基于MATLAB 的滞后-超前校正器的设计
摘要：对控制系统的校正设计方法进行了简单的介绍；介绍了基于MATLAB 的滞后-超前校正器的设计过程，并用仿真实例验证了该方法比传统的方法节省了相当大的工作量，实现起来非常的方便。利用MATLAB 软件中的控制系统工具箱和Simulink 工具箱可以很方便的对控制系统进行建模、分析和设计。
关键词：MATLAB ；滞后-超前校正器；设计
1 引言
MATLAB （Matrix Laboratory 即“矩阵实验室”）是集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境，其强大的科学计算与可视化功能，简单易用的开放式可扩展环境，使得MATLAB 成为控制领域内被广泛采用的控制系统计算与仿真软件。“自动控制原理”是工科类专业一门重要的课程，其所需数学基础宽而深、控制原理抽象、计算复杂且繁琐以及绘图困难等原因，使学生学习感觉枯燥并有畏难情绪。将MATLAB 软件应用到该门课程教学中，可以解决深奥繁琐的计算，简单、方便又精确的绘图，并可以用丰富多彩的图形来说明抽象的控制原理，可以提高学生的学习兴趣。早期的校正器设计利用试凑法，其计算量非常大，而且还要手工绘制系统的频率特性图，很难达到满意的结果。将MATLAB 软件应用到校正器设计中，则大大提高了设计的效率，并能很方便的达到满意的效果。本文介绍在MATLAB 环境下进行滞后-超前校正器的设计方法。
2 控制系统校正设计概述
在经典控制理论中，系统校正设计，就是在给定的性能指标下，对于给定的对象模型，确定一个能够完成系统满足的静态与动态性能指标要求的控制器（常称为校正器或补偿控制器），即确定校正器的结构与参数。控制系统经典校正设计方法有基于根轨迹校正设计法、基于频率特性的Bode 图校正设计法及PID 校正器设计法。按照校正器与给定被控对象的连接方式，控制系统校正可分为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种。串联校正控制器的频域设计方法中，使用的校正器有超前校正器、滞后校正器、滞后-超前校正器等。超前校正设计方法的特点是校正后系统的截止频率比校正前的大，系统的快速性能得到提高，这种校正设计方法对于要求稳定性好、超调量小以及动态过程响应快的系统被经常采用。滞后校正设计方法的特点是校正后系统的截止频率比校正前的小，系统的快速性能变差，但系统的稳定性能却得到提高，因此，在系统快速性要求不是很高，而稳定性与稳态精度要求很高的场合，滞后校正设计方法比较适合。滞后-超前校正设计是指既有滞后校正作用又有超前校正作用的校正器设计。它既具有了滞后校正高稳定性能、高精确度的好处，又具有超前校正响应快、超调小的优点，这种设计方法在要求较高的场合经常被采用。
3 滞后-超前校正器的设计
3.1 滞后-超前校正器
滞后-超前校正设计的基本原理是利用网络的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，采用滞后-超前校正比较适合。
滞后-超前校正器的传递函数可表示为
:
式中，α ⋅β =1，α >1，β
3.2 滞后-超前校正器的设计步骤
文献[3]中给出了滞后-超前校正器的设计方法，该方法是比较经典的，但是若通过传统的方法来设计滞后-超前校正器，计算量非常大，而且要手工绘制Bode 图是非常麻烦的，需要耗费大量的时间和精力。但是，若在设计过程中借助于MATLAB 软件，将会非常方便且非常快的设计好校正器。基于MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计步骤如下：
（1）根据要求的稳态性能指标，求系统开环增益K 。
（2）根据求得的K 值，用MATLAB 软件绘制校正前原系统的Bode 图，并求原系统的幅值裕度h(dB)（即Gm ）、-π穿越频率ωx 、相角裕度γ（即Pm ）及截止频率ωc ，检验性能指标是否满足要求。若不满足要求，则执行下一步。
（3）在原系统对数幅频特性曲线上，选择斜率由−20dB/dec变为−40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率1/T 2。
（4）根据设计要求确定校正后系统的截止频率ωc ，使校正网络中的1/T 2和1/(β*T 2) 位于ωc 的两侧，则在ωc 处Gc(s)可近似为
校正后系统在ωc 处的对数幅频应为0dB ，所以有
这里，L0（ωc ）表示原系统在ωc 处的对数幅频的值，由此解出α。
（5）根据相角裕度的要求，估算校正网络滞后部分的交接频率1/T1，估算中因1/αT1离ωc 最远，所以可令1/(1+αT1s) 这一项在ωc 处的相角为−90，再通过
（6）用MATLAB 软件绘制校正后系统的Bode 图，并检验系统的各项性能指标是否满足设计要求，若不满足则可适当增大ωc ，重新执行步骤（4）、（5）、（6），
直至满足要求。
3.3 仿真实例
下面通过一实例来说明基于MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计过程以及利用MATLAB 软件对控制系统进行时域分析和频域分析。已知一单位反馈系统的开环传递函数为
要求系统校正后满足下列指标要求：静态速度误差系数Kv=180*1/s ，截止频率ωc ≥3.2rad/s，相角裕度γ≥45，幅值裕度h ≥10dB ，试设计一个串联滞后-超前校正装置。
设计过程：
（1） 求解K 。
K=Kv=180
（2）用MATLAB 软件绘制校正前原系统的Bode 图与阶跃响应曲线，检查是否满足题
目的设计要求。
MATLAB 程序如下：
num1=180; den1=conv([1 0], conv([0.1 1], [0.5 1]));
sys1=tf(num1, den1); margin(sys1); figure(2);
sys2=feedback(sys1, 1); step(sys2);
程序运行后，可得未校正系统的Bode 图如图1 所示，还有未校正系统的阶跃响应曲线如图2所示。由图1可读出数据：幅值裕度h=−23.5dB （即Gm ）、穿越频率ωx=4.47rad/s、相角裕度γ=−47.1（即Pm ）及截止频率ωc=14.3rad/s，性能指标不满足题目的要求。由图2 可看出原系统是不稳定的，因此必须对原系统进行校正。
(3)原系统对数幅频特性曲线上斜率由−20dB/dec变为−40dB/dec的交接频率为2rad/s，因此选取校正网络超前部分的交接频率1/T2=2rad/s，即T2=0.5。
(4)考虑到要求中频区斜率为−20dB/dec，并且设计要求ωc ≥3.2rad/s，故 ωc 应在3.2~10rad/s范围内选取，由于中频区应占一定的宽度，故选 ωc=3.5rad/s。
MATLAB 程序如下：
[mag,phase,w]=bode(sys1,3.5) 程序运行后，可得再由式（3），可解 α=42.1454，α取43。
（5）根据相角裕度γ≥45的要求，求解T1。此时，滞后-超前校正网络的传递函数为
MATLAB 程序如下：
num1=180; den1=conv([1 0], conv([0.1 1], [0.5 1]));
sys1=tf(num1, den1); sys2=tf([0.67 1], [28.81 1]);
sys3=tf([0.5 1],[1/86 1]);sope=sys1*sys2*sys3;margin(sope); figure(2);
sope2=feedback(sope,1);step(sope2);
程序运行后，可得校正后系统的Bode 图如图3所示，还有校正后系统的阶跃响应曲线如图4所示。由图3可读出数据：幅值裕度h=25.7dB（即Gm ）穿越频率ωx=26.8rad/s、相角裕度γ=45.4（即Pm ）及截止频率ωc=4.11rad/s，各项性能指标均满足要求。由图4 可得到时域性能指标：超调量σ%=32.2%，峰值
时间tp=0.708s，调节时间ts=1.59s，可知校正后系统的性能得到了很好的改善。
4 结论
本文给出了基于 MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计过程，并通过仿真实例说明了借助于MATLAB 软件来进行滞后-超前校正器的设计是非常的便捷。
事实上，可以充分的利用MATLAB 软件中的控制系统工具箱和Simulink 工具箱来解决控制中的一系列问题，可以大大提高分析和设计控制系统的效率。 本文作者创新点：给出了基于MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计过程并通过仿真实例验证了该方法比传统的方法节省了相当大的工作量.
基于MATLAB 的滞后-超前校正器的设计
摘要：对控制系统的校正设计方法进行了简单的介绍；介绍了基于MATLAB 的滞后-超前校正器的设计过程，并用仿真实例验证了该方法比传统的方法节省了相当大的工作量，实现起来非常的方便。利用MATLAB 软件中的控制系统工具箱和Simulink 工具箱可以很方便的对控制系统进行建模、分析和设计。
关键词：MATLAB ；滞后-超前校正器；设计
1 引言
MATLAB （Matrix Laboratory 即“矩阵实验室”）是集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境，其强大的科学计算与可视化功能，简单易用的开放式可扩展环境，使得MATLAB 成为控制领域内被广泛采用的控制系统计算与仿真软件。“自动控制原理”是工科类专业一门重要的课程，其所需数学基础宽而深、控制原理抽象、计算复杂且繁琐以及绘图困难等原因，使学生学习感觉枯燥并有畏难情绪。将MATLAB 软件应用到该门课程教学中，可以解决深奥繁琐的计算，简单、方便又精确的绘图，并可以用丰富多彩的图形来说明抽象的控制原理，可以提高学生的学习兴趣。早期的校正器设计利用试凑法，其计算量非常大，而且还要手工绘制系统的频率特性图，很难达到满意的结果。将MATLAB 软件应用到校正器设计中，则大大提高了设计的效率，并能很方便的达到满意的效果。本文介绍在MATLAB 环境下进行滞后-超前校正器的设计方法。
2 控制系统校正设计概述
在经典控制理论中，系统校正设计，就是在给定的性能指标下，对于给定的对象模型，确定一个能够完成系统满足的静态与动态性能指标要求的控制器（常称为校正器或补偿控制器），即确定校正器的结构与参数。控制系统经典校正设计方法有基于根轨迹校正设计法、基于频率特性的Bode 图校正设计法及PID 校正器设计法。按照校正器与给定被控对象的连接方式，控制系统校正可分为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种。串联校正控制器的频域设计方法中，使用的校正器有超前校正器、滞后校正器、滞后-超前校正器等。超前校正设计方法的特点是校正后系统的截止频率比校正前的大，系统的快速性能得到提高，这种校正设计方法对于要求稳定性好、超调量小以及动态过程响应快的系统被经常采用。滞后校正设计方法的特点是校正后系统的截止频率比校正前的小，系统的快速性能变差，但系统的稳定性能却得到提高，因此，在系统快速性要求不是很高，而稳定性与稳态精度要求很高的场合，滞后校正设计方法比较适合。滞后-超前校正设计是指既有滞后校正作用又有超前校正作用的校正器设计。它既具有了滞后校正高稳定性能、高精确度的好处，又具有超前校正响应快、超调小的优点，这种设计方法在要求较高的场合经常被采用。
3 滞后-超前校正器的设计
3.1 滞后-超前校正器
滞后-超前校正设计的基本原理是利用网络的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，采用滞后-超前校正比较适合。
滞后-超前校正器的传递函数可表示为
:
式中，α ⋅β =1，α >1，β
3.2 滞后-超前校正器的设计步骤
文献[3]中给出了滞后-超前校正器的设计方法，该方法是比较经典的，但是若通过传统的方法来设计滞后-超前校正器，计算量非常大，而且要手工绘制Bode 图是非常麻烦的，需要耗费大量的时间和精力。但是，若在设计过程中借助于MATLAB 软件，将会非常方便且非常快的设计好校正器。基于MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计步骤如下：
（1）根据要求的稳态性能指标，求系统开环增益K 。
（2）根据求得的K 值，用MATLAB 软件绘制校正前原系统的Bode 图，并求原系统的幅值裕度h(dB)（即Gm ）、-π穿越频率ωx 、相角裕度γ（即Pm ）及截止频率ωc ，检验性能指标是否满足要求。若不满足要求，则执行下一步。
（3）在原系统对数幅频特性曲线上，选择斜率由−20dB/dec变为−40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率1/T 2。
（4）根据设计要求确定校正后系统的截止频率ωc ，使校正网络中的1/T 2和1/(β*T 2) 位于ωc 的两侧，则在ωc 处Gc(s)可近似为
校正后系统在ωc 处的对数幅频应为0dB ，所以有
这里，L0（ωc ）表示原系统在ωc 处的对数幅频的值，由此解出α。
（5）根据相角裕度的要求，估算校正网络滞后部分的交接频率1/T1，估算中因1/αT1离ωc 最远，所以可令1/(1+αT1s) 这一项在ωc 处的相角为−90，再通过
（6）用MATLAB 软件绘制校正后系统的Bode 图，并检验系统的各项性能指标是否满足设计要求，若不满足则可适当增大ωc ，重新执行步骤（4）、（5）、（6），
直至满足要求。
3.3 仿真实例
下面通过一实例来说明基于MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计过程以及利用MATLAB 软件对控制系统进行时域分析和频域分析。已知一单位反馈系统的开环传递函数为
要求系统校正后满足下列指标要求：静态速度误差系数Kv=180*1/s ，截止频率ωc ≥3.2rad/s，相角裕度γ≥45，幅值裕度h ≥10dB ，试设计一个串联滞后-超前校正装置。
设计过程：
（1） 求解K 。
K=Kv=180
（2）用MATLAB 软件绘制校正前原系统的Bode 图与阶跃响应曲线，检查是否满足题
目的设计要求。
MATLAB 程序如下：
num1=180; den1=conv([1 0], conv([0.1 1], [0.5 1]));
sys1=tf(num1, den1); margin(sys1); figure(2);
sys2=feedback(sys1, 1); step(sys2);
程序运行后，可得未校正系统的Bode 图如图1 所示，还有未校正系统的阶跃响应曲线如图2所示。由图1可读出数据：幅值裕度h=−23.5dB （即Gm ）、穿越频率ωx=4.47rad/s、相角裕度γ=−47.1（即Pm ）及截止频率ωc=14.3rad/s，性能指标不满足题目的要求。由图2 可看出原系统是不稳定的，因此必须对原系统进行校正。
(3)原系统对数幅频特性曲线上斜率由−20dB/dec变为−40dB/dec的交接频率为2rad/s，因此选取校正网络超前部分的交接频率1/T2=2rad/s，即T2=0.5。
(4)考虑到要求中频区斜率为−20dB/dec，并且设计要求ωc ≥3.2rad/s，故 ωc 应在3.2~10rad/s范围内选取，由于中频区应占一定的宽度，故选 ωc=3.5rad/s。
MATLAB 程序如下：
[mag,phase,w]=bode(sys1,3.5) 程序运行后，可得再由式（3），可解 α=42.1454，α取43。
（5）根据相角裕度γ≥45的要求，求解T1。此时，滞后-超前校正网络的传递函数为
MATLAB 程序如下：
num1=180; den1=conv([1 0], conv([0.1 1], [0.5 1]));
sys1=tf(num1, den1); sys2=tf([0.67 1], [28.81 1]);
sys3=tf([0.5 1],[1/86 1]);sope=sys1*sys2*sys3;margin(sope); figure(2);
sope2=feedback(sope,1);step(sope2);
程序运行后，可得校正后系统的Bode 图如图3所示，还有校正后系统的阶跃响应曲线如图4所示。由图3可读出数据：幅值裕度h=25.7dB（即Gm ）穿越频率ωx=26.8rad/s、相角裕度γ=45.4（即Pm ）及截止频率ωc=4.11rad/s，各项性能指标均满足要求。由图4 可得到时域性能指标：超调量σ%=32.2%，峰值
时间tp=0.708s，调节时间ts=1.59s，可知校正后系统的性能得到了很好的改善。
4 结论
本文给出了基于 MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计过程，并通过仿真实例说明了借助于MATLAB 软件来进行滞后-超前校正器的设计是非常的便捷。
事实上，可以充分的利用MATLAB 软件中的控制系统工具箱和Simulink 工具箱来解决控制中的一系列问题，可以大大提高分析和设计控制系统的效率。 本文作者创新点：给出了基于MATLAB 软件的滞后-超前校正器的设计过程并通过仿真实例验证了该方法比传统的方法节省了相当大的工作量.