一、全等三角形
1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”)
斜边. 直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”)
二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。
1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3） “有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
（5）截长补短法证三角形全等。
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点, 叫做对称点
3. 轴对称与轴对称图形的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
⑤ 两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
二、线段的垂直平分线
1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫
中垂线。
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
1. 在平面直角坐标系中
①关于x 轴对称的点横坐标相等, 纵坐标互为相反数;
②关于y 轴对称的点横坐标互为相反数, 纵坐标相等;
③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；
④与X 轴或Y 轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；
⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标
点（x, y）关于x 轴对称的点的坐标为_（x, -y）_____.
点（x, y）关于y 轴对称的点的坐标为___（-x, y）___.
2. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形) 知识点回顾
1. 等腰三角形的性质
①. 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子： a
∠C=900⇒a 2+b 2=c 2
A 2、神秘的数组(勾股定理的逆定理) ：
222如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a ＋b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形.
数学式子：
a 2+b 2=c 2⇒∠C=900
满足a ＋b ＝c 三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
3. 一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。
0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。 222
一般的，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根。 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。
常见的无理数有：⑴无限不循环小数：如0.010010001……
⑵
⑶ 圆周率π：如π-3.14、
4、近似数的认识：
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值. 请说说生活中应用近似数的例子。
取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
例如，圆周率π=3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）
取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）
取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）
取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）
5、有效数字：
对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；
3.142有4个有效数字3，1，4，2. π等。 3
第四章 数量、位置的变化
数量、位置的变化、平面直角坐标系
1、数量的变化：
⑴生活中处处有变化的数量关系，并且这些变化的数量之间往往有一定的联系；感受用变化的观点分析数字信息的重要意义。
⑵实际问题中的数量常常会发生变化，表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式——表格、图形、式子，可根据实际情况灵活选用。
2、位置的变化：
现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。
3、平面直角坐标系：
⑴有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。水平方向的数轴称为x 轴或横轴；竖直方向的数轴称为y 轴或纵轴。它们统称坐标轴。公共原点O 称为坐标原点。
⑵确定点的位置（点坐标）
①若平面内有一点P （如图），我们应该如何确定它的位置？
（过点P 分别作x 、y 轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，这样的有序实数对叫做点的坐标，可表示为P （a ，b ）
②若已知点Q 的坐标为（m ，n ），该如何确定点Q 的位置？
（分别过x 、y 轴上表示m 、n 的点作x 、y 轴的垂线，两线的交点即为点Q ）
4、点坐标的特征：
⑴四个象限内点坐标的特征：
两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四象限。
⑵数轴上点坐标的特征：
x 轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a ，0）；
y 轴上的点的横坐标为0，可表示为（0，b ）。
⑶象限角平分线上点坐标的特征：
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a) ；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a) 。
⑷对称点坐标的特征：
P(a，b) 关于x 轴对称的点的坐标为(a，-b) ；
P(a，b) 关于y 轴对称的点的坐标为(-a，b) ；
P(a，b) 关于原点对称的点的坐标为(-a，-b) 。
第五章 一次函数
-----------一次函数
一. 常量、变量：
在一个变化过程中, 数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中, 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法（2）图像法（3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k ≠0) 的函数叫做正比例函数. 其中k 叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k ≠0) 的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1) 图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k ≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx。
(2)性质:当k>0时, 直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k
九、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x 为何值时函数y= ax+b的值为0．
2. 求ax +b =0(a , b是常数，a ≠0) 的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与x 轴交点的横
坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ．从“数”的角度看，x 为何值时函数y= ax+b的值大于0．
4. 解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ．从“形”的角度看，求直线y= ax+b在x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．
一、全等三角形
1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”)
斜边. 直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”)
二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。
1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3） “有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
（5）截长补短法证三角形全等。
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点, 叫做对称点
3. 轴对称与轴对称图形的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
⑤ 两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
二、线段的垂直平分线
1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫
中垂线。
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
1. 在平面直角坐标系中
①关于x 轴对称的点横坐标相等, 纵坐标互为相反数;
②关于y 轴对称的点横坐标互为相反数, 纵坐标相等;
③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；
④与X 轴或Y 轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；
⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标
点（x, y）关于x 轴对称的点的坐标为_（x, -y）_____.
点（x, y）关于y 轴对称的点的坐标为___（-x, y）___.
2. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形) 知识点回顾
1. 等腰三角形的性质
①. 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子： a
∠C=900⇒a 2+b 2=c 2
A 2、神秘的数组(勾股定理的逆定理) ：
222如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a ＋b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形.
数学式子：
a 2+b 2=c 2⇒∠C=900
满足a ＋b ＝c 三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
3. 一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。
0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。 222
一般的，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根。 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。
常见的无理数有：⑴无限不循环小数：如0.010010001……
⑵
⑶ 圆周率π：如π-3.14、
4、近似数的认识：
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值. 请说说生活中应用近似数的例子。
取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
例如，圆周率π=3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）
取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）
取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）
取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）
5、有效数字：
对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；
3.142有4个有效数字3，1，4，2. π等。 3
第四章 数量、位置的变化
数量、位置的变化、平面直角坐标系
1、数量的变化：
⑴生活中处处有变化的数量关系，并且这些变化的数量之间往往有一定的联系；感受用变化的观点分析数字信息的重要意义。
⑵实际问题中的数量常常会发生变化，表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式——表格、图形、式子，可根据实际情况灵活选用。
2、位置的变化：
现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。
3、平面直角坐标系：
⑴有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。水平方向的数轴称为x 轴或横轴；竖直方向的数轴称为y 轴或纵轴。它们统称坐标轴。公共原点O 称为坐标原点。
⑵确定点的位置（点坐标）
①若平面内有一点P （如图），我们应该如何确定它的位置？
（过点P 分别作x 、y 轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，这样的有序实数对叫做点的坐标，可表示为P （a ，b ）
②若已知点Q 的坐标为（m ，n ），该如何确定点Q 的位置？
（分别过x 、y 轴上表示m 、n 的点作x 、y 轴的垂线，两线的交点即为点Q ）
4、点坐标的特征：
⑴四个象限内点坐标的特征：
两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四象限。
⑵数轴上点坐标的特征：
x 轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a ，0）；
y 轴上的点的横坐标为0，可表示为（0，b ）。
⑶象限角平分线上点坐标的特征：
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a) ；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a) 。
⑷对称点坐标的特征：
P(a，b) 关于x 轴对称的点的坐标为(a，-b) ；
P(a，b) 关于y 轴对称的点的坐标为(-a，b) ；
P(a，b) 关于原点对称的点的坐标为(-a，-b) 。
第五章 一次函数
-----------一次函数
一. 常量、变量：
在一个变化过程中, 数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中, 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法（2）图像法（3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k ≠0) 的函数叫做正比例函数. 其中k 叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k ≠0) 的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1) 图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k ≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx。
(2)性质:当k>0时, 直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k
九、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x 为何值时函数y= ax+b的值为0．
2. 求ax +b =0(a , b是常数，a ≠0) 的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与x 轴交点的横
坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ．从“数”的角度看，x 为何值时函数y= ax+b的值大于0．
4. 解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ．从“形”的角度看，求直线y= ax+b在x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．