高考集合与函数专题
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
21．（2016高考新课标1理数）设集合A =x x -4x +30, 则{}{}
A B = （ ）
（A ） -3, -⎪ （B ） -3, ⎛
⎝3⎫2⎭⎛⎝3⎫⎛3⎫⎛3⎫1, （C ） （D ）⎪ ⎪ ,3⎪ 2⎭2⎝⎭⎝2⎭
2．（2016高考新课标3理数）设集合S ={x |(x -2)(x -3) ≥0}, T ={x |x >0} ，则S T =（ ）
（A ）[2，3]
（B ）（-∞ ，2]U [3,+∞）
（C ）[3,+∞）
（D ）（0，2]U [3,+∞）
3．（2016年高考四川理数）设集合A ={x |-2≤x ≤2}，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
x 24．（2016高考山东理数）设集合A ={y |y =2, x ∈R },B ={x |x -1
（A ）(-1,1) （B ）(0,1) （C ）(-1, +∞) （D ）(0,+∞)
B ={x |(x +1)(x -2)
则A B =（ ）
1，2，3} （D ）{-1，01，，2，3} ，2} （C ）{0，（A ）{1} （B ）{1
6．（2016年高考北京理数）已知集合A ={x ||x |
A ．{0,1} B．{0,1,2} C．{-1,0,1} D．{-1,0,1,2}
7．（2016高考浙江理数）已知集合P =x ∈R ≤x ≤3, Q =x ∈R x ≥4, 则{}{2}P ⋃(ðR Q ) =（ ）
A ．[2,3] B．（-2,3]
C ．[1,2） D．(-∞, -2]⋃[1,+∞)
8．（2016高考浙江理数）命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 2”的否定形式是（ ）
A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n
B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n
C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n
D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n
9．（2016高考山东理数）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
10．（2016高考天津理数）设{an }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a2n ＜0”的（ ）
（A ）充要条件
（B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件
（D ）既不充分也不必要条件
11．（2016高考天津理数）已知集合A ={1,2,3,4},B ={y |y =3x -2，x ∈A },则A B =（ ）
（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}
212．（2016高考上海理数）设a ∈R ，则“a >1”是“a >1”的（ ）
充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件
13．（2016高考新课标3理数）已知a =2，b =4，c =25，则（ ）
（A ）b
14．（2016年高考北京理数）已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） 432513
A ．11->0 x y
B ．sin x -sin y >0
C ．() -()
D ．ln x +ln y >0
15．（2016高考新课标1卷）函数y =2x -e 在[-2,2]的图像大致为 2x 12x 12y
（A ） （B ）
（C ）
（D ）
16．（2016高考新课标2理数）已知函数f (x )(x ∈R ) 满足f (-x ) =2-f (x ) ，若函m x +1数y =与y =f (x ) 图像的交点为(x 1, y 1),(x 2, y 2), ⋅⋅⋅,(x m , y m ), 则∑(x i +y i ) =x i =1
（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
17．（2016高考山东理数）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f (x ) =x -1 ；当-1≤x ≤1 时，f (-x ) =-f (x ) ；当x >3111 时，f (x +) =f (x -) ．则f （6）222
= （ ）
（A ）−2 （B ）−1 （C ）0 （D ）2
⎧x 2+(4a -3) x +3a , x 0,且a≠1）
⎩log a (x +1) +1, x ≥0
在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x ) |=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
2] 3
23（B ）[，] 34
123（C ）[，] {} 334
123（D ）[，） {} 334（A ）（0，
19．（2016高考上海理数）设f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x ) +g (x ) 、f (x ) +h (x ) 、g (x ) +h (x ) 均为增函数，则f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 中至少有一个增函数；②若f (x ) +g (x ) 、f (x ) +h (x ) 、g (x ) +h (x ) 均是以T 为周期的函数，则f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A ．①和②均为真命题
B ．①和②均为假命题
C ．①为真命题，②为假命题
D ．①为假命题，②为真命题
20．（2016河北石家庄质检二，理1）设集合M ={-1,1}，N =x |x -x
列结论正确的是（ ）
A ．N ⊆M B．N M =∅ C．M ⊆N D．M N =R
21．（2016安徽江南十校联考，理1）已知集合A =x 2x -5x -3≤0，{2}B ={x ∈Z x ≤2}，则A ⋂B 中的元素个数为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
22．（2016辽宁大连双基，理4）已知函数f (x ) 定义域为R ，则命题p ：“函数f (x ) 为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈Rf , x () f (x -) 00=”的（ ）
（A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
23．（2016广东广州一模，理11）已知下列四个命题：
p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；
p 2：若f (x )=2x -2-x ，则∀x ∈R ，f (-x )=-f (x )；
p 3：若f (x )=x +1，则∃x 0∈(0, +∞)，f (x 0)=1； x +1
p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ．
其中真命题的个数是（ ）
A ．1 B．2 C．3 D．4
24．（2016湖北七校联考，理9）已知f (x ) 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1) +f (λ-x ) 只有一个零点，则实数λ的值是（ ）
A ．1173 B． C．- D．- 4888
x 25．（2016江西四校联考，理10）已知函数f (x )=2-
增，则a 的取值范围为（ ） a ，其在区间[0,1]上单调递x 2
A ．[0,1] B．[-1,0] C．[-1,1] D．⎡-1, 1⎤ ⎢⎣22⎥⎦
26．（2016河北衡水二调，理12）定义在R 上的函数f (x )对任意x 1, x 2(x 1≠x 2)都有
f (x 1)-f (x 2)
x 1-x 2
22不等式f s -2s ≤-f 2t -t ，则当1≤s ≤4时，()()t -2s 的取值范围是（ ） s +t
A ．⎢-3, -⎪ B．⎢-3, -⎥ C．⎢-5, -⎪ D．⎢-5, -⎥ 2222⎡⎣1⎫⎭⎡⎣1⎤⎦⎡⎣1⎫⎭⎡⎣1⎤⎦
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
江苏卷）已知集合A ={-1,2,3,6},B ={x |-2
28．（2016年高考四川理数）已知函数f (x ) 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x ) =4x ，则f (-) +f (1)． 5
2
29．（2016高考浙江理数）已知a>b>1．若log a b+logb a=5b a ，a =b，则
a= ，b= ． 2
30．（2016高考天津理数）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增．若实数a 满足f (2a -1) >f (，则a 的取值范围是______．
31．（2016年高考四川理数）在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P (' y -x , ) ； 2222x +y x +y
当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C 定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A ，则点A 的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C 关于y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）．
32．（2016高考江苏卷）设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1) 上，' ' ' '
⎧x +a , -1≤x
) ，则f (5f (x ) =⎨222⎪5-x ,0≤x
是 ．
33．（2016高考江苏卷）函数． ⎧x 3-3x , x ≤a 34．（2016年高考北京理数）设函数f (x ) =⎨．
⎩-2x , x >a
①若a =0，则f (x ) 的最大值为______________；
②若f (x ) 无最大值，则实数a 的取值范围是________．
x ≤m ⎧|x |,35．（2016高考山东理数）已知函数f (x ) =⎨2 其中m >0，若存在实x -2mx +4m , x >m ⎩
数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．
36．（2016高考上海理数）已知点(3, 9在) 函数f (x ) =1+a x 的图像上，则f (x ) 的反函数f -1(x ) =______．_
⎧⎪1-x +1, 37．（2016广东广州一模，理16）已知函数f (x )=⎨2⎪⎩x -4x +2, x
g (x )=2f (x )-2的零点个数为 个．
x
三、解答题（题型注释）
38．（2016高考江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P -A ，并1BC 11D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1（如图所示）要求正四棱柱的高PO 1的四倍．
（1）若AB =6m ,PO 1=2m , 则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为6m, 则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？
39．（2016高考上海理数）已知a ∈R ，函数f (x ) =log 2(
（1）当a =5时，解不等式f (x ) >0；
（2）若关于x 的方程f (x ) -log 2[(a -4) x +2a -5]=0的解集中恰好有一个元素，求1+a ) ． x a 的取值范围；
（3）设a >0，若对任意t ∈[,1]，函数f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．
12
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：因为3A ={x |x 2-4x +3},所以2
33A B ={x |1}={x |
考点：集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题, 一般以基础题形式出现, 属得分题．解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算, 如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算, 常借助数轴进行运算．
2．D
【解析】
试题分析：由(x -2)(x -3) ≥0解得x ≥3或x ≤2，所以S ={x |x ≤2或x ≥3}，所以S T ={x |0
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．
【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
3．C
【解析】
试题分析：由题意，A Z ={-2, -1,0,1,2}，故其中的元素个数为5，选C ．
考点：集合中交集的运算．
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．
4．C
【解析】
（-1，+∞）试题分析：A ={y |y >0}，B ={x |-1
考点：1．指数函数的性质；2．解不等式；3．及集合的运算．
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目．从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一．本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面．
5．C
【解析】
, 所以试题分析：集合B ={x|-1
A B ={0,1,2,3}，故选C ．
答案第1页，总14页
考点： 集合的运算．
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
6．C
【解析】
试题分析：由A ={x |-2
考点：集合交集．
【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合{x |y =f (x )}，{y |y =f (x )}，{(x , y ) |y =f (x )}三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
7．B
【解析】
试题分析：根据补集的运算得
2痧R Q =x x
考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．
【易错点睛】解一元二次不等式时，x 的系数一定要保证为正数，若x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．
8．D
【解析】
试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，n ≥x 的否定是n
考点：全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
9．A
【解析】
试题分析：
“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．
考点：1．充要条件；2．直线与平面的位置关系．
答案第2页，总14页 2222
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合．本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等． 10．C 【解析】 试题分析：由题意得，
2n -a 2n -+a n
-2
2-
n
故是必要不充) q +1
) 0
分条件，故选C ．
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 11．D 【解析】
试题分析：B ={1,4,7,10},A B ={1,4}.选D ．
考点：集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏． 12．A
【解析】试题分析：
a >1⇒a 2>1, a 2>1⇒a >1或a
考点：充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合．本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等． 函数 13．A 【解析】
试题分析：因为a =2=4>4=b ，c =25=5>4=a ，所以b
43
23
25
13
23
23
试题分析：A ：由x >y >0，得
1111
B ：由x >y >0及正弦函数y =sin x 的单调性，可知sin x -sin y >0不一定成立；
C ：由0
11111
y >0，得() x
D ：由x >y >0，得xy >0，不一定大于1，故ln x +ln y >0不一定成立，故选C ． 考点： 函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：（1）常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 15．D 【解析】
2|x|
试题分析：函数f （x ）=2x–e 在[–2,2]上是偶函数, 其图象关于y 轴对称, 因为
f (2)=8-e 2,0
设为x 0, 当x ∈(0,x 0) 时, f (x ) 为减函数, 当x ∈(x 0,2) 时, f (x ) 为增函数．故选D ． 考点：函数图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中, 也可以说是高考的热点问题, 这类题目一般比较灵活, 对解题能力要求较高, 故也是高考中的难点, 解决这类问题的方法一般是利用间接法, 即由函数性质排除不符合条件的选项． 16．C 【解析】
试题分析：由于f (-x )+f (x )=2，不妨设f (x )=x +1，与函数y =为(1,2), (-1,0)，故x 1+x 2+y 1+y 2=2，故选C ． 考点： 函数图象的性质
【名师点睛】如果函数f (x ) ，∀x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a +x ) =f (b -x ) ，那么函
x +11
=1+的交点x x
数的图象有对称轴x =
a +b
；如果函数f (x ) ，∀x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有2
f (a -x ) =-f (b +x ) ，那么函数的图象有对称中心．
17．D
【解析】 试题分析：当x >
1111
时，f (x +) =f (x -) , 所以当x >时，函数f (x ) 是周期为1 的2222
f (6)=f (1)，又函数f (x ) 是奇函数，所以
周期函数，所以
3
f (1)=-f (-1) =-⎡(-1)-1⎤=2，故选D ．
⎣⎦
考点：1．函数的奇偶性与周期性；2．分段函数．
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 18．C 【解析】
试题分析：由f (x ) 在R 上递减可知⎨
⎧3-4a ≥013
⇒≤a ≤，由方程|f (x ) |=2-x
4⎩3a ≥1,0
1123
-1≤2，≤a ≤，又∵a =时，抛物线a 334
恰好有两个不相等的实数解，可知3a ≤2,
y =x 2+(4a -3) x +3a 与直线y =2-x 相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是
123
[, ] {，故选C ． 334
考点：函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 19．D 【解析】
试题分析：①不成立，可举反例
⎧2x +3, x ≤0⎪
g (x ) =⎨-x +3, 0
f (x ) =⎨h (x ) =⎨⎪2x , x ≥1⎩⎩-x +3, x >1, ⎩2x , x >0 ,
②
f (x ) +g (x ) =f (x +T ) +g (x +T )
f (x ) +h (x ) =f (x +T ) +h (x +T ) g (x ) +h (x ) =g (x +T ) +h (x +T )
前两式作差，可得结合第三式，可得
g (x ) -h (x ) =g (x +T ) -h (x +T ) g (x ) =g (x +T )
,
h (x ) =h (x +T )
也有
f (x ) =f (x +T )
∴②正确 故选D ．
考点：1．抽象函数；2．函数的单调性；3．函数的周期性．
【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等．
本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 20．C
【解析】N=x -2
【解析】A =⎨x -
{}
⎧⎩1⎫
≤x ≤3⎬，所以A ⋂B ={0,1,2}，所以A ⋂B 中有3个元素，故选B ．
2⎭
22．A
【解析】若f (x ) 偶函数，则有f (x ) =
f -(x ；) 若f (x ) =s i πn x (，则有
f (-1) =s i π-n (=，) f (1)=sin π=0，即f (-1) =f (1)，而f (x ) =sin(πx ) 为奇函数，
所以命题p ：“函数f (x ) 为偶函数”是命题q ：“∃x ∈, () =x (-) 0Rfx 0f 条件，故选A ．
23．B
【解析】若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α或l //α，所以p 1是假命题；
”的充分不必要
f (-x )=2-x -2x
=-(2x -2-x )=-f (x )，所以p 2是真命题；由x +
A>B⇒a >b
1
=1得：x =0，所以p 3是假命题；x +1
⇒2R sin A>2R sin B⇒sin A>sin B，所以p 4是真命题．故选B ．
24．C
【解析】令
y =f (2x 2+1) +f (λ-x ) =0，且f (x ) 是奇函数，则
2
又因为f (x ) 是R 上的单调函数，所以2x +1=x -λf (2x 2+1) =-f (λ-x ) =f (x -λ) ，
2
只有一个零点，即2x -x +1-λ=0只有一个零点，则∆=1-8(1-λ) =0，解得λ=-
7
，8
故选C ．
25．C
【解析】令t =2，则t ∈[1, 2]，f (x ) =2-
x
x
a
在区间[0, 1]上单调递增，转化为x 2
⎧a 2t -（a ≤t ）a a ⎪t 2
f (t ) =t -在[1, 2]上单调递增，又f (t ) =t -=⎨，当a ≤t 时，
t t ⎪a -t （a ≥t 2）
⎩t
f '(t ) =1+
a 22
≥0[1, 2]a ≥-t a ≥t -1≤a ≤1在恒成立，必有，可求得；当时，2t
a
≥0在[1, 2]恒成立，必有a ≤-t 2，与a ≥t 2矛盾，所以此时a 不存在．故选2t
f '(t ) =-1-C ． 26．D
【解析】设x 1
f (x 1) -f (x 2)
0，即
x 1-x 2
f (x 1) >f (x 2) ，所以函数f (x ) 为减函数．因为函数y =f (x -1) 的图象关于(1,0)成中心
对称，所以y =f (x ) 为奇函数，所以f (s 2-2s ) ≤-f (2t -t 2) =f (t 2-2t ) ，所以
s 2-2s ≥t 2-2t ，即(s -t )(s +t -2) ≥0．因为
t -2s 3s 3
=1-=1-，而在条件
s +t s +t 1+s
t 1t 133⎧(s -t )(s +t -2) ≥0
∈[-,1]1+∈[, 2]∈[,6]，所下，易求得，所以，所以⎨s 2s 22⎩1≤s ≤41+
s
以1-
t -2s 11
∈[-5, -]，故选D ． ∈[-5, -]，即
t s +t 221+s
3
27．{-1,2} 【解析】
试题分析：A B ={-1,2,3,6} {x |-2
考点：集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解． 28．-2 【解析】
试题分析：因为函数f (x ) 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以
f (-1) =-f (1),f (-1) =f (-1+2) =f (1)，所以-f (1)=f (1)，即f (1=)
1
55111
f (-) =f (--2) =f (-) =-f () =-42=-2，所以f (-) +f (1)=-2．
22222
0，
考点：函数的奇偶性和周期性．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把f (-) 和
5
2
f (1)，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．
29．4 2 【解析】
15
试题分析：设log b a =t , 则t >1，因为t +=⇒t =2⇒a =b 2，
t 2
因此a b =b a ⇒b 2b =b b ⇒2b =b 2⇒b =2, a =4. 考点：1、指数运算；2、对数运算． 【易错点睛】在解方程log a b +log b a =
2
5
时，要注意log b a >1，若没注意到log b a >1，2
方程log a b +log b a =30．(, ) 【解析】
5
的根有两个，由于增根导致错误． 2
1322
试题分析：由题意f (x ) 在(0,+∞) 上递减，又f (x ) 是偶函数，
则不等式f (2或化为f (2
a -1
a -1
) >f (
) >
f ，则2
a -1
13113
，解得
22222
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 31．②③ 【解析】
试题分析：对于①，若令P (1,1)，则其伴随点为P '(, -) ，而P '(, -) 的伴随点为
12121212
(-1, -1) ，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线f (x , y ) =0关于x 轴对称，则f (x , -y ) =0
与方程f (x , y ) =0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f (
y -x
, ) =0与
x 2+y 2x 2+y 2
f (
-y -x y -x
也表示同一曲线，又曲线, ) =0f (, ) =0与曲线22222222
x +y x +y x +y x +y -y -x
的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为) =0
x 2+y 2x 2+y 2
f (
P (cosx ,sin x ) ，其伴随点为P '(sinx , -cos x ) 仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y =kx +b 上任一点P (x , y ) 的伴随点是P ' (
y -x
, ) ，消参后点P ' 轨迹是圆，故2222
x +y x +y
④错误．所以正确的为序号为②③． 考点：对新定义的理解、函数的对称性．
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
232．-
5
51911123
【解析】f (-) =f (-) =f () =f () ⇒-+a =-⇒a =，
22222255
32
因此f (5a ) =f (3)=f (1)=f (-1) =-1+=-
55
考点：分段函数，周期性质 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值．
33．-3,1 【解析】
试题分析：要使函数有意义，必须3-2x -x ≥0，即x +2x -3≤0，∴-3≤x ≤1．故答案应填：-3,1
2
2
[]
[
]，
考点：函数定义域
【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路．列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起．
34．2，(-∞, -1) ． 【解析】
试题分析：如图作出函数g (x ) =x 3-3x 与直线y =-2x 的图象，它们的交点是A (-1,2) ，
O (0,0)，B (1,-2) ，由g '(x ) =3x 2-3，知x =1是函数g (x ) 的极大值点， ⎧x 3-3x , x ≤0
①当a =0时，f (x ) =⎨，因此f (x ) 的最大值是f (-1) =2；
⎩-2x , x >0
②由图象知当a ≥-1时，f (x ) 有最大值是f (-1) =2；只有当a
3
考点：1．分段函数求最值；2．数形结合的数学思想．
【名师点睛】1．分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2．在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 35．(3, +∞)
【解析】 试题分析：
画出函数图象如下图所示：
由图所示，要f (x )=b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
m >m 2-2m ⋅m +4m , m 2-3m >0，解得m >3
考点：1．函数的图象与性质；2．函数与方程；3．分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等． 36．log 2(x-1) 【解析】 试题分析：
（3，9）将点带入函数f (x )=1+a x 的解析式得a =2，所以f (x )=1+2x ，用y 表示x 得
x =log 2(y-1) ，所以f -1(x )=log 2(x -1) ．
考点：1．反函数的概念；2．指数函数的图象和性质． 【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注．本题较为容易． 37．2
【解析】g (x )=2f (x )-2的零点个数，即是方程f (x )=
x
2
的根的个数，也就是x 2
y =f (x )与y =
22
y =的图象的交点个数，分别作出与的图象，如图所示，y =f x ()x x
22
2
的图象有两个交点，所以函数g (x )有2个零点． x 2
由图象知y =f (x )与y =
38．（1）312；（2）PO 1=【解析】 试题分析：（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以PO 1为自变量建立体积的函数关系式，与（1）相似，先用PO 1分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，
V =V 锥+V 柱=
26
36h -h 3), (0
试题解析：解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO1=8．
因为A 1B 1=AB=6，
2
所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=⋅A 1B 1⋅PO 1=
1312
⨯6⨯2=24(m 3); 3
223
正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB ⋅OO 1=6⨯8=288m .
()
所以仓库的容积V=V锥+V
柱=24+288=312（m ）． （2）设A 1B 1=a（m ）,PO 1=h（m ），则0＜h ＜6,OO 1=4h．连结O 1B 1． 因为在RT ∆PO 1B 1中，OB 12+PO 12=PB 12，
3
222所以，即a =2(36-h ). +h =36⎝⎭
12132262
a h =36
h -h 3), (0
+a ⋅h =
(333
26
36-3h 2)=26(12
-h 2)． 从而V ' =(3
令V ' =0，得
h =或h
=-． 当00 ，V 是单调增函数； 当h
2
考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积
【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法．而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握．
39．（1）x ∈ -∞, -⎪ (0, +∞)．（2）(1,2] {3,4}．（3）⎢, +∞⎪．
【解析】
试题分析：（1）由log 2 ⎛⎝1⎫4⎭⎡2⎣3⎫⎭1⎛1⎫+5⎪>0，利用得+5>1求解． x ⎝x ⎭（2）转化得到(a -4)x 2+(a -5)x -1=0，讨论当a =4、a =3时，以及a ≠3且a ≠4时的情况．
（3）讨论f (x )在(0, +∞)上单调递减．
确定函数f (x )在区间[t , t +1]上的最大值与最小值之差．得到at 2+(a +1)t -1≥0，对任意
⎡1⎤t ∈⎢,1⎥成立． ⎣2⎦
试题解析：（1）由log 2 1⎛1⎫+5⎪>0，得+5>1， x ⎝x ⎭解得x ∈ -∞, -⎪ (0, +∞)． ⎛
⎝1⎫4⎭
（2）1+a =(a -4)x +2a -5，(a -4)x 2+(a -5)x -1=0， x
当a =4时，x =-1，经检验，满足题意．
当a =3时，x 1=x 2=-1，经检验，满足题意．
当a ≠3且a ≠4时，x 1=1，x 2=-1，x 1≠x 2． a -4
x 1是原方程的解当且仅当1+a >0，即a >2； x 1
1+a >0，即a >1． x 2x 2是原方程的解当且仅当
于是满足题意的a ∈(1,2]．
综上，a 的取值范围为(1,2] {3,4}．
（3）当0+a ，log 2 +a ⎪>log 2 +a ⎪， x 1x 2⎝x 1⎭⎝x 2⎭
所以f (x )在(0, +∞)上单调递减．
函数f (x )在区间[t , t +1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t +1)．
⎛1⎫⎛1⎫f (t )-f (t +1)=log 2 +a ⎪-log 2 +a ⎪≤1即at 2+(a +1)t -1≥0，对任意 ⎝t ⎭⎝t +1⎭
⎡1⎤t ∈⎢,1⎥成立． ⎣2⎦
因为a >0，所以函数y =at 2+(a +1)t -1在区间⎢,1⎥上单调递增，t =⎡1⎤
⎣2⎦1时，y 2
有最小值31312a -，由a -≥0，得a ≥． 42423
故a 的取值范围为⎢, +∞⎪．
考点：1．对数函数的性质；2．函数与方程；3．二次函数的性质．
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题．解答本题关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解．本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出．．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． ⎡2⎣3⎫⎭
高考集合与函数专题
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
21．（2016高考新课标1理数）设集合A =x x -4x +30, 则{}{}
A B = （ ）
（A ） -3, -⎪ （B ） -3, ⎛
⎝3⎫2⎭⎛⎝3⎫⎛3⎫⎛3⎫1, （C ） （D ）⎪ ⎪ ,3⎪ 2⎭2⎝⎭⎝2⎭
2．（2016高考新课标3理数）设集合S ={x |(x -2)(x -3) ≥0}, T ={x |x >0} ，则S T =（ ）
（A ）[2，3]
（B ）（-∞ ，2]U [3,+∞）
（C ）[3,+∞）
（D ）（0，2]U [3,+∞）
3．（2016年高考四川理数）设集合A ={x |-2≤x ≤2}，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
x 24．（2016高考山东理数）设集合A ={y |y =2, x ∈R },B ={x |x -1
（A ）(-1,1) （B ）(0,1) （C ）(-1, +∞) （D ）(0,+∞)
B ={x |(x +1)(x -2)
则A B =（ ）
1，2，3} （D ）{-1，01，，2，3} ，2} （C ）{0，（A ）{1} （B ）{1
6．（2016年高考北京理数）已知集合A ={x ||x |
A ．{0,1} B．{0,1,2} C．{-1,0,1} D．{-1,0,1,2}
7．（2016高考浙江理数）已知集合P =x ∈R ≤x ≤3, Q =x ∈R x ≥4, 则{}{2}P ⋃(ðR Q ) =（ ）
A ．[2,3] B．（-2,3]
C ．[1,2） D．(-∞, -2]⋃[1,+∞)
8．（2016高考浙江理数）命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 2”的否定形式是（ ）
A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n
B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n
C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n
D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n
9．（2016高考山东理数）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
10．（2016高考天津理数）设{an }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a2n ＜0”的（ ）
（A ）充要条件
（B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件
（D ）既不充分也不必要条件
11．（2016高考天津理数）已知集合A ={1,2,3,4},B ={y |y =3x -2，x ∈A },则A B =（ ）
（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}
212．（2016高考上海理数）设a ∈R ，则“a >1”是“a >1”的（ ）
充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件
13．（2016高考新课标3理数）已知a =2，b =4，c =25，则（ ）
（A ）b
14．（2016年高考北京理数）已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） 432513
A ．11->0 x y
B ．sin x -sin y >0
C ．() -()
D ．ln x +ln y >0
15．（2016高考新课标1卷）函数y =2x -e 在[-2,2]的图像大致为 2x 12x 12y
（A ） （B ）
（C ）
（D ）
16．（2016高考新课标2理数）已知函数f (x )(x ∈R ) 满足f (-x ) =2-f (x ) ，若函m x +1数y =与y =f (x ) 图像的交点为(x 1, y 1),(x 2, y 2), ⋅⋅⋅,(x m , y m ), 则∑(x i +y i ) =x i =1
（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
17．（2016高考山东理数）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＜0时，f (x ) =x -1 ；当-1≤x ≤1 时，f (-x ) =-f (x ) ；当x >3111 时，f (x +) =f (x -) ．则f （6）222
= （ ）
（A ）−2 （B ）−1 （C ）0 （D ）2
⎧x 2+(4a -3) x +3a , x 0,且a≠1）
⎩log a (x +1) +1, x ≥0
在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x ) |=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
2] 3
23（B ）[，] 34
123（C ）[，] {} 334
123（D ）[，） {} 334（A ）（0，
19．（2016高考上海理数）设f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x ) +g (x ) 、f (x ) +h (x ) 、g (x ) +h (x ) 均为增函数，则f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 中至少有一个增函数；②若f (x ) +g (x ) 、f (x ) +h (x ) 、g (x ) +h (x ) 均是以T 为周期的函数，则f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A ．①和②均为真命题
B ．①和②均为假命题
C ．①为真命题，②为假命题
D ．①为假命题，②为真命题
20．（2016河北石家庄质检二，理1）设集合M ={-1,1}，N =x |x -x
列结论正确的是（ ）
A ．N ⊆M B．N M =∅ C．M ⊆N D．M N =R
21．（2016安徽江南十校联考，理1）已知集合A =x 2x -5x -3≤0，{2}B ={x ∈Z x ≤2}，则A ⋂B 中的元素个数为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
22．（2016辽宁大连双基，理4）已知函数f (x ) 定义域为R ，则命题p ：“函数f (x ) 为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈Rf , x () f (x -) 00=”的（ ）
（A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
23．（2016广东广州一模，理11）已知下列四个命题：
p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；
p 2：若f (x )=2x -2-x ，则∀x ∈R ，f (-x )=-f (x )；
p 3：若f (x )=x +1，则∃x 0∈(0, +∞)，f (x 0)=1； x +1
p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ．
其中真命题的个数是（ ）
A ．1 B．2 C．3 D．4
24．（2016湖北七校联考，理9）已知f (x ) 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1) +f (λ-x ) 只有一个零点，则实数λ的值是（ ）
A ．1173 B． C．- D．- 4888
x 25．（2016江西四校联考，理10）已知函数f (x )=2-
增，则a 的取值范围为（ ） a ，其在区间[0,1]上单调递x 2
A ．[0,1] B．[-1,0] C．[-1,1] D．⎡-1, 1⎤ ⎢⎣22⎥⎦
26．（2016河北衡水二调，理12）定义在R 上的函数f (x )对任意x 1, x 2(x 1≠x 2)都有
f (x 1)-f (x 2)
x 1-x 2
22不等式f s -2s ≤-f 2t -t ，则当1≤s ≤4时，()()t -2s 的取值范围是（ ） s +t
A ．⎢-3, -⎪ B．⎢-3, -⎥ C．⎢-5, -⎪ D．⎢-5, -⎥ 2222⎡⎣1⎫⎭⎡⎣1⎤⎦⎡⎣1⎫⎭⎡⎣1⎤⎦
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
江苏卷）已知集合A ={-1,2,3,6},B ={x |-2
28．（2016年高考四川理数）已知函数f (x ) 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x ) =4x ，则f (-) +f (1)． 5
2
29．（2016高考浙江理数）已知a>b>1．若log a b+logb a=5b a ，a =b，则
a= ，b= ． 2
30．（2016高考天津理数）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增．若实数a 满足f (2a -1) >f (，则a 的取值范围是______．
31．（2016年高考四川理数）在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P (' y -x , ) ； 2222x +y x +y
当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C 定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A ，则点A 的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C 关于y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）．
32．（2016高考江苏卷）设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1) 上，' ' ' '
⎧x +a , -1≤x
) ，则f (5f (x ) =⎨222⎪5-x ,0≤x
是 ．
33．（2016高考江苏卷）函数． ⎧x 3-3x , x ≤a 34．（2016年高考北京理数）设函数f (x ) =⎨．
⎩-2x , x >a
①若a =0，则f (x ) 的最大值为______________；
②若f (x ) 无最大值，则实数a 的取值范围是________．
x ≤m ⎧|x |,35．（2016高考山东理数）已知函数f (x ) =⎨2 其中m >0，若存在实x -2mx +4m , x >m ⎩
数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．
36．（2016高考上海理数）已知点(3, 9在) 函数f (x ) =1+a x 的图像上，则f (x ) 的反函数f -1(x ) =______．_
⎧⎪1-x +1, 37．（2016广东广州一模，理16）已知函数f (x )=⎨2⎪⎩x -4x +2, x
g (x )=2f (x )-2的零点个数为 个．
x
三、解答题（题型注释）
38．（2016高考江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P -A ，并1BC 11D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1（如图所示）要求正四棱柱的高PO 1的四倍．
（1）若AB =6m ,PO 1=2m , 则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为6m, 则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？
39．（2016高考上海理数）已知a ∈R ，函数f (x ) =log 2(
（1）当a =5时，解不等式f (x ) >0；
（2）若关于x 的方程f (x ) -log 2[(a -4) x +2a -5]=0的解集中恰好有一个元素，求1+a ) ． x a 的取值范围；
（3）设a >0，若对任意t ∈[,1]，函数f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．
12
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：因为3A ={x |x 2-4x +3},所以2
33A B ={x |1}={x |
考点：集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题, 一般以基础题形式出现, 属得分题．解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算, 如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算, 常借助数轴进行运算．
2．D
【解析】
试题分析：由(x -2)(x -3) ≥0解得x ≥3或x ≤2，所以S ={x |x ≤2或x ≥3}，所以S T ={x |0
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．
【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
3．C
【解析】
试题分析：由题意，A Z ={-2, -1,0,1,2}，故其中的元素个数为5，选C ．
考点：集合中交集的运算．
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．
4．C
【解析】
（-1，+∞）试题分析：A ={y |y >0}，B ={x |-1
考点：1．指数函数的性质；2．解不等式；3．及集合的运算．
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目．从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一．本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面．
5．C
【解析】
, 所以试题分析：集合B ={x|-1
A B ={0,1,2,3}，故选C ．
答案第1页，总14页
考点： 集合的运算．
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
6．C
【解析】
试题分析：由A ={x |-2
考点：集合交集．
【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合{x |y =f (x )}，{y |y =f (x )}，{(x , y ) |y =f (x )}三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
7．B
【解析】
试题分析：根据补集的运算得
2痧R Q =x x
考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．
【易错点睛】解一元二次不等式时，x 的系数一定要保证为正数，若x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．
8．D
【解析】
试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，n ≥x 的否定是n
考点：全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
9．A
【解析】
试题分析：
“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．
考点：1．充要条件；2．直线与平面的位置关系．
答案第2页，总14页 2222
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合．本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等． 10．C 【解析】 试题分析：由题意得，
2n -a 2n -+a n
-2
2-
n
故是必要不充) q +1
) 0
分条件，故选C ．
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 11．D 【解析】
试题分析：B ={1,4,7,10},A B ={1,4}.选D ．
考点：集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏． 12．A
【解析】试题分析：
a >1⇒a 2>1, a 2>1⇒a >1或a
考点：充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合．本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等． 函数 13．A 【解析】
试题分析：因为a =2=4>4=b ，c =25=5>4=a ，所以b
43
23
25
13
23
23
试题分析：A ：由x >y >0，得
1111
B ：由x >y >0及正弦函数y =sin x 的单调性，可知sin x -sin y >0不一定成立；
C ：由0
11111
y >0，得() x
D ：由x >y >0，得xy >0，不一定大于1，故ln x +ln y >0不一定成立，故选C ． 考点： 函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：（1）常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 15．D 【解析】
2|x|
试题分析：函数f （x ）=2x–e 在[–2,2]上是偶函数, 其图象关于y 轴对称, 因为
f (2)=8-e 2,0
设为x 0, 当x ∈(0,x 0) 时, f (x ) 为减函数, 当x ∈(x 0,2) 时, f (x ) 为增函数．故选D ． 考点：函数图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中, 也可以说是高考的热点问题, 这类题目一般比较灵活, 对解题能力要求较高, 故也是高考中的难点, 解决这类问题的方法一般是利用间接法, 即由函数性质排除不符合条件的选项． 16．C 【解析】
试题分析：由于f (-x )+f (x )=2，不妨设f (x )=x +1，与函数y =为(1,2), (-1,0)，故x 1+x 2+y 1+y 2=2，故选C ． 考点： 函数图象的性质
【名师点睛】如果函数f (x ) ，∀x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a +x ) =f (b -x ) ，那么函
x +11
=1+的交点x x
数的图象有对称轴x =
a +b
；如果函数f (x ) ，∀x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有2
f (a -x ) =-f (b +x ) ，那么函数的图象有对称中心．
17．D
【解析】 试题分析：当x >
1111
时，f (x +) =f (x -) , 所以当x >时，函数f (x ) 是周期为1 的2222
f (6)=f (1)，又函数f (x ) 是奇函数，所以
周期函数，所以
3
f (1)=-f (-1) =-⎡(-1)-1⎤=2，故选D ．
⎣⎦
考点：1．函数的奇偶性与周期性；2．分段函数．
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 18．C 【解析】
试题分析：由f (x ) 在R 上递减可知⎨
⎧3-4a ≥013
⇒≤a ≤，由方程|f (x ) |=2-x
4⎩3a ≥1,0
1123
-1≤2，≤a ≤，又∵a =时，抛物线a 334
恰好有两个不相等的实数解，可知3a ≤2,
y =x 2+(4a -3) x +3a 与直线y =2-x 相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是
123
[, ] {，故选C ． 334
考点：函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 19．D 【解析】
试题分析：①不成立，可举反例
⎧2x +3, x ≤0⎪
g (x ) =⎨-x +3, 0
f (x ) =⎨h (x ) =⎨⎪2x , x ≥1⎩⎩-x +3, x >1, ⎩2x , x >0 ,
②
f (x ) +g (x ) =f (x +T ) +g (x +T )
f (x ) +h (x ) =f (x +T ) +h (x +T ) g (x ) +h (x ) =g (x +T ) +h (x +T )
前两式作差，可得结合第三式，可得
g (x ) -h (x ) =g (x +T ) -h (x +T ) g (x ) =g (x +T )
,
h (x ) =h (x +T )
也有
f (x ) =f (x +T )
∴②正确 故选D ．
考点：1．抽象函数；2．函数的单调性；3．函数的周期性．
【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等．
本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 20．C
【解析】N=x -2
【解析】A =⎨x -
{}
⎧⎩1⎫
≤x ≤3⎬，所以A ⋂B ={0,1,2}，所以A ⋂B 中有3个元素，故选B ．
2⎭
22．A
【解析】若f (x ) 偶函数，则有f (x ) =
f -(x ；) 若f (x ) =s i πn x (，则有
f (-1) =s i π-n (=，) f (1)=sin π=0，即f (-1) =f (1)，而f (x ) =sin(πx ) 为奇函数，
所以命题p ：“函数f (x ) 为偶函数”是命题q ：“∃x ∈, () =x (-) 0Rfx 0f 条件，故选A ．
23．B
【解析】若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α或l //α，所以p 1是假命题；
”的充分不必要
f (-x )=2-x -2x
=-(2x -2-x )=-f (x )，所以p 2是真命题；由x +
A>B⇒a >b
1
=1得：x =0，所以p 3是假命题；x +1
⇒2R sin A>2R sin B⇒sin A>sin B，所以p 4是真命题．故选B ．
24．C
【解析】令
y =f (2x 2+1) +f (λ-x ) =0，且f (x ) 是奇函数，则
2
又因为f (x ) 是R 上的单调函数，所以2x +1=x -λf (2x 2+1) =-f (λ-x ) =f (x -λ) ，
2
只有一个零点，即2x -x +1-λ=0只有一个零点，则∆=1-8(1-λ) =0，解得λ=-
7
，8
故选C ．
25．C
【解析】令t =2，则t ∈[1, 2]，f (x ) =2-
x
x
a
在区间[0, 1]上单调递增，转化为x 2
⎧a 2t -（a ≤t ）a a ⎪t 2
f (t ) =t -在[1, 2]上单调递增，又f (t ) =t -=⎨，当a ≤t 时，
t t ⎪a -t （a ≥t 2）
⎩t
f '(t ) =1+
a 22
≥0[1, 2]a ≥-t a ≥t -1≤a ≤1在恒成立，必有，可求得；当时，2t
a
≥0在[1, 2]恒成立，必有a ≤-t 2，与a ≥t 2矛盾，所以此时a 不存在．故选2t
f '(t ) =-1-C ． 26．D
【解析】设x 1
f (x 1) -f (x 2)
0，即
x 1-x 2
f (x 1) >f (x 2) ，所以函数f (x ) 为减函数．因为函数y =f (x -1) 的图象关于(1,0)成中心
对称，所以y =f (x ) 为奇函数，所以f (s 2-2s ) ≤-f (2t -t 2) =f (t 2-2t ) ，所以
s 2-2s ≥t 2-2t ，即(s -t )(s +t -2) ≥0．因为
t -2s 3s 3
=1-=1-，而在条件
s +t s +t 1+s
t 1t 133⎧(s -t )(s +t -2) ≥0
∈[-,1]1+∈[, 2]∈[,6]，所下，易求得，所以，所以⎨s 2s 22⎩1≤s ≤41+
s
以1-
t -2s 11
∈[-5, -]，故选D ． ∈[-5, -]，即
t s +t 221+s
3
27．{-1,2} 【解析】
试题分析：A B ={-1,2,3,6} {x |-2
考点：集合运算
【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解． 28．-2 【解析】
试题分析：因为函数f (x ) 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以
f (-1) =-f (1),f (-1) =f (-1+2) =f (1)，所以-f (1)=f (1)，即f (1=)
1
55111
f (-) =f (--2) =f (-) =-f () =-42=-2，所以f (-) +f (1)=-2．
22222
0，
考点：函数的奇偶性和周期性．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把f (-) 和
5
2
f (1)，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．
29．4 2 【解析】
15
试题分析：设log b a =t , 则t >1，因为t +=⇒t =2⇒a =b 2，
t 2
因此a b =b a ⇒b 2b =b b ⇒2b =b 2⇒b =2, a =4. 考点：1、指数运算；2、对数运算． 【易错点睛】在解方程log a b +log b a =
2
5
时，要注意log b a >1，若没注意到log b a >1，2
方程log a b +log b a =30．(, ) 【解析】
5
的根有两个，由于增根导致错误． 2
1322
试题分析：由题意f (x ) 在(0,+∞) 上递减，又f (x ) 是偶函数，
则不等式f (2或化为f (2
a -1
a -1
) >f (
) >
f ，则2
a -1
13113
，解得
22222
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 31．②③ 【解析】
试题分析：对于①，若令P (1,1)，则其伴随点为P '(, -) ，而P '(, -) 的伴随点为
12121212
(-1, -1) ，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线f (x , y ) =0关于x 轴对称，则f (x , -y ) =0
与方程f (x , y ) =0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f (
y -x
, ) =0与
x 2+y 2x 2+y 2
f (
-y -x y -x
也表示同一曲线，又曲线, ) =0f (, ) =0与曲线22222222
x +y x +y x +y x +y -y -x
的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为) =0
x 2+y 2x 2+y 2
f (
P (cosx ,sin x ) ，其伴随点为P '(sinx , -cos x ) 仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y =kx +b 上任一点P (x , y ) 的伴随点是P ' (
y -x
, ) ，消参后点P ' 轨迹是圆，故2222
x +y x +y
④错误．所以正确的为序号为②③． 考点：对新定义的理解、函数的对称性．
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
232．-
5
51911123
【解析】f (-) =f (-) =f () =f () ⇒-+a =-⇒a =，
22222255
32
因此f (5a ) =f (3)=f (1)=f (-1) =-1+=-
55
考点：分段函数，周期性质 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值．
33．-3,1 【解析】
试题分析：要使函数有意义，必须3-2x -x ≥0，即x +2x -3≤0，∴-3≤x ≤1．故答案应填：-3,1
2
2
[]
[
]，
考点：函数定义域
【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路．列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起．
34．2，(-∞, -1) ． 【解析】
试题分析：如图作出函数g (x ) =x 3-3x 与直线y =-2x 的图象，它们的交点是A (-1,2) ，
O (0,0)，B (1,-2) ，由g '(x ) =3x 2-3，知x =1是函数g (x ) 的极大值点， ⎧x 3-3x , x ≤0
①当a =0时，f (x ) =⎨，因此f (x ) 的最大值是f (-1) =2；
⎩-2x , x >0
②由图象知当a ≥-1时，f (x ) 有最大值是f (-1) =2；只有当a
3
考点：1．分段函数求最值；2．数形结合的数学思想．
【名师点睛】1．分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2．在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 35．(3, +∞)
【解析】 试题分析：
画出函数图象如下图所示：
由图所示，要f (x )=b 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
m >m 2-2m ⋅m +4m , m 2-3m >0，解得m >3
考点：1．函数的图象与性质；2．函数与方程；3．分段函数
【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等． 36．log 2(x-1) 【解析】 试题分析：
（3，9）将点带入函数f (x )=1+a x 的解析式得a =2，所以f (x )=1+2x ，用y 表示x 得
x =log 2(y-1) ，所以f -1(x )=log 2(x -1) ．
考点：1．反函数的概念；2．指数函数的图象和性质． 【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注．本题较为容易． 37．2
【解析】g (x )=2f (x )-2的零点个数，即是方程f (x )=
x
2
的根的个数，也就是x 2
y =f (x )与y =
22
y =的图象的交点个数，分别作出与的图象，如图所示，y =f x ()x x
22
2
的图象有两个交点，所以函数g (x )有2个零点． x 2
由图象知y =f (x )与y =
38．（1）312；（2）PO 1=【解析】 试题分析：（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以PO 1为自变量建立体积的函数关系式，与（1）相似，先用PO 1分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，
V =V 锥+V 柱=
26
36h -h 3), (0
试题解析：解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO1=8．
因为A 1B 1=AB=6，
2
所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=⋅A 1B 1⋅PO 1=
1312
⨯6⨯2=24(m 3); 3
223
正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB ⋅OO 1=6⨯8=288m .
()
所以仓库的容积V=V锥+V
柱=24+288=312（m ）． （2）设A 1B 1=a（m ）,PO 1=h（m ），则0＜h ＜6,OO 1=4h．连结O 1B 1． 因为在RT ∆PO 1B 1中，OB 12+PO 12=PB 12，
3
222所以，即a =2(36-h ). +h =36⎝⎭
12132262
a h =36
h -h 3), (0
+a ⋅h =
(333
26
36-3h 2)=26(12
-h 2)． 从而V ' =(3
令V ' =0，得
h =或h
=-． 当00 ，V 是单调增函数； 当h
2
考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积
【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法．而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握．
39．（1）x ∈ -∞, -⎪ (0, +∞)．（2）(1,2] {3,4}．（3）⎢, +∞⎪．
【解析】
试题分析：（1）由log 2 ⎛⎝1⎫4⎭⎡2⎣3⎫⎭1⎛1⎫+5⎪>0，利用得+5>1求解． x ⎝x ⎭（2）转化得到(a -4)x 2+(a -5)x -1=0，讨论当a =4、a =3时，以及a ≠3且a ≠4时的情况．
（3）讨论f (x )在(0, +∞)上单调递减．
确定函数f (x )在区间[t , t +1]上的最大值与最小值之差．得到at 2+(a +1)t -1≥0，对任意
⎡1⎤t ∈⎢,1⎥成立． ⎣2⎦
试题解析：（1）由log 2 1⎛1⎫+5⎪>0，得+5>1， x ⎝x ⎭解得x ∈ -∞, -⎪ (0, +∞)． ⎛
⎝1⎫4⎭
（2）1+a =(a -4)x +2a -5，(a -4)x 2+(a -5)x -1=0， x
当a =4时，x =-1，经检验，满足题意．
当a =3时，x 1=x 2=-1，经检验，满足题意．
当a ≠3且a ≠4时，x 1=1，x 2=-1，x 1≠x 2． a -4
x 1是原方程的解当且仅当1+a >0，即a >2； x 1
1+a >0，即a >1． x 2x 2是原方程的解当且仅当
于是满足题意的a ∈(1,2]．
综上，a 的取值范围为(1,2] {3,4}．
（3）当0+a ，log 2 +a ⎪>log 2 +a ⎪， x 1x 2⎝x 1⎭⎝x 2⎭
所以f (x )在(0, +∞)上单调递减．
函数f (x )在区间[t , t +1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t +1)．
⎛1⎫⎛1⎫f (t )-f (t +1)=log 2 +a ⎪-log 2 +a ⎪≤1即at 2+(a +1)t -1≥0，对任意 ⎝t ⎭⎝t +1⎭
⎡1⎤t ∈⎢,1⎥成立． ⎣2⎦
因为a >0，所以函数y =at 2+(a +1)t -1在区间⎢,1⎥上单调递增，t =⎡1⎤
⎣2⎦1时，y 2
有最小值31312a -，由a -≥0，得a ≥． 42423
故a 的取值范围为⎢, +∞⎪．
考点：1．对数函数的性质；2．函数与方程；3．二次函数的性质．
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题．解答本题关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解．本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出．．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． ⎡2⎣3⎫⎭