与圆有关的位置关系

专题七 圆

第二讲 与圆有关的位置关系

考点互动考点一 点与圆的位置关系 【必记必背】

点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外.点到圆心的距离等于半径时，点在圆上.点到圆心的距离小于半径时，点在圆内. 【活学活用】

例1.（2013，云南普洱模拟）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）． （1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；

（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系． 【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图． 【专题】探究型．

【解析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可； （2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可． 解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上； （2）连接OD，

设过点P、D的直线解析式为y=kx+b， ∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2）， ∴解得

，

，

∴此直线的解析式为y=2x+2；

设过点D、E的直线解析式为y=ax+c， ∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）， ∴

，

解得，

∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，

∵2×（﹣）=﹣1， ∴PD⊥PE， ∵点D在⊙P上， ∴直线l与⊙P相切．

【命题立意】本题考查的是直线与圆的位置关系，

根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

考点二 直线与圆的位置关系 【必记必背】

直线与圆的位置关系：直线与圆相离 d>r；直线与圆相切 d=r；直线与圆相交 d

根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r； 例2、（2013，云南红河模拟）直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）

A、r6 B、r6 C、r6 D、r6 答案：C

【解析】当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C。

练习1 （2013，黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A． 2cm B． 2.4cm C． 3cm D． 4cm 【考点】 直线与圆的位置关系．

【解析】 R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．

解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42

=25， ∴AB=5；

又∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=R；

∵S△ABC=AC，BC=AB，r；

∴r=2.4cm， 故选B．

【命题立意】 本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点 考点三 切线的性质与判定 【必记必背】 1.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.（3）圆的切线垂直于经过切点的半径.

2.切线的判定：过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线.

3.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

【活学活用】

证明直线是圆的切线有两种题型： 一种是当知道圆的切点时，连接圆心与切点，证明直线与这条半径垂直；另一种当不知道切点时，应该先过圆心向直线做垂线，然后证明垂足在圆上. 例3 （2013，云南曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且

．设过点D的

切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．

（1）求证：DF⊥AF． （2）求OG的长．

【考点】 切线的性质． 【解析】 （1）连接BD，根据

，可得

∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°；

（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG． 解：（1）连接BD， ∵

，

∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°， ∴∠ADF=∠ABD=60°， ∴∠CAD+∠ADF=90°， ∴DF⊥AF． （2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10， ∴BD=5， ∵

=

，

∴OG垂直平分AD， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG=BD=．

【命题立意】 本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质．

考点激活

（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，1.（2013，云南德宏模拟）已知AB是⊙O的直径，即可证得AD=CD． 直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C． ∴∠ADB=90°， （1）求∠BAC的度数； ∴∠CDB=90°，BD⊥AC， （2）求证：AD=CD．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB=CB， ∵直线BC与⊙O相切于点B， ∴∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠C=45°；

（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC， ∴AD=CD．

练习2． （2013，云南昭通）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线． 【考点】 切线的判定；圆周角定理

【解析】 （1）根据“同弧所对的圆周角相等”可以得到∠ADC=∠B=60°； （2）欲证明AE是⊙O的切线，只需证明BA⊥AE即可． 解：（1）∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角 ∴∠ADC=∠B=60°．

（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC=30°． ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即 BA⊥AE． ∴AE是⊙O的切线．

【命题立意】 本题考查了切线的判定与圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

【解析】 （1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；

2.（2013，云南西双版纳模拟）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，

3.（2013福省福州 ）如图，在△ABC中，以AB为劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是⊙O的切线．

【解析】 （1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长； （2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．

解答： （1）解：连接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴弧BC与弧AC的度数为：60°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC， ∴BC=CP， ∴∠CBP=∠CPB， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠CBP=30°， ∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°， ∴OB⊥BP， ∵点B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切线．

直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE= （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求

的长．

【解析】（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可； （2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；

其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=

=

；

最后，由弧长公式l=

计算

的长．

解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=， ∴ME2+AE2=AM2=4， ∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接ON． 在Rt△AEM中，sinA==

1

2

， ∴∠A=30°． ∵AB⊥MN， ∴=

，EN=EM=1，

∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt△OEN中，sin∠EON=

，

∴ON=

=， ∴的长度是：

，

=

．

4.（2013甘肃兰州 ）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

【解析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径． 解答：（1）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵∠OAD=∠DAE， ∴∠ODA=∠DAE． ∴DO∥MN． ∵DE⊥MN， ∴∠ODE=∠DEM=90°． 即OD⊥DE． ∵D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3， ∴

．

连接CD．

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AED=90°． ∵∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE． ∴．

∴

．

则AC=15（cm）．

∴⊙O的半径是7.5cm．

5.（2011，云南昆明）如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交与点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）∠F=30°时，求

SOFES的值？

四边形AOEC

答案：（1）证明：连接OE，∵AE平分∠FAC，∴∠CAE=∠OAE， 又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，∴OE∥AC，

∴∠OEF=∠ACF，又∵AC⊥EF，

∴∠OEF=∠ACF=90°，

∴OE⊥CF，又∵点E在⊙O上，∴CF是⊙O的切线； （2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，∴OF=2OE 又OA=OE，∴AF=3OE，又∵OE∥AC，∴△OFE∽△AFC， ∴

OEOFSOFEAC2

AF3

，∴

S4

AFC9

，

SOFES4

四边形AOEC

5

．

6.（2013，宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．

（1）求证：AC与⊙O相切． （2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

证明：（1）连接OE，

∵OD=OE， ∴∠ODE=∠OED， ∵BD=BF， ∴∠ODE=∠F， ∴∠OED=∠F， ∴OE∥BF， ∴∠AEO=∠ACB=90°， ∴AC与⊙O相切；

∴△AOE∽△ABC， ∴

，

设⊙O的半径为r，则

，

解得：r=4，

∴⊙O的面积π×42=16π． 7.（2013，山东滨州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．

解：连接DE，

∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB=90°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， 又∵OB=OE， ∴∠ABC=∠OEB， ∵∠FEC+∠C=90°， ∴∠FEC+∠OEB=90°， ∴OE⊥EF， ∵OE是⊙O半径， ∴直线EF是⊙O的切线． 8、（2013，山东德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．

（a≠0）经过点A（4，0）与点（﹣2，6）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动，同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长．当PQ⊥AD时，求运动时间t的值． 解：（1）将点A（4，0）和点（﹣2，6）的坐标代入y=a（x﹣2）2+m中，得方程组，

解：（1）连接BD，则∠DBE=90°， ∵四边形BCOE为平行四边形， ∴BC∥OE，BC=OE=1，

在Rt△ABD中，C为AD的中点， ∴BC=AD=1， 则AD=2；

（2）连接OB，

∵BC∥OD，BC=OD，

∴四边形BCDO为平行四边形， ∵AD为圆O的切线， ∴OD⊥AD，

∴四边形BCDO为矩形， ∴OB⊥BC，

则BC为圆O的切线．

解得，

故抛物线的解析式为

y=x2﹣2x．

（2）如图所示，连接AC交OB于E．作OF⊥AD于F， ∵直线m切⊙C于点A， ∴AC⊥m． ∵弦AB=AO， ∴=

．

∴AC⊥OB， ∴m∥OB． ∴∠OAD=∠AOB． ∵OA=4，tan∠AOB=，

9.（2013，云南昭

通）如图，在⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠

AOB=，抛物线y=a（x﹣2）2+m

则OF=OA，sin∠OAD=4×=2.4．

t秒时，OP=t，DQ=2t， 若PQ⊥AD，则 FQ=OP=t．DF=DQ﹣FQ=t． ∴△ODF中，t=DF=

=1.8（秒）．

∴OD=OA，tan∠OAD=4×=3．

专题七 圆

第二讲 与圆有关的位置关系

考点互动考点一 点与圆的位置关系 【必记必背】

点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径时，点在圆外.点到圆心的距离等于半径时，点在圆上.点到圆心的距离小于半径时，点在圆内. 【活学活用】

例1.（2013，云南普洱模拟）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）． （1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；

（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系． 【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图． 【专题】探究型．

【解析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可； （2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可． 解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上； （2）连接OD，

设过点P、D的直线解析式为y=kx+b， ∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2）， ∴解得

，

，

∴此直线的解析式为y=2x+2；

设过点D、E的直线解析式为y=ax+c， ∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）， ∴

，

解得，

∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，

∵2×（﹣）=﹣1， ∴PD⊥PE， ∵点D在⊙P上， ∴直线l与⊙P相切．

【命题立意】本题考查的是直线与圆的位置关系，

根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

考点二 直线与圆的位置关系 【必记必背】

直线与圆的位置关系：直线与圆相离 d>r；直线与圆相切 d=r；直线与圆相交 d

根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r； 例2、（2013，云南红河模拟）直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）

A、r6 B、r6 C、r6 D、r6 答案：C

【解析】当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C。

练习1 （2013，黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A． 2cm B． 2.4cm C． 3cm D． 4cm 【考点】 直线与圆的位置关系．

【解析】 R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．

解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42

=25， ∴AB=5；

又∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=R；

∵S△ABC=AC，BC=AB，r；

∴r=2.4cm， 故选B．

【命题立意】 本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点 考点三 切线的性质与判定 【必记必背】 1.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.（3）圆的切线垂直于经过切点的半径.

2.切线的判定：过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线.

3.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

【活学活用】

证明直线是圆的切线有两种题型： 一种是当知道圆的切点时，连接圆心与切点，证明直线与这条半径垂直；另一种当不知道切点时，应该先过圆心向直线做垂线，然后证明垂足在圆上. 例3 （2013，云南曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且

．设过点D的

切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．

（1）求证：DF⊥AF． （2）求OG的长．

【考点】 切线的性质． 【解析】 （1）连接BD，根据

，可得

∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°；

（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG． 解：（1）连接BD， ∵

，

∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°， ∴∠ADF=∠ABD=60°， ∴∠CAD+∠ADF=90°， ∴DF⊥AF． （2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10， ∴BD=5， ∵

=

，

∴OG垂直平分AD， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG=BD=．

【命题立意】 本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质．

考点激活

（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，1.（2013，云南德宏模拟）已知AB是⊙O的直径，即可证得AD=CD． 直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C． ∴∠ADB=90°， （1）求∠BAC的度数； ∴∠CDB=90°，BD⊥AC， （2）求证：AD=CD．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB=CB， ∵直线BC与⊙O相切于点B， ∴∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠C=45°；

（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC， ∴AD=CD．

练习2． （2013，云南昭通）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线． 【考点】 切线的判定；圆周角定理

【解析】 （1）根据“同弧所对的圆周角相等”可以得到∠ADC=∠B=60°； （2）欲证明AE是⊙O的切线，只需证明BA⊥AE即可． 解：（1）∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角 ∴∠ADC=∠B=60°．

（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC=30°． ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即 BA⊥AE． ∴AE是⊙O的切线．

【命题立意】 本题考查了切线的判定与圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

【解析】 （1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；

2.（2013，云南西双版纳模拟）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，

3.（2013福省福州 ）如图，在△ABC中，以AB为劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是⊙O的切线．

【解析】 （1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长； （2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．

解答： （1）解：连接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴弧BC与弧AC的度数为：60°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC， ∴BC=CP， ∴∠CBP=∠CPB， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=∠OCB=60°， ∴∠CBP=30°， ∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°， ∴OB⊥BP， ∵点B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切线．

直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE= （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求

的长．

【解析】（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可； （2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；

其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=

=

；

最后，由弧长公式l=

计算

的长．

解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=， ∴ME2+AE2=AM2=4， ∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接ON． 在Rt△AEM中，sinA==

1

2

， ∴∠A=30°． ∵AB⊥MN， ∴=

，EN=EM=1，

∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt△OEN中，sin∠EON=

，

∴ON=

=， ∴的长度是：

，

=

．

4.（2013甘肃兰州 ）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

【解析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径． 解答：（1）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵∠OAD=∠DAE， ∴∠ODA=∠DAE． ∴DO∥MN． ∵DE⊥MN， ∴∠ODE=∠DEM=90°． 即OD⊥DE． ∵D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3， ∴

．

连接CD．

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AED=90°． ∵∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE． ∴．

∴

．

则AC=15（cm）．

∴⊙O的半径是7.5cm．

5.（2011，云南昆明）如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交与点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）∠F=30°时，求

SOFES的值？

四边形AOEC

答案：（1）证明：连接OE，∵AE平分∠FAC，∴∠CAE=∠OAE， 又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，∴OE∥AC，

∴∠OEF=∠ACF，又∵AC⊥EF，

∴∠OEF=∠ACF=90°，

∴OE⊥CF，又∵点E在⊙O上，∴CF是⊙O的切线； （2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，∴OF=2OE 又OA=OE，∴AF=3OE，又∵OE∥AC，∴△OFE∽△AFC， ∴

OEOFSOFEAC2

AF3

，∴

S4

AFC9

，

SOFES4

四边形AOEC

5

．

6.（2013，宁夏）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．

（1）求证：AC与⊙O相切． （2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

证明：（1）连接OE，

∵OD=OE， ∴∠ODE=∠OED， ∵BD=BF， ∴∠ODE=∠F， ∴∠OED=∠F， ∴OE∥BF， ∴∠AEO=∠ACB=90°， ∴AC与⊙O相切；

∴△AOE∽△ABC， ∴

，

设⊙O的半径为r，则

，

解得：r=4，

∴⊙O的面积π×42=16π． 7.（2013，山东滨州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．

解：连接DE，

∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB=90°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， 又∵OB=OE， ∴∠ABC=∠OEB， ∵∠FEC+∠C=90°， ∴∠FEC+∠OEB=90°， ∴OE⊥EF， ∵OE是⊙O半径， ∴直线EF是⊙O的切线． 8、（2013，山东德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．

（a≠0）经过点A（4，0）与点（﹣2，6）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动，同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长．当PQ⊥AD时，求运动时间t的值． 解：（1）将点A（4，0）和点（﹣2，6）的坐标代入y=a（x﹣2）2+m中，得方程组，

解：（1）连接BD，则∠DBE=90°， ∵四边形BCOE为平行四边形， ∴BC∥OE，BC=OE=1，

在Rt△ABD中，C为AD的中点， ∴BC=AD=1， 则AD=2；

（2）连接OB，

∵BC∥OD，BC=OD，

∴四边形BCDO为平行四边形， ∵AD为圆O的切线， ∴OD⊥AD，

∴四边形BCDO为矩形， ∴OB⊥BC，

则BC为圆O的切线．

解得，

故抛物线的解析式为

y=x2﹣2x．

（2）如图所示，连接AC交OB于E．作OF⊥AD于F， ∵直线m切⊙C于点A， ∴AC⊥m． ∵弦AB=AO， ∴=

．

∴AC⊥OB， ∴m∥OB． ∴∠OAD=∠AOB． ∵OA=4，tan∠AOB=，

9.（2013，云南昭

通）如图，在⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠

AOB=，抛物线y=a（x﹣2）2+m

则OF=OA，sin∠OAD=4×=2.4．

t秒时，OP=t，DQ=2t， 若PQ⊥AD，则 FQ=OP=t．DF=DQ﹣FQ=t． ∴△ODF中，t=DF=

=1.8（秒）．

∴OD=OA，tan∠OAD=4×=3．