第六讲空间几何体及线面平行关系
教学目标
【考点1】三视图 【例1】某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的各个面中, 最大的面积是( )
B. 1
【例2】某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆), 则该几何体的表面积为( ) A. 5π+4 B. 8π+4 C. 5π+12 D.
8π+12
【例3】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为( )
1
B
A ．C
D
变式训练
1. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） A.
8-
2π3
B. 8-π3
C. 8-2π
D. 2π3
2. 如图, 在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 点P 是面
A 1B 1C 1D 1内一点, 则三棱锥P -BCD 的正视图与侧
面积之比为（）
A. 1:1 B. 2:1 C. 2:3 D. 3:2
3. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A. 28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+
视图的
【考点2】球内切与外接的相关计算
【例1】
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )
A
．
12
B ．π C ．π D
．3333
【例2】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π
【例3】在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2, ∠DAB =60, E 为AB 的中点，将∆ADE
与∆BEC 分别沿ED , EC 向上折起，使A , B 重合于点P ，则P -DCE 三棱锥的外接球的体积为( )
A.
436 B. C. D. 272824
变式训练
1. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3, AC =4, ，
AB ⊥AC , AA 1=12，则球O 的半径为_______ A
13 B
． C ． D
．2
2. 已知球的表面积为20π，球面上有A , B , C 三点. 如果AB =AC =2, BC =2，则球心
到平面ABC 的距离为（） A ．1 B ．2
C ．
D ．2
【考点3】线面平行的判定及性质
【例1】如图，四棱锥P -的中点.
（1）证明：PB //平面AEC ； （2）略；
ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD
【例2】如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，
OA =1，OD =2，∆OAB ，∆OAC ，∆ODE ，∆ODF 都是正三角形。
（1）证明直线BC ∥EF ； （2）略；
【例3】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF //平面PEC
【例4】) 如图，四棱锥P -ABCD 的底面边长为8
的正方形，四条侧棱长均为点
G , E , F , H 分别是棱PB , AB , CD , PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC //
平面GEFH .
（1）证明：GH //EF （2）略；
【例5】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5AB 和CD 是
底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60。证明：平面PAB 与平
面PCD 的交线平行于底面
变式训练
1. 下列命题正确的是（）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
ABCD 是等腰梯形，∠DAB =60 , 2. 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面
AB =2CD =2，M 是线段AB 的中点.
求证：C 1M //平面ADD 1；
D A 1
B 1
A
M
B
3. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知∆BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，
E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积；
（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN //平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．
D
M
B
E C
F
A
【考点4】面面平行的判定及性质
【例1】设m , n 是平面α内的两条不同直线；l 1, l 2是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是（）
A. m //β且l 1//α B. m //l 1且n //l 2 C. m //β且n //β D. m //β且n //l 2 【例2】如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, AO ⊥平1面ABCD
, AB =AA 1=（1）证明:平面A 1BD //平面CD 1B 1;
（2）略；
1
A
如图所示，B 为∆ACD 所在平面外一点，M , N , G 分别为∆ABC , ∆ABD , ∆BCD 的【例3】重心．
(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2) 略；
【例4】如图BB 1, CC 1, DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面，A 、B 、C 、D 四点共面. 求证：四边形ABCD 为平行四边形
C
A
D
D C 1
B 1
变式训练
1. 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE =CF =AG ，
求证：EFG //平面ABC
2. 如图所示，在正方体ABCD -A BC D 中，O 为底面ABCD 1111的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在
什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？
3、如图，在三棱柱ABC -A 平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC 1B 1C 1中，M 是AC 11的中点，平面BC 1N =N ．求证：N 为AC 的中点．
过关测
限时：50分钟满分70分
1. （5分）如图．某几何体的正视图(主视图) 是平行四边形，侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
2. （5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（） （A
）1B
）2（C
）1+D
）
3. （5分）在三棱锥A -BCD 中，AB =CD =6, AC =BD =AD =BC =5，则该三棱锥的外接球的表面积为.
4. （5分）
S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）
3C.
2
5. （5分）已知正∆ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1, 点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是________.
7
49C ．π
4
A ．π B ．2π D ．3π
6. （15分）如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B 1，∠BAD=60°. （1）证明：略；
（2）证明：CC 1∥平面A 1BD .
7. （15分）P 为ABCD 所在平面外一点，M , N 分别为AB , PC 的中点，且平面
PAD 平面PBC =l
（1）求证：BC //l ；
（2）MN 与平面PAD 是否平行，试证明你的结论.
8. （15分）已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，G 为线段AB 异于A , B 上任意一点，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明.
S
A
B
C
第七讲垂直与距离体积
教学目标
①了解空间垂直关系，会利用空间垂直判定定理和性质定理证明空间垂直关系； ②理解空间距离和体积的概念，会利用常见几何体和空间向量求解空间距离和体积。
知识点
【考点1】空间垂直
【例1】如图, 在三棱锥S -ABC 中, 平面SAB ⊥平面SBC , AB ⊥BC , AS =AB , 过A 作
AF ⊥SB , 垂足为F , 点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点.
求证: （1）略; （2）BC ⊥SA .
S
E F
G
C
A
【例2】如图，四边形ABCD 是直角梯形，CD //BE , CD ⊥BC ，CD =
1
BE =2，平面2
BCDE ⊥平面ABC ；又已知 ABC 为等腰直角三角形，AB =AC =4, M , F 分别为M , F 的中点.
（1） 略；
（2） 能否在线段EM 上找到一点G ，使得FG ⊥平面BCDE ？若能，请指出G 点的位
置；若不能，请说明理由；
（3） 略；
【例3】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120︒，E , F 是平面ABCD 同一侧的两点，
BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC 。
（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC （2）略；
变式训练
1、如图，四棱锥P -ABCD 中，A B C D 为菱形，∠BCD =120︒，AB =PC =
2，
AP =BP =（1）求证：AB ⊥PC . （2）略；
2. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB //CD , PD =AD ，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且DF =（1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）略；
（3）证明：EF ⊥平面PAB ．
1
AB ，PH 为∆PAD 中AD 边上的高. 2
G
C
A
B
3、四棱锥P -ABCD 中, AB ^AC , AB ^PA , AB //CD , AB =2CD , E , F , G , M , N 分别为
PB , AB , BC , PD , PC 的中点
（2）求证:平面EFG ^平面EMN （1）略；
【考点2】距离问题
【例1】如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB =4, BC =2, CC 1=3, BE =
1.
（1）求BF 的长；（2）略.
C 1
F
B
C
【例2】如图，在多面体，ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB //EF ，
∠EAB =90︒，AB =2，AD =AE =EF =1，且平面ABEF ⊥平面ABCD 。
（1）略；
（2）求点D 到平面BCF 的距离； （3）略。
变式训练
1．已知二面角α-l -β为60︒，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为到
，Q
α的距离为
P 、Q 两点之间距离的最小值为（）
B.2 C. D.4
AB =2，点E 在棱AB 上移动． 2. 如图，在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，AD =AA 1=1，
（1）略；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）略．
【考点3】体积问题
【例1】如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为
PD 的中点．
（1）略；
（2）设二面角D -AE -C 为60︒，AP =
1，AD ，求三棱锥E -ACD 的体积．
【例2】如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD //MA ，
E , G , F 分别为MB , PB , PC 的中点，且AD =PD =2MA .
（1）略;
（2）求三棱锥P -MAB 与四棱锥P -ABCD 的体积比.
【例3】如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ．
四边形ABCD 为梯形，AD //BC ，且AD =2BC ．过A 1, C , D 三点的平面记为α，BB 1与
α的交点为Q ．
（1）略；
A 1
B 1
C 1
D 1
Q
A
D
B
C
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （3）略．
变式训练
1. 如图，三棱柱ABC -A 侧棱垂直底面，∠ABC =90 ，AC =BC =1B 1C 1中，棱AA 1的中点. （1）略
（2）面BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
D
B
A 1
C 1
AA 1, D 是2
1 2. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60，已知
PB =PD =
2，PA =（1）略；
（2）若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积．
3. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点E 在棱CC 1的延长线上且
CC 1=C 1E =BC =
（1）略; （2）略;
1
AB =1. 2
（3）求四面体D 1B 1AC 的体积
过关测
满分：40分限时：50分钟
1. （5分）在三棱锥A -BCD 中, BC =AC , AD =BD 作BE ^CD , E 为垂足，作AH 于H ．求证：AH
2. (5分) 如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1, AA 1=2, M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM
^BE
^平面BCD .
^平面A 1B 1M
3. (5分) 如图, 四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形, ∠BAD =60.
已知
PB =PD =2, PA = . 证明:PC ⊥BD
4．(5分) 已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB =2，AC =BD =1，则CD =（）
A.
23 B. C. D. 1 333
P 到β的距离为5.(5分 ) 已知二面角α-l -β为60︒，动点P 、Q 分别在面α、β内，
Q 到α的距离为
，
P 、Q 两点之间距离的最小值为（）
B.2
C. D.4
6..(5分 ) 如图2，已知多面体ABC -DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF //平面ADGC ，AB =AD =DC =2，AC =EF =1，则该多面体的体积为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
A C
B
D
E F
7. （10分）如图，直三棱柱ABC -A B C ，∠BAC =90
，AB =AC =
' ' '
AA ' =1，点
M , N 分别为A B 和B ' C ' 的中点。
(Ⅰ) 证明：MN ∥平面A ' ACC ' ; (Ⅱ) 求三棱锥A ' -MNC 的体积。
'
第八讲空间角
教学目标
掌握空间中异面直线所成角、直线与平面所成角的大小，以及二面角的求解方法
知识点
【考点1】线线角
【例1】如图所示，已知正四棱锥S -ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（）
A ．90
B ．60
C ．45︒
D ．30︒
a 与b 所成的角是【例2】若a , b , l 是两两异面的直线，
则α的取值范围是（）
π
l 与b 所成的角都是α，l 与a 、，
3
A ．[
π5π
6, 6
]
ππB ．[, ]
32
C ．[
π5π
3, 6
]
ππD ．[, ]
62
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，且点P 不与点D 1重合，【例3】
则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是________
【例4】(2014年江西南昌三模19) 如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且
PA =AD =1, AB =2, ∠PAB =120o , ∠PBC =90o
（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB （2）求直线PC 与直线AB 所成角的余弦值
变式训练
1. 已知异面直线a 与b 所成的角为50，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角均
是30的直线有且只有（）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2. 如图, 正四面体A -BCD （空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中, E , F 分别是棱AD , BC 的中点, 则EF 和AC
所成的角的大小是________.
3. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成60角的面对角线的条数是
A.4条 B.6条 C.8条 D.10条
4.(2010年全国1卷6) 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90o , AB =AC =
AA 1，则异
面直线BA 1与AC 1所成的角等于
(A)30o (B)45o (C)60o (D) 90o
【考点2】线面角
【例2】如图，在三棱锥
ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90, AB =AC =2,
AA 1=4, A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中
点.
（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
（2）求直线A 1B 和平面B B 1C C 1所成的角的正弦值.
【例3】在平面四边形ABCD 中，AB =BD =CD =1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，将∆ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图： （1）求证：AB ⊥CD ；
（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
变式训练
1. 已知三棱锥S -ABC 中, 底面ABC 为边长等于2的等边三角形, SA 垂直于底面ABC ,
SA =3, 那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值是（）
A.
2. 如图,
已知AA 1⊥平面ABC,
3 B. C. D. 4
AB =AC =
3E , F 分别是BC ,? 的中点. AC 1
（Ⅰ）求证:EF∥平面A 1B 1BA ; （Ⅱ）求证:平面AEA 1⊥平面
BCB 1.
（Ⅲ）求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小.
3. 如图，在五棱锥P -ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB //CD , AC //ED , AE //BC
，
∠ABC =45︒，AB =BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形．
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；
P
（3）略．
B
D
【考点3】二面角的求解
【例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ，点E 是PD 的中点. （1）求证：AC ⊥PB ； （2）求证：PB //平面AEC ；
（3）求二面角E -AC -B 的大小.
【例2】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，
BE ⊥EC , AB =BE =EC =2，G , F 分别是线段BE , DC 的中点.
（1）求证：GF //平面ADE ；
（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
变式训练
1. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB =90，0BC =1, AC =CC 1=2.
（1）证明：AC 1⊥A 1B ；
（2）设直线AA 1与平面BCC 1B
1A 1-AB -C 的大小.
2. 如图三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .
（1）证明：AC =AB 1；
（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60o ，AB =
BC 求
二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.
过关测
限时：50分钟满分：50分
AC 与B 1D 所成的角的大小 ( ) 1. （5分）在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，
A ．π 6B ．π 4C ．ππ D ． 32
2. （5分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于（）
A ．45︒ B ．60 C ．90 D ．120︒
4. (10分) 如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD -A 1BC 11D 1中，
E 是DD 1ABCD -ABC 111D 1, AD //BC , AD ⊥AB , AB =AD =2, BC =4,
AA 1=2,
的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。
（1）证明：（i ）EF //A 1D 1；
（ii ）BA 1C 1EF ； 1⊥平面B
（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.
A
1C 11
5.(10分) 如图，三棱锥P -ABC 中，PC =3，∠ACB =的点，且CD =DE =, CE =2EB =2.
（1）证明：DE ⊥平面PCD ；
（2）求二面角A -PD -C 的余弦值.
π2. D , E 分别为线段AB , BC 上C A 6（10分）. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90, AB =AC =2, A 1A =4，A 1在 底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点.
（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
（2）二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值.
A 11
C
A B
第六讲空间几何体及线面平行关系
教学目标
【考点1】三视图 【例1】某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的各个面中, 最大的面积是( )
B. 1
【例2】某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆), 则该几何体的表面积为( ) A. 5π+4 B. 8π+4 C. 5π+12 D.
8π+12
【例3】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为( )
1
B
A ．C
D
变式训练
1. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） A.
8-
2π3
B. 8-π3
C. 8-2π
D. 2π3
2. 如图, 在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 点P 是面
A 1B 1C 1D 1内一点, 则三棱锥P -BCD 的正视图与侧
面积之比为（）
A. 1:1 B. 2:1 C. 2:3 D. 3:2
3. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A. 28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+
视图的
【考点2】球内切与外接的相关计算
【例1】
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )
A
．
12
B ．π C ．π D
．3333
【例2】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π
【例3】在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2, ∠DAB =60, E 为AB 的中点，将∆ADE
与∆BEC 分别沿ED , EC 向上折起，使A , B 重合于点P ，则P -DCE 三棱锥的外接球的体积为( )
A.
436 B. C. D. 272824
变式训练
1. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3, AC =4, ，
AB ⊥AC , AA 1=12，则球O 的半径为_______ A
13 B
． C ． D
．2
2. 已知球的表面积为20π，球面上有A , B , C 三点. 如果AB =AC =2, BC =2，则球心
到平面ABC 的距离为（） A ．1 B ．2
C ．
D ．2
【考点3】线面平行的判定及性质
【例1】如图，四棱锥P -的中点.
（1）证明：PB //平面AEC ； （2）略；
ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD
【例2】如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，
OA =1，OD =2，∆OAB ，∆OAC ，∆ODE ，∆ODF 都是正三角形。
（1）证明直线BC ∥EF ； （2）略；
【例3】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF //平面PEC
【例4】) 如图，四棱锥P -ABCD 的底面边长为8
的正方形，四条侧棱长均为点
G , E , F , H 分别是棱PB , AB , CD , PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC //
平面GEFH .
（1）证明：GH //EF （2）略；
【例5】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5AB 和CD 是
底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60。证明：平面PAB 与平
面PCD 的交线平行于底面
变式训练
1. 下列命题正确的是（）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
ABCD 是等腰梯形，∠DAB =60 , 2. 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面
AB =2CD =2，M 是线段AB 的中点.
求证：C 1M //平面ADD 1；
D A 1
B 1
A
M
B
3. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知∆BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，
E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积；
（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN //平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．
D
M
B
E C
F
A
【考点4】面面平行的判定及性质
【例1】设m , n 是平面α内的两条不同直线；l 1, l 2是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是（）
A. m //β且l 1//α B. m //l 1且n //l 2 C. m //β且n //β D. m //β且n //l 2 【例2】如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, AO ⊥平1面ABCD
, AB =AA 1=（1）证明:平面A 1BD //平面CD 1B 1;
（2）略；
1
A
如图所示，B 为∆ACD 所在平面外一点，M , N , G 分别为∆ABC , ∆ABD , ∆BCD 的【例3】重心．
(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2) 略；
【例4】如图BB 1, CC 1, DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面，A 、B 、C 、D 四点共面. 求证：四边形ABCD 为平行四边形
C
A
D
D C 1
B 1
变式训练
1. 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE =CF =AG ，
求证：EFG //平面ABC
2. 如图所示，在正方体ABCD -A BC D 中，O 为底面ABCD 1111的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在
什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？
3、如图，在三棱柱ABC -A 平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC 1B 1C 1中，M 是AC 11的中点，平面BC 1N =N ．求证：N 为AC 的中点．
过关测
限时：50分钟满分70分
1. （5分）如图．某几何体的正视图(主视图) 是平行四边形，侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
2. （5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（） （A
）1B
）2（C
）1+D
）
3. （5分）在三棱锥A -BCD 中，AB =CD =6, AC =BD =AD =BC =5，则该三棱锥的外接球的表面积为.
4. （5分）
S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）
3C.
2
5. （5分）已知正∆ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1, 点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是________.
7
49C ．π
4
A ．π B ．2π D ．3π
6. （15分）如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B 1，∠BAD=60°. （1）证明：略；
（2）证明：CC 1∥平面A 1BD .
7. （15分）P 为ABCD 所在平面外一点，M , N 分别为AB , PC 的中点，且平面
PAD 平面PBC =l
（1）求证：BC //l ；
（2）MN 与平面PAD 是否平行，试证明你的结论.
8. （15分）已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，G 为线段AB 异于A , B 上任意一点，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明.
S
A
B
C
第七讲垂直与距离体积
教学目标
①了解空间垂直关系，会利用空间垂直判定定理和性质定理证明空间垂直关系； ②理解空间距离和体积的概念，会利用常见几何体和空间向量求解空间距离和体积。
知识点
【考点1】空间垂直
【例1】如图, 在三棱锥S -ABC 中, 平面SAB ⊥平面SBC , AB ⊥BC , AS =AB , 过A 作
AF ⊥SB , 垂足为F , 点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点.
求证: （1）略; （2）BC ⊥SA .
S
E F
G
C
A
【例2】如图，四边形ABCD 是直角梯形，CD //BE , CD ⊥BC ，CD =
1
BE =2，平面2
BCDE ⊥平面ABC ；又已知 ABC 为等腰直角三角形，AB =AC =4, M , F 分别为M , F 的中点.
（1） 略；
（2） 能否在线段EM 上找到一点G ，使得FG ⊥平面BCDE ？若能，请指出G 点的位
置；若不能，请说明理由；
（3） 略；
【例3】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120︒，E , F 是平面ABCD 同一侧的两点，
BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC 。
（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC （2）略；
变式训练
1、如图，四棱锥P -ABCD 中，A B C D 为菱形，∠BCD =120︒，AB =PC =
2，
AP =BP =（1）求证：AB ⊥PC . （2）略；
2. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB //CD , PD =AD ，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且DF =（1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）略；
（3）证明：EF ⊥平面PAB ．
1
AB ，PH 为∆PAD 中AD 边上的高. 2
G
C
A
B
3、四棱锥P -ABCD 中, AB ^AC , AB ^PA , AB //CD , AB =2CD , E , F , G , M , N 分别为
PB , AB , BC , PD , PC 的中点
（2）求证:平面EFG ^平面EMN （1）略；
【考点2】距离问题
【例1】如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB =4, BC =2, CC 1=3, BE =
1.
（1）求BF 的长；（2）略.
C 1
F
B
C
【例2】如图，在多面体，ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB //EF ，
∠EAB =90︒，AB =2，AD =AE =EF =1，且平面ABEF ⊥平面ABCD 。
（1）略；
（2）求点D 到平面BCF 的距离； （3）略。
变式训练
1．已知二面角α-l -β为60︒，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为到
，Q
α的距离为
P 、Q 两点之间距离的最小值为（）
B.2 C. D.4
AB =2，点E 在棱AB 上移动． 2. 如图，在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，AD =AA 1=1，
（1）略；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）略．
【考点3】体积问题
【例1】如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为
PD 的中点．
（1）略；
（2）设二面角D -AE -C 为60︒，AP =
1，AD ，求三棱锥E -ACD 的体积．
【例2】如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD //MA ，
E , G , F 分别为MB , PB , PC 的中点，且AD =PD =2MA .
（1）略;
（2）求三棱锥P -MAB 与四棱锥P -ABCD 的体积比.
【例3】如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ．
四边形ABCD 为梯形，AD //BC ，且AD =2BC ．过A 1, C , D 三点的平面记为α，BB 1与
α的交点为Q ．
（1）略；
A 1
B 1
C 1
D 1
Q
A
D
B
C
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （3）略．
变式训练
1. 如图，三棱柱ABC -A 侧棱垂直底面，∠ABC =90 ，AC =BC =1B 1C 1中，棱AA 1的中点. （1）略
（2）面BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
D
B
A 1
C 1
AA 1, D 是2
1 2. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60，已知
PB =PD =
2，PA =（1）略；
（2）若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积．
3. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点E 在棱CC 1的延长线上且
CC 1=C 1E =BC =
（1）略; （2）略;
1
AB =1. 2
（3）求四面体D 1B 1AC 的体积
过关测
满分：40分限时：50分钟
1. （5分）在三棱锥A -BCD 中, BC =AC , AD =BD 作BE ^CD , E 为垂足，作AH 于H ．求证：AH
2. (5分) 如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1, AA 1=2, M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM
^BE
^平面BCD .
^平面A 1B 1M
3. (5分) 如图, 四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形, ∠BAD =60.
已知
PB =PD =2, PA = . 证明:PC ⊥BD
4．(5分) 已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB =2，AC =BD =1，则CD =（）
A.
23 B. C. D. 1 333
P 到β的距离为5.(5分 ) 已知二面角α-l -β为60︒，动点P 、Q 分别在面α、β内，
Q 到α的距离为
，
P 、Q 两点之间距离的最小值为（）
B.2
C. D.4
6..(5分 ) 如图2，已知多面体ABC -DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF //平面ADGC ，AB =AD =DC =2，AC =EF =1，则该多面体的体积为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
A C
B
D
E F
7. （10分）如图，直三棱柱ABC -A B C ，∠BAC =90
，AB =AC =
' ' '
AA ' =1，点
M , N 分别为A B 和B ' C ' 的中点。
(Ⅰ) 证明：MN ∥平面A ' ACC ' ; (Ⅱ) 求三棱锥A ' -MNC 的体积。
'
第八讲空间角
教学目标
掌握空间中异面直线所成角、直线与平面所成角的大小，以及二面角的求解方法
知识点
【考点1】线线角
【例1】如图所示，已知正四棱锥S -ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（）
A ．90
B ．60
C ．45︒
D ．30︒
a 与b 所成的角是【例2】若a , b , l 是两两异面的直线，
则α的取值范围是（）
π
l 与b 所成的角都是α，l 与a 、，
3
A ．[
π5π
6, 6
]
ππB ．[, ]
32
C ．[
π5π
3, 6
]
ππD ．[, ]
62
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，且点P 不与点D 1重合，【例3】
则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是________
【例4】(2014年江西南昌三模19) 如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且
PA =AD =1, AB =2, ∠PAB =120o , ∠PBC =90o
（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB （2）求直线PC 与直线AB 所成角的余弦值
变式训练
1. 已知异面直线a 与b 所成的角为50，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角均
是30的直线有且只有（）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2. 如图, 正四面体A -BCD （空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中, E , F 分别是棱AD , BC 的中点, 则EF 和AC
所成的角的大小是________.
3. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成60角的面对角线的条数是
A.4条 B.6条 C.8条 D.10条
4.(2010年全国1卷6) 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90o , AB =AC =
AA 1，则异
面直线BA 1与AC 1所成的角等于
(A)30o (B)45o (C)60o (D) 90o
【考点2】线面角
【例2】如图，在三棱锥
ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90, AB =AC =2,
AA 1=4, A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中
点.
（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
（2）求直线A 1B 和平面B B 1C C 1所成的角的正弦值.
【例3】在平面四边形ABCD 中，AB =BD =CD =1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，将∆ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图： （1）求证：AB ⊥CD ；
（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
变式训练
1. 已知三棱锥S -ABC 中, 底面ABC 为边长等于2的等边三角形, SA 垂直于底面ABC ,
SA =3, 那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值是（）
A.
2. 如图,
已知AA 1⊥平面ABC,
3 B. C. D. 4
AB =AC =
3E , F 分别是BC ,? 的中点. AC 1
（Ⅰ）求证:EF∥平面A 1B 1BA ; （Ⅱ）求证:平面AEA 1⊥平面
BCB 1.
（Ⅲ）求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小.
3. 如图，在五棱锥P -ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB //CD , AC //ED , AE //BC
，
∠ABC =45︒，AB =BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形．
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；
P
（3）略．
B
D
【考点3】二面角的求解
【例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ，点E 是PD 的中点. （1）求证：AC ⊥PB ； （2）求证：PB //平面AEC ；
（3）求二面角E -AC -B 的大小.
【例2】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，
BE ⊥EC , AB =BE =EC =2，G , F 分别是线段BE , DC 的中点.
（1）求证：GF //平面ADE ；
（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
变式训练
1. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB =90，0BC =1, AC =CC 1=2.
（1）证明：AC 1⊥A 1B ；
（2）设直线AA 1与平面BCC 1B
1A 1-AB -C 的大小.
2. 如图三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .
（1）证明：AC =AB 1；
（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60o ，AB =
BC 求
二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.
过关测
限时：50分钟满分：50分
AC 与B 1D 所成的角的大小 ( ) 1. （5分）在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，
A ．π 6B ．π 4C ．ππ D ． 32
2. （5分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于（）
A ．45︒ B ．60 C ．90 D ．120︒
4. (10分) 如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD -A 1BC 11D 1中，
E 是DD 1ABCD -ABC 111D 1, AD //BC , AD ⊥AB , AB =AD =2, BC =4,
AA 1=2,
的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。
（1）证明：（i ）EF //A 1D 1；
（ii ）BA 1C 1EF ； 1⊥平面B
（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.
A
1C 11
5.(10分) 如图，三棱锥P -ABC 中，PC =3，∠ACB =的点，且CD =DE =, CE =2EB =2.
（1）证明：DE ⊥平面PCD ；
（2）求二面角A -PD -C 的余弦值.
π2. D , E 分别为线段AB , BC 上C A 6（10分）. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90, AB =AC =2, A 1A =4，A 1在 底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点.
（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
（2）二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值.
A 11
C
A B