第三课时 角平分线的判定
教学过程 一、复习引入
通过上一节课我们知道，往往性质定理与其相应的判定定理是互为逆定理。这节课我们将探究角平分线性质定理的逆定理——角平分线判定定理的证明。 二、探究新知
（一）角平分线性质定理的证明
教师讲解：我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
如图19.4.3－1，OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点D 和点E 。过去我们在验证这个定理的正确性时是在半透明纸在描出了图19.4.3－1，然后沿着射线OC 对折，观察发现线段PD 和PE 完全重合，于是就说PD ＝PE 。
与等腰三角形的判定方法相类似，这个定理也可用逻辑推
理的方法加以证明。图中有两个直角三角形：△PDO 和△PEO ，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD ＝PE 。
教师要求学生按格式要求写出证明，学生写出后教师板书供学生订正。（证明过程见课本91页）
于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相相等。 （二）角平分线判定定理的证明
教师讲解：角平分线性质定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”。这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题。 教师写出已知、求证。
已知：如图19.4.3－2，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE 。 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上。
B E
C
O
D
图19.4.3-1
A
B E
C
O
D
图19.4.3-2
A
- 1 -
教师分析解题思路：为了证明点Q 在∠AOB 的平分线上，可以作射线OQ ，然后证明Rt △DOQ ≌Rt △EOQ ，从而得到：∠AOQ ＝∠BOQ 。
教师让学生自己书写证明过程，学生证明后，教师板书证明过程供学生对照。 教师板书定理内容：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （三）证明三角形三条角平分线交于一点。
教师要求学生证明“三角形三条角平分线交于一点”这一定理，要求图、已知、求证、证明均由学生自己书写。学生证明完之后教师板书证明过程供学生对照。
已知：如图19.4.3－3所示，AD 、BE 分别是△ABC 中∠A 与∠B 的平分线，AD 、BE 相交于O 点。 求证：∠C 的平分线也过O 点。
分析（不要求学生写）：要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了。
证明：连结CO ，延长CO 交AB 于F ，过O 点作OH ⊥AC 于H ，作OG ⊥BC 于G ，作OI ⊥AB 于I 。
∵AD 是∠BAC 的平分线，且O 点在AD 上，∴OH ＝OI （角平分线性质定理） ∵BE 是∠ABC 的平分线，且O 点在BE 上，∴OG ＝OI （角平分线性质定理） ∴OH ＝OG 。
又∵OH ⊥AC ，OG ⊥BC ，∴FC 是∠ACB 的平分线（角平分线判定定理） ∴△ABC 的三个内角平分线相交于一点O 。 三、随堂练习
课本第92页练习第1、2题。 四、课时总结
学生要会证明角平分线性质定理与判定定理，并会应用这个定理。会证明三角形三条角平分线相交于一点，并会运用这个定理。 五、布置作业
1、课本第94页习题19.4第4题。 2、选用课时作业优化设计。
- 2 -
图19.4.3-3
六、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
第三课时作业优化设计
1、如图1所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ） A 、mn B 、mn C 、2mn D 、mn
2、如图2所示，FD ⊥AM 于D ，FE ⊥BM 于E ，下列能够证明△DMF ≌△EMF 的条件的个数是（ ）
AMB 的平分线； （1）MF 是∠（2）DF ＝EF ； （3）DM ＝EM ； MFD ＝∠MFE （4）∠
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3、ABC 的平分线交（2004·陕西）已知如图3，在ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝7cm ，∠AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝________cm。
4、如图4，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，∠A ＝118°AEC ＝________度。 ，则∠
A
F
A
A
E B
D
B 图1
C
图2
E B
图3
C
图4
D
- 3 -
第三课时 角平分线的判定
教学过程 一、复习引入
通过上一节课我们知道，往往性质定理与其相应的判定定理是互为逆定理。这节课我们将探究角平分线性质定理的逆定理——角平分线判定定理的证明。 二、探究新知
（一）角平分线性质定理的证明
教师讲解：我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
如图19.4.3－1，OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点D 和点E 。过去我们在验证这个定理的正确性时是在半透明纸在描出了图19.4.3－1，然后沿着射线OC 对折，观察发现线段PD 和PE 完全重合，于是就说PD ＝PE 。
与等腰三角形的判定方法相类似，这个定理也可用逻辑推
理的方法加以证明。图中有两个直角三角形：△PDO 和△PEO ，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD ＝PE 。
教师要求学生按格式要求写出证明，学生写出后教师板书供学生订正。（证明过程见课本91页）
于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相相等。 （二）角平分线判定定理的证明
教师讲解：角平分线性质定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”。这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题。 教师写出已知、求证。
已知：如图19.4.3－2，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE 。 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上。
B E
C
O
D
图19.4.3-1
A
B E
C
O
D
图19.4.3-2
A
- 1 -
教师分析解题思路：为了证明点Q 在∠AOB 的平分线上，可以作射线OQ ，然后证明Rt △DOQ ≌Rt △EOQ ，从而得到：∠AOQ ＝∠BOQ 。
教师让学生自己书写证明过程，学生证明后，教师板书证明过程供学生对照。 教师板书定理内容：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （三）证明三角形三条角平分线交于一点。
教师要求学生证明“三角形三条角平分线交于一点”这一定理，要求图、已知、求证、证明均由学生自己书写。学生证明完之后教师板书证明过程供学生对照。
已知：如图19.4.3－3所示，AD 、BE 分别是△ABC 中∠A 与∠B 的平分线，AD 、BE 相交于O 点。 求证：∠C 的平分线也过O 点。
分析（不要求学生写）：要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了。
证明：连结CO ，延长CO 交AB 于F ，过O 点作OH ⊥AC 于H ，作OG ⊥BC 于G ，作OI ⊥AB 于I 。
∵AD 是∠BAC 的平分线，且O 点在AD 上，∴OH ＝OI （角平分线性质定理） ∵BE 是∠ABC 的平分线，且O 点在BE 上，∴OG ＝OI （角平分线性质定理） ∴OH ＝OG 。
又∵OH ⊥AC ，OG ⊥BC ，∴FC 是∠ACB 的平分线（角平分线判定定理） ∴△ABC 的三个内角平分线相交于一点O 。 三、随堂练习
课本第92页练习第1、2题。 四、课时总结
学生要会证明角平分线性质定理与判定定理，并会应用这个定理。会证明三角形三条角平分线相交于一点，并会运用这个定理。 五、布置作业
1、课本第94页习题19.4第4题。 2、选用课时作业优化设计。
- 2 -
图19.4.3-3
六、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
第三课时作业优化设计
1、如图1所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ） A 、mn B 、mn C 、2mn D 、mn
2、如图2所示，FD ⊥AM 于D ，FE ⊥BM 于E ，下列能够证明△DMF ≌△EMF 的条件的个数是（ ）
AMB 的平分线； （1）MF 是∠（2）DF ＝EF ； （3）DM ＝EM ； MFD ＝∠MFE （4）∠
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3、ABC 的平分线交（2004·陕西）已知如图3，在ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝7cm ，∠AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝________cm。
4、如图4，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，∠A ＝118°AEC ＝________度。 ，则∠
A
F
A
A
E B
D
B 图1
C
图2
E B
图3
C
图4
D
- 3 -