2015---2016学年度四初中九年级上学期数学拔高试卷
一、选择题
1．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．
A 、 B、2 C、3 D、2 2、为了求1+2+2+2+ +2可令S ＝1+2+2+2+ +2
2
3
2008
2
3
2008
A C 1 1 E
(第1题图
)
D F
+2
2009
的值，
+22009，
2342009
+22010 ，因此2S-S ＝22010+1， 则2S ＝2+2+2+2+ +2
2320082010B +1仿照以上推理计算 所以1+2+2+ +2＝2232009
出1+5+5+5+ +5的值是（ ）
52010+452010+120102010
+1-1A 、5B 、5C 、D 、
44
3．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°， BC=5， 点A 、B 的坐标分别为(1，O) 、(4，0) ，将△ABC 沿x 轴向右平移， 当点C 落在直线y=x-3上时，线段BC 扫过的面积为 【 】
A. 24 B. 12 C. 6 D.二、填空题：
C
4．将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在
边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
5. 在围棋盒中有x 颗白色棋子和若干颗黑色棋子，从盆中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是
2
；5
如果再往盒中放进9颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是
1
．则原来围棋盒中有白色棋子________颗． 4
6. 在平面直角坐标系中，已知点A (-1, ), B (-1, 0), 则将∆OAE 绕原点Ｏ顺时针旋转60后点B 的对应点B ’的坐标是____． 7．将一幅三角板如图放置，使点A 在ED 上，ED//BC。 则∠AFC 的度数是 __________
第7题 第8题 第9题 8. 如图，四边形ABCD 中，AD //BC , BC =5, AD =3, 对角线AC ⊥BD , 且∠DBC =30, 则AD 与BC 之间的距离等于____．
9．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD
内，在对角线
AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为________
10．如上图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC
第11题 第12题
12．（2014•洛阳一模）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是 _________ ．
中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是11．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 延长BG 交CD 于点F ，若CF=1，FD=2，则BC 的长为 _________ 0) ，B 1) 在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上， 13．如图所示，已知：点A (0，，C (0，
另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个
△B 2A 3B 3，„，则第n 个等边三角形的边长等于．
14. 如图，点A 的坐标是(2，2) ，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标是_______
第16题
15. 如图，在平形四边形ABCD 中，点E 为CD 边的中点，连接BE ，若∠ABE=∠ACB，AB ＝长为__________．
16．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm，D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1cm ，得
到△EFG ，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于 cm ．
17．如图，△ABC 中∠A = 30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB ＝82°，则原三角形的∠B ＝_____度．
18．有两个可以自由转动的转盘均被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），则转盘停止后指针指向的数字之和为偶数的概率是__________．
19、一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了 个黑球。
.AC 的
1CN =CD ,
420．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CO 上，且若AB =1，设BM =x ,
当x = 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．
21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点， 将△ADE 沿AE 折叠后得到△AEF ，且点F 在 矩形ABCD 内部．延长AF 交BC 于点G ，
CG 1AD
==
若GB 7，则AB __________．
三计算
第21题
1、（8分）已知关于x 的一元二次方程x ﹣（2k+1）x+k+2k=0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围； （2）是否存在实数k 使得理由．
2．（9分）如图，B ，C ，E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG ，DE ．
（1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH ⊥DE ．
A
H G
F
E
B C
3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连结DE ．（1）证明DE ∥CB ；
（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形．
≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明
2
2
4．（10分）如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的一个动点，过点P 作PG ⊥AB ′于点G ， 作PH ⊥DC 于点H ， 试判断PG +PH 的值是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
D
P
5、（9分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能
的，当三辆汽车经过这个十字路口时： （1）求三辆车全部同向而行的概率； （2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为
．目前在此路口，汽 车
E C
左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥 挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
6、（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销
售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
7．（9分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、
试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
E EC ．
B
C
8（9分）“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A 、B 、C 、D 四地旅游，公司按定额购买了前往各地
的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去D 地的车票占全部车票的10% ， 请求出D 地车票的数量，并补全统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A
地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，他们决定采取抛掷一枚各面分别标有数字1、2、3、4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，以着地一面的数字为准，若小王比小李掷得的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
9．（10分）由于受市场负面传闻的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的
2
，原来用603
元买到的猪肉下调后可多买2斤．后经澄清传闻，消除了负面影响，猪肉价格5月初开始回升，经过5、6两个月，猪肉价格回升到每斤14.4元．
（1）求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？ （2）求5、6两个月猪肉价格的月平均增长率．
10. (10分) 如图，∆ABC 中, AB =6cm , BC =4cm . ∠B =60．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和lcm/s，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t(s)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？
(2)设四边形APQC 的面积为（，求y 与t 之间的函数关系式； y cm 2）当点P 运动到什么位置时，四边形APQC 的面积最大，并求出最大面积．
11.（10分）已知，如图，在△ABC 中AB ＝AC ，点P 是△ABC 的中线AD 上的任意一点（不与点A 重合．将线段AP 绕点A 逆时针旋转到AQ ，使.∠PAQ=∠BAC，连接BP,CQ
(1)求证：BP=CQ． (2)设直线BP 与直线CQ 相交于点E ，∠BAC=α，∠BEC=β,
①若点P 在线段AD 上移动（不与点A 重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？并说明理由． ②若点P 在直线AD 上移动（不与点A 重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
12．（9分）如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC
上，
连结BD 并延长与CE 交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ． （2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．
13．（10分）在正方形ABCD 中，点P 是CD 边上一动点，连接PA ，分别过点B 、D 作 BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．
(1)请探究BE 、DF 、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P 在DC 的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．
P
D
C
P 图① 图② 图③ 14．（10
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元． （1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元．该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润． 注：毛利润=（售价－进价）×销售量 15．(10分) 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a，CQ=
Q 两点间的距离 （用含a 的代数式表示）．
,16. 如图，等边△ABC 的边长为12cm ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =AE =4cm ，若点F 从点B 开始以2cm /s 的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t >0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O 。
（1）设△EGA 的面积为S （cm ），求S 和t 的函数关系式；
（2）在点F 运动过程中，试猜想△GFH 的面积是否变化，若不变，求其值；若变化明清说明理由。 （3）请直接写出t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点。
A
E D
B F C H
（第21题图）
17、（10分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充
完整。
2
时，P 、
原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，连接EF ，则EF=BE+DF，试说明理由。 （1）思路梳理
∵AB=CD，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合。 ∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F 、D 、G 共线。
根据__ __________，易证△AFG ≌_ _______，得EF=BE+DF。 （2）类比引申
如图2，四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF=45°。若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系_ ___时，仍有EF=BE+DF。 （3）联想拓展
如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°。猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。
23. （8分）如图，在梯形中，∥，点是边的中点，连接交于，的延长线交的延长线于．
（1）求证：
24. （8
分）已知：如图，在△
．求证：（1）△
25．（8分）如图，在正方形
中，
分别是边
上的点，
并
中，
∽△
；（2）
∥
；（2）若
，
，求线段
的长．
C
，点
在边
上，
与相交于点
，且∠
延长交的延长线于点
A
E D
F （1）求证：△ABE ∽△DEF ；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
B
C
第25题图
G
19．（本题8分）某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在∆AMD 和∆BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当∆AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在∆BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
18、解：（1）分别用A ，B ，C 表示向左转、直行，向右转；根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， ∴P（三车全部同向而行）=；（4分）
（2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况，∴P（至少两辆车向左转）=
；（6分）
（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×
（秒）．（9分）
20、解：（1）1000﹣10x ；﹣10x +1300x﹣30000（4分）
2（2）﹣10x +1300x﹣30000=10000 解之得：x 1=50，x 2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（6分）
（3）根据题意得
22=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×=36 解之得：44≤x≤46 2w=﹣10x +1300x﹣30000=﹣10（x ﹣65）+12250
∵a=﹣10＜0，对称轴x=65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 增大而增大．
∴当x=46时，W 最大值=8640（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．（10分）
22、解：(1)SAS △AFE(4分） (2)∠B+∠D=180°(6分）
222(3)解：BD +EC=DE.(7分）
∵AB=AC，∴把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB 与AC 重合.
∵△ABC 中，∠BAC=90°. ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°, 即∠ECG=90°.
222∴EC +CG=EG.(7分）在△AEG 与△AED 中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG ≌△AED. ∴DE=EG.又∵CG=BD,
222∴BD +EC=DE.(10分）
17、（1）k ≤1 （4分） ；（2）不存在实数k 使得4≥0成立．（4分）；（过程3分，结果1分）
22、（1）△CEB ′≌△AED ．„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
证明：由折叠和四边形ABCD 为矩形可得：
B ′C=BC=AD，∠B ′=∠B=∠D=90°，
又∠B ′EC=∠DEA ，
∴△CEB ′≌△AED ．„„„„„„„„3分
（2）PG +PH 的值是定值．„„„„„„4分
①当点P 不与点A 、C 重合时，
延长HP 交AB 于点M ，则PM ⊥AB ．
∵∠EAC =∠CAB ，PG ⊥AB ′于点G ，
∴PG =PM ．
∴PG + PH = PM + PH = HM = AD. „„„5分
∵∠EAC =∠CAB ，∠CAB =∠ECA ，
∴∠EAC =∠ECA ．∴AE=EC=DC－DE=AB－DE=8－3=5.
在Rt △ADE 中，AD=AE 2-DE 2=52-32=4.
∴PG + PH = AD=4. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分②当点P 与点A 重合时，点G 与点A 重合，点H 与点D 重合，
∴PG + PH =0 + AD=4. „„„„„„„„„„„„„„„„„8分
③当点P 与点C 重合时，点G 与点B ′重合，点H 与点C 重合，
∴PG + PH = B′C+ 0 =BC=AD=4. „„„„„„„„„„„„9分
综上说述，PG +PH 的值是定值，且PG + PH =4. „„„„„10分
2015---2016学年度四初中九年级上学期数学拔高试卷
一、选择题
1．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．
A 、 B、2 C、3 D、2 2、为了求1+2+2+2+ +2可令S ＝1+2+2+2+ +2
2
3
2008
2
3
2008
A C 1 1 E
(第1题图
)
D F
+2
2009
的值，
+22009，
2342009
+22010 ，因此2S-S ＝22010+1， 则2S ＝2+2+2+2+ +2
2320082010B +1仿照以上推理计算 所以1+2+2+ +2＝2232009
出1+5+5+5+ +5的值是（ ）
52010+452010+120102010
+1-1A 、5B 、5C 、D 、
44
3．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°， BC=5， 点A 、B 的坐标分别为(1，O) 、(4，0) ，将△ABC 沿x 轴向右平移， 当点C 落在直线y=x-3上时，线段BC 扫过的面积为 【 】
A. 24 B. 12 C. 6 D.二、填空题：
C
4．将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在
边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
5. 在围棋盒中有x 颗白色棋子和若干颗黑色棋子，从盆中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是
2
；5
如果再往盒中放进9颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是
1
．则原来围棋盒中有白色棋子________颗． 4
6. 在平面直角坐标系中，已知点A (-1, ), B (-1, 0), 则将∆OAE 绕原点Ｏ顺时针旋转60后点B 的对应点B ’的坐标是____． 7．将一幅三角板如图放置，使点A 在ED 上，ED//BC。 则∠AFC 的度数是 __________
第7题 第8题 第9题 8. 如图，四边形ABCD 中，AD //BC , BC =5, AD =3, 对角线AC ⊥BD , 且∠DBC =30, 则AD 与BC 之间的距离等于____．
9．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD
内，在对角线
AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为________
10．如上图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC
第11题 第12题
12．（2014•洛阳一模）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是 _________ ．
中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是11．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 延长BG 交CD 于点F ，若CF=1，FD=2，则BC 的长为 _________ 0) ，B 1) 在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上， 13．如图所示，已知：点A (0，，C (0，
另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个
△B 2A 3B 3，„，则第n 个等边三角形的边长等于．
14. 如图，点A 的坐标是(2，2) ，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标是_______
第16题
15. 如图，在平形四边形ABCD 中，点E 为CD 边的中点，连接BE ，若∠ABE=∠ACB，AB ＝长为__________．
16．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm，D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1cm ，得
到△EFG ，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于 cm ．
17．如图，△ABC 中∠A = 30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB ＝82°，则原三角形的∠B ＝_____度．
18．有两个可以自由转动的转盘均被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），则转盘停止后指针指向的数字之和为偶数的概率是__________．
19、一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了 个黑球。
.AC 的
1CN =CD ,
420．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CO 上，且若AB =1，设BM =x ,
当x = 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．
21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点， 将△ADE 沿AE 折叠后得到△AEF ，且点F 在 矩形ABCD 内部．延长AF 交BC 于点G ，
CG 1AD
==
若GB 7，则AB __________．
三计算
第21题
1、（8分）已知关于x 的一元二次方程x ﹣（2k+1）x+k+2k=0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围； （2）是否存在实数k 使得理由．
2．（9分）如图，B ，C ，E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG ，DE ．
（1）观察图形，猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若延长BG 交DE 于点H ，求证：BH ⊥DE ．
A
H G
F
E
B C
3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连结DE ．（1）证明DE ∥CB ；
（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形．
≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明
2
2
4．（10分）如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的一个动点，过点P 作PG ⊥AB ′于点G ， 作PH ⊥DC 于点H ， 试判断PG +PH 的值是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
D
P
5、（9分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能
的，当三辆汽车经过这个十字路口时： （1）求三辆车全部同向而行的概率； （2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为
．目前在此路口，汽 车
E C
左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥 挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
6、（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销
售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
7．（9分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、
试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
E EC ．
B
C
8（9分）“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A 、B 、C 、D 四地旅游，公司按定额购买了前往各地
的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去D 地的车票占全部车票的10% ， 请求出D 地车票的数量，并补全统计图；
（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A
地的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王、小李都想要，他们决定采取抛掷一枚各面分别标有数字1、2、3、4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，以着地一面的数字为准，若小王比小李掷得的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
9．（10分）由于受市场负面传闻的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的
2
，原来用603
元买到的猪肉下调后可多买2斤．后经澄清传闻，消除了负面影响，猪肉价格5月初开始回升，经过5、6两个月，猪肉价格回升到每斤14.4元．
（1）求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？ （2）求5、6两个月猪肉价格的月平均增长率．
10. (10分) 如图，∆ABC 中, AB =6cm , BC =4cm . ∠B =60．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和lcm/s，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t(s)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？
(2)设四边形APQC 的面积为（，求y 与t 之间的函数关系式； y cm 2）当点P 运动到什么位置时，四边形APQC 的面积最大，并求出最大面积．
11.（10分）已知，如图，在△ABC 中AB ＝AC ，点P 是△ABC 的中线AD 上的任意一点（不与点A 重合．将线段AP 绕点A 逆时针旋转到AQ ，使.∠PAQ=∠BAC，连接BP,CQ
(1)求证：BP=CQ． (2)设直线BP 与直线CQ 相交于点E ，∠BAC=α，∠BEC=β,
①若点P 在线段AD 上移动（不与点A 重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？并说明理由． ②若点P 在直线AD 上移动（不与点A 重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
12．（9分）如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC
上，
连结BD 并延长与CE 交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ． （2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．
13．（10分）在正方形ABCD 中，点P 是CD 边上一动点，连接PA ，分别过点B 、D 作 BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．
(1)请探究BE 、DF 、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P 在DC 的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．
P
D
C
P 图① 图② 图③ 14．（10
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元． （1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元．该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润． 注：毛利润=（售价－进价）×销售量 15．(10分) 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a，CQ=
Q 两点间的距离 （用含a 的代数式表示）．
,16. 如图，等边△ABC 的边长为12cm ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =AE =4cm ，若点F 从点B 开始以2cm /s 的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t >0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O 。
（1）设△EGA 的面积为S （cm ），求S 和t 的函数关系式；
（2）在点F 运动过程中，试猜想△GFH 的面积是否变化，若不变，求其值；若变化明清说明理由。 （3）请直接写出t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点。
A
E D
B F C H
（第21题图）
17、（10分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充
完整。
2
时，P 、
原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，连接EF ，则EF=BE+DF，试说明理由。 （1）思路梳理
∵AB=CD，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合。 ∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F 、D 、G 共线。
根据__ __________，易证△AFG ≌_ _______，得EF=BE+DF。 （2）类比引申
如图2，四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF=45°。若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系_ ___时，仍有EF=BE+DF。 （3）联想拓展
如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°。猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。
23. （8分）如图，在梯形中，∥，点是边的中点，连接交于，的延长线交的延长线于．
（1）求证：
24. （8
分）已知：如图，在△
．求证：（1）△
25．（8分）如图，在正方形
中，
分别是边
上的点，
并
中，
∽△
；（2）
∥
；（2）若
，
，求线段
的长．
C
，点
在边
上，
与相交于点
，且∠
延长交的延长线于点
A
E D
F （1）求证：△ABE ∽△DEF ；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
B
C
第25题图
G
19．（本题8分）某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在∆AMD 和∆BMC 地带种植单价为10元/米2的太阳花，当∆AMD 地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在∆BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
18、解：（1）分别用A ，B ，C 表示向左转、直行，向右转；根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， ∴P（三车全部同向而行）=；（4分）
（2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况，∴P（至少两辆车向左转）=
；（6分）
（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×
（秒）．（9分）
20、解：（1）1000﹣10x ；﹣10x +1300x﹣30000（4分）
2（2）﹣10x +1300x﹣30000=10000 解之得：x 1=50，x 2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（6分）
（3）根据题意得
22=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×=36 解之得：44≤x≤46 2w=﹣10x +1300x﹣30000=﹣10（x ﹣65）+12250
∵a=﹣10＜0，对称轴x=65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 增大而增大．
∴当x=46时，W 最大值=8640（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．（10分）
22、解：(1)SAS △AFE(4分） (2)∠B+∠D=180°(6分）
222(3)解：BD +EC=DE.(7分）
∵AB=AC，∴把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB 与AC 重合.
∵△ABC 中，∠BAC=90°. ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°, 即∠ECG=90°.
222∴EC +CG=EG.(7分）在△AEG 与△AED 中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG ≌△AED. ∴DE=EG.又∵CG=BD,
222∴BD +EC=DE.(10分）
17、（1）k ≤1 （4分） ；（2）不存在实数k 使得4≥0成立．（4分）；（过程3分，结果1分）
22、（1）△CEB ′≌△AED ．„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
证明：由折叠和四边形ABCD 为矩形可得：
B ′C=BC=AD，∠B ′=∠B=∠D=90°，
又∠B ′EC=∠DEA ，
∴△CEB ′≌△AED ．„„„„„„„„3分
（2）PG +PH 的值是定值．„„„„„„4分
①当点P 不与点A 、C 重合时，
延长HP 交AB 于点M ，则PM ⊥AB ．
∵∠EAC =∠CAB ，PG ⊥AB ′于点G ，
∴PG =PM ．
∴PG + PH = PM + PH = HM = AD. „„„5分
∵∠EAC =∠CAB ，∠CAB =∠ECA ，
∴∠EAC =∠ECA ．∴AE=EC=DC－DE=AB－DE=8－3=5.
在Rt △ADE 中，AD=AE 2-DE 2=52-32=4.
∴PG + PH = AD=4. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分②当点P 与点A 重合时，点G 与点A 重合，点H 与点D 重合，
∴PG + PH =0 + AD=4. „„„„„„„„„„„„„„„„„8分
③当点P 与点C 重合时，点G 与点B ′重合，点H 与点C 重合，
∴PG + PH = B′C+ 0 =BC=AD=4. „„„„„„„„„„„„9分
综上说述，PG +PH 的值是定值，且PG + PH =4. „„„„„10分