第一节 圆的基本性质
第一讲 入门篇
圆的基本性质
1、半径相等，圆本身的问题很简单，但一旦与三角形、四边形等图形结合一起的时候，就会变得复杂而有难度。
半径相等了，这一点导致了圆内有很多天然的等腰三角形。
2、垂径定理
1）学生画图说明
2）文字表达为：
3）数学表达：
总结：知二求三
3、圆和多边形的结合，这就要求学生对以前学过的知识必须做个复习（如三角形全等。四边形：平行四边形、正方形、长方形、菱形等各图形的性质等），只有把这些以学知识掌握非常好地情况下，才能对本章内容有整天的驾驭能力。
若学完图形的相似以后，圆的知识将变得更加灵活，难度又会上个台阶。
例1：如图,A,B 是圆O 上的两点, 且圆O 上的两点, 且AB=10cm,点P 是圆O 上的一动点（P 与A,B 不重合）连接PA,PB. 过点O 分别OE 垂直于PB 于F, 求EF 的长
.
例2：如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）
A．2cm B．
第二讲 基础篇
例1如图，梯形ABCD
中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB=2cm，CD=4cm。以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD=90°，求圆心O 到弦AD 的距离。
例2 在半径为1的圆O 中, 弦AB,AC 的长 分别为根号3和根号2, 求角BAC 的度数. （没有图，所以要先画图，难度自然变大了）
第三讲 提高篇
例1 如图所示，△A B C 的三个顶点的坐标分别为A （－1，3），B （－2，－2）， C （4，－2
），则△AB C 外接圆半径的长度为( ).
例2 P是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ ）
A.5 B. 7 C. 9 D.12
例3如图，已知A 、B 、C
、D 四点顺次在⊙O 上，且 AB = BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM。
（截长补短 二次全等 线段计算，综合性极强）
第四讲 竞赛篇
例1
半径为2的⊙O 中, 弦AB 与弦CD 垂直相交与点P, 连接OP, 若OP=1,则AB ²+CD²的值为（
第二节 圆中的角
知识点回顾（学生需画图）
圆周角：
圆内接四边形：
性质：1、对角互补 2、圆内接四边形的一个外角等于不相邻角的一个内角
）
第一讲 入门篇
例1 如图, ⊙O 是△ABC 的外接圆,CD 是直径, ∠B ＝40°,
则∠ACD 的度数是_________________.
例2如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙
O 上一点，且∠AOC=80°，点D 在⊙O 上（不与B 、C 重合），则∠BDC 的度数是（ ）。
第二讲 基础篇
例1 如图，四边形ABCD 的对角线CA 平分∠BCD 且AD=AB，AE ⊥CB 于E ，点O 为四边形ABCD 的外接圆的圆心，下列结论：（1）OA
⊥DB ；（2）CD+CB=2CE；（
3）∠CBA-∠DAC=∠ACB ；（4）若∠DAB=90°，
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 例2 如图 ，△PQR 是圆o 的内接正三角形，四边形ABCD 是圆o 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ ＝ （从弧和从角都可以算出）
第三讲 提高篇
例1 如图已知a,b 两点坐标分别为[2√3,0][0,2]，P 是△AOB 外接圆上的一点, 且∠AOP=45°, 则点P 的坐标为______________________。
例2 如图 已知AB 是圆o 的直接，CD 平分∠ACB ，求证：AC+BC=2CD 。
2015 圆 金陵百合教育 教育成就未来 第四讲 竞赛篇
如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC
上。
（1）证明：B 、C 、E 三点共线；
（3）将△DCE 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△
D 1CE 1（图2
），若M 1是线段BE 1的中点，
第三节 直线与圆
直线与圆的位置关系：三相——相 相 相 从直线与圆交点的个数来判断；
从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
判定
定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
数量关系：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。（可画图，并牢记这个图，在以后的学习中，它是至关重要的考点）
弦切角的概念和性质定理：
概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆相切。
性质定理：弦切角等于它所夹弧对应的圆周角。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点两条线段的比例中项。
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 例1、如图，AB 与O 相切于点B ，A 0的延长线交0于点C ，连接BC . 若∠A =36∘，则∠C 的度数为（ ）
A. 18∘ B. 27∘ C. 36∘ D. 54∘
例2、如图，PA 、PB 是O 的切线，A. B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40∘，则∠ACB 的度数是（ ）
A. 80∘ B. 110∘ C. 120∘ D. 140∘
基础篇
1、如图, 已知A. B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),C 的圆心坐标为(−1,0),
半径为1. 若D
是C 上的一个动点, 线段DA 与y 轴交于点E , 则△ABE 面积的最小值是（ ）
2015 圆 金陵百合教育 教育成就未来
提高篇
1、如图，已知直线PA 交⊙O 于A. B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D.
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)若DC =4，AC =5，求⊙O 的直径的AE .
2、如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP =10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q . A ，B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动。设运动时间为ts .
(1)求PQ 的长；
(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切?
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 3、如图, 直线AB 、CD 相交于点O , ∠AOC =30∘, 半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上, 开始时, PO =6cm . 如果⊙P 以1cm /秒的速度沿由A 向B 的方向移动
, 那么当⊙P 的运动时间t (秒) 满足条件 时，⊙P 与直线CD 相交。
综合练习
1、若Rt △ABC 的三边长分别为a 、b 、c (其中c 为斜边) ，则△ABC 内切圆的半径为______.
2、如图所示，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D ，E ，F ．∠ACB=90°，若AF ，BE 的长是方程x ²-13x+30=0的两根，则S △ABC 的值是
3、以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E. 则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（ ）
A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D. 6:7
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 4、⊙O 的直径AB=2,AM、BN 是它的两条切线,CD 与⊙O 相切于点E, 与BN 、AM 交于点C 、D, 设AD=x,BC=y
（1）求证 AM∥BN
（2）求y 关于x 的函数关系式，并画出其大致图象
（3）若x 、y 是关于t 的方程2t ∧-5t+m=0的两根, 求x 、y 的值
6、如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求∠DEF 的度数。、
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 7、如图, 已知：过O 点和M （2,2）的动圆⊙O ₁, 交坐标轴于A,B
（1）求OA+OB的值
（2）设△BOA 的内切圆⊙I 的直径为d, 求证：d+AB=定值.
8、已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O,P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C, AC 、BD 相交于N 点，连结ON 、NP, 下列结论：①四边形ANPD 是梯
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 形；② ON=NP；③ DP·PC 为定值； ④PA 为∠NPD 的平分线. 其中一定成立的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④
9、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90∘，AD =13cm ，BC =16cm ，CD =5cm . 以AB 为直径作圆O ，动点P 沿AD 方向从点A 开始向点D 以1厘米/秒的速度运动，动点Q 沿CB 方向从点C 开始向点B 以2厘米/秒的速度运动，点P 、Q 分别从A. C 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
(1)求⊙O 的半径长。
(2)求四边形PQCD 的面积y 关于P 、Q 运动时间t 的函数表达式，并求出当四边形PQCD 为等腰梯形时，四边形PQCD 的面积。 (3)是否存在某一时刻t ，使直线PQ 与⊙O 相切? 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
圆幂定理 1、相交弦定理：若圆内两条弦AB,CD 相交于P 点，则PA ·PB ＝PC ·PD
金陵百合教育 教育成就未来
2、如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 的外角的平分线，F 为AD ˆ上一点，BC =AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E.
(1)求证：△ABD 为等腰三角形。
(2)求证：AC ⋅AF =DF ⋅FE .
2015 圆 金陵百合教育 教育成就未来
3、如图，已知圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切。若A ，B ，C 的半径分别为a ，b ，c (0
4、如图, 在矩形ABCD 中, AB =20cm , BC =4cm , 点P 从A 开始沿折线A −B −C −D 以4cm /s 的速度移动, 点Q 从C 开始沿CD 边以1cm /s 的速度移动, 如果点P 、Q 分别从A. C 同时出发, 当其中一点到达D 时, 另一点也随之停止运动。设运动时间为t (s ).
(1)t 为何值时，四边形APQD 为矩形；
(2)如图，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切。
第一节 圆的基本性质
第一讲 入门篇
圆的基本性质
1、半径相等，圆本身的问题很简单，但一旦与三角形、四边形等图形结合一起的时候，就会变得复杂而有难度。
半径相等了，这一点导致了圆内有很多天然的等腰三角形。
2、垂径定理
1）学生画图说明
2）文字表达为：
3）数学表达：
总结：知二求三
3、圆和多边形的结合，这就要求学生对以前学过的知识必须做个复习（如三角形全等。四边形：平行四边形、正方形、长方形、菱形等各图形的性质等），只有把这些以学知识掌握非常好地情况下，才能对本章内容有整天的驾驭能力。
若学完图形的相似以后，圆的知识将变得更加灵活，难度又会上个台阶。
例1：如图,A,B 是圆O 上的两点, 且圆O 上的两点, 且AB=10cm,点P 是圆O 上的一动点（P 与A,B 不重合）连接PA,PB. 过点O 分别OE 垂直于PB 于F, 求EF 的长
.
例2：如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）
A．2cm B．
第二讲 基础篇
例1如图，梯形ABCD
中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB=2cm，CD=4cm。以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD=90°，求圆心O 到弦AD 的距离。
例2 在半径为1的圆O 中, 弦AB,AC 的长 分别为根号3和根号2, 求角BAC 的度数. （没有图，所以要先画图，难度自然变大了）
第三讲 提高篇
例1 如图所示，△A B C 的三个顶点的坐标分别为A （－1，3），B （－2，－2）， C （4，－2
），则△AB C 外接圆半径的长度为( ).
例2 P是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ ）
A.5 B. 7 C. 9 D.12
例3如图，已知A 、B 、C
、D 四点顺次在⊙O 上，且 AB = BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM。
（截长补短 二次全等 线段计算，综合性极强）
第四讲 竞赛篇
例1
半径为2的⊙O 中, 弦AB 与弦CD 垂直相交与点P, 连接OP, 若OP=1,则AB ²+CD²的值为（
第二节 圆中的角
知识点回顾（学生需画图）
圆周角：
圆内接四边形：
性质：1、对角互补 2、圆内接四边形的一个外角等于不相邻角的一个内角
）
第一讲 入门篇
例1 如图, ⊙O 是△ABC 的外接圆,CD 是直径, ∠B ＝40°,
则∠ACD 的度数是_________________.
例2如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙
O 上一点，且∠AOC=80°，点D 在⊙O 上（不与B 、C 重合），则∠BDC 的度数是（ ）。
第二讲 基础篇
例1 如图，四边形ABCD 的对角线CA 平分∠BCD 且AD=AB，AE ⊥CB 于E ，点O 为四边形ABCD 的外接圆的圆心，下列结论：（1）OA
⊥DB ；（2）CD+CB=2CE；（
3）∠CBA-∠DAC=∠ACB ；（4）若∠DAB=90°，
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 例2 如图 ，△PQR 是圆o 的内接正三角形，四边形ABCD 是圆o 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ ＝ （从弧和从角都可以算出）
第三讲 提高篇
例1 如图已知a,b 两点坐标分别为[2√3,0][0,2]，P 是△AOB 外接圆上的一点, 且∠AOP=45°, 则点P 的坐标为______________________。
例2 如图 已知AB 是圆o 的直接，CD 平分∠ACB ，求证：AC+BC=2CD 。
2015 圆 金陵百合教育 教育成就未来 第四讲 竞赛篇
如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC
上。
（1）证明：B 、C 、E 三点共线；
（3）将△DCE 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△
D 1CE 1（图2
），若M 1是线段BE 1的中点，
第三节 直线与圆
直线与圆的位置关系：三相——相 相 相 从直线与圆交点的个数来判断；
从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
判定
定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
数量关系：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。（可画图，并牢记这个图，在以后的学习中，它是至关重要的考点）
弦切角的概念和性质定理：
概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆相切。
性质定理：弦切角等于它所夹弧对应的圆周角。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点两条线段的比例中项。
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 例1、如图，AB 与O 相切于点B ，A 0的延长线交0于点C ，连接BC . 若∠A =36∘，则∠C 的度数为（ ）
A. 18∘ B. 27∘ C. 36∘ D. 54∘
例2、如图，PA 、PB 是O 的切线，A. B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40∘，则∠ACB 的度数是（ ）
A. 80∘ B. 110∘ C. 120∘ D. 140∘
基础篇
1、如图, 已知A. B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),C 的圆心坐标为(−1,0),
半径为1. 若D
是C 上的一个动点, 线段DA 与y 轴交于点E , 则△ABE 面积的最小值是（ ）
2015 圆 金陵百合教育 教育成就未来
提高篇
1、如图，已知直线PA 交⊙O 于A. B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D.
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)若DC =4，AC =5，求⊙O 的直径的AE .
2、如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP =10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q . A ，B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动。设运动时间为ts .
(1)求PQ 的长；
(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切?
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 3、如图, 直线AB 、CD 相交于点O , ∠AOC =30∘, 半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上, 开始时, PO =6cm . 如果⊙P 以1cm /秒的速度沿由A 向B 的方向移动
, 那么当⊙P 的运动时间t (秒) 满足条件 时，⊙P 与直线CD 相交。
综合练习
1、若Rt △ABC 的三边长分别为a 、b 、c (其中c 为斜边) ，则△ABC 内切圆的半径为______.
2、如图所示，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D ，E ，F ．∠ACB=90°，若AF ，BE 的长是方程x ²-13x+30=0的两根，则S △ABC 的值是
3、以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E. 则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（ ）
A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D. 6:7
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 4、⊙O 的直径AB=2,AM、BN 是它的两条切线,CD 与⊙O 相切于点E, 与BN 、AM 交于点C 、D, 设AD=x,BC=y
（1）求证 AM∥BN
（2）求y 关于x 的函数关系式，并画出其大致图象
（3）若x 、y 是关于t 的方程2t ∧-5t+m=0的两根, 求x 、y 的值
6、如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求∠DEF 的度数。、
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 7、如图, 已知：过O 点和M （2,2）的动圆⊙O ₁, 交坐标轴于A,B
（1）求OA+OB的值
（2）设△BOA 的内切圆⊙I 的直径为d, 求证：d+AB=定值.
8、已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O,P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C, AC 、BD 相交于N 点，连结ON 、NP, 下列结论：①四边形ANPD 是梯
2015
圆 金陵百合教育 教育成就未来 形；② ON=NP；③ DP·PC 为定值； ④PA 为∠NPD 的平分线. 其中一定成立的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④
9、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90∘，AD =13cm ，BC =16cm ，CD =5cm . 以AB 为直径作圆O ，动点P 沿AD 方向从点A 开始向点D 以1厘米/秒的速度运动，动点Q 沿CB 方向从点C 开始向点B 以2厘米/秒的速度运动，点P 、Q 分别从A. C 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
(1)求⊙O 的半径长。
(2)求四边形PQCD 的面积y 关于P 、Q 运动时间t 的函数表达式，并求出当四边形PQCD 为等腰梯形时，四边形PQCD 的面积。 (3)是否存在某一时刻t ，使直线PQ 与⊙O 相切? 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
圆幂定理 1、相交弦定理：若圆内两条弦AB,CD 相交于P 点，则PA ·PB ＝PC ·PD
金陵百合教育 教育成就未来
2、如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 的外角的平分线，F 为AD ˆ上一点，BC =AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E.
(1)求证：△ABD 为等腰三角形。
(2)求证：AC ⋅AF =DF ⋅FE .
2015 圆 金陵百合教育 教育成就未来
3、如图，已知圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切。若A ，B ，C 的半径分别为a ，b ，c (0
4、如图, 在矩形ABCD 中, AB =20cm , BC =4cm , 点P 从A 开始沿折线A −B −C −D 以4cm /s 的速度移动, 点Q 从C 开始沿CD 边以1cm /s 的速度移动, 如果点P 、Q 分别从A. C 同时出发, 当其中一点到达D 时, 另一点也随之停止运动。设运动时间为t (s ).
(1)t 为何值时，四边形APQD 为矩形；
(2)如图，如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切。