SCIbird 博士数学论坛原创
论坛上朋友们的请求, 说说我自己的数分学习经历和心得, 以供大家参考.
首先声明:世上没有万能的方法, 任何一种方法都有其局限性和适用范围, 所以对SCIbird 说的话要辩证的看, 取其精华. 类似的, 如果你在某本书里看到类似" 放之四海皆真理的话" 那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了.
正如题目所写的, 本文讲述的是" 如何提高自身数学分析水平" 也就是说, 本文是针对已经学过数分, 但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的. 一点个人心得, 希望能给需要帮助的人指引下方向. 说是对数分的, 但其实对其它数学科目也有参考意义. 只是我对分析比较熟悉, 故举的例子多是分析方面的.
首先, 我们要端正一个态度, 即对于一个定理或一个问题, 我们不应该用做考试题的态度来对待, 而应该用研究数学问题的态度来对待. 尽量挖掘出新的东西, 而不局限于问题中的结论本身. 具体说来, 如下:
研究问题, 笼统说多是关于存在性, 唯一性, 条件充不充分, 必不必要, 有无充要条件等等. 这些泛泛的说法大家也许都知道, 也有道理, 不过就是不知道具体该怎样做. 下面我就详细说下这些年自己的心得体会, 以供参考.
1. 以几何直观做启发, 大胆想象, 严密论证.
分析界目前有这种不好的倾向, 认为几何直观不严密, 于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证, 有的书上甚至一张图都没有. 诚然, 大学数学的一个特点是高度抽象性, 而且几何直观确实不能代替严密的证明. 但一味的强调抽象性, 容易迷失方向, 尤其是初学者, 往往一头雾水, 不知所云. 其实, 几何直观对许多分析定理有启发作用. 很多定理可以从几何直观中观察出来, 加以提炼, 最后严格证明而上升为定理. 举个例子:考虑费马引理, 即可导函数的极值点处导数值为0. 几何直观上, 一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的, 而且似乎不一定要求导函数连续, 然后通过分析严格证明我们的猜想.
但是, 问题就结束了吗? 我们能不能走的远点, 上面说可导函数极值点导数为0, 那么我们可以问导数为0是否就是极值点? 什么时候有极值点? 前一个问题是否定的, 导数为0点未必就是极值点. 至于后一个问题, 条件可能不止一个. 其中有一个比较特殊, 我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值. 而对于非常数函数, 如果最值在区间内部取得, 它也是极值, 如果f 可导, 则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值). 一个条件是非常数可导函数的两端点相等, 则区间内部必有最值点, 因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理. 我们又问了, 这个条件必要吗? 可以举出反例, 这说明罗尔定理的条件只是充分条件. 类似的几何直观还很多, 比如把图象旋转一下, 罗尔定理就变成了拉格朗日定理, 如果用参数形式表示拉格朗日定理, 则就变成了柯西定理. 当然, 以上只是从几何直观做出的猜想, 接下来必须严格的给予证明.
2. 可以从多角度思考问题.
我们解决了一个好的问题后, 不必立刻走开. 可以再挖掘一下, 看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下, 结论还成立吗? 原题条件是P1, 我换个条件P2, 结论还成立吗? 或者说, 若不满足条件P1, 结论还成立吗?
原问题条件太苛刻了, 我削弱一下条件, 结论成立否. 原问题是3维的, 换成n 维情况还成立吗?
原问题要求函数f 连续, 我换成Riemann 可积后, 结论如何? 或者说原问题是与三角函数(涉及周期性) 有关, 我换成一般的周期函数后, 结论如何? 或者说原命题是否有推广的可能.
举两个例子, 比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换), 通常要求是一致收敛. 但一致收敛这个条件太强了, 能否换成更一般的条件. 于是阿尔泽拉定理就出现了, 其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or 谢惠民的书or 微积分学教程)
所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann 积分理论中的控制收敛定理) 是如下形式:
所谓一致有界, 即存在正数M>0,使得任取n,x ∈[a,b]有|fn(x)|
及f(x)Riemann可积, 便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (极限运算与积分运算交顺序)
熟悉Lebesgue 积分的朋友们会发现, 此定理就是实变中Lebesgue 控制收敛定理的特例. 相比之下多出的条件是要求"f(x)Riemann可积", 这是因为极限函数未必是Riemann 可积的. 这一要求在Lebesgue 积分理论中可以去掉, 因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L 积分相对于R 积分的优越性).
其实从实变角度考察数分会有新的收获的, 比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理.
另一个例子, 我想举下傅立叶级数理论中的Riemann 引理, 即傅立叶系数趋于0的推广形式, 为
∫f(x)sin(λx)dx=0,当λ→∞时. 我们可以猜想, 如果我们用更一般的周期函数g(x)来代替sinx, 结果如何,
即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx ∫[a,b]f(x)dx (T为g(x)的周期)
这就是后来称为Riemann-Lebesgue 引理的东西.08年北大的第9题考察的就是这个推广后的Riemann-Lebesgue 引理.(简单情况可以取λ=n)
其实, 傅立叶级数有许多精彩的理论, 大家可以尝试用一般的周期函数代替三角函数推广下.(这种推广不一定都行的通, 只是提供一种可能的思路)
我这个帖子是谈如何提高数学修为的, 而不是针对考研的(虽然考研的朋友们可以借鉴), 这个帖子只是给考研人一个参考而已. 坦白说, 研究数学与考研经常是矛盾的, 这也是不少高手或老师不屑考研的一个原因. 关于考研, 我在局外人看北大那个帖子里谈了我的看法(那个是针对考研的).
另外, 提高数学水平确实费时间, 数学王国无皇家大道. 除非你在数学方面天赋异禀, 否则还是自己多花些功夫为好. 我自己觉得我在微积分方面是个数分先天者了, 但我今天的数学修为也是苦修来的. 比如说, 我经常看到有的人抱怨张筑生老师写的太难了, 后来我都懒的回帖争论了. 我大二买的" 新讲", 前后反反复复看了能有20遍, 虽然不是每次都仔细研读吧, 但有几人像我这样. 我对新讲中的定理具体在哪块(甚至页码) 已经十分熟悉了, 就差把这套书背下来了. 我觉得任何人只要把一本数分书看上20遍, 就不怕水平不提高.
我的信条是:重复是记忆的最佳方法, 熟能生巧.
倘若不是我把新讲看上20遍, 现在的SCIbird 的数分水平仍然是个半吊子, 看北大的题仍然觉得是看天书. 我是自学数分的, 从没受过哪个人指导, 与数学系出身的相比是走了不少冤枉路, 浪费了不少时间. 但我从不后悔看新讲那20遍, 没那20遍我就不能打下扎实的基础, 就不可能在2个月内利用业余时间自学完了实变函数. 看过我写过的试题证明的朋友们, 会觉得我写的笔墨比较多, 但还算比较通俗, 而且使用的方法也很朴素(以致于被一些朋友认为方法俗套,sigh!). 这是因为" 新讲" 对我的风格影响很大, 说实话, 以前的我风格与现在完全相反.
讲一段真实的故事:
高中时代的我搞过奥赛, 那时的我崇尚证明的华丽和玄乎, 喜欢玩技巧!-----我称之为浪漫主义风格. 对一些很朴实的方法, 反到认为罗唆和水平低. 常以擅长华丽的技巧和高深的理论(相对高中来说, 主要是竞赛方面) 而自居, 重证明, 轻计算. 其直接后果是高考数学考的一塌糊涂. 上了大学后, 尤其是看了张筑生老师的后我的认识有了改变:证明简洁不代表深刻, 证明技巧性很强因而短, 不代表具有一般性. 写的少, 未必就是一个好的证明. 而现在的我有点" 重剑无锋" 的味道了, 呵呵, 这与新讲的风格很相近.
至于挖掘新东西费时间, 这是正常的, 等你念研究生就能深刻体会到了. 属于自己的东西才能理解的更深刻. 发现的结果与前人撞车不要紧, 可以这样YY:当年Newton,Gauss,Euler 也发现过, 我和他们当年一样......
而且一段时间以后发觉自己连亲自发掘的东西都记不清了的时候，真是好郁闷-----你缺乏总结, 很多人不喜欢归纳总结甚至鄙视归纳总结, 这是不对的. 当你归纳总结知识(不论是别人的还是自己的) 后, 你会有一个整体的认识. 一味的做题而不总结, 每一次都是局部的, 只见树木不见森林, 久而久之, 反倒迷失了方向.
最后, 祝你和其他朋友们金榜题名!Bless All!
越来越感到张筑生老师生前的话了, 写数学书不容易啊(写数学文章何尝不是呢). 写深了点儿, 有的人觉得难; 写浅了点儿, 有人觉得太简单; 写专业点儿, 版上有不少和我一样本身不是数学专业的, 看不懂; 写多了, 有人觉得罗唆; 写少了, 有人往往不知所云. 要照顾到不同层次读者真是一件很困难的事情, 确实, 让别人明白自己在说啥是个难题!
毕竟咱不是大师, 不可能三言两语就把问题说清楚, 因此多说还是比少说不说好些. 至于, 举例子, 采取这样的方式, 我一般举两个例子, 一个难的, 一个简单的. 简单的我尽量限制在数分范围内, 而且尽量举比较容易理解的例子. 由于例子是现想的, 可能不是最恰当的.
3. 勤动手算, 勤动手推导, 在算例中发现规律.
目前有一个糟糕的现象, 工科的生偏爱计算, 见到证明题就头大; 数学系的偏爱证明, 对计算不屑. 其结果是走两个极端, 工科的证明水平比较低, 数学系的计算能力比较差. 记得上研究生数值分析A 时, 身边一个mm 抱怨老师" 讲那么多理论干嘛, 只要告诉我怎么算就行了", 而且很理直气壮, 很强大.(听的我直冒汗) . 又惊闻某实验班学数学分析, 结果有的学生算个定积分做不出来. 我觉得十分有必要扭转这种不好的现象. 证明和计算是统一的, 而不应该人为的割裂开.
很多数学定理的发现或者证明确实是算出来的, 即便将来打算搞基础数学, 适当加强自己计算能力也是有好处的. 有些东西你不亲自动手算算, 你是看不出规律的. 你不积累, 如何爆发!
回顾历史, 许多大数学家都是擅长计算的, 比如偶的偶像Gauss 吧, 后半辈子在搞天文. 那时没计算机, 基本靠手算. 天文数字, 很好算吗? 不过后人整理Gauss 的手稿时, 发现他很少有算错的.Gauss 自己说过他当初如何发现被后人称为" 素数定理" 的东西, 他说他当时计算了3000000以内(好像是这个数, 记不清了) 的所有素数, 然后猜出来的结果.
素数定理:记π(x)表示不超过x 的素数的个数,Gauss 猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1. 这个定理是渐进(x→+∞) 意义下的, 近似程度不是很高(不实用). 我们一方面惊叹Gauss 惊人的洞察力的同时, 还需要看到:如果不是Gauss 事先计算了大量的素数, 他也不可能发现观察出素数分布频率来.
再举个大家熟悉的例子, 比如微分学中两个函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式. 这个公式证明不是很复杂, 结论也不是很难记. 不知大家有没有算过?
对uv 求n 阶导数(uv)^(n):首先, 我们知道 (uv)'=u'v+uv',反复应用这个公式就能求出任意阶导数. 如果你有耐心, 计算次数比较多(如3次,4次,5次.....), 合并结果中的同类项后, 你会发现两个规律.(1)各项系数是二项式系数(or杨辉三角);(2)u,v导数阶数之和都为n. 如果你记忆力足够好或高中学的扎实, 你会立刻发现这很像二项式展开式.so 你可以大胆的猜想结果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k为二项式系数. 这就是后来的莱布尼茨的公式. 然后你可以尝试用数学归纳法严格证明它.
并不是所有的数学定理都隐藏的很深, 很难发现规律. 数学有时候也很简单.
" 我觉得跟你看张筑生的书关系不大，主要还是你的数学水平提高了。"-----呵呵, 竟然有比我自己还了解自己的. 事实上, 肯定与我自身水平提高有关, 因为我说过数学是一个整体. 新讲对我的影响太大了, 已经渗透到我的方法, 思想, 甚至精神当中了!! 因此我说新讲对我的水平影响最大不为过.
至于两个月自学实变, 是这样的. 我实变是奥运期间自学的, 学的不是特别深, 也没怎么做题. 这里多说两句, 分享一些心得.
当初主要感觉从传统角度学数分遇到了瓶颈, 听说实变从一种新的角度看微积分, 而且很本质. 当时清华这边有实变函数学实变之说, 所以还是很小心的看的. 也不指望一遍能看懂, 因为我对积分论那部分更感兴趣, 测度论简单看看, 记了下主要性质就过去了.
我多次在文章中说过, 数学是一个整体的, 不同学科是相通的.
就测度这块吧, 为啥研究它. 最初是为了研究积分而自然提出的, ∫[a,b]f(x)dx = ?
结果是多少先不管, 首先这个积分得有意义. 从几何上看积分的几何直观就是曲线与x 轴所围成的" 曲边梯形" 的面积. 于是就提出什么时候" 有面积"? 于是我们必须先澄清" 面积" 这个概念, 推广面积就得到了测度. 如果你数分学的比较好, 应该学过约当测度, 它初步探讨了面积. 在我看来, 约当测度是一种外测度和内测度,Lebesgue 测度的思想可以看成是约当测度的推广. 既然是测度是面积的一种推广, 它就应该有兼容性, 即常见的规则图形长度, 面积, 体积结果都成立. 比如:区间[0,1]长度为1, 长方形面积为S=ab等等.
Lebesgue 要建立自己的理论, 就要推广约当测度. 我想最初大致思路是这样的:1)承认外测度和内侧度仍然有效;2) 推广外测度的可加性, 由有限可加性到无限可加性, 这种推广为啥只到可数可加性呢? 这样想, 首先单点集的测度为0, 若是不可数可加性, 你就得到区间[a,b]的测度也为0, 这与最初设计测度的兼容性想法相矛盾! 于是无限只能到可数可加性为止.
但这样就OK 了吗? 如果你学数学时多留心的话, 你发现有的概念定义很怪, 有的条件貌似很烦人. 这多半是为了排除一些bt 的反例而人为加上的. 我们记约当测度为J 测度,Lebesgue 测度为L 测度.
J 测度是用外压和内挤来定义的(外测度=内测度), 很类似达布上和与下和, 这实际上是逼近的思想(数分的核心思想). 但有一个问题, 有的图形它没有内部, 你无法从内部逼近. 那只考虑外测度行不? 不行, 因为有反例:存在两个不交的集合A,B. 其并集的外测度不等于外测度之和, 这与我们通常的认识相违. 于是, 退而求其次, 即" 改造" 内测度. 我们定义点集E(含于区间[a,b]内) 的外侧度, 考虑其覆盖(一堆区间) 面积的下确界, 外测度记为m(E),这无论E 有无内部都能做到. 在考虑E 的相对补集E^c = [a,b]-E的外测度, 内测度定义为n(E) = (b-a)-m(E^c).当m(E) = n(E)时, 就称E 为Lebesgue 可测的, 其测度为公共值m(E).这说明内测度是用外测度诱导出来的(间接调用外测度), 一举两得.
上面的关于外测度和内测度引入思想还是比较自然的, 关于lebesgue 测度的那些基本性质也很显然. 但是这些基本性质的证明却很晦涩. 我采取的方式是承认这些测度的基本性质(会用), 以后再补上证明. 相当于某种程度上避开了令初学者恐惧的测度论.
接着说点Lebesgue 积分理论心得吧.
我们的目标是研究积分, 当然要研究那些能" 围出" 面积(测度) 的积分了, 这样就自然走到了可测函数这块. 其实, 实变并不那么玄乎, 关键在于你能否抓住主线. 英国著名数学家Littlewood 曾经提出了实变函数论中有名的" 小木头三原理", 直观上, 大致内容如下:
1). 测度与有限个区间的并集相差不多;(外测度定义,L 测度是外测度的子集)
2). 可测函数与连续函数相差不多;(鲁津定理)
3). 一致收敛与点点收敛相差不多.(叶果洛夫定理)
注意, 上面的三原理中" 与" 字右边的都是数分中我们熟悉的东西. 如果我们承认这三个基本原理, 确实实变中不少结论可由" 小木头三原理" 推出来. 其中最有用的恐怕要属叶果洛夫定理了, 因为数分中关于一致收敛有很多结论的, 而叶果洛夫定理中那个测度任意小的集合(不一致收敛的点的集合) 在积分理论中可以控制(积分值可以任意小).
当然可测函数这里还有其他的定理, 就不多说了.
这才是我最感兴趣的地方. 熟悉Riemann 积分的知道,Riemann 积分研究的函数变化不能太剧烈, 连续性得比较好. 我们研究Riemann 积分是分定义域, 而Lebesgue 积分是分值域(以克服函数变化剧烈造成的困难). 可是后者我们在效仿Riemann 和时会发现y_i到y_{i+1}对应的x
的集合, 可能不是一些区间, 可能是一些点集, 可能很复杂. 幸亏我们有测度(可测集可以为一些点集), 以前我们只能在区间上积分(or约当可测集上), 现在我们可以在L 可测集上积分. 当然可能会有一些很bt 的积分出现, 这是数分中没有的.Lebesgue 积分的一个很NB 的性质是它与Riemann 积分兼容, 即凡是Riemann 可积函数必Lebesgue 可积, 而且积分值相等.
Lebesgue 积分的好处不仅仅是扩大了可积函数范围, 它放宽了许多极限条件. 这可从Lebesgue 控制收敛定理, 列维定理, 法图定理等看出.
有意思的是:
Lebesgue 控制收敛定理 对应着数分中的 阿尔泽拉定理
列维定理 对应着数分中的 迪尼定理
通过对比, 即方便记忆, 又加深了理解.
至于后面的微分与不定积分可看作是数分的深化:
我们常见的函数多数都能写成分段单调形式, 从实变角度通过对单调函数的研究, 得到了许多深刻的结论. 而对有界变差函数和绝对连续函数的研究在某种程度上解决了许多微积分上的基本问题. 如曲线可求长,NL 公式的应用等等.
而L^2理论可以与数分中Fourier 级数理论紧密联系, 进而有许多深刻的结论, 如:L^2中的Fourier 级数几乎处处收敛等, 进而连续函数的Fourier 级数几乎处处收敛.
4. 注重一题多解.
与前面不同的是, 这里我们不是从老问题中挖掘出新问题, 而是考虑使用多种不同的方法来证明问题, 或者说一题多解. 在我看来:一种观点, 一个概念, 一种方法等, 这都是数学思想. 不同的方法体现了不同的数学思想. 我们每看到一种新的方法, 都要学会从中吸收对自己有用的东西. 这里我特别要提醒大家的是, 对于一个问题, 不要只看简洁的方法, 而方法长了, 繁琐了, 就不看了. 要知道简洁不代表深刻, 有的方法很长, 但可能是更一般或典型的方法, 有的方法很短, 但也许只针对这道题有效(有的竞赛题就是这样), 不具有一般性.
大数学家Gauss 就特别重视一题多解, 他一生中给出了代数基本定理的4个不同的证明, 这四个证明风格不同很有特色. 我在论坛上发过"SCIbird 搜集的分析中的几个大问题" 那帖子里给出了其中的两个. 古语有云" 温故而知新", 学数学不是模特走秀, 一味的追求最新, 赶时髦, 弄不好就把自己变成空中楼阁. 想想" 大跃进" 的惨痛教训! 数学中一些宝贵的思想是有传承性的, 她不会随着时间而磨灭. 一时的新颖, 时髦, 有可能如烟花一般, 短暂的绚丽过后, 便是消亡.
这里我想说下" 维尔斯特拉斯" 的那个有名的逼近定理:即闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近. 这一定理十分重要而有用, 一般数分教材上都有, 多数书上都转引伯恩斯坦那个初等证明, 他构造了一个叫伯恩斯坦多项式的东西, 然后证明它一致收敛于连续函数. 这一构造性的证明十分巧妙, 堪称神来之笔! 至于是如何想出来的, 可参看托德的,或者是"SCIbird 搜集的分析中的几个大问题" 这个帖子.
不过第三册里给出的另外两个证明, 也很巧妙! 而且更深刻! 其中一个证明思路是这样的:先证明y=|x|可由多项式一致逼近, 再证明折线函数(|x|的某种变形和组合) 可
由多项式一致逼近, 最后证明连续函数可由折线函数一致逼近, 进而证明了闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近. 思路清晰自然, 而且体现了分析中的核心思想-----逼近思想. 事实上, 分析中的许多定理, 都是用简单情形来逼近复杂情形这种思路来证明的.
新讲中还给出了, 另外的一种证明-----核函数法. 看过Fourier 级数收敛性证明的人应该对于核函数法不陌生, 那里讨论Fourier 级数前n 项和时, 出现了一个叫狄利克雷核的东西(Dn(t)),然后把Fourier 级数前n 项和化成一个积分, 对收敛性只需讨论n 趋近于无穷时积分的变化. 后面讨论费歇求和法时还出现了费歇核. 学过数理方程的人也许还记得再求解Laplace 方程时, 出现了泊松积分(泊松核). 总之与核函数有关的积分核是现代数学的一个重要思想.
上面说的可能深了点儿, 再说个简单的一题多解的例子吧.
求极限! 想想求极限的各种不同的方法. 罗必达法则, 施乌兹定理, 泰勒展开, 视作某幂级数的系数等等. 这些方法每个都有其特点, 可以说是百家争鸣! 这些内容初学数分的人未必都能再同一时间内碰到, 但你学完数分之后却需要把这些零散的求极限方法整理归纳下, 你会有一个全新的整体的认识.
5. 重视练习自己的举反例能力, 平时多看些数学上有名的反例.
为什么提出这一点呢? 因为这是数学的一个重要组成部分. 真正做研究时, 你碰到一个数学问题, 你就要考虑是证明它, 还是构造一个反例否定它. 坦白说, 举反例是中国数学教学的一个薄弱环节, 有的学生几乎都没有举反例这个概念. 因为我们平常都是做别人设计好的问题, 而不是自己发现问题, 解决问题. 当你证明一个问题百思不得其解时, 你就应该考虑是不是造一个反例否定它. 不要以为这题是来自XX 书后习题, 或是XX 大学真题, 就一定正确. 数学是拿证明说话的, 不是看你是哪来的. 关键时刻要胆子大些, 数学证明才是终极法官!
中国传统的教育模式导致学生思维特点是方向单一, 大家总爱从正面考虑问题, 而构造反例所采用的思维一般比较怪异. 受传统影响我们总觉得怪异的东西不好, 甚至排挤它. 但数学是不以我们的意志为转移的, 不论你觉得它怪异与否, 它确实是客观存在的. 写到这我想把话题写远一些, 谈谈数学中的" 怪招"!
如果我们仔细分析过一些天才数学大师的证明, 看过关于他们的一些成长故事, 你会发现大师们的思维有一个特点, 那就是所谓的" 不走寻常路!" 有一个关于Gauss 的传说, 说他小时候上小学, 有一天老师不知什么原因很生气, 后果很严重. 这位老师出了一道比较bt 的算术题, 1+2+3+……+99+100 = ? 这题如果不限时间的话, 不是很难, 就是数太多, 而且中间容易算错. 一般人做此题就是, 一项挨一项的硬算. 如果你计算能力强, 还很有耐心, 那么坚持到底还是有希望的. 但Gauss 就独辟蹊径, 他观察到(就是倒排相加法)
1 2 3 4 ...... 99 100
100 99 98 97 ...... 2 1
同一列之和都是101
101 101 101 101 ..... 101 101
总共有100个, 而且倒排后和不变, 这样1+2+3+……+99+100 = 101×100÷2 = 5050. 这种后来被称之为" 倒排相加法" 的方法是求等差数列和的典型方法.
我们还可以思维再发散下, 用几何方法来求解上面的算术问题. 考虑下面的" 阶梯图形", 用" ×
" 表示单位正方形.
×
××
×××
××××
..........
×××...... ××
其中第k 层恰有k 个单位正方形" ×", 共100层. 容易看出1+2+3+……+99+100 = " ×" 的个数 = 阶梯图形的面积. 从阶梯图形的左上角到右下角连一条主对角线, 刚好把图形分成一个大的等腰直角三角形和100个小的等腰直角三角形, 而我们是知道等腰直角三角形的面积公式的, 于是因为原图形被分割成了一个100×100的大等腰直角三角形, 和100个1×1小等腰直角三角形.
所以 1+2+3+……+99+100 = 阶梯图形面积 = 100×100÷2 + 1×1÷2×100 = 5050 !
当然, 如果如果把阶梯图形看成一个残缺的图形, 而假设把它的另一半补全(拼成一个矩形). 这与Gauss 那个倒排相加法本质一样.
类似的思维方式还是很多的, 比如" 逆向思维", 如司马光砸缸的故事;" 联想思维", 如上面那个阶梯图形的例子. 要想学好数学必须使自己的思维活跃起来, 这样才能提高创造性. 但切忌:不要把自己变成" 诡辩论者" 或" 常有理". 学数学不能图一时口舌之快, 那样最终吃亏的还是你自己.
上面说了半天似乎有点跑题了, 还是回到反例上来吧. 其实反例能帮我们澄清许多似是而非的事情, 加深我们对概念的理解, 也从某种程度上促进数学的完善. 我为什么建议数学上有名的反例, 因为这些反例不好想, 而且我们在分析反例的过程中会学到新的思想, 也多学一招.
历史上反例的一个经典代表例子是维尔斯特拉斯构造的那个处处连续处处不可导的函数, 此前大多数数学家相信连续函数在绝大部分点是可导的. 后来人们利用泛函分析中的贝尔纲定理证明了处处连续处处不可导的函数(第二纲集) 比可导函数多的多, 这又是一个令人惊奇的事情. 数学总是充满着惊奇! 我们在惊讶的同时别忘了把他们的证明方法学来.
顺便说下, 处处连续处处不可导的函数f(x)也是一个无处单调的连续函数. 证明很简单, 反证法假设f(x)在一个小区间上单调, 而由实变函数中的Lebesgue 定理知" 单调函数是几乎处处可导的", 这就产生了矛盾! 事实上, 有人估计人们之所以认为续函数在绝大部分点是可导的, 多半受直观的误导, 因为人们通常想象的函数都是分段单调的. 在分形几何中有一种很漂亮的曲线叫" 雪花曲线"(也称科赫曲线), 这条曲线也是处处连续处处不可导的. 有兴趣的人可以在网上搜一搜.
6. 见多识广, 博览百家之长!
我见过这样一些人学数学, 他们认为学数学就是玩技巧和拼智商. 如果被某个问题卡住了, 就认为自己脑子不好使, 没想到" 那个技巧"(真的是技巧的原因吗?). 从来不肯承认(包括潜意识的) 问题不会可能因为自己知识的" 贫乏". 这样的人学数学, 多半是闭门造车就着一本书不放
手, 其它参考书不去看. 结果可能这样, 例如:我在我们学校数分考了90+(百分制), 做北大题怎么连题都看不懂啊,150分最多也就能得到50分. 于是类似北大题技巧性太强了这样的抽象难度论就出现了.
数学考试与数学研究的区别是, 前者限制时间, 比的是思维的敏捷. 后者一般不限制时间, 而且允许你查阅文献, 比的是深刻! 搞数学早已进入" 现代" 了, 不是武侠中那种不管外事, 闭门修炼, 单打独斗的时代了. 名校里讲课, 好的老师一般会挑一本适当的书作为教材, 然后指定了若干本同类参考书, 并且告诉你如果想学好这一门课, 只看教材是远远不够的. 对每个人来说时间都是有限的, 谁也不可能把每门课都精通了, 能精通两三门就不错了. 大家仔细观察一下会发现, 数学高手的一个特点是见多识广, 不少大师都在数学的好几个分支里有建树, 可谓全能型高手. 学数学此路不通, 可另寻别路. 但前提是你知道的知识要多, 比如你只会数学分析, 那么你被一道分析难题卡住了, 你就只能继续用分析的方法试. 对于高手, 他可能会考虑代数, 几何, 拓扑等方法. 在数学中, 许多著名定理的解决往往是不同分支共同作用的结果. 这里我想举的20世纪数学中的一个大名鼎鼎的定理------Atiyah-Singer 指标定理.
关于Atiyah-Singer 指标定理, 用白话说是:解析指标 = 拓扑指标.
现在, 定理本身有许多种表现形式, 而且做了推广. 我所知道的一种比较原始的简单形式如下: dim kerD - dim cokerD = ∫_{T^*M}Ch(σ(D))∧Td(M)----- (*)
这里M 是一个紧致光滑的可定向黎曼流形, D 是椭圆微分算子.(*)式左边是解析指标(学过泛函的应该不会陌生, 在Fredholm 理论里定义过);
(*)式右边是拓扑指标, 用上同调形式给出, 很复杂. 大意是说陈类与托德类作用, 然后在余切从上做积分.
Atiyah-Singer 指标定理把解析量与拓扑量这两个看起来毫不相干的东西联系起来, 而且该定理还能把其它的一些NB 定理统一起来, 做为它的特例.
实际上Atiyah-Singer 指标定理, 告诉我们两件事:1)解析指标(与D 有关) 是一个拓扑不变量;2) 如何计算出解析指标. 熟悉指标定理的人可能知道, 关于
dim kerD - dim cokerD 与D 的选取无关这一事实早就被盖尔芳德所发现,dim kerD 和 dim cokerD 单拿出来都与D 有关, 但它们的差却与D 无关, 是一个拓扑不变量! 这是一个惊人的结论! 可是dim kerD 和 dim cokerD 形式上虽然简单, 但对一般的D 却很难算出来. 盖尔芳德虽然知道了dim kerD - dim cokerD 是一个拓扑不变量, 但却不知道具体怎么算出来.
分析的道路看来是走不通了, 那么是否可以从其它道路来解决呢? 可以!Atiyah 后来给出了如何计算拓扑指标的方法(一种情形可参看(*)式), 证明了Atiyah-Singer 指标定理.
回头再看看(*)式, 解析指标虽然简单, 却很难求出; 拓扑指标虽然复杂, 却能够算出来. 这也从哲学上引发我们的沉思.(当然复杂是相对的, 对数学家来讲, 计算拓扑指标不是难事.)
这件事给我们的启迪是, 要解决一个领域内的难题, 仅有本领域的知识是不够的, 见多识广, 才能独辟蹊径, 柳暗花明!
关于指标定理有一个儿童版的特殊形式, 比较容易理解.
设V,W 是两个有限维的线性空间,D:V ---> W是线性算子, 则指标定理可以写成:
dim kerD - dim cokerD = dimV - dimW
7. 学数学应该包括数学发现和数学证明两部分!
如标题所言, 这是我长久以来我的一贯观点. 这也是我在各种场合强烈推荐张筑生老师的的缘由. 我不指望数学书能把所有定理如何发现都写出来, 但至少应该尽可能多些一些吧. 因为数学发现也是数学的重要组成部分!
我个人认为学数学其实应该包括两部分, 即数学发现＋数学证明. 不过可惜的是目前的教材多以严密性为理由, 把数学的发现给丢掉了. 其结果是教材很可能写成这个样子:定义1, 定义2, 证明1, 证明2, 例题1, 定义3, 定义4, ……, 我称之为字典式写法. 这样写从数学逻辑上讲没问题, 很严密. 但是, 写书面向的对象是人, 多数是初学者, 字典式的形式化写法后果多半是一头雾水, 看了半天不知所云. 结果很可能对数学产生恐惧, 反感, 甚至厌恶. 众所周知, 学习数学到了大学阶段, 如果一个人对数学没有兴趣甚至排斥数学, 那么他几乎是不可能学好数学的. 很多人学了很多人数学, 却发现自己只会做别人设计好的题. 到了自己研究数学时, 不会发现问题, 感到很迷茫. 没思路, 没方向, 没灵感等等. 结果多半慨叹自己数学天资太差,IQ 太低.
说实话, 除了极少数天才外, 人与人的智商真的差距那么大吗? 同一个家族, 彼此之间血缘很近, 智商应该差不多吧. 可数学水平差距可不是一个量级的. 就SCIbird 自己来说吧, 在现在他的家族中, 他不是最聪明的. 但我父亲那边和我母亲那边的亲戚中没有一个人数学水平及的上我的. 而且我从初中在数学上就确立了遥遥领先的优势. 我从来不认为这个数学优势是天生的.
我总结了自己的经验:勤奋+态度+方法.
首先是勤奋, 如果说是天才是天生的, 我们无法改变. 那么勤奋却可以改变.
其次是态度, 低调, 虚心, 进取. 不要贪一时口舌之快, 而自命不凡. 学数学想提高水平," 自命不凡" 要不得. 与其在口舌上讨便宜, 不如坐下来多看看书.
方法, 那可能话就长了. 我只说一条:学数学应该包括数学发现和数学证明两部分.
下面我就谈谈数学的发现:
见过一些数学系的和非数学系的人, 他们的一些想法很让我费解. 证明写的长了, 计算多了, 他就认为" 不专业", 似乎他假定一定存在一个简单的证明方法(如何证明存在性?). 谁都想得到一个简单优美的方法, 但是一来无法证明这种" 简单优美" 的方法一定存在; 二来获得一个简单优美方法不容易. 我们要做的是先证明出来, 再去寻找有没有更好的方法.
了解数学史的人都知道, 数学讲究首创性! 但是数学定理的第一个严格证明往往既不那么简单通俗, 也不那么优美. 简洁优美的证明往往是后来人给出的, 收录进教科书的那些经典的证明方法, 多数不是第一个证明方法, 那很可能是经过n 多人之手加工的. 甚至与最初的证明相比, 可能面目全非.
数学的发现往往也不像很多人想象那样很优美. 进行使用发现的方法可能很费解, 枯燥, 不严密, 甚至很暴力! 但创造就是这样, 不拘常理, 不受约束, 甚至天马行空亦可! 解决问题才是首要的, 至于严密, 专业, 优美等可稍后去解决. 我想这方面最好的例子恐怕算是Fourier 级数是如何发现的:
一般工科对数学要求高的专业都会开数理方程这门课程, 也就是讲偏微分方程了. 里面有个经
典的解法叫分离变量法. 但是大家可能没想到的是名震千古的Fourier 级数就是当年傅立叶在用分离变量法硬解热传导方程过程中发现的!!
下面我讲简要说下大致发现过程, 至于求解热传导方程的细节可参考任何一本数理方程教材. 采用TeX 语言的下标记法, 用u_{x} = u_{x}(x,t), 表示函数u(x,t)对x 的偏导数, 二阶偏导数记为u_{xx}.考虑热传导方程如下:
热方程: u_{xx} = u_{t} (00)
初值条件:u(x,0) = f(x)
边值条件:u(0,t) = u(π,t)=0
傅立叶硬假设u(x,t)能分离变量, 即 u(x,t) = U(x)T(t)
代入热方程, 得U"(x)T(t) = U(x)T'(t)
所以 U"(x)/U(x) = T'(t)/T(t) = const := -λ
因此可化为两个常微分方程
U"(x) + λU(x) = 0
U(0) = U(\pi)=0
和 T'(t) + λT(t) = 0
通过讨论, 得知 λ>0
解上面的方程再把解叠加到一起(细节参考数理方程教材)
得到级数解 u(x,t) = ∑bn*(exp{Wn*t})*sin(nx)
再由u(x,0) = f(x),得到 f(x) = ∑bn*sin(nx) -----(*)
这似乎意味着f(x)能展开成三角级数. 注意到(*)右边每一项都是奇函数(矛盾了吗?) 同样的程序, 能导出 f(x) = a0/2 + ∑an*cos(nx)
如果我们一开始, 把x 的定义域取为关于原点对称的, 再考虑到任何一个函数都能拆成" 一个偶函数与一个奇函数之和(Why?)".于是傅立叶大胆猜测, 对于一般的函数应该有.
f(x) = a0/2 + ∑an*cos(nx)+bn*sin(nx)
这就是名震千古的Fourier 级数. 傅立叶也找出了系数{an}与{bn}的表达式, 就是现在教材上的那个表达式.
当然之后的问题还很多, 诸如何时可以展开, 收敛性如何, 收敛到f(x)自身吗等等, 问题一堆. 不过这是后话了. 我这里只想说的是, 数学发现需要大胆, 过分的强调严密反而容易压制创造." 大胆猜测, 严格证明!"------这才是学数学的正确方法!!
8. 注重不同分支之间的联系.
学数学想提高修为不但要修身, 练得一身好本领, 也要修心, 提高思想境界! 何为思想境界, 这里指看问题要看的长远, 不但能看出本分支的内容, 更能看到不同分支之间的联系, 相互促进. 这方面的典型代表要首推几何! 回忆起我们高中学习欧几里得的经典平面几何, 那些问题和证明方法十分优美, 可以说比较好的体现了数学美! 但若我们仔细观察就会发现, 其绝大部分内
容都于圆有关, 若走出圆外似乎方法就不多了. 但即使限制到与圆有关的平几问题, 证明也是很困难的, 最典型的代表是连辅助线, 相当技巧! 后来解析几何的引入才打破了这种技巧性的局面, 而且确实提供了一般的程序化通用方法. 也许平面解析几何优势不那么显然, 那么用空间解析几何(含空间向量) 来解决立体几何问题绝对是一个实质性的进步, 我相信很多人都有这种体会. 也许有人会说, 解析几何很难看很暴力, 破坏了几何美. 我觉得大可不比这样抱怨, 因为解析的方法并不排斥传统的方法, 两种方法都可以使用, 而且有时解决问题可能比数学美更重要. 所以, 两者都有存在的意义.
在一个分支的基础上引入其它分支的工具往往能开辟出新的天地, 把解析方法引入几何创造了解析几何, 把微积分搬到几何上出了微分几何, 进而发展出了微分流形等等类似例子很多.
历史上许多著名问题的解决, 也依赖其它分支的方法. 比如" 最速降线" 的最简单解法, 应用了光的折射定律. 不同分支也存在内在联系, 如微分形式中的" 恰当形式", 其物理原型是" 有势场". 分析中的上同调与拓扑中同调的对偶性,de Rham 定理. 我们在研究问题时, 不能局限于这个问题本身, 而要有气魄, 看的尽可能远些. 要看到不同分支的联系, 要从相似中看到相似.
下面这篇文章是我本科时整理的, 也在论坛贴出来过(可能沉入数据之海了) 当时主要是为了解决中值定理的辅助函数构造问题.(试图寻找比较一般化的方法)
众所周知, 微分中值定理是一块很难啃的骨头, 技巧性是相当强. 对多数问题, 最困难的地方在于辅助函数的构造, 往往一旦构造出了辅助函数, 问题就解决了一半. 可惜, 很少有教材仔细讲过如何构造辅助函数, 很多人感觉辅助函数是通过观察or 凑出来的.
微分中值定理与微分方程看起来不太相干, 但倘若你将构造辅助函数过程看作是" 解方程" 的话, 它们之间的联系还是很微妙的. 请仔细读读下面的文章, 也许你会有所感悟!
先考虑一个典型的中值定理难题!
已知，f,g 在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b) 证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)-f(ξ)=g"(ξ)-g(ξ).
我来说下关于本题的想法吧，一般涉及二阶中值定理的问题都需要某函数的3个零点作为过渡，比如本题。我曾经考虑过如下形式：
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内2阶可导，f(a)=f(b)=f©=0,a
证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,其中p,q 为常数且（△=p^2-4q≥0-----这是后加的条件，以下都默认这一条件）. 我试图找出该问题更一般的的证明方法（自然，流畅），但最后都失败了。直到一次偶然翻到张筑生老师的《数学分析新讲》（我最爱的数分书）第一册高阶常系数微分方程部分，受到启发从而找到了一般的解法。
传统的高数（不是高中数学---HAHA ！）中在二阶常微分方程y"+py'+qy=0（*）部分，通过观察指数函数exp(λx) 的求导性质来推断它是（*）的解，从而得到一般解的表达公式。但这更象逆解法，要求高
了点。能否直接通过直接积分来求解呢？-----当然可以。
对于一阶线性方程已经获解，对于2阶常系数微分方程：
记 r^2+pr+q=0的两个根为λ1，λ2。引入微分算子D=d/dx,则（*）等价于(D^2+pD+q)y=0, 由此得到(D-λ1)(D-λ2)y=0,令L=(D-λ2)y -----(1),则(D-λ1)L=0 -----(2),
从（2）可以解出L ，再代入（1）可求出y.
*****中值定理与微分方程关系紧密，比如1阶形式 f'(ξ)+N(ξ)f(ξ)=0－－－－(3). 可化为微分方程f'(x)+N(x)f(x)=0,
分离变量，再积分得,f(x)=exp[-∫N(x)dx]
移项得 f(x)exp[∫N(x)dx]=1－－－－－(4),对(4)求导可以得到(3),对于多数情况可以直接设辅助函数 F(x)=f(x)exp[∫N(x)dx]－－－－－（5），一般只需在验证f(x)有2个零点即可。
下面回到原问题 (D-λ1)(D-λ2)f=0中来,f 有3个零点，这暗示可能用两次公式（5）。 令L=(D-λ2)f, 应用（5）可以证明L 有2个零点。
证：设F(x)=f(x)exp[-λ2x],可推出L 有2个零点；
再设φ(x)=L(x)exp[-λ1x],可以推出 存在ξ∈(a,b),使得
f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,对于更高次项也可以用类似的方法。
推广：n 次多项式Pn(x)有n 个相异实根, 引入微分算子D=d/dx,Pn(D)为算子多项式, 函数f(x)在[a,b]上n 阶可导且有n+1个不同的零点。
证明：存在ξ∈(a,b)，使得Pn(D)f(ξ)=0.
例如：P2(x)=x^2+5x+1,则P2(D)f=f"+5f'+f
SCIbird 博士数学论坛原创
论坛上朋友们的请求, 说说我自己的数分学习经历和心得, 以供大家参考.
首先声明:世上没有万能的方法, 任何一种方法都有其局限性和适用范围, 所以对SCIbird 说的话要辩证的看, 取其精华. 类似的, 如果你在某本书里看到类似" 放之四海皆真理的话" 那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了.
正如题目所写的, 本文讲述的是" 如何提高自身数学分析水平" 也就是说, 本文是针对已经学过数分, 但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的. 一点个人心得, 希望能给需要帮助的人指引下方向. 说是对数分的, 但其实对其它数学科目也有参考意义. 只是我对分析比较熟悉, 故举的例子多是分析方面的.
首先, 我们要端正一个态度, 即对于一个定理或一个问题, 我们不应该用做考试题的态度来对待, 而应该用研究数学问题的态度来对待. 尽量挖掘出新的东西, 而不局限于问题中的结论本身. 具体说来, 如下:
研究问题, 笼统说多是关于存在性, 唯一性, 条件充不充分, 必不必要, 有无充要条件等等. 这些泛泛的说法大家也许都知道, 也有道理, 不过就是不知道具体该怎样做. 下面我就详细说下这些年自己的心得体会, 以供参考.
1. 以几何直观做启发, 大胆想象, 严密论证.
分析界目前有这种不好的倾向, 认为几何直观不严密, 于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证, 有的书上甚至一张图都没有. 诚然, 大学数学的一个特点是高度抽象性, 而且几何直观确实不能代替严密的证明. 但一味的强调抽象性, 容易迷失方向, 尤其是初学者, 往往一头雾水, 不知所云. 其实, 几何直观对许多分析定理有启发作用. 很多定理可以从几何直观中观察出来, 加以提炼, 最后严格证明而上升为定理. 举个例子:考虑费马引理, 即可导函数的极值点处导数值为0. 几何直观上, 一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的, 而且似乎不一定要求导函数连续, 然后通过分析严格证明我们的猜想.
但是, 问题就结束了吗? 我们能不能走的远点, 上面说可导函数极值点导数为0, 那么我们可以问导数为0是否就是极值点? 什么时候有极值点? 前一个问题是否定的, 导数为0点未必就是极值点. 至于后一个问题, 条件可能不止一个. 其中有一个比较特殊, 我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值. 而对于非常数函数, 如果最值在区间内部取得, 它也是极值, 如果f 可导, 则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值). 一个条件是非常数可导函数的两端点相等, 则区间内部必有最值点, 因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理. 我们又问了, 这个条件必要吗? 可以举出反例, 这说明罗尔定理的条件只是充分条件. 类似的几何直观还很多, 比如把图象旋转一下, 罗尔定理就变成了拉格朗日定理, 如果用参数形式表示拉格朗日定理, 则就变成了柯西定理. 当然, 以上只是从几何直观做出的猜想, 接下来必须严格的给予证明.
2. 可以从多角度思考问题.
我们解决了一个好的问题后, 不必立刻走开. 可以再挖掘一下, 看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下, 结论还成立吗? 原题条件是P1, 我换个条件P2, 结论还成立吗? 或者说, 若不满足条件P1, 结论还成立吗?
原问题条件太苛刻了, 我削弱一下条件, 结论成立否. 原问题是3维的, 换成n 维情况还成立吗?
原问题要求函数f 连续, 我换成Riemann 可积后, 结论如何? 或者说原问题是与三角函数(涉及周期性) 有关, 我换成一般的周期函数后, 结论如何? 或者说原命题是否有推广的可能.
举两个例子, 比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换), 通常要求是一致收敛. 但一致收敛这个条件太强了, 能否换成更一般的条件. 于是阿尔泽拉定理就出现了, 其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or 谢惠民的书or 微积分学教程)
所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann 积分理论中的控制收敛定理) 是如下形式:
所谓一致有界, 即存在正数M>0,使得任取n,x ∈[a,b]有|fn(x)|
及f(x)Riemann可积, 便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (极限运算与积分运算交顺序)
熟悉Lebesgue 积分的朋友们会发现, 此定理就是实变中Lebesgue 控制收敛定理的特例. 相比之下多出的条件是要求"f(x)Riemann可积", 这是因为极限函数未必是Riemann 可积的. 这一要求在Lebesgue 积分理论中可以去掉, 因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L 积分相对于R 积分的优越性).
其实从实变角度考察数分会有新的收获的, 比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理.
另一个例子, 我想举下傅立叶级数理论中的Riemann 引理, 即傅立叶系数趋于0的推广形式, 为
∫f(x)sin(λx)dx=0,当λ→∞时. 我们可以猜想, 如果我们用更一般的周期函数g(x)来代替sinx, 结果如何,
即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx ∫[a,b]f(x)dx (T为g(x)的周期)
这就是后来称为Riemann-Lebesgue 引理的东西.08年北大的第9题考察的就是这个推广后的Riemann-Lebesgue 引理.(简单情况可以取λ=n)
其实, 傅立叶级数有许多精彩的理论, 大家可以尝试用一般的周期函数代替三角函数推广下.(这种推广不一定都行的通, 只是提供一种可能的思路)
我这个帖子是谈如何提高数学修为的, 而不是针对考研的(虽然考研的朋友们可以借鉴), 这个帖子只是给考研人一个参考而已. 坦白说, 研究数学与考研经常是矛盾的, 这也是不少高手或老师不屑考研的一个原因. 关于考研, 我在局外人看北大那个帖子里谈了我的看法(那个是针对考研的).
另外, 提高数学水平确实费时间, 数学王国无皇家大道. 除非你在数学方面天赋异禀, 否则还是自己多花些功夫为好. 我自己觉得我在微积分方面是个数分先天者了, 但我今天的数学修为也是苦修来的. 比如说, 我经常看到有的人抱怨张筑生老师写的太难了, 后来我都懒的回帖争论了. 我大二买的" 新讲", 前后反反复复看了能有20遍, 虽然不是每次都仔细研读吧, 但有几人像我这样. 我对新讲中的定理具体在哪块(甚至页码) 已经十分熟悉了, 就差把这套书背下来了. 我觉得任何人只要把一本数分书看上20遍, 就不怕水平不提高.
我的信条是:重复是记忆的最佳方法, 熟能生巧.
倘若不是我把新讲看上20遍, 现在的SCIbird 的数分水平仍然是个半吊子, 看北大的题仍然觉得是看天书. 我是自学数分的, 从没受过哪个人指导, 与数学系出身的相比是走了不少冤枉路, 浪费了不少时间. 但我从不后悔看新讲那20遍, 没那20遍我就不能打下扎实的基础, 就不可能在2个月内利用业余时间自学完了实变函数. 看过我写过的试题证明的朋友们, 会觉得我写的笔墨比较多, 但还算比较通俗, 而且使用的方法也很朴素(以致于被一些朋友认为方法俗套,sigh!). 这是因为" 新讲" 对我的风格影响很大, 说实话, 以前的我风格与现在完全相反.
讲一段真实的故事:
高中时代的我搞过奥赛, 那时的我崇尚证明的华丽和玄乎, 喜欢玩技巧!-----我称之为浪漫主义风格. 对一些很朴实的方法, 反到认为罗唆和水平低. 常以擅长华丽的技巧和高深的理论(相对高中来说, 主要是竞赛方面) 而自居, 重证明, 轻计算. 其直接后果是高考数学考的一塌糊涂. 上了大学后, 尤其是看了张筑生老师的后我的认识有了改变:证明简洁不代表深刻, 证明技巧性很强因而短, 不代表具有一般性. 写的少, 未必就是一个好的证明. 而现在的我有点" 重剑无锋" 的味道了, 呵呵, 这与新讲的风格很相近.
至于挖掘新东西费时间, 这是正常的, 等你念研究生就能深刻体会到了. 属于自己的东西才能理解的更深刻. 发现的结果与前人撞车不要紧, 可以这样YY:当年Newton,Gauss,Euler 也发现过, 我和他们当年一样......
而且一段时间以后发觉自己连亲自发掘的东西都记不清了的时候，真是好郁闷-----你缺乏总结, 很多人不喜欢归纳总结甚至鄙视归纳总结, 这是不对的. 当你归纳总结知识(不论是别人的还是自己的) 后, 你会有一个整体的认识. 一味的做题而不总结, 每一次都是局部的, 只见树木不见森林, 久而久之, 反倒迷失了方向.
最后, 祝你和其他朋友们金榜题名!Bless All!
越来越感到张筑生老师生前的话了, 写数学书不容易啊(写数学文章何尝不是呢). 写深了点儿, 有的人觉得难; 写浅了点儿, 有人觉得太简单; 写专业点儿, 版上有不少和我一样本身不是数学专业的, 看不懂; 写多了, 有人觉得罗唆; 写少了, 有人往往不知所云. 要照顾到不同层次读者真是一件很困难的事情, 确实, 让别人明白自己在说啥是个难题!
毕竟咱不是大师, 不可能三言两语就把问题说清楚, 因此多说还是比少说不说好些. 至于, 举例子, 采取这样的方式, 我一般举两个例子, 一个难的, 一个简单的. 简单的我尽量限制在数分范围内, 而且尽量举比较容易理解的例子. 由于例子是现想的, 可能不是最恰当的.
3. 勤动手算, 勤动手推导, 在算例中发现规律.
目前有一个糟糕的现象, 工科的生偏爱计算, 见到证明题就头大; 数学系的偏爱证明, 对计算不屑. 其结果是走两个极端, 工科的证明水平比较低, 数学系的计算能力比较差. 记得上研究生数值分析A 时, 身边一个mm 抱怨老师" 讲那么多理论干嘛, 只要告诉我怎么算就行了", 而且很理直气壮, 很强大.(听的我直冒汗) . 又惊闻某实验班学数学分析, 结果有的学生算个定积分做不出来. 我觉得十分有必要扭转这种不好的现象. 证明和计算是统一的, 而不应该人为的割裂开.
很多数学定理的发现或者证明确实是算出来的, 即便将来打算搞基础数学, 适当加强自己计算能力也是有好处的. 有些东西你不亲自动手算算, 你是看不出规律的. 你不积累, 如何爆发!
回顾历史, 许多大数学家都是擅长计算的, 比如偶的偶像Gauss 吧, 后半辈子在搞天文. 那时没计算机, 基本靠手算. 天文数字, 很好算吗? 不过后人整理Gauss 的手稿时, 发现他很少有算错的.Gauss 自己说过他当初如何发现被后人称为" 素数定理" 的东西, 他说他当时计算了3000000以内(好像是这个数, 记不清了) 的所有素数, 然后猜出来的结果.
素数定理:记π(x)表示不超过x 的素数的个数,Gauss 猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1. 这个定理是渐进(x→+∞) 意义下的, 近似程度不是很高(不实用). 我们一方面惊叹Gauss 惊人的洞察力的同时, 还需要看到:如果不是Gauss 事先计算了大量的素数, 他也不可能发现观察出素数分布频率来.
再举个大家熟悉的例子, 比如微分学中两个函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式. 这个公式证明不是很复杂, 结论也不是很难记. 不知大家有没有算过?
对uv 求n 阶导数(uv)^(n):首先, 我们知道 (uv)'=u'v+uv',反复应用这个公式就能求出任意阶导数. 如果你有耐心, 计算次数比较多(如3次,4次,5次.....), 合并结果中的同类项后, 你会发现两个规律.(1)各项系数是二项式系数(or杨辉三角);(2)u,v导数阶数之和都为n. 如果你记忆力足够好或高中学的扎实, 你会立刻发现这很像二项式展开式.so 你可以大胆的猜想结果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k为二项式系数. 这就是后来的莱布尼茨的公式. 然后你可以尝试用数学归纳法严格证明它.
并不是所有的数学定理都隐藏的很深, 很难发现规律. 数学有时候也很简单.
" 我觉得跟你看张筑生的书关系不大，主要还是你的数学水平提高了。"-----呵呵, 竟然有比我自己还了解自己的. 事实上, 肯定与我自身水平提高有关, 因为我说过数学是一个整体. 新讲对我的影响太大了, 已经渗透到我的方法, 思想, 甚至精神当中了!! 因此我说新讲对我的水平影响最大不为过.
至于两个月自学实变, 是这样的. 我实变是奥运期间自学的, 学的不是特别深, 也没怎么做题. 这里多说两句, 分享一些心得.
当初主要感觉从传统角度学数分遇到了瓶颈, 听说实变从一种新的角度看微积分, 而且很本质. 当时清华这边有实变函数学实变之说, 所以还是很小心的看的. 也不指望一遍能看懂, 因为我对积分论那部分更感兴趣, 测度论简单看看, 记了下主要性质就过去了.
我多次在文章中说过, 数学是一个整体的, 不同学科是相通的.
就测度这块吧, 为啥研究它. 最初是为了研究积分而自然提出的, ∫[a,b]f(x)dx = ?
结果是多少先不管, 首先这个积分得有意义. 从几何上看积分的几何直观就是曲线与x 轴所围成的" 曲边梯形" 的面积. 于是就提出什么时候" 有面积"? 于是我们必须先澄清" 面积" 这个概念, 推广面积就得到了测度. 如果你数分学的比较好, 应该学过约当测度, 它初步探讨了面积. 在我看来, 约当测度是一种外测度和内测度,Lebesgue 测度的思想可以看成是约当测度的推广. 既然是测度是面积的一种推广, 它就应该有兼容性, 即常见的规则图形长度, 面积, 体积结果都成立. 比如:区间[0,1]长度为1, 长方形面积为S=ab等等.
Lebesgue 要建立自己的理论, 就要推广约当测度. 我想最初大致思路是这样的:1)承认外测度和内侧度仍然有效;2) 推广外测度的可加性, 由有限可加性到无限可加性, 这种推广为啥只到可数可加性呢? 这样想, 首先单点集的测度为0, 若是不可数可加性, 你就得到区间[a,b]的测度也为0, 这与最初设计测度的兼容性想法相矛盾! 于是无限只能到可数可加性为止.
但这样就OK 了吗? 如果你学数学时多留心的话, 你发现有的概念定义很怪, 有的条件貌似很烦人. 这多半是为了排除一些bt 的反例而人为加上的. 我们记约当测度为J 测度,Lebesgue 测度为L 测度.
J 测度是用外压和内挤来定义的(外测度=内测度), 很类似达布上和与下和, 这实际上是逼近的思想(数分的核心思想). 但有一个问题, 有的图形它没有内部, 你无法从内部逼近. 那只考虑外测度行不? 不行, 因为有反例:存在两个不交的集合A,B. 其并集的外测度不等于外测度之和, 这与我们通常的认识相违. 于是, 退而求其次, 即" 改造" 内测度. 我们定义点集E(含于区间[a,b]内) 的外侧度, 考虑其覆盖(一堆区间) 面积的下确界, 外测度记为m(E),这无论E 有无内部都能做到. 在考虑E 的相对补集E^c = [a,b]-E的外测度, 内测度定义为n(E) = (b-a)-m(E^c).当m(E) = n(E)时, 就称E 为Lebesgue 可测的, 其测度为公共值m(E).这说明内测度是用外测度诱导出来的(间接调用外测度), 一举两得.
上面的关于外测度和内测度引入思想还是比较自然的, 关于lebesgue 测度的那些基本性质也很显然. 但是这些基本性质的证明却很晦涩. 我采取的方式是承认这些测度的基本性质(会用), 以后再补上证明. 相当于某种程度上避开了令初学者恐惧的测度论.
接着说点Lebesgue 积分理论心得吧.
我们的目标是研究积分, 当然要研究那些能" 围出" 面积(测度) 的积分了, 这样就自然走到了可测函数这块. 其实, 实变并不那么玄乎, 关键在于你能否抓住主线. 英国著名数学家Littlewood 曾经提出了实变函数论中有名的" 小木头三原理", 直观上, 大致内容如下:
1). 测度与有限个区间的并集相差不多;(外测度定义,L 测度是外测度的子集)
2). 可测函数与连续函数相差不多;(鲁津定理)
3). 一致收敛与点点收敛相差不多.(叶果洛夫定理)
注意, 上面的三原理中" 与" 字右边的都是数分中我们熟悉的东西. 如果我们承认这三个基本原理, 确实实变中不少结论可由" 小木头三原理" 推出来. 其中最有用的恐怕要属叶果洛夫定理了, 因为数分中关于一致收敛有很多结论的, 而叶果洛夫定理中那个测度任意小的集合(不一致收敛的点的集合) 在积分理论中可以控制(积分值可以任意小).
当然可测函数这里还有其他的定理, 就不多说了.
这才是我最感兴趣的地方. 熟悉Riemann 积分的知道,Riemann 积分研究的函数变化不能太剧烈, 连续性得比较好. 我们研究Riemann 积分是分定义域, 而Lebesgue 积分是分值域(以克服函数变化剧烈造成的困难). 可是后者我们在效仿Riemann 和时会发现y_i到y_{i+1}对应的x
的集合, 可能不是一些区间, 可能是一些点集, 可能很复杂. 幸亏我们有测度(可测集可以为一些点集), 以前我们只能在区间上积分(or约当可测集上), 现在我们可以在L 可测集上积分. 当然可能会有一些很bt 的积分出现, 这是数分中没有的.Lebesgue 积分的一个很NB 的性质是它与Riemann 积分兼容, 即凡是Riemann 可积函数必Lebesgue 可积, 而且积分值相等.
Lebesgue 积分的好处不仅仅是扩大了可积函数范围, 它放宽了许多极限条件. 这可从Lebesgue 控制收敛定理, 列维定理, 法图定理等看出.
有意思的是:
Lebesgue 控制收敛定理 对应着数分中的 阿尔泽拉定理
列维定理 对应着数分中的 迪尼定理
通过对比, 即方便记忆, 又加深了理解.
至于后面的微分与不定积分可看作是数分的深化:
我们常见的函数多数都能写成分段单调形式, 从实变角度通过对单调函数的研究, 得到了许多深刻的结论. 而对有界变差函数和绝对连续函数的研究在某种程度上解决了许多微积分上的基本问题. 如曲线可求长,NL 公式的应用等等.
而L^2理论可以与数分中Fourier 级数理论紧密联系, 进而有许多深刻的结论, 如:L^2中的Fourier 级数几乎处处收敛等, 进而连续函数的Fourier 级数几乎处处收敛.
4. 注重一题多解.
与前面不同的是, 这里我们不是从老问题中挖掘出新问题, 而是考虑使用多种不同的方法来证明问题, 或者说一题多解. 在我看来:一种观点, 一个概念, 一种方法等, 这都是数学思想. 不同的方法体现了不同的数学思想. 我们每看到一种新的方法, 都要学会从中吸收对自己有用的东西. 这里我特别要提醒大家的是, 对于一个问题, 不要只看简洁的方法, 而方法长了, 繁琐了, 就不看了. 要知道简洁不代表深刻, 有的方法很长, 但可能是更一般或典型的方法, 有的方法很短, 但也许只针对这道题有效(有的竞赛题就是这样), 不具有一般性.
大数学家Gauss 就特别重视一题多解, 他一生中给出了代数基本定理的4个不同的证明, 这四个证明风格不同很有特色. 我在论坛上发过"SCIbird 搜集的分析中的几个大问题" 那帖子里给出了其中的两个. 古语有云" 温故而知新", 学数学不是模特走秀, 一味的追求最新, 赶时髦, 弄不好就把自己变成空中楼阁. 想想" 大跃进" 的惨痛教训! 数学中一些宝贵的思想是有传承性的, 她不会随着时间而磨灭. 一时的新颖, 时髦, 有可能如烟花一般, 短暂的绚丽过后, 便是消亡.
这里我想说下" 维尔斯特拉斯" 的那个有名的逼近定理:即闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近. 这一定理十分重要而有用, 一般数分教材上都有, 多数书上都转引伯恩斯坦那个初等证明, 他构造了一个叫伯恩斯坦多项式的东西, 然后证明它一致收敛于连续函数. 这一构造性的证明十分巧妙, 堪称神来之笔! 至于是如何想出来的, 可参看托德的,或者是"SCIbird 搜集的分析中的几个大问题" 这个帖子.
不过第三册里给出的另外两个证明, 也很巧妙! 而且更深刻! 其中一个证明思路是这样的:先证明y=|x|可由多项式一致逼近, 再证明折线函数(|x|的某种变形和组合) 可
由多项式一致逼近, 最后证明连续函数可由折线函数一致逼近, 进而证明了闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近. 思路清晰自然, 而且体现了分析中的核心思想-----逼近思想. 事实上, 分析中的许多定理, 都是用简单情形来逼近复杂情形这种思路来证明的.
新讲中还给出了, 另外的一种证明-----核函数法. 看过Fourier 级数收敛性证明的人应该对于核函数法不陌生, 那里讨论Fourier 级数前n 项和时, 出现了一个叫狄利克雷核的东西(Dn(t)),然后把Fourier 级数前n 项和化成一个积分, 对收敛性只需讨论n 趋近于无穷时积分的变化. 后面讨论费歇求和法时还出现了费歇核. 学过数理方程的人也许还记得再求解Laplace 方程时, 出现了泊松积分(泊松核). 总之与核函数有关的积分核是现代数学的一个重要思想.
上面说的可能深了点儿, 再说个简单的一题多解的例子吧.
求极限! 想想求极限的各种不同的方法. 罗必达法则, 施乌兹定理, 泰勒展开, 视作某幂级数的系数等等. 这些方法每个都有其特点, 可以说是百家争鸣! 这些内容初学数分的人未必都能再同一时间内碰到, 但你学完数分之后却需要把这些零散的求极限方法整理归纳下, 你会有一个全新的整体的认识.
5. 重视练习自己的举反例能力, 平时多看些数学上有名的反例.
为什么提出这一点呢? 因为这是数学的一个重要组成部分. 真正做研究时, 你碰到一个数学问题, 你就要考虑是证明它, 还是构造一个反例否定它. 坦白说, 举反例是中国数学教学的一个薄弱环节, 有的学生几乎都没有举反例这个概念. 因为我们平常都是做别人设计好的问题, 而不是自己发现问题, 解决问题. 当你证明一个问题百思不得其解时, 你就应该考虑是不是造一个反例否定它. 不要以为这题是来自XX 书后习题, 或是XX 大学真题, 就一定正确. 数学是拿证明说话的, 不是看你是哪来的. 关键时刻要胆子大些, 数学证明才是终极法官!
中国传统的教育模式导致学生思维特点是方向单一, 大家总爱从正面考虑问题, 而构造反例所采用的思维一般比较怪异. 受传统影响我们总觉得怪异的东西不好, 甚至排挤它. 但数学是不以我们的意志为转移的, 不论你觉得它怪异与否, 它确实是客观存在的. 写到这我想把话题写远一些, 谈谈数学中的" 怪招"!
如果我们仔细分析过一些天才数学大师的证明, 看过关于他们的一些成长故事, 你会发现大师们的思维有一个特点, 那就是所谓的" 不走寻常路!" 有一个关于Gauss 的传说, 说他小时候上小学, 有一天老师不知什么原因很生气, 后果很严重. 这位老师出了一道比较bt 的算术题, 1+2+3+……+99+100 = ? 这题如果不限时间的话, 不是很难, 就是数太多, 而且中间容易算错. 一般人做此题就是, 一项挨一项的硬算. 如果你计算能力强, 还很有耐心, 那么坚持到底还是有希望的. 但Gauss 就独辟蹊径, 他观察到(就是倒排相加法)
1 2 3 4 ...... 99 100
100 99 98 97 ...... 2 1
同一列之和都是101
101 101 101 101 ..... 101 101
总共有100个, 而且倒排后和不变, 这样1+2+3+……+99+100 = 101×100÷2 = 5050. 这种后来被称之为" 倒排相加法" 的方法是求等差数列和的典型方法.
我们还可以思维再发散下, 用几何方法来求解上面的算术问题. 考虑下面的" 阶梯图形", 用" ×
" 表示单位正方形.
×
××
×××
××××
..........
×××...... ××
其中第k 层恰有k 个单位正方形" ×", 共100层. 容易看出1+2+3+……+99+100 = " ×" 的个数 = 阶梯图形的面积. 从阶梯图形的左上角到右下角连一条主对角线, 刚好把图形分成一个大的等腰直角三角形和100个小的等腰直角三角形, 而我们是知道等腰直角三角形的面积公式的, 于是因为原图形被分割成了一个100×100的大等腰直角三角形, 和100个1×1小等腰直角三角形.
所以 1+2+3+……+99+100 = 阶梯图形面积 = 100×100÷2 + 1×1÷2×100 = 5050 !
当然, 如果如果把阶梯图形看成一个残缺的图形, 而假设把它的另一半补全(拼成一个矩形). 这与Gauss 那个倒排相加法本质一样.
类似的思维方式还是很多的, 比如" 逆向思维", 如司马光砸缸的故事;" 联想思维", 如上面那个阶梯图形的例子. 要想学好数学必须使自己的思维活跃起来, 这样才能提高创造性. 但切忌:不要把自己变成" 诡辩论者" 或" 常有理". 学数学不能图一时口舌之快, 那样最终吃亏的还是你自己.
上面说了半天似乎有点跑题了, 还是回到反例上来吧. 其实反例能帮我们澄清许多似是而非的事情, 加深我们对概念的理解, 也从某种程度上促进数学的完善. 我为什么建议数学上有名的反例, 因为这些反例不好想, 而且我们在分析反例的过程中会学到新的思想, 也多学一招.
历史上反例的一个经典代表例子是维尔斯特拉斯构造的那个处处连续处处不可导的函数, 此前大多数数学家相信连续函数在绝大部分点是可导的. 后来人们利用泛函分析中的贝尔纲定理证明了处处连续处处不可导的函数(第二纲集) 比可导函数多的多, 这又是一个令人惊奇的事情. 数学总是充满着惊奇! 我们在惊讶的同时别忘了把他们的证明方法学来.
顺便说下, 处处连续处处不可导的函数f(x)也是一个无处单调的连续函数. 证明很简单, 反证法假设f(x)在一个小区间上单调, 而由实变函数中的Lebesgue 定理知" 单调函数是几乎处处可导的", 这就产生了矛盾! 事实上, 有人估计人们之所以认为续函数在绝大部分点是可导的, 多半受直观的误导, 因为人们通常想象的函数都是分段单调的. 在分形几何中有一种很漂亮的曲线叫" 雪花曲线"(也称科赫曲线), 这条曲线也是处处连续处处不可导的. 有兴趣的人可以在网上搜一搜.
6. 见多识广, 博览百家之长!
我见过这样一些人学数学, 他们认为学数学就是玩技巧和拼智商. 如果被某个问题卡住了, 就认为自己脑子不好使, 没想到" 那个技巧"(真的是技巧的原因吗?). 从来不肯承认(包括潜意识的) 问题不会可能因为自己知识的" 贫乏". 这样的人学数学, 多半是闭门造车就着一本书不放
手, 其它参考书不去看. 结果可能这样, 例如:我在我们学校数分考了90+(百分制), 做北大题怎么连题都看不懂啊,150分最多也就能得到50分. 于是类似北大题技巧性太强了这样的抽象难度论就出现了.
数学考试与数学研究的区别是, 前者限制时间, 比的是思维的敏捷. 后者一般不限制时间, 而且允许你查阅文献, 比的是深刻! 搞数学早已进入" 现代" 了, 不是武侠中那种不管外事, 闭门修炼, 单打独斗的时代了. 名校里讲课, 好的老师一般会挑一本适当的书作为教材, 然后指定了若干本同类参考书, 并且告诉你如果想学好这一门课, 只看教材是远远不够的. 对每个人来说时间都是有限的, 谁也不可能把每门课都精通了, 能精通两三门就不错了. 大家仔细观察一下会发现, 数学高手的一个特点是见多识广, 不少大师都在数学的好几个分支里有建树, 可谓全能型高手. 学数学此路不通, 可另寻别路. 但前提是你知道的知识要多, 比如你只会数学分析, 那么你被一道分析难题卡住了, 你就只能继续用分析的方法试. 对于高手, 他可能会考虑代数, 几何, 拓扑等方法. 在数学中, 许多著名定理的解决往往是不同分支共同作用的结果. 这里我想举的20世纪数学中的一个大名鼎鼎的定理------Atiyah-Singer 指标定理.
关于Atiyah-Singer 指标定理, 用白话说是:解析指标 = 拓扑指标.
现在, 定理本身有许多种表现形式, 而且做了推广. 我所知道的一种比较原始的简单形式如下: dim kerD - dim cokerD = ∫_{T^*M}Ch(σ(D))∧Td(M)----- (*)
这里M 是一个紧致光滑的可定向黎曼流形, D 是椭圆微分算子.(*)式左边是解析指标(学过泛函的应该不会陌生, 在Fredholm 理论里定义过);
(*)式右边是拓扑指标, 用上同调形式给出, 很复杂. 大意是说陈类与托德类作用, 然后在余切从上做积分.
Atiyah-Singer 指标定理把解析量与拓扑量这两个看起来毫不相干的东西联系起来, 而且该定理还能把其它的一些NB 定理统一起来, 做为它的特例.
实际上Atiyah-Singer 指标定理, 告诉我们两件事:1)解析指标(与D 有关) 是一个拓扑不变量;2) 如何计算出解析指标. 熟悉指标定理的人可能知道, 关于
dim kerD - dim cokerD 与D 的选取无关这一事实早就被盖尔芳德所发现,dim kerD 和 dim cokerD 单拿出来都与D 有关, 但它们的差却与D 无关, 是一个拓扑不变量! 这是一个惊人的结论! 可是dim kerD 和 dim cokerD 形式上虽然简单, 但对一般的D 却很难算出来. 盖尔芳德虽然知道了dim kerD - dim cokerD 是一个拓扑不变量, 但却不知道具体怎么算出来.
分析的道路看来是走不通了, 那么是否可以从其它道路来解决呢? 可以!Atiyah 后来给出了如何计算拓扑指标的方法(一种情形可参看(*)式), 证明了Atiyah-Singer 指标定理.
回头再看看(*)式, 解析指标虽然简单, 却很难求出; 拓扑指标虽然复杂, 却能够算出来. 这也从哲学上引发我们的沉思.(当然复杂是相对的, 对数学家来讲, 计算拓扑指标不是难事.)
这件事给我们的启迪是, 要解决一个领域内的难题, 仅有本领域的知识是不够的, 见多识广, 才能独辟蹊径, 柳暗花明!
关于指标定理有一个儿童版的特殊形式, 比较容易理解.
设V,W 是两个有限维的线性空间,D:V ---> W是线性算子, 则指标定理可以写成:
dim kerD - dim cokerD = dimV - dimW
7. 学数学应该包括数学发现和数学证明两部分!
如标题所言, 这是我长久以来我的一贯观点. 这也是我在各种场合强烈推荐张筑生老师的的缘由. 我不指望数学书能把所有定理如何发现都写出来, 但至少应该尽可能多些一些吧. 因为数学发现也是数学的重要组成部分!
我个人认为学数学其实应该包括两部分, 即数学发现＋数学证明. 不过可惜的是目前的教材多以严密性为理由, 把数学的发现给丢掉了. 其结果是教材很可能写成这个样子:定义1, 定义2, 证明1, 证明2, 例题1, 定义3, 定义4, ……, 我称之为字典式写法. 这样写从数学逻辑上讲没问题, 很严密. 但是, 写书面向的对象是人, 多数是初学者, 字典式的形式化写法后果多半是一头雾水, 看了半天不知所云. 结果很可能对数学产生恐惧, 反感, 甚至厌恶. 众所周知, 学习数学到了大学阶段, 如果一个人对数学没有兴趣甚至排斥数学, 那么他几乎是不可能学好数学的. 很多人学了很多人数学, 却发现自己只会做别人设计好的题. 到了自己研究数学时, 不会发现问题, 感到很迷茫. 没思路, 没方向, 没灵感等等. 结果多半慨叹自己数学天资太差,IQ 太低.
说实话, 除了极少数天才外, 人与人的智商真的差距那么大吗? 同一个家族, 彼此之间血缘很近, 智商应该差不多吧. 可数学水平差距可不是一个量级的. 就SCIbird 自己来说吧, 在现在他的家族中, 他不是最聪明的. 但我父亲那边和我母亲那边的亲戚中没有一个人数学水平及的上我的. 而且我从初中在数学上就确立了遥遥领先的优势. 我从来不认为这个数学优势是天生的.
我总结了自己的经验:勤奋+态度+方法.
首先是勤奋, 如果说是天才是天生的, 我们无法改变. 那么勤奋却可以改变.
其次是态度, 低调, 虚心, 进取. 不要贪一时口舌之快, 而自命不凡. 学数学想提高水平," 自命不凡" 要不得. 与其在口舌上讨便宜, 不如坐下来多看看书.
方法, 那可能话就长了. 我只说一条:学数学应该包括数学发现和数学证明两部分.
下面我就谈谈数学的发现:
见过一些数学系的和非数学系的人, 他们的一些想法很让我费解. 证明写的长了, 计算多了, 他就认为" 不专业", 似乎他假定一定存在一个简单的证明方法(如何证明存在性?). 谁都想得到一个简单优美的方法, 但是一来无法证明这种" 简单优美" 的方法一定存在; 二来获得一个简单优美方法不容易. 我们要做的是先证明出来, 再去寻找有没有更好的方法.
了解数学史的人都知道, 数学讲究首创性! 但是数学定理的第一个严格证明往往既不那么简单通俗, 也不那么优美. 简洁优美的证明往往是后来人给出的, 收录进教科书的那些经典的证明方法, 多数不是第一个证明方法, 那很可能是经过n 多人之手加工的. 甚至与最初的证明相比, 可能面目全非.
数学的发现往往也不像很多人想象那样很优美. 进行使用发现的方法可能很费解, 枯燥, 不严密, 甚至很暴力! 但创造就是这样, 不拘常理, 不受约束, 甚至天马行空亦可! 解决问题才是首要的, 至于严密, 专业, 优美等可稍后去解决. 我想这方面最好的例子恐怕算是Fourier 级数是如何发现的:
一般工科对数学要求高的专业都会开数理方程这门课程, 也就是讲偏微分方程了. 里面有个经
典的解法叫分离变量法. 但是大家可能没想到的是名震千古的Fourier 级数就是当年傅立叶在用分离变量法硬解热传导方程过程中发现的!!
下面我讲简要说下大致发现过程, 至于求解热传导方程的细节可参考任何一本数理方程教材. 采用TeX 语言的下标记法, 用u_{x} = u_{x}(x,t), 表示函数u(x,t)对x 的偏导数, 二阶偏导数记为u_{xx}.考虑热传导方程如下:
热方程: u_{xx} = u_{t} (00)
初值条件:u(x,0) = f(x)
边值条件:u(0,t) = u(π,t)=0
傅立叶硬假设u(x,t)能分离变量, 即 u(x,t) = U(x)T(t)
代入热方程, 得U"(x)T(t) = U(x)T'(t)
所以 U"(x)/U(x) = T'(t)/T(t) = const := -λ
因此可化为两个常微分方程
U"(x) + λU(x) = 0
U(0) = U(\pi)=0
和 T'(t) + λT(t) = 0
通过讨论, 得知 λ>0
解上面的方程再把解叠加到一起(细节参考数理方程教材)
得到级数解 u(x,t) = ∑bn*(exp{Wn*t})*sin(nx)
再由u(x,0) = f(x),得到 f(x) = ∑bn*sin(nx) -----(*)
这似乎意味着f(x)能展开成三角级数. 注意到(*)右边每一项都是奇函数(矛盾了吗?) 同样的程序, 能导出 f(x) = a0/2 + ∑an*cos(nx)
如果我们一开始, 把x 的定义域取为关于原点对称的, 再考虑到任何一个函数都能拆成" 一个偶函数与一个奇函数之和(Why?)".于是傅立叶大胆猜测, 对于一般的函数应该有.
f(x) = a0/2 + ∑an*cos(nx)+bn*sin(nx)
这就是名震千古的Fourier 级数. 傅立叶也找出了系数{an}与{bn}的表达式, 就是现在教材上的那个表达式.
当然之后的问题还很多, 诸如何时可以展开, 收敛性如何, 收敛到f(x)自身吗等等, 问题一堆. 不过这是后话了. 我这里只想说的是, 数学发现需要大胆, 过分的强调严密反而容易压制创造." 大胆猜测, 严格证明!"------这才是学数学的正确方法!!
8. 注重不同分支之间的联系.
学数学想提高修为不但要修身, 练得一身好本领, 也要修心, 提高思想境界! 何为思想境界, 这里指看问题要看的长远, 不但能看出本分支的内容, 更能看到不同分支之间的联系, 相互促进. 这方面的典型代表要首推几何! 回忆起我们高中学习欧几里得的经典平面几何, 那些问题和证明方法十分优美, 可以说比较好的体现了数学美! 但若我们仔细观察就会发现, 其绝大部分内
容都于圆有关, 若走出圆外似乎方法就不多了. 但即使限制到与圆有关的平几问题, 证明也是很困难的, 最典型的代表是连辅助线, 相当技巧! 后来解析几何的引入才打破了这种技巧性的局面, 而且确实提供了一般的程序化通用方法. 也许平面解析几何优势不那么显然, 那么用空间解析几何(含空间向量) 来解决立体几何问题绝对是一个实质性的进步, 我相信很多人都有这种体会. 也许有人会说, 解析几何很难看很暴力, 破坏了几何美. 我觉得大可不比这样抱怨, 因为解析的方法并不排斥传统的方法, 两种方法都可以使用, 而且有时解决问题可能比数学美更重要. 所以, 两者都有存在的意义.
在一个分支的基础上引入其它分支的工具往往能开辟出新的天地, 把解析方法引入几何创造了解析几何, 把微积分搬到几何上出了微分几何, 进而发展出了微分流形等等类似例子很多.
历史上许多著名问题的解决, 也依赖其它分支的方法. 比如" 最速降线" 的最简单解法, 应用了光的折射定律. 不同分支也存在内在联系, 如微分形式中的" 恰当形式", 其物理原型是" 有势场". 分析中的上同调与拓扑中同调的对偶性,de Rham 定理. 我们在研究问题时, 不能局限于这个问题本身, 而要有气魄, 看的尽可能远些. 要看到不同分支的联系, 要从相似中看到相似.
下面这篇文章是我本科时整理的, 也在论坛贴出来过(可能沉入数据之海了) 当时主要是为了解决中值定理的辅助函数构造问题.(试图寻找比较一般化的方法)
众所周知, 微分中值定理是一块很难啃的骨头, 技巧性是相当强. 对多数问题, 最困难的地方在于辅助函数的构造, 往往一旦构造出了辅助函数, 问题就解决了一半. 可惜, 很少有教材仔细讲过如何构造辅助函数, 很多人感觉辅助函数是通过观察or 凑出来的.
微分中值定理与微分方程看起来不太相干, 但倘若你将构造辅助函数过程看作是" 解方程" 的话, 它们之间的联系还是很微妙的. 请仔细读读下面的文章, 也许你会有所感悟!
先考虑一个典型的中值定理难题!
已知，f,g 在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b) 证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)-f(ξ)=g"(ξ)-g(ξ).
我来说下关于本题的想法吧，一般涉及二阶中值定理的问题都需要某函数的3个零点作为过渡，比如本题。我曾经考虑过如下形式：
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内2阶可导，f(a)=f(b)=f©=0,a
证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,其中p,q 为常数且（△=p^2-4q≥0-----这是后加的条件，以下都默认这一条件）. 我试图找出该问题更一般的的证明方法（自然，流畅），但最后都失败了。直到一次偶然翻到张筑生老师的《数学分析新讲》（我最爱的数分书）第一册高阶常系数微分方程部分，受到启发从而找到了一般的解法。
传统的高数（不是高中数学---HAHA ！）中在二阶常微分方程y"+py'+qy=0（*）部分，通过观察指数函数exp(λx) 的求导性质来推断它是（*）的解，从而得到一般解的表达公式。但这更象逆解法，要求高
了点。能否直接通过直接积分来求解呢？-----当然可以。
对于一阶线性方程已经获解，对于2阶常系数微分方程：
记 r^2+pr+q=0的两个根为λ1，λ2。引入微分算子D=d/dx,则（*）等价于(D^2+pD+q)y=0, 由此得到(D-λ1)(D-λ2)y=0,令L=(D-λ2)y -----(1),则(D-λ1)L=0 -----(2),
从（2）可以解出L ，再代入（1）可求出y.
*****中值定理与微分方程关系紧密，比如1阶形式 f'(ξ)+N(ξ)f(ξ)=0－－－－(3). 可化为微分方程f'(x)+N(x)f(x)=0,
分离变量，再积分得,f(x)=exp[-∫N(x)dx]
移项得 f(x)exp[∫N(x)dx]=1－－－－－(4),对(4)求导可以得到(3),对于多数情况可以直接设辅助函数 F(x)=f(x)exp[∫N(x)dx]－－－－－（5），一般只需在验证f(x)有2个零点即可。
下面回到原问题 (D-λ1)(D-λ2)f=0中来,f 有3个零点，这暗示可能用两次公式（5）。 令L=(D-λ2)f, 应用（5）可以证明L 有2个零点。
证：设F(x)=f(x)exp[-λ2x],可推出L 有2个零点；
再设φ(x)=L(x)exp[-λ1x],可以推出 存在ξ∈(a,b),使得
f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,对于更高次项也可以用类似的方法。
推广：n 次多项式Pn(x)有n 个相异实根, 引入微分算子D=d/dx,Pn(D)为算子多项式, 函数f(x)在[a,b]上n 阶可导且有n+1个不同的零点。
证明：存在ξ∈(a,b)，使得Pn(D)f(ξ)=0.
例如：P2(x)=x^2+5x+1,则P2(D)f=f"+5f'+f