10气体分子运动论 10.1 温度的统计意义
1. 关于温度的意义，有下列几种说法：
(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度．
(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同．
(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 这些说法中正确的是
(A) (1)、(2)、(4)． (B) (1)、(2)、(3)． (C) (2)、(3)、(4)． (D) (1)、(3)、(4)．
答案：(B) 参考解答：
根据分子平均平动动能公式：ϖ=kT
可得温度的统计意义：大量分子的平均平动动能与绝对温度成正比，与气体种类无关。这一结果揭示了温度的微观本质：气体的温度是大量气体分子平均平动动能的量度，是大量分子无规则热运动的集体表现，具有统计的意义，对于单个分子或少数几个分子，无温度可言。
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 对一定质量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积减小而增大(玻意耳定律) ；当体积不变时，压强随温度升高而增大(查理定律) ．从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观分子运动看，它们的区别在哪里？
参考解答：
由压强公式p ＝2n /3可知，p 与n 和成正比，对于一定量气体来说，当温度不变时，即平均平动动能=3kT /2一定时，体积减小，会使单位体积的分子数n 增大，致使分子对器壁碰撞次数增加，故p 增大．当体积不变时，则n 不变，温度升高会使分子平均平动动能增大，这使得碰撞次数和每次碰撞的平均冲力都增加，故使p 增大．从上述分析可见，两种情形中虽然在宏观上都是使p 增大，但在微观上使p 增大的原因是不同的，前者是n 增大，而后者是增大．
进入下一题：
3. 当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，有人说：容器内分子的热运动速度相对于这参考系增大，因此气体的温度将升高。这种说法是
(A) 对的。 (B) 不对的。
答案：(B)
32
参考答案：
13
公式：m v 2=kT
22
揭示了温度的微观本质，即温度仅是分子热运动的平均平动动能的量度，与是否有定向运动无关。所以当容器发生定向运动时，虽然每个分子此时在原有的热运动上叠加了定向运动，也不会因此而改变分子的热运动状态，所以气体的温度不会升高．
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
4. 盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，假如该容器突然停止运动， (A) 容器内气体的压强增大、温度升高。 (B) 容器内气体的压强、温度均无变化。
答案：(A)
参考答案：
容器突然停止运动时，分子的定向运动动能经过分子与容器壁分子间的相互碰撞而发生能量的转化，定向运动的机械能转化为分子热运动动能，气体的内能增加了，所以气体的温度升高了，由于体积不变，所以气体的压强也增大了。
进入下一题：
10.2 分子平均平动动能
1. 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们
(A) 温度相同、压强相同． (B) 温度、压强都不相同． (C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强． (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强． 答案：(C) 参考解答：
根据ϖ=kT ，分子平均平动动能相同，则T 相同； 密度相同，即
M He M N 2M
根据 PV =RT (μ为摩尔质量) ， =，
μV He V N 2
3
2
因为μN 2>μHe . 则氦气的压强大于氮气的压强。
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能和平均平动动能有如下关系：
(A) 和都相等． (B) 相等，而不相等． (C) 相等，而不相等． (D) 和都不相等． 答案：(C) 参考解答：
平均动能=kT (i 为气体分子自由度) ，平均平动动能=kT .
显然氦气(i =3)和氧气(i =5)自由度不相同，不相等。而温度相同，相等。
对所有错误的选择，进入下面的讨论：
2.1写出分子自由度与平均动能之间的关系.
参考解答： 一般来说，一个分子的运动自由度包括平动自由度、转动自由度和振动自由度，它们的数目分别用t 、r 和s 来表示。
实验表明：一般分子在低温下只存在平动，在常温下开始转动，高温下才开始振动，即在常温下，通常可以不考虑分子内原子间的振动，把分子看作刚性的。 对单原子分子，t ＝3，r ＝0，s ＝0，则 =kT 。
5
26
对多原子刚性分子，t ＝3，r ＝3，s ＝0，则 =kT 。
2
32
i 2
32
对双原子刚性分子，t ＝3，r ＝2，s ＝0，则 =kT 。
由上可知，理想气体分子的平均动能仅与自由度及气体的温度有关。
进入下一单元： 10.3平均速率
1. 设声波通过理想气体的速率正比于气体分子的热运动平均速率，则声波通过具有相同温度的氧气和氢气的速率之比v O 2/v H 2为
(A) 1． (B) 1/2． (C) 1/3． (D) 1/4． 答案：(D) 参考解答：
平均速率=8kT =8RT , (μ为摩尔质量)
πm
πμ
μO 2=32⨯10-3kg /mol , μH 2=2⨯10-3kg /mol .
声波通过具有相同温度的氧气和氢气的速率之比v O 2/v H 2为：
v O 2v H 2
=
μH 21
=. μO 24
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？
参考解答：
气体的算术平均速率公式： =
8RT RT
， ≈1. 60
πμμ
在空气中有O 2，N 2，Ar ，H 2，CO 2等分子，其中以H 2的摩尔质量最小．从
上式可知，在同一温度下H 2的的较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层．H 2摩尔质量μ 最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O 2、Ar 、CO 2达到这一速度的分子数多。H 2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H 2在大气中的含量最少．
进入下一题：
10.4速率分布律
1. 速率分布函数f (v ) 的物理意义为： (A) 具有速率v 的分子占总分子数的百分比．
(B) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比． (C) 具有速率v 的分子数． (D) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数． 答案：(B) 参考解答：
∆N /N ∆N 为速率分布在v ～v +∆v 区间内的分子数，设N 为气体分子总数，
表示该区间内分子数占总分子数的百分比。在不同速率附近取相同大小的速率区间，∆N /N 的数值是不同的，是速率v 的函数。另外，∆N /N 正比于∆v ，所以有：
∆N
=f (v ) ∆v N
当区间∆v 足够小时，∆v →d v ，∆N →d N , 上式成为：
d N d N
=f (v ) d v 即 f (v ) =
N N d v
式中的函数f (v ) 表示分子速率分布在v 值附近单位速率区间内的分子数占分
子总数的百分比，称为气体分子的速率分布函数。速率分布函数是表征大量分子统计特征的函数，是分子运动统计规律的表现。
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 若f (v ) 表示分子速率的分布函数，则对下列四式叙述： (1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 区间内的分子数． (2) (3)
⎰⎰
v 2
v 1∞
f (v ) d v 表示在v 1→v 2速率区间内的分子数．
v f (v ) d v 表示在整个速率范围内分子速率的总和．
(4) ∞
⎰v f (v ) d v 表示在v 0→∞速率区间内分子的平均速率.
v 0
上述对四式物理意义的叙述
(A) 正确的是(1). (B) 正确的是(2).
(C) 正确的是(3). (D) 正确的是(4). (E) 都不正确．
答案：(E)
选择(A)
进入下面的分析
(A)是不正确的。 根据：
d N
N
=f (v ) d v ，正确的说法应该是： (1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 速率区间内的分子数占总分子数的百分比． 选择(B)
进入下面的分析
(B)是不正确的。
根据：d N ∆N v 1→v 2N
=f (v ) d v ，有N =⎰v 2d N v v 1N =⎰2v 1f (v ) d v . 正确的说法应该是： (2)
⎰
v 2
v f (v ) d v 表示处在v 1→v 2速率区间内的分子数占总分子数的百分比．1
选择(C)
进入下面的分析
(C)是不正确的。
N
根据：d N
=f (v ) d v ，有
⎰0v d N N
N
=⎰∞0
v f (v ) d v .
正确的说法应该是： (3)
⎰
∞
v f (v ) d v 表示在整个速率范围内分子速率的算术平均值．
选择(D)
进入下面的分析
(D)是不正确的。
∞
d N
v 0→∞速率区间内分子的平均速率应该是：
v ⎰v 0
∆N
v 0→∞
∞
v 0
⎰v d N
=
∞
∆N v 0→∞
∞
v 0∞
⎰N v f (v ) d v
=
v 0
∞
⎰Nf (v ) d v
v 0∞
⎰v f (v ) d v ⎰f (v ) d v
≠⎰v f (v ) d v
v 0
∞
v 0
所以公式⎰v f (v ) d v 并不表示在v 0→∞速率区间内分子的平均速率.
v 0
进入下一题：
10.5最概然速率
1. 设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令v p O 和v p H 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则
()
2
()
2
(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=4. (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=1/4. (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=1/4. (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=4.
答案：(B) 参考解答：
2kT 2RT RT
=≈1. , μO 2>μH 2, ∴v p H >v p
2m μμ
(v p )O 2μH 21
所以ａ表示氧气分子的速率分布曲线，另外，
v p H =μO 2=4.
最概然速率v p =
()()
O 2
.
2
对所有错误的选择，进入下一题：
1.1 各自处于平衡态的两种理想气体，温度相同，分子质量分别为m 1、m 2．已知两种气体分子的速率分布曲线如图所示，问m 1和m 2哪一个大？ (A) m 1>m 2. (B) m 1
参考答案：
由v p ∝知，m 越大v p 则越小． 由图知，v p 1比v p 2小，故m 1比m 2大．
p 1p 2
进入下一题：
2. 最概然速率v p 就是分子速率的最大值吗？ (A) 是。 (B) 不是。 答案： (B)
参考答案：最概然速率v p 不是分子速率的最大值。
最概然速率v p 是指以相同的速率微小区间而论，气体分子速率取v p 附近值的概率最大．
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
3. 已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2时的分子最概然速率分别为v p 1和v p 2，分子速率分布函数的最大值分别为f (v p 1) 和f (v p 2) ．若T 1>T 2，则 (A) v p 1 > vp 2， f (v p 1)> f (v p 2) ． (B) v p 1 > vp 2， f (v p 1) f (v p 2) ． (D) v p 1
8m -12kT 2RT RT
e . =≈1. , f (v p ) =
πkT m μμ
所以若T 1>T 2，则v p 1 > vp 2，f (v p 1)
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
4. 两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的 (A) 平均速率相等，方均根速率相等． (B) 平均速率相等，方均根速率不相等． (C) 平均速率不相等，方均根速率相等． (D) 平均速率不相等，方均根速率不相等． 答案：(A) 参考解答：
三个特征速率（最概然速率v p , 平均速率和方均根速率2）的表示式：
v p =
2kT 2RT
=, =8kT =8RT , 2=8kT =8RT , m μπm πμπm πμ
T
. m
三种速率和T 、m (或 μ ) 的关系相同，都∝
所以两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的平均速率相等，方均根速率相等。
对所有错误的选择，进入下一题：
4.1 有温度相同的氢和氧两种气体，它们各自的算术平均速率、方均根速率2是否相同？
(A) 相同. (B) 不相同.
答案：(B) 参考解答： 由公式=
8kT 8RT 3kT 3RT
，2= ==
πm πμm μ
可知：氧气的、2 比氢气的小．
进入下一题：
5. 气体分子的最概然速率、平均速率以及方均根速率各有什么用处？
参考解答：
方均根速率可用来计算分子的平均平动动能，算术平均速率可用来计算分子的平均碰撞频率，最概然速率能反映出分子按速率分布的某种规律性。
进入下一题：
10.6平均碰撞频率、平均自由程
1. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体) ，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：
(A) 和都增大一倍． (B) 和都减为原来的一半． (C) 增大一倍而减为原来的一半．
(D) 减为原来的一半而增大一倍．
答案：(C)
参考解答：
温度不变，则平均速率=8kT =8RT 不变，
πm
πμ
平均碰撞频率Z =2πd 2n v =2πd 2v 平均自由程=
P
, 当压强增大一倍时，增大一倍。 kT
kT
，当温度不变而压强增大一倍时，减为原来的一半。 2
2πd P
对所有选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 一定质量的气体，保持容积不变。当温度增加时分子运动更剧烈．因而平均碰
撞次数增多，平均自由程是否也因此
(A) 减小。 (B) 未减小。
答案：(B)
参考解答：
平均自由程未减小。平均自由程的表达式为 =
12πd 2n
它只与分子数密度及分子的有效直径有关，而与温度无关。平均碰撞频率Z 的表达式为
Z =πd 2n =2πd 2n
8kT
πm
温度增加时平均碰撞次数增多，是由于分子的平均速度提高了，则单位时间内走过的路程增加，因而单位时间内发生碰撞的次数增多。在相邻两次碰撞之间所走过的平均路程没有变化，因此平均自由程未减小。
对所有错误的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2.1 在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程与温度T 成正比？在什么条件下，与T 无关？(设气体分子的有效直径一定)
参考解答：
=
kT 2πd 2p 12πd n
2
可见，对于分子有效直径一定的气体，当压强p 恒定时， 与T 成正比．
=
n = N / V
可见，对于分子有效直径一定的气体，当分子总数N 和气体体积V 恒定时，与T 无关．
进入下一题：
3. 测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行？假若真空度较差，问容器内允许的气体压强受到什么限制？
参考解答：
如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。假若真空度较差，只要分子的平均自由程大于容器的线度L ，即>L ，那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:
=
kT πd 2P
, 所以要求
kT πd 2P
>L , 即 P
kT 2πd 2L
.
这就是对于容器内压强的限制条件。
10气体分子运动论 10.1 温度的统计意义
1. 关于温度的意义，有下列几种说法：
(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度．
(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同．
(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 这些说法中正确的是
(A) (1)、(2)、(4)． (B) (1)、(2)、(3)． (C) (2)、(3)、(4)． (D) (1)、(3)、(4)．
答案：(B) 参考解答：
根据分子平均平动动能公式：ϖ=kT
可得温度的统计意义：大量分子的平均平动动能与绝对温度成正比，与气体种类无关。这一结果揭示了温度的微观本质：气体的温度是大量气体分子平均平动动能的量度，是大量分子无规则热运动的集体表现，具有统计的意义，对于单个分子或少数几个分子，无温度可言。
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 对一定质量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积减小而增大(玻意耳定律) ；当体积不变时，压强随温度升高而增大(查理定律) ．从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观分子运动看，它们的区别在哪里？
参考解答：
由压强公式p ＝2n /3可知，p 与n 和成正比，对于一定量气体来说，当温度不变时，即平均平动动能=3kT /2一定时，体积减小，会使单位体积的分子数n 增大，致使分子对器壁碰撞次数增加，故p 增大．当体积不变时，则n 不变，温度升高会使分子平均平动动能增大，这使得碰撞次数和每次碰撞的平均冲力都增加，故使p 增大．从上述分析可见，两种情形中虽然在宏观上都是使p 增大，但在微观上使p 增大的原因是不同的，前者是n 增大，而后者是增大．
进入下一题：
3. 当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，有人说：容器内分子的热运动速度相对于这参考系增大，因此气体的温度将升高。这种说法是
(A) 对的。 (B) 不对的。
答案：(B)
32
参考答案：
13
公式：m v 2=kT
22
揭示了温度的微观本质，即温度仅是分子热运动的平均平动动能的量度，与是否有定向运动无关。所以当容器发生定向运动时，虽然每个分子此时在原有的热运动上叠加了定向运动，也不会因此而改变分子的热运动状态，所以气体的温度不会升高．
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
4. 盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，假如该容器突然停止运动， (A) 容器内气体的压强增大、温度升高。 (B) 容器内气体的压强、温度均无变化。
答案：(A)
参考答案：
容器突然停止运动时，分子的定向运动动能经过分子与容器壁分子间的相互碰撞而发生能量的转化，定向运动的机械能转化为分子热运动动能，气体的内能增加了，所以气体的温度升高了，由于体积不变，所以气体的压强也增大了。
进入下一题：
10.2 分子平均平动动能
1. 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们
(A) 温度相同、压强相同． (B) 温度、压强都不相同． (C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强． (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强． 答案：(C) 参考解答：
根据ϖ=kT ，分子平均平动动能相同，则T 相同； 密度相同，即
M He M N 2M
根据 PV =RT (μ为摩尔质量) ， =，
μV He V N 2
3
2
因为μN 2>μHe . 则氦气的压强大于氮气的压强。
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能和平均平动动能有如下关系：
(A) 和都相等． (B) 相等，而不相等． (C) 相等，而不相等． (D) 和都不相等． 答案：(C) 参考解答：
平均动能=kT (i 为气体分子自由度) ，平均平动动能=kT .
显然氦气(i =3)和氧气(i =5)自由度不相同，不相等。而温度相同，相等。
对所有错误的选择，进入下面的讨论：
2.1写出分子自由度与平均动能之间的关系.
参考解答： 一般来说，一个分子的运动自由度包括平动自由度、转动自由度和振动自由度，它们的数目分别用t 、r 和s 来表示。
实验表明：一般分子在低温下只存在平动，在常温下开始转动，高温下才开始振动，即在常温下，通常可以不考虑分子内原子间的振动，把分子看作刚性的。 对单原子分子，t ＝3，r ＝0，s ＝0，则 =kT 。
5
26
对多原子刚性分子，t ＝3，r ＝3，s ＝0，则 =kT 。
2
32
i 2
32
对双原子刚性分子，t ＝3，r ＝2，s ＝0，则 =kT 。
由上可知，理想气体分子的平均动能仅与自由度及气体的温度有关。
进入下一单元： 10.3平均速率
1. 设声波通过理想气体的速率正比于气体分子的热运动平均速率，则声波通过具有相同温度的氧气和氢气的速率之比v O 2/v H 2为
(A) 1． (B) 1/2． (C) 1/3． (D) 1/4． 答案：(D) 参考解答：
平均速率=8kT =8RT , (μ为摩尔质量)
πm
πμ
μO 2=32⨯10-3kg /mol , μH 2=2⨯10-3kg /mol .
声波通过具有相同温度的氧气和氢气的速率之比v O 2/v H 2为：
v O 2v H 2
=
μH 21
=. μO 24
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？
参考解答：
气体的算术平均速率公式： =
8RT RT
， ≈1. 60
πμμ
在空气中有O 2，N 2，Ar ，H 2，CO 2等分子，其中以H 2的摩尔质量最小．从
上式可知，在同一温度下H 2的的较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层．H 2摩尔质量μ 最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O 2、Ar 、CO 2达到这一速度的分子数多。H 2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H 2在大气中的含量最少．
进入下一题：
10.4速率分布律
1. 速率分布函数f (v ) 的物理意义为： (A) 具有速率v 的分子占总分子数的百分比．
(B) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比． (C) 具有速率v 的分子数． (D) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数． 答案：(B) 参考解答：
∆N /N ∆N 为速率分布在v ～v +∆v 区间内的分子数，设N 为气体分子总数，
表示该区间内分子数占总分子数的百分比。在不同速率附近取相同大小的速率区间，∆N /N 的数值是不同的，是速率v 的函数。另外，∆N /N 正比于∆v ，所以有：
∆N
=f (v ) ∆v N
当区间∆v 足够小时，∆v →d v ，∆N →d N , 上式成为：
d N d N
=f (v ) d v 即 f (v ) =
N N d v
式中的函数f (v ) 表示分子速率分布在v 值附近单位速率区间内的分子数占分
子总数的百分比，称为气体分子的速率分布函数。速率分布函数是表征大量分子统计特征的函数，是分子运动统计规律的表现。
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 若f (v ) 表示分子速率的分布函数，则对下列四式叙述： (1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 区间内的分子数． (2) (3)
⎰⎰
v 2
v 1∞
f (v ) d v 表示在v 1→v 2速率区间内的分子数．
v f (v ) d v 表示在整个速率范围内分子速率的总和．
(4) ∞
⎰v f (v ) d v 表示在v 0→∞速率区间内分子的平均速率.
v 0
上述对四式物理意义的叙述
(A) 正确的是(1). (B) 正确的是(2).
(C) 正确的是(3). (D) 正确的是(4). (E) 都不正确．
答案：(E)
选择(A)
进入下面的分析
(A)是不正确的。 根据：
d N
N
=f (v ) d v ，正确的说法应该是： (1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 速率区间内的分子数占总分子数的百分比． 选择(B)
进入下面的分析
(B)是不正确的。
根据：d N ∆N v 1→v 2N
=f (v ) d v ，有N =⎰v 2d N v v 1N =⎰2v 1f (v ) d v . 正确的说法应该是： (2)
⎰
v 2
v f (v ) d v 表示处在v 1→v 2速率区间内的分子数占总分子数的百分比．1
选择(C)
进入下面的分析
(C)是不正确的。
N
根据：d N
=f (v ) d v ，有
⎰0v d N N
N
=⎰∞0
v f (v ) d v .
正确的说法应该是： (3)
⎰
∞
v f (v ) d v 表示在整个速率范围内分子速率的算术平均值．
选择(D)
进入下面的分析
(D)是不正确的。
∞
d N
v 0→∞速率区间内分子的平均速率应该是：
v ⎰v 0
∆N
v 0→∞
∞
v 0
⎰v d N
=
∞
∆N v 0→∞
∞
v 0∞
⎰N v f (v ) d v
=
v 0
∞
⎰Nf (v ) d v
v 0∞
⎰v f (v ) d v ⎰f (v ) d v
≠⎰v f (v ) d v
v 0
∞
v 0
所以公式⎰v f (v ) d v 并不表示在v 0→∞速率区间内分子的平均速率.
v 0
进入下一题：
10.5最概然速率
1. 设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令v p O 和v p H 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则
()
2
()
2
(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=4. (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=1/4. (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=1/4. (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p ) O 2/(v p ) H 2=4.
答案：(B) 参考解答：
2kT 2RT RT
=≈1. , μO 2>μH 2, ∴v p H >v p
2m μμ
(v p )O 2μH 21
所以ａ表示氧气分子的速率分布曲线，另外，
v p H =μO 2=4.
最概然速率v p =
()()
O 2
.
2
对所有错误的选择，进入下一题：
1.1 各自处于平衡态的两种理想气体，温度相同，分子质量分别为m 1、m 2．已知两种气体分子的速率分布曲线如图所示，问m 1和m 2哪一个大？ (A) m 1>m 2. (B) m 1
参考答案：
由v p ∝知，m 越大v p 则越小． 由图知，v p 1比v p 2小，故m 1比m 2大．
p 1p 2
进入下一题：
2. 最概然速率v p 就是分子速率的最大值吗？ (A) 是。 (B) 不是。 答案： (B)
参考答案：最概然速率v p 不是分子速率的最大值。
最概然速率v p 是指以相同的速率微小区间而论，气体分子速率取v p 附近值的概率最大．
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
3. 已知一定量的某种理想气体，在温度为T 1与T 2时的分子最概然速率分别为v p 1和v p 2，分子速率分布函数的最大值分别为f (v p 1) 和f (v p 2) ．若T 1>T 2，则 (A) v p 1 > vp 2， f (v p 1)> f (v p 2) ． (B) v p 1 > vp 2， f (v p 1) f (v p 2) ． (D) v p 1
8m -12kT 2RT RT
e . =≈1. , f (v p ) =
πkT m μμ
所以若T 1>T 2，则v p 1 > vp 2，f (v p 1)
对所有的选择，均给出参考解答，进入下一题：
4. 两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的 (A) 平均速率相等，方均根速率相等． (B) 平均速率相等，方均根速率不相等． (C) 平均速率不相等，方均根速率相等． (D) 平均速率不相等，方均根速率不相等． 答案：(A) 参考解答：
三个特征速率（最概然速率v p , 平均速率和方均根速率2）的表示式：
v p =
2kT 2RT
=, =8kT =8RT , 2=8kT =8RT , m μπm πμπm πμ
T
. m
三种速率和T 、m (或 μ ) 的关系相同，都∝
所以两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的平均速率相等，方均根速率相等。
对所有错误的选择，进入下一题：
4.1 有温度相同的氢和氧两种气体，它们各自的算术平均速率、方均根速率2是否相同？
(A) 相同. (B) 不相同.
答案：(B) 参考解答： 由公式=
8kT 8RT 3kT 3RT
，2= ==
πm πμm μ
可知：氧气的、2 比氢气的小．
进入下一题：
5. 气体分子的最概然速率、平均速率以及方均根速率各有什么用处？
参考解答：
方均根速率可用来计算分子的平均平动动能，算术平均速率可用来计算分子的平均碰撞频率，最概然速率能反映出分子按速率分布的某种规律性。
进入下一题：
10.6平均碰撞频率、平均自由程
1. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体) ，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是：
(A) 和都增大一倍． (B) 和都减为原来的一半． (C) 增大一倍而减为原来的一半．
(D) 减为原来的一半而增大一倍．
答案：(C)
参考解答：
温度不变，则平均速率=8kT =8RT 不变，
πm
πμ
平均碰撞频率Z =2πd 2n v =2πd 2v 平均自由程=
P
, 当压强增大一倍时，增大一倍。 kT
kT
，当温度不变而压强增大一倍时，减为原来的一半。 2
2πd P
对所有选择，均给出参考解答，进入下一题：
2. 一定质量的气体，保持容积不变。当温度增加时分子运动更剧烈．因而平均碰
撞次数增多，平均自由程是否也因此
(A) 减小。 (B) 未减小。
答案：(B)
参考解答：
平均自由程未减小。平均自由程的表达式为 =
12πd 2n
它只与分子数密度及分子的有效直径有关，而与温度无关。平均碰撞频率Z 的表达式为
Z =πd 2n =2πd 2n
8kT
πm
温度增加时平均碰撞次数增多，是由于分子的平均速度提高了，则单位时间内走过的路程增加，因而单位时间内发生碰撞的次数增多。在相邻两次碰撞之间所走过的平均路程没有变化，因此平均自由程未减小。
对所有错误的选择，均给出参考解答，进入下一题：
2.1 在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程与温度T 成正比？在什么条件下，与T 无关？(设气体分子的有效直径一定)
参考解答：
=
kT 2πd 2p 12πd n
2
可见，对于分子有效直径一定的气体，当压强p 恒定时， 与T 成正比．
=
n = N / V
可见，对于分子有效直径一定的气体，当分子总数N 和气体体积V 恒定时，与T 无关．
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3. 测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行？假若真空度较差，问容器内允许的气体压强受到什么限制？
参考解答：
如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。假若真空度较差，只要分子的平均自由程大于容器的线度L ，即>L ，那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:
=
kT πd 2P
, 所以要求
kT πd 2P
>L , 即 P
kT 2πd 2L
.
这就是对于容器内压强的限制条件。