2⨯0.8=0.16
2
=P2(1-P2)=0.8⨯0.2=0.16 S2
S2=P(1-P)=0.5⨯0.5=0.25 （1）根据式（7.10）及式（7.7）
⎧c1f=S⎪hDhL
22⎪c2h(S-∑WhSh)
⎪h=1
⎨
*CT⎪'
n=L⎪
c1+∑c2hWhfhD⎪
h=1⎩
*
由题意有CT =300(元）
代入上式有 f1D=0.16⨯
0.25
=0.2108
10⨯(0.25-0.16)
0.25
=0.2108
10⨯(0.25-0.16)
f2D=0.16⨯
n'=
300
=1272
0.25+(10⨯0.5⨯0.2108⨯2)
'
n1=f1Dn1=f1Dn'W1=0.2108⨯1272⨯0.5=134 '
n2=f2Dn2=f2Dn'W2=0.2108⨯1272⨯0.5=134
2
112LWhSh1
(-1)，依题意 此时 V(PstD)=(-)S+∑'n'Nnfh=1hD
S20.25n'S2n'
由于亦可忽略不计 =
NNNNN
2L
WhShS21+∑(-1) 故 V(PstD)≈''nnfhDh=1
0.250.5⨯0.161
+[⨯(-1)]⨯2 127212720.2108
=0.000667462
（2）不分层的简单随机抽样，样本量为n=268
1-f111
V(P)=NP(1-P)≈P(1-P)=⨯0.5⨯0.5=0.000932835
nN-1n268
因此二重分层抽样比不分层的简单随机抽样效率高。 （3）略
3、解：由题知，'=602，由表，计算
=
ˆ=0.9994 =568.25，=568.5833，R
22=278836.89，sx=256154.86，syx=256262.02 sy
所以，该地区年末牛的总头数估计为：
ˆ=N=N'=1238⨯568.25⨯602=744839.1(头） Y RDRD
568.5833
ˆ的方差估计为： 根据式（7.15），YRD
ˆ)=v(N)=N2v()≈N2[1s2+(1-1)(Rˆ2s2-2Rs)] v(YRDRDRDyxyx
nnn'278836.8911
≈12382⨯[+(-)(0.99942⨯256154.86
2424500
-2⨯0.9994⨯256262.02)] =2220650080
)=47123.7740。 ˆ的标准差为v(Y 所以YRDRD
4、解：（1）根据式（7.10）及式（7.7）
⎧c1f=S⎪hDhL
22⎪c2h(S-∑WhSh)
⎪h=1
⎨
*CT⎪'
n=L⎪
c1+∑c2hWhfhD⎪
h=1⎩
代入数据计算得： f1D=17.7⨯
1
=0.1329
100⨯[620-(0.786⨯312+0.214⨯922)]
1
=0.2282
100⨯[620-(0.786⨯312+0.214⨯922)]
f2D=30.4⨯
n'=
100
=612
0.01+(1⨯0.786⨯0.1329+1⨯0.214⨯0.2282)
'
n1=f1Dn1=f1Dn'W1=0.1329⨯612⨯0.786=64 '
n2=f2Dn2=f2Dn'W2=0.2282⨯612⨯0.214=30
2
112LWhSh1
(-1) 此时， V(stD)=(-)S+∑'n'Nnfh=1hD
≈
6200.786⨯312⎛1⎫0.214⨯922⎛1⎫
+[⨯ -1⎪+⨯ -1⎪]612620620⎝0.1329⎭⎝0.2282⎭
≈4.6700
（2）略
5、解：由题意可知
n1=300 n2=200 m=62
~(n+1)(n2+1)
由式（7.21） N=1-1=959.33
m+1
由式（7.22）
(n+1)(n2+1)(n1-m)(n2-m)301⨯201⨯238⨯138~
v(N)=1=≈7822.7
(m+1)2(m+2)632⨯62
6、解：（1）由题意 n1=7 n2=12 m=4
~(n+1)(n2+1)
由式（7.21） N=1-1=19.8
m+1
由式（7.22）
(n+1)(n2+1)(n1-m)(n2-m)8⨯13⨯3⨯8~
v(N)=1==16.64
(m+1)2(m+2)52⨯6
~ 其95%的置信区间为 N±1.96v(N) 即 (8.64,24.64)
（2）由题意 n1=16 n2=19 m=11
17⨯20~(n+1)(n2+1)
由式（7.21） N=1-1=-1=27.33
m+112
由式（7.22）
(n+1)(n2+1)(n1-m)(n2-m)17⨯20⨯5⨯8~
v(N)=1==7.26
(m+1)2(m+2)122⨯13
~ 其95%的置信区间为 N±1.96v(N) 即 (24.63,30.03)
（3）
1、总体是封闭的——两次抽样间没有人进入或离开湖心塘地区。 ○
2、每个样本都是来自总体的简单随机抽样。即湖心塘地区的每一个人 ○
都有同样的机会被找到。
3、两个样本是独立的。即第一次找到的人混合到了湖心塘地区后，跟 ○
第二次被找到的概率没有关系。
4、不会丢失人找到过的人的信息。 ○
7、（1）略
~(n+1)(n2+1) （2）由题意 由式（7.21） N=1-1
m+1
由表中数据n11=45 n21=15 m1=2代入公式得
~
N1=244.33
同理有
~~~~~~
N2=95 N3=48 N4=79.5 N5=44.5 N6=114 N7=41.67
~~~~~~
N8=30.5 N9=62.33 N10=159 N11=31.5N12=4 N13=35 ~~~
N14=3 N15=3 N16=1
（3）累积所有年份的数据，有n1=263 n2=93 m=19
~(263+1)⨯(93+1)
代入公式，有N=-1=1239.8
19+1
16
~~
（2）中得到的1970-1985年间的先天性风疹的总病例数为N'=∑Ni=996.33
i=1
（4）略
第二章习题
2.1判断下列抽样方法是否是等概的：
（1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r，若r=0或r>64则舍弃重抽。 （2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r，r处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64.
（3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r。然后用r+19999作为被抽选的数。
解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。 因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。 2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y的定义和性质有哪些不同？
2.3为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行，现得到其日用电平均值y=9.5（千瓦时），s2=206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少？
解：由已知可得，N=50000，n=300，=9.5，s2=206
ˆ)=v(N)=N21-fs2=500002V(Y
n
1-
300
*206=1706366666 300
v(==41308.19 该市居民用电量的95%置信区间为
[[Ny±zα(y)]=[475000±1.96*41308.19]
2
即为（394035.95，555964.05） 由相对误差公式
uα2v()
≤10%
可得1.96*
-n*206≤9.5*10% n
即n≥862
欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为862
2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%置信区间。
n
解析：由已知得：N=10000 n=200 p=0.35 f==0.02
N
∧∧1-f
又有：E(p)=E(p)=p=0.35 V(p)=p(1-p)=0.0012
n-1
该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：
[E(P)±Zα(P)]
2
∧
∧
代入数据计算得：该区间为[0.2843，0.4157]
2.5研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
文化支出 200 150 170 150 160 130 140 100
编号 11 12 13 14 15 16 17 18
文化支出 150 160 180 130 100 180 100 180
9 10 110 240 19 20 170 120
估计该小区平均的文化支出Y,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：N=200 n=20
120
根据表中数据计算得：y=∑yi=144.5
20i=1
2120
s=y-y=827.06842 ∑i
20-1i=1
2
()
V(y)=
∴ 该小区平均文化支出Y的
[132.544 ,156.456]
1n
(1-)s2=37.21808 (y)=6.10015 nN
95%置信区间为：[y±zα(y)]即是：
2
故估计该小区平均的文化支出Y=144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544 ,156.456]。
2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到y=1120（吨），S2=2560，据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由题意知：y=1120 f=
n50
==0.1429 S2=2560⇒s=160 N350
1-f
s] 代入数据得： n
置信水平95%的置信区间为：[y±zα
2
置信水平95%的置信区间为：[1079.872，1160.872]
2.7某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置信水平95%，现根据以前的调查结果，认为总体方差S2=68，是确定简单随机抽样所需的样本量。若预计有效回答率为70%，则样本量最终为多少?
NZαS2
2
解析：简单随机抽样所需的样本量n1=
2
Nd2+ZαS2
2
2
n2=
n1
70%
由题意知：N=1000 d=2 S=68 代入并计算得：n1=61.3036≈61
n2=
2
Zα=1.96
2
n1
=87.142≈8770%
故知：简单随机抽样所需的样本量为61，若预计有效回答率为70%，则样本量最终为87
2.8某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到y=25，这些企业去年的平均产量为x=22。试估计今年该地区化肥总产量。
=
X2135==21.35N100,=25
∧
解析：由题可知=22，
则，该地区化肥产量均值的比率估计量为
Y=X
y25
=21.35=24.26
24x
=100*24.26=2426ˆ=NYR 该地区化肥产量总值Y的比率估计量为
所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。
2.9如果在解决习题2.5的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表：
置信水平95%的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。
1n1
=∑xi=2300+1700+ +1300）=1580
ni=120解析：由题可知
=144.5
ˆ=r==144.5=≈0.091R
1580
又
R=144.5=1600*=146.3291580
1n
S=(yi-)2=826.053∑n-1i=1
2
Sxy
1n
=∑(yi-)(xi-)=3463.158n-1i=1
1n2=(x-)=8831.579∑i
n-1i=1
Sx
2
故平均文化支出的95%的置信区间为
[R-Zα2
-f21-f2
ˆS+Rˆ2S2),+ZˆS+Rˆ2S2)](S-2R(S-2RyxxRα2yxx
nn
代入数据得（146.329±1.96*1.892）
即为[142.621,150.037]
2.10某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。现从中抽取10头，记录重量，3个月后再次测量，结果如下：
的结果进行比较。
1n1
=102.6 解：由题可知，=∑xi=95+ +105）
ni=110
1n1
150+ 170）=163 =∑yi=ni=110
1n12
S=(y-)=*1910=212.222 ∑i
n-1i=19
2
Sxy
1n1=(y-)(x-)=*1317=146.333 ∑ii
n-1i=19
Sx
2
1n1=(xi-)2=*926.4=106.933 ∑n-1i=19SxySx
2
故有β0=
=
146.333
=1.368
106.933
所以总体均值的回归估计量为
lr=+β0(-)=163+1.368*(100-102.6)=159.443 其方差估计为：
ˆ()=1-f(S2+β2S2-2βS)Vlr0x0xy
n101-
=(212.222+1.3682*106.933-2*1.368*146.333)
10=1.097 1-f2
ˆ(）而V=S
n
=
1-*212.222 10
=19.454
ˆ()
所以，回归估计的结果要优于简单估
第三单元习题答案（仅供参考） 1解：（1）不合适 （2）不合适 （3）合适 （4）不合适
2．将800名同学平均分成8组，在每一级中抽取一名“幸运星”。
=
=20.1
V（）=-
=9.7681-0.2962
=9.4719
=3.0777
（2）置信区间为95%相对误差为10%，则有
按比例分配的总量：n=
=185.4407
185
=n=56，=92，=37
按内曼分配：n=
=175
=33，=99，=43
=
=0.924
根据各层层权及抽样比的结果，可得
（）==0.000396981
=1.99%
估计量的标准差为1.99%，比例为9.24% 按比例分配：
n=2663
=479，
=559，
=373，
=240，
=426，
=586
内曼分配：
n=2565
=536，
=520，
=417，
=304，
=396，
=392
5．解：由题意，有
=
=75.79
购买冷冻食品的平均支出为75.79元
又由V（）=+
又n=
V（）
=53.8086
=7.3354
95%的置信区间为[60.63，90.95]。 7．解：（1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）对
8．解：（1）差错率的估计值=
70%+
30%=0.027
估计的方差v（）==3.1967
标准差为S()=0.0179。
（2）用事后分层的公式计算差错率为==0.03
估计的方差为；v（）=-=2.5726
=0.4，
（2）用分别比估计，有=0.65，所以用分别比估计可计算得=6.4。
用联合比估计，有
=0.5，=0.625，所以用联合比估计可计算得=6.5。
第四章习题
4.1
邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个
解：由题意得到N=400，n=4，M=10，f=
1故==
Mn
n4==0.01 N400
∑
i=1
n
yi=
19+20+16+20
=1.875（份）
10⨯4
=M⋅=10⨯1.875=18.75（份） ˆ=M⋅N⋅=10⨯400=7500（份） Y
2sb
M=
n-1
∑(i=1
n
i
-)2
n
1-f21-f1v()=sb=
nMnM2n-1
∑(i=1
i
-)2
1-0.01(19-18.75)2+ +(20-18.75)2
=⨯
4-14⨯102
=0.00391875
ˆ)=N2M2v()=4002⨯102⨯0.00391875=62700 v(Y
于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875，估计量方差为
0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。
4.2 某工业系统准备实行一项改革措施。该系统共有87个单位，现采用整群抽
样，用简单随机抽样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政
（2） 在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允
许误差不超过8%，则应抽取多少个单位做样本?
解：题目已知N=87，n=15，f=1）由已知估计同意改革的比例
n15
=
N87
ˆ=p
∑y
i=1
ni=1
n
i
=
i
∑M
1=
n
n
646
≈0.709 911
∑M
i=1
i
=60.733
n
11-f1ˆ)=2v(p
nn-1∑(y
i=1
i
ˆMi)2=0.008687 -p
此估计量的标准差为
ˆ)=v(pˆ)=.008687=0.9321 s(p
4.3 某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员
欲估计办公费用支出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整
）。
nn
n10
解：已知N=48, n=10, f==, 由题意得∑yi=736，∑Mi=365，
N48i=1i=1
ˆ=N则办公费用的总支出的估计为Y
n
∑yi=
i=1
n
48
⨯736=3532.8（元） 10
1n1
群总和均值=∑yi=⨯736=73.6（元）
ni=110
ˆ)=N(1-f)⋅v(Y
n
2
∑(y
i=1
n
i
-)2
n-1
10)
(83-73.6)2+(62-73.6)2+...+(80-73.6)2= ⨯
109
1
= 182.4⨯⨯3590.4
9
= 72765.44 482⨯(1-)=269.7507 v(Y
ˆ的置信度为95%的置信区间为3532.8±1.96⨯269.7507，即[3004.089，则Y
4061.511].
4.4 为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机抽样方法，
估计整个林区树的平均高度及95%的置信区间。
解：由已知得N=386，n=20，f=
n20==0.0518 N3866180.8
=5.909 1046
整体的平均高度==
∑M
i=1ni-1
n
i
i
=
i
∑M
1M=
n
∑M
i=1
n
i
=52.3
n
方差估计值v()=v()=
=0.02706
1-fn2
∑(y
i=1
i
-Mi)2
n-1
标准方差s()=v()=0.02706=0.1644
在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为
（±tα/2⋅s()）=(5.909±1.96⨯0.1644)=(5.5868,6.2312)
4.5 某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女
生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进
解：题目已知N=200，n=10，M=6，m=3，f1=
n10m==0.05，f2==0.5 N200M
ˆ=p
∑y
i=1
n
i
nm
=
9
=0.3 10⨯3
11-f1ˆ)=2⋅v(p⋅
nn-1m
∑(y
i=1
n
i
-p⋅m)=0.005747
ˆ)=v(p)=.005747=0.0758 s(p
在置信度95%下，p的置信区间为
ˆ±tα/2v(pˆ))=(0.3±1.96⨯0.0758)=(0.151432,0.448568(p）
4.6 上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的
调查，宿舍间的标准差为S1=326元，宿舍内同学之间的标准差为S2=188元。以一位同学进行调查来计算，调查每个宿舍的时间c1为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据计算等工作，所花费的时间为c0是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的样本宿舍和样本学生是多少？
解：由已知条件得到以下信息：
S1=326（元）S2=188（元）c1=10（分钟）c2=1（分钟）c0=4⨯60=240
（分钟） 由此得到
2S1
=106276，
S22
=35344，
S2u
2
S235344=S1-=106276-=100385.33
M6
mopt=
S2c188⋅1=⨯≈1.82 S1c23261
因而取最优的m=2，进一步计算nopt 由于总时间的限制C=480，由关系式
C=c0+c1n+c2nm得到480=240+10nopt+2nopt
计算方程得到nopt=20，因而取n=20
则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2。
4.7 某居委会欲了解居民健身活动情况，如果一直该居委会有500名居民，居住
在10个单元中。现先抽取4个单元，然后再样本单元中分别抽出若干居民，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，调查了样本居民每天用于健身锻炼的时
（1） 简单估计量 （2） 比率估计量
（3） 对两种估计方法及结果进行评价。 解：（1）简单估计
ˆ=NYu
n
N
Mii=∑ni=1
n
∑Yˆ
ii=1
n
10
⨯(32⨯3.75+45⨯3.4+36⨯4.5+54⨯4.17) 4
=1650，
=
ˆY1650
=3.3， 则u=u=
M0500
1nˆ1 又u=∑Yi=⨯660=165， ni=14
ˆ)=所以v(Yu
N
2
)ˆ-(Y∑(1-f）
i
u
1
i=1
n
2
nn-1
N
+n
Mi(1-f2i)s2i
∑mi=1i
n
22
分别计算
∑(Yˆ-)
i
u
i=1
n
2
n-1
5778==1926
3
1
=⨯[(120-165)2+(153-165)2+(162-165)2+(225-165)2]
3
Mi(1-f2i)s2i
=∑mi=1i
n
22
322⨯(1-
454
)⨯2.92452⨯(1-)⨯2.8362⨯(1-)⨯7++454
542⨯(1-+
6
)⨯2.254=4628.486
n
⎡)2ˆ-(Y∑iu2⎢1N(1-f1）i=1N⎢v(u)=+
所以，M0⎢nn-1n
⎢⎣
⎤
22n
Mi(1-f2i)s2i⎥
⎥∑mi⎥ i=1
⎥⎦
=0.11556+0.046285≈0.162
所以标准差s(u)=v(u)=0.402 (2) 比率估计
n
ˆR=y
∑M
i=1
ni=1
i
i
=
i
∑M
N
2
32⨯3.75+45⨯3.4+36⨯4.5+54⨯4.17
=3.9532
32+45+36+54
ˆR)=v(y
)ˆ-(Y∑(1-f）
i
u
1
i=1
n
2
nn-1
N
+n
Mi(1-f2i)s2i
∑mi=1i
n
22
ˆY其中R=R=
M0
ˆ)v(YRM0
2
∑M
i=1
ni=1
n
i
i
i
∑M
ˆR)=v(y
=0.0715
ˆR)=v(yˆR)=0.0715=0.2647 s(y
ˆR)=0.2647 （3） 简单估计标准差s(u)=0.402，比率估计标准差s(y
∴比率估计更好
第五章不等概抽样习题答案
5.1解：
分析题目可知“代码法”与“拉希里法”都是PPS抽样（放回的与规模大小
成比例的不等概抽样）的实施方法，而此题需要用此两种方法进行不放回抽样，故需进一步进行改进：即采用重抽法抽取，如果抽到重复单元，则放弃此样本单元，重新抽取，直到抽到规定的样本量且所有样本党员不重复： （1） 代码法：由Zi=
MiM
=Ni可假设M0=1000000，则Mi=ZiM0列成数据表
M0
∑Mi
i=1
随机数为444703， 615432， 791937， 921813 ， 738207， 176266， 405706 935470， 916904， 57891按照范围我们可以知道抽取的PSU9, PSU16, PSU19, PSU24, PSU18, PSU2, PSU8 PSU24 PSU23 PSU2,我们看到第2组和24组重复抽取了，故进行重新抽取，抽到4组和6组； 综上所述，抽取的样本为2，4，6，8，9，16，18，19，23，24组
（2）拉希里法：M⨯=78216，N=25，在[1, 25]和[1, 78216]中分别产生（n,m）： （13，38678），M13=40654≥38678,入样； （8， 57764），M8=38981
以此类推，当得到重复入样情况时，同上重新抽取，得到抽取结果为： 2，3，5，6，7，12 ，13，16， 19，24组 5.2解：
由数据可得：
t1=∑y1j=20， t2=∑y2j=25，t3=38， t4=24， t5=21；
j=1
j=1
Mi
M2
结合t值数据，我们可以推得Z的值 Z1=
M15
==0.2,Z2=0.16，Z3=0.32，Z4=0.2，Z5=0.12， M025
由公式πij=
4ZiZj(1-Zi-Zj)
N
⎛Zi
(1-2Zi)(1-2Zj) 1+ ∑1-2Z
i=1i⎝
⎫
⎪⎪⎭
5.3 解：
设：M0=1，则有：Mi=Zi，得到下表：
为103，最后在[1,1000]中产生第三个随机数为982，则它们所对应的第7、1、10号单元被抽中。 5.4 解：
利用汉森-赫维茨估计量对总体总值进行估计：
YHH
∧
∧
1nyi1320120290=∑=⨯[++]=2217.006ni=1Zi30.1380.0620.121
n
⎛yi∧⎫11 -YHH⎪=∑ ⎭nn-1i=1⎝Zi
⎛
v YHH⎝
⎫1⎛320⎫⎪=⨯[-2217.006 ⎪⎪6⎝0.138⎭⎭
2
2
2
2
1⎛120⎫⎛290⎫
+ -2217.006⎪+ -2217.006⎪]=⨯(10370.3+79254.7+32287.9)
6⎝0.062⎭⎝0.121⎭
=20318.8
∴
⎛∧
s YHH⎝
⎫⎛∧⎫
⎪=v YHH⎪=142.5 ⎭⎝⎭
5.5解：由题可知
X0=∑Xi=∑Xi=2+9+3+2+1+6=23
i=1
i=1
N
6
由πi=n
Xi
得下表：
X0
由上表显然有Zi＜1/2，于是我们可以采用布鲁尔方法：
πij=
4ZiZj(1-Zi-Zj)
N
⎛Zi
(1-2Zi)(
1-2Zj) 1+ ∑1-2Z
i=1i⎝
⎫
⎪⎪⎭
(1) ∑XHH
∧
Zi
=0.1053+1.7999+0.1764+0.1053+0.0476+0.5455=2.78
1-2Zi=1i
N
n∧x1nxi
=∑ XHT=∑i
ni=1Zii=1πi
πi=nZi
∴另外：
XHH=XHT
N
2
∧∧
⎛Xi⎫⎛⎫1⎪V XHH⎪=∑Zi -X ⎪⎝⎭ni=1⎝Zi⎭
∧
⎛XXj⎫⎛⎫⎪ V XHT⎪=∑∑(πiπj-πij) i-
⎪⎝⎭i=1j>i
⎝πiπj⎭
∧
N
N
2
代入数据，经计算得到：
⎛∧
V XHH⎝⎫⎛∧⎪=0=V XHT⎭⎝⎫
⎪ ⎭
1N
Y=6 S=∑Yi-Y
N-1i=1
2
()
2
=11.5
所以有：Vy=
∧
)
1-f2
S=10.0625 n
P=y
∧
Y=yY=Ny
∧
R=
∧
y x
⎛∧⎫∴V Y⎪⎪=Vy=10.
0625
⎝⎭
)
⎛∧⎫
V Y⎪=N2Vy=251.5625 ⎝⎭
)
（2）
由定义有：
∧
YR
∧1
=XRN
YR=XRSyx
∧∧
1N
S=Yi-Y∑N-1i=1
2
()
2
=11.5
2
Sx=5.8
1N
=Yi-YXi-X=32∑N-1i=1
()()
∧∧211-f⎛2⎛∧⎫2⎫ S-2RSyx+RSx⎪ V R⎪=2
⎪n⎝⎝⎭X⎭
⎛⎫⎛⎫
∴V YRi⎪=X2V R⎪
⎝⎭⎝⎭
∧∧
⎛⎫⎛X⎫⎛⎫
V YV R⎪Ri⎪= ⎪⎝N⎪⎭⎝⎭⎝⎭
∧
∧
2
结合题目已知条件，我们选择的包含概率与Xi成正比： πi=Zi=P（第i项被选中） 2
7⨯18.49+5⨯5.76+3⨯0+1⨯36+2⨯36⎛∧⎫N⎛∧⎫
∴V Y⎪=∑Zi YHH-Y⎪==254.71
18⎝⎭i=1⎝⎭⎛∧⎫⎛∧⎫⎛∧⎫
由以上计算结果可以看出：V YR⎪>V YHH⎪>V Y⎪，比估计在样本量很小的情
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
况下即使是最小的方差也远比另外两种估计的方差大，而简单估计又比PPS汉森
-赫维茨估计略好。
5.7 解：已知 n=2 m=5 ∑∑yij=340 设公司总人数为M0
i=1j=1n
m
由于这个样本是自加权的，所以有：
M0nmM0
y=⨯340=34M0（分钟） Y=∑∑ij
nmi=1j=110
∧
∴y=
Y
=34（分钟） M0
∧
所以该公司职工上班交通平均所需时间为34分钟。
1nm
νy=∑∑yij-y
nmi=1j=1=
1
⨯2440=24410
)(
1)=10⨯[(40-34)+(10-34)+^+(60-34)+(30-34)]
2
2
2
2
2
∴sy=y=15.62（分钟）
5.8 说明:y6=2561 解:由题可知:YHH
∧
-Yi1110yi110
=∑=∑=∑186yi=495299.4(吨) ni=1Zi10i=1Zi10i=1
n
∧
-
)所以,全集团季度总运量为495299.4吨.
⎛∧⎫
V YHH⎪的一个无偏估计为: ⎝⎭⎛∧ν YHH⎝
∧n⎛∧ Yi⎫11
⎪=∑ Z-YHH⎭nn-1i=1
⎝i
2⎫-∧110⎛⎪⎫
= 186yi-YHH⎪=95183360 ∑⎪90⎭⎪i=1⎝⎭2
因为 tα/2=2.306 所以 tα/2=22497.8 所以置信度95%的置信区间为[472894.6 , 517890.2]
第6章
第2题
⑴证明：将总体平方和按照全部可能的系统样本进行分解，可以得到 (N-1)S=∑∑(yrj-Y)=∑∑(yrj-yr)+∑∑(Yr-Y)2
2
2
2
r=1j=1
k
kn__kn__kn____
r=1j=1
n
r=1j=1
=n∑(yr-Y)+∑∑(yrj-yr)2
2
r=1
____k__
r=1j=1
__
nkk____2kn
=(yr-Y)+∑∑(yrj-yr)2 ∑kr=1r=1j=1
1k____21 ∑(yr-Y)=(N-1)S2-
kr=1nk
[
∑∑(y
r=1j=1
kn
rj
-yr)2
__
]
根据V(ysy)的定义，且nk=N，有
1k____2(N-1)21
V(ysy)=∑(yr-Y)=S-
Nkr=1N
__
__
∑∑(y
r=1j=1
kn
rj
-yr)2
__
令S
2
wsy
kn__
1=(yrj-yr)2 ∑∑k(n-1)r=1j=1
则有V(ysy)=
__
(N-1)2k(n-1)2
S-Swsy NN
⑵证明：在样本量相同的情况下
____
(N-1)2k(n-1)21-f2
V(ysy)-V(ysys)=S-Swsy-S
NNn
(N-1)2N-n2k(n-1)2
=S-S-Swsy
NNnN(N-Nn)2k(n-1)2
=S-Swsy
NNN-k2k(n-1)2k(n-1)22
=S-Swsy=(S-Swsy)
NNN
2
>S2时，系统抽样优于简单随机抽样。 立即可得到当且仅当Swsy
第3题
⎡N⎤⎡40⎤
解：⑴k=⎢⎥=⎢⎥=[5.7]，k取最接近于5.7而不大于5.7的整数5，则将该
⎣n⎦⎣7⎦
班同学编号1~40，随机起点r=5，则该样本单元序号为5，10，15，20，25，30，35。
N
⑵N=35，n=7，k==5。
n
Sethi对称系统抽样：r=5，入样单元为:5，6，10，16，15，26，20 Singh对称系统抽样：由于n为奇数，则从两个断点开始分层，最后中间
的半层取中间位置的单元，r=5，入样单元为：5，31，10，26，15，21，18
第4题
解：由题，N=360，k=8，则n=N/k=45
⎧⎪1 第45(r-1)+j号住户的户主为汉族
取Yrj=⎨，
⎪⎩0 第45(r-1)+j号住户的户主不为汉族
r=1,2, ,8，j=1,2, ,45,
总体均值Y=0.1972
1845
Yrj-Y总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
2
()
2
=0.1588
1
(0.1343+0.2101+0.1768⨯4+0.2+0.1636)=0.1769 8
N-12k(n-1)2
则：Vysy=S-S∙r≈0
NN
451-f2
运用简单随机抽样：n=45，f==0.125，Vysys=S=0.0031
360n
平均样本内方差S∙r2=
()
()
显然：Vysys>Vysy，说明等距样本的精确度较简单随机样本的精确度要高。
()()
第5题
答：⑴欲估计汉族所占比例，选择第⑴种系统抽样的方法好。按照题给条件排序，
在户口册中每5人中抽1人，且平均每户有5口人，分布较均匀，且如此抽样，每户人家基本均有1人入样。
⑵男性所占比例与孩子所占比例。采用简单随机抽样的方法较合适，因为按
题条件排序后，采用等距抽样，若抽得初始单元为1，则男生比例为1，孩子比例为0，如此，则有较大误差。
第6题
⎧1，若总体中第r"群"第j个单元具有所研究的特征
解：取Yrj=⎨
0，若总体中第r"群"第j个单元不具有所研究的特征⎩
__
1n
则总体比例P的简单估计量为P=P=∑yrj=ysy，即对总体比例的估计可化
nj=1
^
成对总体均值的估计。
⎧1，第r"群"第j个单元为男性
① 估计男性所占比例：则，取Yrj=⎨
0，其他⎩
由题意，系统抽样 K=5，n=10，则所有可能样本如下表：
1
总体均值Y=
N
__
∑∑Y
r=1j=1
510
rj
=0.48
__
1510
(Yrj-Y)2=0.2547， 总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
2
152
平均群内方差S=∑Srj=0.2489
5j=1
2.r
以行为“系统样本”的系统抽样：k=5,n=10
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r=0.02559≈0.0256
NNNN
简单随机抽样：n=10，f=20%=0.2 __
1-f21-0.2
V(y)=S=⨯0.2547≈0.0204
n10
V(ysy)>V(y)，说明简单随机抽样精度较高。
⎧1，第r"群"第j个单元为小孩
② 估计孩子所占比例：取Yrj=⎨
0，其他⎩
__
__
由题意，系统抽样：k=5，n=10，则所有可能样本如下表：
__
5
=0.48
1
总体均值Y=
N
2
∑∑Y
r=1j=1
10
rj
__
1510
(Yrj-Y)2=0.2547 总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
152
平均群内方差S=∑Srj≈0.2134
5j=1
2.r
以行为“系统样本”的系统抽样：k=5,n=10
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r≈0.0576
NNNN
简单随机抽样：n=10，f=20%=0.2 __
1-f21-0.2
V(y)=S=⨯0.2547≈0.0204
n10
V(ysy)>V(y)，说明简单随机抽样精度较高。
__
__
⎧1，满足条件
③ 估计具体某种职业的住户人员的比例：取Yrj=⎨
⎩0，不满足条件
由题意，系统抽样 K=5，n=10，则所有可能样本如下表：
__
5
1
总体均值Y=
N
2
∑∑Y
r=1j=1
10
rj
=0.38
__
1510
(Yrj-Y)2=0.2404 总体方差S=∑∑N-1r=1j=1
152
平均群内方差S=∑Srj≈0.26
5j=1
2.r
以行为“系统样本”的系统抽样：k=5,n=10
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r≈0.0016
NNNN
简单随机抽样：n=10，f=20%=0.2 __
1-f2
V(y)=S=0.01923>0.0016
n
V(ysy)
__
__
第7题
⎡N⎤
解：①由题，N=15，n=3，直线等距抽样k=⎢⎥=5,则所有可能样本如下：
⎣n⎦
__
N
1
总体均值Y=
N
2
∑Y
i=1
i
=8
__
1N
总体方差S=(Yi-Y)2=20 ∑N-1i=1
152
平均样本方差S=∑Sri=25
5i=1
2.r
则以直线等距抽样：
__
N-12k(n-1)2N-12k(n-1)2
V(ysy)=S-Swsy=S-S.r=2
NNNN
n
简单随机抽样：n=3，f==1/5=0.2
N
__
1-f2
V(y)=S=5.3334>2
n
V(ysy)
__
__
②由题，要求抽样间距k=4，n=3，nk=12
__
1n
=∑yi ni=1
__
11k__1kn1kn
yrj>∑∑yrj=Y E(ysy)=∑yr()=∑yr=∑∑kknkNr=1j=1r=1r=1r=1j=1
__
k__
所以样本均值不是总体均值的无偏估计。
1kn1
当nk=N时，∑∑yrj=
nkr=1j=1N
∑∑y
r=1j=1
kn
rj
， E(ysy)=Y。
____
即当nk=N时，样本均值为总体均值的无偏估计。
第8题
解：由题，N=30，k=5，则n=30/5=6
则按照所给顺序等距抽样，可能样本如下：
由上表数据可得：
1562
总体方差S=∑∑Yrj-Y
N-1r=1j=1
()
2
=11.8575
平
S∙r2=
均样本内方差
1
(17.4667+7.4667+6.5667+11.4667+18.9667)=12.3867 5
N-12k(n-1)2
则：Vysy=S-S∙r=1.14
NN
第七章（仅供参考）
１、根据题中所给表格，可计算各层的权重：
85125140''
w1'==0.17 w2==0.25 w3==0.28
[1**********]040''
w4==0.22 w5==0.08
500500（1）根据式（7.1），可得该县棉花平均种植面积为：
()
'
stD=∑whh=0.17⨯
h=1
L
[***********]1
+0.25⨯+0.28⨯+0.22⨯+0.08⨯ 172528228
=164.27
该县共有2000个村，帮全县的棉花种植总面积为： =NstD=2000⨯164.27=328540
（2）根据式（7.4），Dts的方差估计为：
11'211L'
v(stD)=∑(-')whsh+('-)∑wh(h-stD)2
nhnNh=1h=1nh
nh1nh122
(yhj-h)=(∑yhj-nh)，由表中数据可得： 由公式 sh=∑nh-1j=1nh-1j=1
L
s1=90.6544 s2=195.7733 s3=1335.6773 s4=855.5519 s5=14334.1429
第一项：
∑(
h=1
L
11'21111-')whsh=(-)⨯0.172⨯90.6544+(-)⨯0.252⨯195.7733nhnh178525125
111111-)⨯0.282⨯1335.6773+(-)⨯0.222⨯855.5519+(-)⨯0.082
[1**********]40
⨯14334.1429=14.1864
第二项： +(
11L'
('-)∑wh(h-stD)2nNh=1
[1**********]23=(-)⨯[0.17⨯(-164.27)2+0.25⨯(-164.27)2+0.28⨯(-[1**********]28
56074101
164.27)2+0.22⨯(-164.27)2+0.08⨯(-164.27)2]
228
=16760.9705
因此 v(stD)=14.1864+16760.9705=16775.1569
该县种植总面积的抽样标准误差估计为
s()=N∙s(ystD)=Nv(ystD)=259037.8883
2
,S2进行估计 2、解：本题首先对S12,S2
由于比例估计的方差 S2=
N
P(1-P) N-1
故我们可以取 S2≈P(1-P)进行估计。
根据题意知：W1=W2=0.5 P1=0.2 P2=0.8 c1=0.25 c2h=10 故总体比例 P=W1P1+W2P2=0.5 从而： S12=P1(1-P1)=0.2⨯0.8=0.16
2
=P2(1-P2)=0.8⨯0.2=0.16 S2
S2=P(1-P)=0.5⨯0.5=0.25 （1）根据式（7.10）及式（7.7）
⎧c1f=S⎪hDhL
22⎪c2h(S-∑WhSh)
⎪h=1
⎨
*CT⎪'
n=L⎪
c1+∑c2hWhfhD⎪
h=1⎩
*
由题意有CT =300(元）
代入上式有 f1D=0.16⨯
0.25
=0.2108
10⨯(0.25-0.16)
0.25
=0.2108
10⨯(0.25-0.16)
f2D=0.16⨯
n'=
300
=1272
0.25+(10⨯0.5⨯0.2108⨯2)
'
n1=f1Dn1=f1Dn'W1=0.2108⨯1272⨯0.5=134 '
n2=f2Dn2=f2Dn'W2=0.2108⨯1272⨯0.5=134
2
112LWhSh1
(-1)，依题意 此时 V(PstD)=(-)S+∑'n'Nnfh=1hD
S20.25n'S2n'
由于亦可忽略不计 =
NNNNN
2L
WhShS21+∑(-1) 故 V(PstD)≈''nnfhDh=1
0.250.5⨯0.161
+[⨯(-1)]⨯2 127212720.2108
=0.000667462
（2）不分层的简单随机抽样，样本量为n=268
1-f111
V(P)=NP(1-P)≈P(1-P)=⨯0.5⨯0.5=0.000932835
nN-1n268
因此二重分层抽样比不分层的简单随机抽样效率高。 （3）略
3、解：由题知，'=602，由表，计算
=
ˆ=0.9994 =568.25，=568.5833，R
22=278836.89，sx=256154.86，syx=256262.02 sy
所以，该地区年末牛的总头数估计为：
ˆ=N=N'=1238⨯568.25⨯602=744839.1(头） Y RDRD
568.5833
ˆ的方差估计为： 根据式（7.15），YRD
ˆ)=v(N)=N2v()≈N2[1s2+(1-1)(Rˆ2s2-2Rs)] v(YRDRDRDyxyx
nnn'278836.8911
≈12382⨯[+(-)(0.99942⨯256154.86
2424500
-2⨯0.9994⨯256262.02)] =2220650080
)=47123.7740。 ˆ的标准差为v(Y 所以YRDRD
4、解：（1）根据式（7.10）及式（7.7）
⎧c1f=S⎪hDhL
22⎪c2h(S-∑WhSh)
⎪h=1
⎨
*CT⎪'
n=L⎪
c1+∑c2hWhfhD⎪
h=1⎩
代入数据计算得： f1D=17.7⨯
1
=0.1329
100⨯[620-(0.786⨯312+0.214⨯922)]
1
=0.2282
100⨯[620-(0.786⨯312+0.214⨯922)]
f2D=30.4⨯
n'=
100
=612
0.01+(1⨯0.786⨯0.1329+1⨯0.214⨯0.2282)
'
n1=f1Dn1=f1Dn'W1=0.1329⨯612⨯0.786=64 '
n2=f2Dn2=f2Dn'W2=0.2282⨯612⨯0.214=30
2
112LWhSh1
(-1) 此时， V(stD)=(-)S+∑'n'Nnfh=1hD
≈
6200.786⨯312⎛1⎫0.214⨯922⎛1⎫
+[⨯ -1⎪+⨯ -1⎪]612620620⎝0.1329⎭⎝0.2282⎭
≈4.6700
（2）略
5、解：由题意可知
n1=300 n2=200 m=62
~(n+1)(n2+1)
由式（7.21） N=1-1=959.33
m+1
由式（7.22）
(n+1)(n2+1)(n1-m)(n2-m)301⨯201⨯238⨯138~
v(N)=1=≈7822.7
(m+1)2(m+2)632⨯62
6、解：（1）由题意 n1=7 n2=12 m=4
~(n+1)(n2+1)
由式（7.21） N=1-1=19.8
m+1
由式（7.22）
(n+1)(n2+1)(n1-m)(n2-m)8⨯13⨯3⨯8~
v(N)=1==16.64
(m+1)2(m+2)52⨯6
~ 其95%的置信区间为 N±1.96v(N) 即 (8.64,24.64)
（2）由题意 n1=16 n2=19 m=11
17⨯20~(n+1)(n2+1)
由式（7.21） N=1-1=-1=27.33
m+112
由式（7.22）
(n+1)(n2+1)(n1-m)(n2-m)17⨯20⨯5⨯8~
v(N)=1==7.26
(m+1)2(m+2)122⨯13
~ 其95%的置信区间为 N±1.96v(N) 即 (24.63,30.03)
（3）
1、总体是封闭的——两次抽样间没有人进入或离开湖心塘地区。 ○
2、每个样本都是来自总体的简单随机抽样。即湖心塘地区的每一个人 ○
都有同样的机会被找到。
3、两个样本是独立的。即第一次找到的人混合到了湖心塘地区后，跟 ○
第二次被找到的概率没有关系。
4、不会丢失人找到过的人的信息。 ○
7、（1）略
~(n+1)(n2+1) （2）由题意 由式（7.21） N=1-1
m+1
由表中数据n11=45 n21=15 m1=2代入公式得
~
N1=244.33
同理有
~~~~~~
N2=95 N3=48 N4=79.5 N5=44.5 N6=114 N7=41.67
~~~~~~
N8=30.5 N9=62.33 N10=159 N11=31.5N12=4 N13=35 ~~~
N14=3 N15=3 N16=1
（3）累积所有年份的数据，有n1=263 n2=93 m=19
~(263+1)⨯(93+1)
代入公式，有N=-1=1239.8
19+1
16
~~
（2）中得到的1970-1985年间的先天性风疹的总病例数为N'=∑Ni=996.33
i=1
（4）略