学科：数学
教学内容：圆的周长和面积
【重点难点提要】 重点：
理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，正确地计算圆的周长与面积。 难点： 1．理解圆周率的意义，小学阶段的教材中π值取3.14是为了便于计算而取它的近似值。 2．注意区分圆的周长与面积意义以及计算结果使用的单位名称。
【知识方法归纳】 1．圆周长的意义
圆周围一圈的长度，是这个圆的周长。如果用细绳沿着圆周绕一圈，再把这一周细绳拉直，这条线段的长度就是这个圆的周长。圆的周长用字母C表示。
2．圆周率
任何一个圆的周长，都是它的直径的3倍多一点。如果用圆周长除以这圆的直径，得出的商是一个固定的数。我们把它叫作圆周率，用字母π表示。圆周率是个无限不循环小数。小学数学教材中的π的值取3.14，但不能说π就是3.14。
3．圆周长的计算方法
圆周长的计算方法是用直径乘圆周率，字母公式是C=πd 或C=2πr。计算结果是长度，注意用长度单位。
4．圆面积的意义和计算方法
2
圆周所围平面的大小叫作圆面积。圆面积的计算公式是：S=πr(π是圆周率，r是圆的半径)。
5．环形面积的意义及其计算公式
两个半径不同的同心圆所包围的平面部分叫做环形。如上图，环形面积的计算公式是：S=(R-r)π（R为外圆的半径，r为内圆的半径）
【典型范例剖析】
例1 圆的周长是12.56厘米，它的半径是（ ）厘米。
C
2
2
分析：已知圆的周长，要求圆的半径，可以用C=πd，推导出d=或C=2πr，推导出
C
r=2，所以它的半径是：
12.56÷3.14÷2＝2(厘米)
例2 在一直径是30厘米的木桶外箍两个铁圈，需要铁条多少厘米(接头不计算) 分析：木桶底面圆的周长，就是一个外箍铁圈的长度再乘2，就是两个外箍的铁圈。 解：3.14×30×2 ＝94.2×2
＝188.4（厘米）
答：需要铁条188.4厘米。 例3 求下图半圆的周长。（单位：厘米）
分析：半圆的周长是由这个圆周长的一半和直径围成的长度。因此，半圆周长＝πr+d。 解：3.14×5+5×2=25.7(厘米) 答；半圆的周长是25.7厘米。
例4 小红用皮尺量得一棵树横截面的周长是6.28分米，这棵树的横截面的面积是多少？
分析：树杆横截面的周长可以理解为圆的周长，所求树的横截面的面积即求圆的面积。
C
解：r=÷2=6.28÷3.14÷2=1(分米) S=πr
=3.14×1 =3.14(平方分米)
答：这棵树横截面的面积是3.14平方分米。
例5 一个环形，内圆直径是6厘米，外圆直径是10厘米，求这个环形的面积。
分析：环形面积等于大圆面积减去小圆的面积。先分别求出大小两个圆的半径，再求环形面积。
解：R=10÷2=5（厘米） r=6÷2=3(厘米)
S=（5－3）×3.14 =(25-9)×3.14 =16×3.14
=50.24(平方厘米)
答：环形面积是50.24平方厘米。
例6 一个圆内接最大正方形的面积是36平方厘米，求这个圆的面积。
2
22
2
分析：先求出半径。题中的半径是正方形对角线的一半。连接正方形的对角线，把正方形等分成4个直角三角形，用36÷4=9（平方厘米），得每个三角形的面积。用这个三角形的面积乘2，得到圆的半径乘半径的积，即r=9×2=18，以此代入求面积的公式，得到圆的面积。
解：r2=36÷2=18（平方厘米）
2
S=πr =3.14×18
=56.52(平方厘米)
答：这个圆的面积是56.52平方厘米。
【易错题解举例】
例1 用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是多少厘米？ 错误：12.56÷3.14=4（厘米）
分析：求圆规两脚间的距离就是求圆的半径。上边错误的原因是只求出了圆的直径。 改正：12.56÷3.4÷2=2(厘米)
答：圆规两脚间的距离是2厘米。 例2 A圆直径是B圆直径的2倍，说明A圆半径也是B圆半径的2倍，A圆面积是B圆面积是B圆面积的2倍。
改正：设B圆直径为x，A圆直径为2x。
2
答：A圆面积是B圆面积的4倍。
【解题技巧指点】
1．圆周率（π）值并不等于3.14
根据圆周率的意义，π的值是一个无限不循环小数。小学阶段的教材中π值取3.14是为了便于计算而取它的近似值。
2．熟记3.14的1~9倍的值，提高计算能力
计算圆的周长和圆的面积，都会用到π值（取3.14）的计算。如果熟练记住了π=3.14，2π=6.28，3π=9.42，„，9π=29.26。遇到π与两位数相乘就能很快算出得数。如：
3.14×15=3.14×10+3.14×5=31.4+15.7=47.1
3．利用公式计算圆面积要注意：先算乘方，再与π的值相乘。
4．不要把求圆的周长和圆面积的公式搞错。圆周长是一条线段，可以度量，计算结果用长度单位；而圆面积是指圆面的大小，计算结果使用面积单位。
5．已知圆的周长，要求该圆的面积。是先通过圆周长求出该圆的直径，直径除以2得半径，然后根据圆面积公式算出面积。
【课本难题提示】 p98—99 练习二十三
6．铁丝的长度是3个周长的长度，算式：3.14×12×2×3=226.08(米) 7．压路机前进的米数就是6个周长的长度
前轮周长：1.32×3.14=4.1448(米) 前进米数：4.1448×6≈25(米) 8．这个圆柱直径是：3.77÷3.14≈1.2（米）
11．每分钟行的路程是100个周长的长度。求时间就用路程÷速度 算式：1100÷（3.14×71×100）≈5(分)
13．用总长度除以每周的长度，就是要转动的周数。 算式：3.14÷(3.14×40÷100)=2.5(周)
14．由于中间是正方形，所以半圆的直径是50米。 算式：3.14×50+50×2＝257(米)
45
15．分针一小时走的路程是一个周长，45分走的路程是周长的60
45
算式：2×3.14×20×60＝94.2(厘米)
思考题：两个小半圆合起来成为一个圆 3.14×5+3.14×5×2÷2＝31.4（厘米） P103—104 练习二十四
1．答案：（1）3.14×6＝113.04(平方米) (2)3.14×4.5＝63.585(平方厘米)
(3)3.14×10＝314（平方厘米）
4．由于面积公式：3.14×(40÷2)平方厘米＝1256平方厘米=0.1256平方米 5．求的是以15米为半径的圆面积：算式：3.14×15＝706.5（平方米） 7．半径：37.68÷3.14÷2＝6（米） 面积：3.14×6＝113.04（平方米） 11．周长：3.14×8＝25.12（米） 面积：3.14×(8÷2)＝50.24（平方米） 14．正方形面积：10×10＝100（平方厘米）
43
2
22
2
2
2
2
最大圆的面积：3.14×(10÷2)＝78.5（平方厘米） (100-78.5) ÷100＝200 16．（1）围成的正方形面积：3.14×(10÷4)＝19.625（平方厘米） （2）围成的圆面积：3.14×(10÷2)=78.5 所以围成的圆面积大
2
2
2
【同步达纲练习】 1．填空
（1）一个圆的半径是3厘米，那么它的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 （2）如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，它的周长就要增加（ ）厘米。 （3）半径是8分米的轮盘，它的面积是（ ）平方分米。 （4）一个直径是6米的圆形花坛，占地面积是（ ），它的周长是（ ）。 （5）一个直径是20厘米的半圆形，它的周长是（ ），面积是（ ）。 2．判断（正确的打“√”，不正确的打“×”）
（1）圆的周长等于各自圆直径的π倍。 （ ） （2）π的值等于3.14 （ ） （3）圆的周长是12.56厘米，它的半径是2厘米。 （ ） （4）半圆的周长，恰好是与它直径相等的圆周长的一半。 （ ） （5）甲圆的半径正好是乙圆的直径，乙圆的周长正好是甲圆的2倍 （ ） （6）圆半径是2，它的周长和面积的数值都是4π。 （ ） （7）周长相等的两个圆，面积也一定相等。 （ ） （8）如果圆的半径扩大2倍，它的周长也扩大2倍，面积扩大4倍。 （ ） 3．选择（将正确答案的序号填在括号里）
（1）两个圆的周长不相等，是因为它们的（ ）。 ①圆心的位置不一样 ②直径的长短不一样 ③圆周率大小不一样 ④半径的长短不一样
（2）下图从A到B有两条路，左面一条路与右面一条路相比较。（ ）
①左面一条路线长 ②右面一条路线长 ③两条路线同样长 ④无法确定哪条长
（3）下面四个图形中，请指出（ ）图形中的阴影部分与另三个图形的阴影部分面积不同。
4．应用题
（1）一根钢丝长15.7米，绕成100个圈，每个圆形线圈的周长是多少厘米？它的直径是多少厘米？半径是多少厘米？
（2）在一个底面半径为20厘米的圆形水桶外面打上一个铁箍，接头部分为0.4分米，需要用多长的铁丝？
（3）求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）
（4）有一个直径是18米的半圆形花坛，计划在花坛的周围围一圈铁栏杆，这条铁栏杆长是多少米？
（5）两圆半径之和是10米，已知大圆周长是37.8米，那么小圆的周长是多少米？
1
（6）甲圆半径是乙圆的3，那么，乙圆周长是甲圆周长的多少倍？
5．求下面各圆环的面积。（单位：厘米）
6．求下图中阴影部分的面积和周长。（单位：厘米）
7．图中AO=BO=2厘米，A、B两点分别是半径的中点，求阴影部分的面积。
8．圆形花坛周围有一条环形小路，花坛直径8米，小路宽2米，这条环形小路占地多少平方米？
【思维拓展训练】
1． 1． 在一块长6分米，宽4分米的木板上挖掉一个最大的圆，这个圆的周长是多少分米？
2
2． 2． 一个长方形的周长是6.28分米，相当于一个圆周长的3，这个圆的半径是多少分米？
参考答案
【同步达纲练习】 1．填空
（1）6；18.84；（2）12.56 （3）200.96 （4）28.26平方米；18.84米 （5）62.8厘米；314平方厘米 2．判断
（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×（6）√（7）×（8）√ 3．选择
（1）②④ （2）③ （3）④
4．应用题
C
d
0.157
（1）周长C=15.7÷100=0.157（米）；直径d==3.14=0.05（米），0.05米=5厘米；半径r=2=2.5厘米；
（2）铁丝长l=2πr+l接头=2×3.14×20厘米+0.4分米=165.6厘米
1
（3）阴影部分周长等于2个4圆弧长加上两个圆半径，也就是半圆弧长加上直径 C阴影=πr+d=3.14×4+8=20.56（厘米）
（4）C杆=πr+d=3.14×18÷2+18=46.26（米） （5）R大圆=C÷(2π)=37.8÷3.14÷2=6（米），r=10－R=4（米）； C小圆=2πr=2×3.14×4=25.12(米
)
4
5．(1)S=πR－πr=π[(2+3)－2]=3.14×(25－4)=65.94(平方厘米) (2)S=πR2－πr2=π（52－32）=3.14×16=50.24(平方厘米) 6．（1）阴影半圆面积=空白半圆 ∴S=20×10=200（平方厘米）
1
2
2222
1
（2）同上，S=2πr=2×3.16×16=25.12(平方厘米) 7．阴影面积等于半圆面积减去二个小三角形的面积
1
1
小△
1
8
8
S阴=2πr2=-2S=2π（2×2）2－2×2×2×4=42.24（平方厘米）
8．S=πR2－πr2=3.14×[(2+2)2－(2)2]=3.14×20=62.8(平方米)
【思维拓展训练】
1．解：最大圆直径是4分米 C=2πr=3.14×4=12.56(分米)
2
2
2．解：C圆=6.28÷3=3×6.28（分米） 6.28r=2=23.14=1.5（分米）
C
3
学科：数学
教学内容：圆的周长和面积
【重点难点提要】 重点：
理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，正确地计算圆的周长与面积。 难点： 1．理解圆周率的意义，小学阶段的教材中π值取3.14是为了便于计算而取它的近似值。 2．注意区分圆的周长与面积意义以及计算结果使用的单位名称。
【知识方法归纳】 1．圆周长的意义
圆周围一圈的长度，是这个圆的周长。如果用细绳沿着圆周绕一圈，再把这一周细绳拉直，这条线段的长度就是这个圆的周长。圆的周长用字母C表示。
2．圆周率
任何一个圆的周长，都是它的直径的3倍多一点。如果用圆周长除以这圆的直径，得出的商是一个固定的数。我们把它叫作圆周率，用字母π表示。圆周率是个无限不循环小数。小学数学教材中的π的值取3.14，但不能说π就是3.14。
3．圆周长的计算方法
圆周长的计算方法是用直径乘圆周率，字母公式是C=πd 或C=2πr。计算结果是长度，注意用长度单位。
4．圆面积的意义和计算方法
2
圆周所围平面的大小叫作圆面积。圆面积的计算公式是：S=πr(π是圆周率，r是圆的半径)。
5．环形面积的意义及其计算公式
两个半径不同的同心圆所包围的平面部分叫做环形。如上图，环形面积的计算公式是：S=(R-r)π（R为外圆的半径，r为内圆的半径）
【典型范例剖析】
例1 圆的周长是12.56厘米，它的半径是（ ）厘米。
C
2
2
分析：已知圆的周长，要求圆的半径，可以用C=πd，推导出d=或C=2πr，推导出
C
r=2，所以它的半径是：
12.56÷3.14÷2＝2(厘米)
例2 在一直径是30厘米的木桶外箍两个铁圈，需要铁条多少厘米(接头不计算) 分析：木桶底面圆的周长，就是一个外箍铁圈的长度再乘2，就是两个外箍的铁圈。 解：3.14×30×2 ＝94.2×2
＝188.4（厘米）
答：需要铁条188.4厘米。 例3 求下图半圆的周长。（单位：厘米）
分析：半圆的周长是由这个圆周长的一半和直径围成的长度。因此，半圆周长＝πr+d。 解：3.14×5+5×2=25.7(厘米) 答；半圆的周长是25.7厘米。
例4 小红用皮尺量得一棵树横截面的周长是6.28分米，这棵树的横截面的面积是多少？
分析：树杆横截面的周长可以理解为圆的周长，所求树的横截面的面积即求圆的面积。
C
解：r=÷2=6.28÷3.14÷2=1(分米) S=πr
=3.14×1 =3.14(平方分米)
答：这棵树横截面的面积是3.14平方分米。
例5 一个环形，内圆直径是6厘米，外圆直径是10厘米，求这个环形的面积。
分析：环形面积等于大圆面积减去小圆的面积。先分别求出大小两个圆的半径，再求环形面积。
解：R=10÷2=5（厘米） r=6÷2=3(厘米)
S=（5－3）×3.14 =(25-9)×3.14 =16×3.14
=50.24(平方厘米)
答：环形面积是50.24平方厘米。
例6 一个圆内接最大正方形的面积是36平方厘米，求这个圆的面积。
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22
2
分析：先求出半径。题中的半径是正方形对角线的一半。连接正方形的对角线，把正方形等分成4个直角三角形，用36÷4=9（平方厘米），得每个三角形的面积。用这个三角形的面积乘2，得到圆的半径乘半径的积，即r=9×2=18，以此代入求面积的公式，得到圆的面积。
解：r2=36÷2=18（平方厘米）
2
S=πr =3.14×18
=56.52(平方厘米)
答：这个圆的面积是56.52平方厘米。
【易错题解举例】
例1 用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是多少厘米？ 错误：12.56÷3.14=4（厘米）
分析：求圆规两脚间的距离就是求圆的半径。上边错误的原因是只求出了圆的直径。 改正：12.56÷3.4÷2=2(厘米)
答：圆规两脚间的距离是2厘米。 例2 A圆直径是B圆直径的2倍，说明A圆半径也是B圆半径的2倍，A圆面积是B圆面积是B圆面积的2倍。
改正：设B圆直径为x，A圆直径为2x。
2
答：A圆面积是B圆面积的4倍。
【解题技巧指点】
1．圆周率（π）值并不等于3.14
根据圆周率的意义，π的值是一个无限不循环小数。小学阶段的教材中π值取3.14是为了便于计算而取它的近似值。
2．熟记3.14的1~9倍的值，提高计算能力
计算圆的周长和圆的面积，都会用到π值（取3.14）的计算。如果熟练记住了π=3.14，2π=6.28，3π=9.42，„，9π=29.26。遇到π与两位数相乘就能很快算出得数。如：
3.14×15=3.14×10+3.14×5=31.4+15.7=47.1
3．利用公式计算圆面积要注意：先算乘方，再与π的值相乘。
4．不要把求圆的周长和圆面积的公式搞错。圆周长是一条线段，可以度量，计算结果用长度单位；而圆面积是指圆面的大小，计算结果使用面积单位。
5．已知圆的周长，要求该圆的面积。是先通过圆周长求出该圆的直径，直径除以2得半径，然后根据圆面积公式算出面积。
【课本难题提示】 p98—99 练习二十三
6．铁丝的长度是3个周长的长度，算式：3.14×12×2×3=226.08(米) 7．压路机前进的米数就是6个周长的长度
前轮周长：1.32×3.14=4.1448(米) 前进米数：4.1448×6≈25(米) 8．这个圆柱直径是：3.77÷3.14≈1.2（米）
11．每分钟行的路程是100个周长的长度。求时间就用路程÷速度 算式：1100÷（3.14×71×100）≈5(分)
13．用总长度除以每周的长度，就是要转动的周数。 算式：3.14÷(3.14×40÷100)=2.5(周)
14．由于中间是正方形，所以半圆的直径是50米。 算式：3.14×50+50×2＝257(米)
45
15．分针一小时走的路程是一个周长，45分走的路程是周长的60
45
算式：2×3.14×20×60＝94.2(厘米)
思考题：两个小半圆合起来成为一个圆 3.14×5+3.14×5×2÷2＝31.4（厘米） P103—104 练习二十四
1．答案：（1）3.14×6＝113.04(平方米) (2)3.14×4.5＝63.585(平方厘米)
(3)3.14×10＝314（平方厘米）
4．由于面积公式：3.14×(40÷2)平方厘米＝1256平方厘米=0.1256平方米 5．求的是以15米为半径的圆面积：算式：3.14×15＝706.5（平方米） 7．半径：37.68÷3.14÷2＝6（米） 面积：3.14×6＝113.04（平方米） 11．周长：3.14×8＝25.12（米） 面积：3.14×(8÷2)＝50.24（平方米） 14．正方形面积：10×10＝100（平方厘米）
43
2
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2
2
2
2
最大圆的面积：3.14×(10÷2)＝78.5（平方厘米） (100-78.5) ÷100＝200 16．（1）围成的正方形面积：3.14×(10÷4)＝19.625（平方厘米） （2）围成的圆面积：3.14×(10÷2)=78.5 所以围成的圆面积大
2
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【同步达纲练习】 1．填空
（1）一个圆的半径是3厘米，那么它的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 （2）如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，它的周长就要增加（ ）厘米。 （3）半径是8分米的轮盘，它的面积是（ ）平方分米。 （4）一个直径是6米的圆形花坛，占地面积是（ ），它的周长是（ ）。 （5）一个直径是20厘米的半圆形，它的周长是（ ），面积是（ ）。 2．判断（正确的打“√”，不正确的打“×”）
（1）圆的周长等于各自圆直径的π倍。 （ ） （2）π的值等于3.14 （ ） （3）圆的周长是12.56厘米，它的半径是2厘米。 （ ） （4）半圆的周长，恰好是与它直径相等的圆周长的一半。 （ ） （5）甲圆的半径正好是乙圆的直径，乙圆的周长正好是甲圆的2倍 （ ） （6）圆半径是2，它的周长和面积的数值都是4π。 （ ） （7）周长相等的两个圆，面积也一定相等。 （ ） （8）如果圆的半径扩大2倍，它的周长也扩大2倍，面积扩大4倍。 （ ） 3．选择（将正确答案的序号填在括号里）
（1）两个圆的周长不相等，是因为它们的（ ）。 ①圆心的位置不一样 ②直径的长短不一样 ③圆周率大小不一样 ④半径的长短不一样
（2）下图从A到B有两条路，左面一条路与右面一条路相比较。（ ）
①左面一条路线长 ②右面一条路线长 ③两条路线同样长 ④无法确定哪条长
（3）下面四个图形中，请指出（ ）图形中的阴影部分与另三个图形的阴影部分面积不同。
4．应用题
（1）一根钢丝长15.7米，绕成100个圈，每个圆形线圈的周长是多少厘米？它的直径是多少厘米？半径是多少厘米？
（2）在一个底面半径为20厘米的圆形水桶外面打上一个铁箍，接头部分为0.4分米，需要用多长的铁丝？
（3）求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）
（4）有一个直径是18米的半圆形花坛，计划在花坛的周围围一圈铁栏杆，这条铁栏杆长是多少米？
（5）两圆半径之和是10米，已知大圆周长是37.8米，那么小圆的周长是多少米？
1
（6）甲圆半径是乙圆的3，那么，乙圆周长是甲圆周长的多少倍？
5．求下面各圆环的面积。（单位：厘米）
6．求下图中阴影部分的面积和周长。（单位：厘米）
7．图中AO=BO=2厘米，A、B两点分别是半径的中点，求阴影部分的面积。
8．圆形花坛周围有一条环形小路，花坛直径8米，小路宽2米，这条环形小路占地多少平方米？
【思维拓展训练】
1． 1． 在一块长6分米，宽4分米的木板上挖掉一个最大的圆，这个圆的周长是多少分米？
2
2． 2． 一个长方形的周长是6.28分米，相当于一个圆周长的3，这个圆的半径是多少分米？
参考答案
【同步达纲练习】 1．填空
（1）6；18.84；（2）12.56 （3）200.96 （4）28.26平方米；18.84米 （5）62.8厘米；314平方厘米 2．判断
（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×（6）√（7）×（8）√ 3．选择
（1）②④ （2）③ （3）④
4．应用题
C
d
0.157
（1）周长C=15.7÷100=0.157（米）；直径d==3.14=0.05（米），0.05米=5厘米；半径r=2=2.5厘米；
（2）铁丝长l=2πr+l接头=2×3.14×20厘米+0.4分米=165.6厘米
1
（3）阴影部分周长等于2个4圆弧长加上两个圆半径，也就是半圆弧长加上直径 C阴影=πr+d=3.14×4+8=20.56（厘米）
（4）C杆=πr+d=3.14×18÷2+18=46.26（米） （5）R大圆=C÷(2π)=37.8÷3.14÷2=6（米），r=10－R=4（米）； C小圆=2πr=2×3.14×4=25.12(米
)
4
5．(1)S=πR－πr=π[(2+3)－2]=3.14×(25－4)=65.94(平方厘米) (2)S=πR2－πr2=π（52－32）=3.14×16=50.24(平方厘米) 6．（1）阴影半圆面积=空白半圆 ∴S=20×10=200（平方厘米）
1
2
2222
1
（2）同上，S=2πr=2×3.16×16=25.12(平方厘米) 7．阴影面积等于半圆面积减去二个小三角形的面积
1
1
小△
1
8
8
S阴=2πr2=-2S=2π（2×2）2－2×2×2×4=42.24（平方厘米）
8．S=πR2－πr2=3.14×[(2+2)2－(2)2]=3.14×20=62.8(平方米)
【思维拓展训练】
1．解：最大圆直径是4分米 C=2πr=3.14×4=12.56(分米)
2
2
2．解：C圆=6.28÷3=3×6.28（分米） 6.28r=2=23.14=1.5（分米）
C
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