初中数学常用的十种解题方法
数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组) ，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系
数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组) 、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种) 与穷举反证法(结论的反面不只一种) 。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小) 于/不大(小) 于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n一1) 个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。
（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
初中几何常见辅助线作法歌诀汇编
人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
中考数学常用公式和定理大全
0、1、整数(包括：正整数、负整数) 和分数(包括：有限小数和无限环循小数) 都是有理数．如：－3，
，0.231，0.737373„，
，
．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－
，
0.1010010001„(两个1之间依次多1个0) ．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a ≥
0π－3.14．
3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． n 是整数) ，4、把一个数写成±a ×10的形式(其中1≤a ＜10，这种记数法叫做科学记数法．如：
5
10－5． －40700＝－4.07×10，0.000043＝4.3×
n
丨a 丨＝a ；a ≤
0丨a 丨＝－a ．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝
5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式) ：①(a ＋b )(a －b ) ＝a 2－b 2．②(a ±b ) 2＝a 2±2ab
[1**********]2
＋b ．③(a ＋b )(a －ab ＋b ) ＝a ＋b ．④(a －b )(a ＋ab ＋b ) ＝a －b ；a ＋b ＝(a ＋b ) －
2ab ，(a －b ) 2＝(a ＋b ) 2－4ab ．
6、幂的运算性质：①a ×a ＝a
n
) ＝n ．
－n ⑥a ＝
m n m ＋n
m n m －n m n mn n n n
．②a ÷a ＝a ．③(a ) ＝a ．④(ab ) ＝a b ．⑤(-
1n －n
a 01a 0a 3a 2a 5a 6a 2a 4a 32
n ，特别：() ＝() ．⑦＝(≠) ．如：×＝，÷＝，() ＝a
＝
，() －＝() ＝，(－3.14) º＝1，(
2
2
a 6，(3a 3) 3＝27a 9，(－3) －1＝－，5－2＝
) ＝1． 7、二次根式：①(b ≥0) ．如：①(3
) ＝a (a ≥0) ，②) ＝45．②
22
－
＝丨a 丨，③＝6．③a ＜0时，
＝×＝－a
，④．④
＝(a ＞0，的平方根
＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0：
-b ±，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式．
①求根公式是x
＝
2a
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．
②若方程有两个实数根x 1和x 2，并且二次三项式ax ＋bx ＋c 可分解为a (x －x 1)(x －x 2) ．
2
③以a 和b 为根的一元二次方程是x －(a ＋b ) x ＋ab ＝0．
2
9、一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 的图象是一条直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标即一次函数在y 轴上的截距) ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升) ；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小(直线从左向右下降) ．特别：当b ＝0时，y ＝kx (k ≠0) 又叫做正比例函数(y 与x 成正比例) ，图象必过原点．
10、反比例函数y ＝(k ≠0) 的图象叫做双曲线．当k ＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降) ；当k ＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升) ．因此，它的增减性与一次函数相反．
11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个) ，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数) 叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n 个数x 1，x 2，„，x n ，那么： ①平均数为：x =
x 1+x 2+...... +x n
；
n
②极差：
用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差
称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差： 数
据
x 1
、
x 2
„„,
2
x n
的方差
2
为
s 2
，则
s 2=
21轾
x -x (1) +犏n 臌
(x 2-x ) +..... +
x 2
„„,
(x n -x )
的
标
标准差：方差的算术平方根. 数
据
x 1
、
x n
准
差
s
，则
s =
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 12、频率与概率：
（1）频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方
总数
图中各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率
①如果用P 表示一个事件A 发生的概率，则0≤P（A ）≤1； P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0；
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数：
①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A
的正弦：sin A ＝
，∠A 的正切：tan A ＝
，∠A 的余弦：cos A ＝-
22
．并且sin A ＋cos A ＝1．
0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A ) ＝cos A ，cos (90º－A ) ＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝tan30º＝
，tan45º＝1，tan60º＝
．
l
，sin60º＝cos30º＝
，
铅垂高度④斜坡的坡度：i ＝＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．
水平宽度
14、平面直角坐标系中的有关知识：
（1）对称性：若直角坐标系内一点P （a ，b ），则P 关于x 轴对称的点为P 1（a ，－b ），P 关于y 轴对称的点为P 2（－a ，b ），关于原点对称的点为P 3（－a ，－b ）.
（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a －h ，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a ＋h ，b ）；向上平移
h 个单位，坐标变为P （a ，b ＋h ），
向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b －h ）. 如：点A （2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A （7，1）. 15、二次函数的有关知识：
1. 定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数. 2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛2
（-） （1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，⎪+
2a 4a 2a ⎭4a ⎝
对称轴是直线x =-
2
b
. 2a
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶
点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的
交点是顶点。
若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、，则对称轴方程可以表示为：(x 2, y ) （及y 值相同）
x =
x 1+x 2
2
2
2
9. 抛物线y =ax +bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线
2
b b
，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴2a a
b
在y 轴左侧；③
a x =-
（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c
轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
b
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次
方程
2
ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根
的判别式判定：
①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(∆
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐
标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
2 （4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的
2
y =kx +n y =ax 2+bx +c
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
⇔l 与G 有两个交点; ②方
程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （5）抛物线与
x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为
A (x 1，0)，B (x 2，0)，则AB =x 1-x 2
1、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n －2) 180º（n ≥3，n 是正整数），外角和等于
360º
2、平行线分线段成比例定理：
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a ∥b ∥c ，直线l 1与l 2分别与直线a 、b 、c 相交与点A 、B 、C D 、E 、F ，则有
AB DE AB DE BC EF
=, =, = BC EF AC DF AC DF
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
如图：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 、AC 相交与点D 、E ，则有：
DB
AB B ＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt △ABC 中，∠ACB ＝
90o ，CD ⊥AB 于（1）CD =AD ⋅BD （2）AC =AD ⋅AB （3）BC =BD ⋅AB 4、圆的有关性质：
2
2
2
（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．
5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
常见结论：（1）Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径-
r =
a +b -c
； 2
1lr 2
（2）△ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则S =
＊6、弦切角定理及其推论：
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠P AC 为弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
11AC =∠AOC 如果AC 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠PAC =
22
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
如果AC 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠PAC =∠ABC
＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：P A·PB = PC·PD
割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②，即：P A·PB = PC·PD
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC 2 = PA·PB
8、面积公式： ① ②
③
①S 正△＝×(边长) ．
2
②S 平行四边形＝底×高．
③S 菱形＝底×高＝×(对角线的积) ，
S 梯形=1(上底+下底) ⨯高=中位线⨯高 2
2④S 圆＝πR ．
⑤l 圆周长＝2πR ．
⑥弧长L ＝
⑦S 扇形． n πr 21==lr 3602
2⑧S 圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh ，S 全面积＝S 侧＋S 底＝2πrh ＋2πr
⑨S 圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb ， S全面积＝S 侧＋S 底＝πrb ＋πr
2
中考数学几何公式、定理汇编 1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=„=m／n(b+d+„+n≠0),那么(a+c+„+m)／(b+d+„+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线L 和⊙O相交 d＜r
②直线L 和⊙O相切 d=r
③直线L 和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d ＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 141正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R ／180
145扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
代数公式、定理汇编：
第一章 有理数及其运算 1 自然数及其运算
11 自然数
零的符号是“0”，它表示没有数量或进位制上的空位
除0之外，任何自然数都是由若干个“1”组成的，“1”是数个数的单位，称作自然数的单位
自然数的全体：0，1，2，3，4，„，n„，叫做自然数的集合，简称自然数集 能被2整除的数叫做偶数; 不能被2整除的数叫做奇数
12 自然数的运算
1 加法: 求和的运算叫做加法
2 减法: 减法是加法的逆运算
3 乘法: 同一个自然数的连加运算，就叫做乘法
4 除法: 除法是乘法的逆运算，零不能做除数
13 自然数的运算性质
用字母表示任一个自然数，来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质，并简称为运算通性或运算律
1 加法交换律:
a+b=b+a
2 加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
3 乘法交换律:
a?b=b?a
4 乘法对加法的分配律:
(a+b)?c=a?c+b?c
5 加法结合律:
(a?b)?c=a?(b?c)
6 自然数0和1的运算特征
14 乘法运算及指数运算律
求同一个数得连乘运算，叫做乘方运算
a^n中，a 叫做底数，自然数n 叫做指数，乘方的结果a^n叫做幂(读作“a的n 次幂”或“a的n 次方”)
零的n 次方总等于零，1的n 次方总等于1
同底数幂相乘，底数不变，只是指数相加
指数运算律(一)
同底数幂相乘，指数相加，底数不变，即a^m?a^n=a^(m+n)，
指数运算律(二)
乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即(a?b)^n=a^n?b^n
指数运算律(三)
幂的乘方，指数相乘，底数不变，即(a^m)^n=a^(mn)
指数运算律(四)
同底数幂相除，指数相减，底数不变，即a^m/a^n=a^(m-n)其中m>n，a!=0
两个同底数(不为0) 、同指数的幂相除，其商等于1a^0=1 (a!=0)
分数的意义与特点
a/b?b=(a?1/b)?b=(b?1/b)?a=1?a=a
a/b=am/bm (m!=0)
a/b=(a/b)/(b/n) (n!=0)
分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变
22 分数的运算及运算律
加、减法
a/b(+，-)c/d=ad/bd(+，-)bc/bd=(ad(+，-)bc)/bd
乘法
a/b?c/d=ac/bd
除法
(a/b)/(c/d)=(a/b)?(d/c)=ad/bc
乘方
(a/b)^m=(a/b)?(a/b)„(a/b){m个括号}=(a^m)/(b^m)
分数加法的交换律是 a/b+c/d=c/d+a/b
3 有理数的意义
31 相反意义的量
在研究两者的总效果时，可以互相抵消或一部分抵消
32 正数和负数、相反数
带有正号的数叫做正数(“+”号也可省略不写);
带有负号的数叫做负数
负数与正数合并时，其结果可以相消或部分抵消
数零，既不是正数，也不是负数
对任一个数a ，总能有一个数-a ，使它们可以相消，像这样只是符号不同的两个数，叫做互为相反数
零的相反数，仍是零
33 有理数、数轴
整数包括正整数、负数和零
分数包括正分数、负分数
整数和分数，统称为有理数
全体有理数组成的集合，称为有理数集合
全体整数组成的集合，称为整数集合
全体自然数组成自然数集合
有理数可以用一条直线上的点来表示
规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴
对于任一个有理数，在数轴上都可以有一个确定的点表示它
正数和负数，可表示“相反意义”的量，而数零是它们的界限
互为相反数的一对数，在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示
34 绝对值
一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
零的绝对值是零
4 有理数的运算
41 有理数的加法与减法
加法
符号相同的两个有理数相加，只要将两数的绝对值相加，符号仍取原来的符号
两个符号相反的有理数相加，将较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的加数的符号
减法 减法是加法的逆运算
减法法则是减去一个数，等于加上这个有理数的相反数
在有理数范围内，减法运算也是畅通无阻的
42 代数和
含有加减运算的式子，都能转化成井含有加法运算的式子，我们称它为“代数和” 去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时，括号里的各项都不变; 去掉紧接负号后面的括号时，括号里的各项都要变号
添括号法则：紧接正号后面添加括号时，括号到括号里的各项都不变; 紧接符号后面添加括号时，括到括号里的各项都要变号
43 有理数的乘法与除法
乘法
异号(一负一正) 两有理数相乘，将绝对值相乘，符号取负
两个负有理数相乘，将绝对值相乘，符号取正
乘法法则：将绝对值相乘，积的符号是：同号得正，异号得负
当负乘数有奇数个时，成积为负; 当负乘数有偶数个时，成积为正;
只要有一个乘数为零，那么乘积必定是零
除法
除法法则：将绝对值相除，商的符号是：同号相除得正，异号相除得负
零除以任一个非零有理数，其商仍为零
零不能作除数
任一个非零有理数x ，除1所得的商1/x，叫做这个数x 的倒数
非零有理数x 与1/x互为倒数，其特征性质是x?1/x=1
零没有倒数
除以一个非零有理数，就等于诚意这个数的倒数a/b=a?1/b=a/b
44 有理数的乘方
非零有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇数乘方取负号，负号的偶次乘方取正号
零的非零次都0; 零的零次方没有意义
45 有理数的混合运算
先乘方，再乘除，后加减; 若有括号，则“先里后外”去括号，逐步计算
46 近似数和有效数字
与实际相符的数，叫做准确数
与实际接近的数，叫近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位这时，从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字 5 有理数的基本性质
51 有理数运算的“通性”
1 加、减、乘(乘方) 、除运算的封闭性
任意两个有理数的和、差、积、商(0不作除数) 都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下，在自然数范围内，除法(除数不为0) 、减法都不封闭; 在整数范围内，除法(除数不为0) 也不封闭
2 加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律
(1) 加法的交换律、结合律
对于有理数a 、b 、c 来说
a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)
(2) 乘法的交换律、结合律
对于有理数a 、b 、c 来说，
a?b=b?a; (a?b)?c=a?(b?c)
(3)乘法对于加法的分配律
对于有理数a 、b 、c 来说
a?(b+c)=a?b+a?c
3 加、减法运算，乘、除运算的统一
(1) 加、减运算的统一
任意一个有理数a ，总有它唯一的一个相反数-a ，使得(-a)+a=a+(-a)=0因而，有理数减法，就可以转化为加法，即a-b=a+(-b)
(2) 乘、除运算的统一
任意一非零有理数b ，总有它唯一的一个倒数1/b，使得b?1/b=1/b?b=1因而，有理数除法，就可以转化为乘法，即a/b=a?1/b(b!=
0)
4 数0与1的特性
对于任意有理数a 来说，
a+0=0+a=a; a?0=0?a=0; a?1=1?a=a
5 乘方运算满足指数运算律
52 有理数的大小顺序
负数
a-b>0， a>b;
a-b=0， a=b;
a-b
负数小于0，0小于正数，负数小于正数;
两个整数比较时，绝对值大的数较大;
两个负数比较时，绝对值大的数反而较小
负数按绝对值由大到小排列，正数按绝对值由小到大排列
在数轴上，右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数
53 等式与不等式的基本性质
1 等式
用等号“=”联结两个算式的式子，叫做等式
无需任何条件，本来就是真实的等式，叫做恒等式
在某些条件下，才能成为真实的等式，叫做条件等式
根本不能成立的等式，叫矛盾等式
等式有以下基本性质：
1) 等式的两边可以对调
2) 等式的关系可以传递
3) 等式的两边，可以加上(或减去) 同一个数
4) 等式的两边，可以乘以(或除以非零的) 同一个数
2 不等式
用不等号“>”或“
1) 如果A>B，那么B
2) 如果A>B，B>C，那么A
3) 如果A>B，那么A(+，-)m>B(+，-)m
4) 如果A>B，且m>0，那么Am>Bm
5) 如果A>B，且m
5 乘方运算满足指数运算律
52 有理数的大小顺序
负数
a-b>0， a>b;
a-b=0， a=b;
a-b
负数小于0，0小于正数，负数小于正数;
两个整数比较时，绝对值大的数较大;
两个负数比较时，绝对值大的数反而较小
负数按绝对值由大到小排列，正数按绝对值由小到大排列
在数轴上，右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数
53 等式与不等式的基本性质
1 等式
用等号“=”联结两个算式的式子，叫做等式
无需任何条件，本来就是真实的等式，叫做恒等式
在某些条件下，才能成为真实的等式，叫做条件等式
根本不能成立的等式，叫矛盾等式
等式有以下基本性质：
1) 等式的两边可以对调
2) 等式的关系可以传递
3) 等式的两边，可以加上(或减去) 同一个数
4) 等式的两边，可以乘以(或除以非零的) 同一个数
2 不等式
用不等号“>”或“
1) 如果A>B，那么B
2) 如果A>B，B>C，那么A
3) 如果A>B，那么A(+，-)m>B(+，-)m
4) 如果A>B，且m>0，那么Am>Bm
5) 如果A>B，且m
第二章 一次方程(组) 与一次不等式(组)
1 算术解法与代数解法
11 两种解法的分析、对比
12 未知数和方程
用字母x 、y 、„等，表示所要求的数量，这些字母称为“未知数”
用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式
含有未知数的等式，叫做方程
在一个方程中，所含未知数，又成为元;
被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数
某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数
不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项
13 方程的解与解方程的根据
未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式
能是方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根
求方程解的过程，叫做解方程
解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”
可以“由表及里”地去掉括号，并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来，合并在一起——这叫做合并同类项
把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是“移项变号” 把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数) ，就得到未知数应取的值 综上所述，得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项，使方程化为最简形式ax=b(a!=0)、除以未知数的系数，得出x=b/a(a!=0)
2 一元一次方程
只含有一个未知数并且次数是1的方程，叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0(a!=0，a 、b 是常数)
22 一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
1 去分母(或化为整系数);
2 去括号;
3移项变号;
4 合并同类项，化为ax=-b(a!=0)的形式;
5 方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解x=-b/a
3 一次方程组
31 二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程
能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x 、y 的一组值，叫做这个二元一次方程的一个解
任何一个二元一次方程都有无限多个解，正因为如此，二元一次方程也被称为不定方程 32 方程组与方程组的解
把几个方程联合在一起，组成一个整体，叫做联立方程，也叫方程组
由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组，成为二元一次方程组
能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组，叫做方程组的解
33 二元一次方程组的解法
求方程组的解的过程，叫做解方程组
设把二元方程转化为一元方程求解，称为消元法
叫做加减消元法，简称加减法
原方程组是矛盾方程组，无解
34 三元一次方程组及其解法
含有三个未知数的三元一次方程组
4 解应用问题
5 一元一次不等式(组)
51 一元一次方程式
在含有未知数的不等式中，如果只含有一个未知数、分母不含未知数，并且未知数的次数是一次，那么这样的不等式，叫做一元一次不 等式
能够使不等式成立的未知数的值，称为这个不等式的解，所有这样的解的集合，简称为这个不等式的解集
求不等式的解集的过程，叫做解不等式
52 一元一次不等式的解法
53 一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分，叫做这个不等式组的解集
54 一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的一般步骤是：
1 先求出不等式组里各个不等式的解集;
2 在求出这些不等式的解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集
第三章 一元二次方程
1 平方与平方根
11 面积与平方
(1) 任意两个正数的和的平方，等于这两个数的平方和
(2) 任意两个正数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减去这两个数乘积的2倍
任意两个有理数的和(或差) 的平方，等于这两个数的平方和，再加上(或减去) 这两个数乘积的2倍
12 平方根
1 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;
2 零只有一个平方根，它就是零本身;
3 负数没有平方根
14 实数
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
2 平方根的运算
21 算术平方根的性质
性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身
性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
22 算术平方根的乘、除运算
1 算术平方根的乘法
sqrt(a)?sqrt(b)=sqrt(ab) (a>=0，b>=0)
2 算术平方根的除法
sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a>=0，b>0)
通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去，叫做分母有理化
(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根
23 算术平方根的加、减运算
如果几个平方根化成最简平方根以后，被开方数相同，那么这几个平方根就叫做同类平方根
3 一元二次方程及其解法
31 一元二次方程
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程
32 特殊的一元二次方程的解法
33 一般的一元二次方程的解法——配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边，将方程化为x^2+px+q=0的形式 2 移项把常数项移至方程右边，将方程化为x^2+px=-q的形式
3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，是方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数
4 有平方根的定义，可知
(1) 当p^2/4-q>0时，原方程有两个实数根;
(2) 当p^2/4-q=0，原方程有两个相等的实数根(二重根);
(3) 当p^2/4-q
34 一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a!=0)的求根公式:
当b^2-4ac>=0时，x1，2=(-b(+，-)sqrt(b^2-4ac))/2a
35 一元二次方程根的判别式
方程ax^2+bx+c=0(a!=0)
当delta=b^2-4ac>0时，有两个不相等的实数根;
当delta=b^2-4ac=0时，有两个相等的实数根;
当delta=b^2-4ac
36 一元二次方程的根与系数的关系
以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是x^2-(x1+x2)x+x1?x2=0 4 解应用问题
第四章 多项式的四则运算
1 单项式与多项式
仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方) 运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式
单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数) 的数字系数，简称系数
当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项
12 多项式
有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式
多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项
单项式可以看作是多项式的特例
把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变
在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数，就称为这个多项式的次数
13 多项式的值
任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子 14 多项式的恒等
对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说，当未知数x 同取任一个数值a 时，如果它们所得的值都是相等的，即f(a)=g(a)，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x)，或简记为f(x)=g(x)
性质1 如果f(x)==g(x)，那么，对于任一个数值a ，都有f(a)=g(a)
性质2 如果f(x)==g(x)，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等 15 一元多项式的根
一般地，能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x 的值，叫做多项式f(x)的根 2 多项式的加、减法，乘法
21 多项式的加、减法
22 多项式的乘法
单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式
3 多项式的乘法
多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加
23 常用乘法公式
公式I 平方差公式
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
公式II 完全平方公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
两数(或两式) 和(或差) 的平方，等于它们的平方和，加上(或减去) 它们积的2倍 3 单项式的除法
两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的幂分别相除，而对于那些只在被除式里出现的字母，连同它们的指数一起作为商的因式，对于只在除式里出现的字母，连同它们的指数的相反数一起作为商的因式
一个多项式处以一个单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
第五章 因式分解
1 因式分解
11 因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式，除这个多项式本身和非零常数外，再也没有其他的因式，那么这个因式(即该多项式) 就叫做质因式
12 因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法
13 用待定系数法分解因式
2 余式定理及其应用
21 余式定理
f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)
第六章 分式与二次根式
1 分式与分式方程
11 指数的扩充
12 分式和分式的基本性质
设f ，g 是一元或多元多项式，g 的次数高于零次，则称f ，g 之比f/g为分式
分式的基本性质 分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变 13 分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式，且各系数没有大于1的公约数，则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式
对于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的值保持不变，这种运算叫做通分
14 分式的运算
15 分式方程
方程的两遍都是有理式，这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式，则称为分式方程
2 二次根式
21 根式
在实数范围内，如果n 个x 相乘等于a ，n 是大于1的整数，则称x 为a 的n 次方根
含有数字与变元的加，减，乘，除，乘方，开方运算，并一定含有变元开方运算的算式成为无理式
22 最简二次根式与同类根式
具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数 (2)根号内不含有分母
如果几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类根式
23 二次根式的运算
24 无理方程
根号里含有未知数的方程叫做无理方程
第七章 二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程 关于x ，y 的二元二次方程的一般形式是 ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²，bxy ，cy²叫做方程的二次项，d ，e 叫做一次项，f 叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候，我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法，称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法
第八章 函数与图像
1数轴
11 有向直线
在科学技术和日常生活中，为了区别一条直线的两个不同方向，可以规定其中一方向为正向，另一方向为负相
规定了正方向的直线，叫做有向直线，读作有向直线l
12 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数) ，在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
21 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o 为作为原点(基准点) ，过o 引两条互相垂直的，以o 为公共原点的数轴，一般地，两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x 轴叫横轴，y 轴叫纵轴，它们都叫直角坐标系的坐标轴; 公共原点o 称为直角坐标系的原点; 我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分，它们叫做四个象限
22 两点间的距离
23 中点公式
3 函数
31 常量，变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量，叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数
一般地，设在变活过程中有两个互相关联的变量x ，y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数，这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的，当函数f(x)的自变量x 去定义域D 中的一个确定的值a ，函数有唯一确定的对应值这个对应值，称为x=a时的函数值，简称函数值，记作:f(a)
32 函数的图像
若把自变量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x))的集合构成一个图形F ，而集F 成为函数y=f(x)的图像 知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表，描点，连线三个步骤 4 正比例函数
41 正比例函数
一般地，函数y=kx(k是不等于零的常数) 叫做正比例函数，其中常数k 叫做变量y 与x 之间的比例函数确定了比例函数k ，就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时，它的图像经过第一，三象限，y 随着x 的值增大而增大; 当k
(2)随着比例函数的绝对值的增加，函数图像渐渐离开x 轴而接近于y 轴，因此，比例系数k 和直线y=kx与x 轴正方向所成的角有关据此，k 叫做直线y=kx的斜率
42 反比例函数
一般地，函数y=k/x(k是不等于0的常数) 叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时，他的图像的两个分支分别位于第一，三象限内，在每一个象限内，y 随x 的值增大而减小; 当k
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时，函数变形为y=b，无论x 在其定义域内取何值，y 都有唯一确定的值b 与之对应，这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y 轴交与点(0，b) ，b 叫做直线y=kx+b在y 轴上的截距，简称纵截距 52 一次函数的性质
函数y=f(小) ，在a 〈x 〈b 上，如果函数值随着自变量x 的值增加而增加，那么我们说函数f(x)在a 〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像，交点的坐标就是这个方程组的解，这种求二元一次方程组的解法叫图像法
3. 3 一次函数的应用
第九章 二次函数
1 二次函数及其图像
11 二次函数
我们把函数y=ax²+bx+c(a，b ，c 为常数，且a 不等于0) 叫做二次函数
12 函数y=ax²(a不等于0) 的图像和性质
用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来，就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像，以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y 轴成对称的我们把y 轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点，叫做抛物线的顶点
13 函数y=ax²+bx+c(a不等于0) 的图像和性质
抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a，4ac-b²/4a)，对称轴方程是x=-b/2a，当a 〉0时，抛物线的开口向上，并且向上无限延伸; 当a 〈0时，抛物线的开口向下，并且向下无限延伸
当a 〉0时，二次函数y=ax²+bx+c在x 〈-b/2a时是递减的，在x 〉-b/2a时是递增的; 在x=-b/2a处取得y 最小=4ac-b²/4a当a 〈0时，二次函数y=ax²+bx+c在x 〈-b/2a时是递减的; 在x=-不/2a处取得y 最大=4ac-b²/4a
2 根据已知条件求二次函数
21 根据已知条件确定二次函数
22 二次函数的最大值或最小值
23 一元二次方程的图像解法
初中数学学习口诀
有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加" 大" 减" 小" ，符号跟着大的跑；绝对值相等" 零" 正好。[注]"大" 减" 小" 是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a -b ）2n+1=-（b-a ）2n+1（a-b ）2n=（b-a ）2n
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
" 代入" 口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小-中-大）
单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间, 大小, 小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼) 于(吃) 取两边, 小(鱼) 于(吃) 取中间。
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。
最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。
特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。
象限角的平分线:象限角的平分线, 坐标特征有特点，一、三横纵都相等, 二、四横纵确相反。
平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X 轴, 纵坐标相等横不同；直线平行于Y 轴, 点的横坐标仍照旧。
对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。
函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀" 左右平移在括号, 上下平移在末稍, 左正右负须牢记, 上正下负错不了" 。
一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数k 与b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减y 增减；k 为负来左下展, 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反, 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正, 图在一、三(象) 限,k 为负, 图在二、四(象) 限; 图在一、三函数减, 两个分支分别减。图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾边。
巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:正对鱼磷(余邻) 直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。
三角函数的增减性：正增余减
特殊三角函数值记忆:首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀"123，321，三九二十七" 既可。
平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分" 跑不了" ，对角相等也有用，" 两组对角" 才能成。
梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在" △"现；延长两腰交一点，"△"中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线。
添加辅助线歌：辅助线，怎么添？找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线翻一番。
圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆；直角相对或共弦，试试加个辅助圆；若是证题打转转，四点共圆可解难；要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线；四边形有内切圆，对边和等是条件；如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。
圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似；不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。
正多边形诀窍歌:份相等分割圆，n 值必须大于三，依次连接各分点，内接正n 边形在眼前．
经过分点做切线，切线相交n 个点．n 个交点做顶点，外切正n 边形便出现．正n 边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n 条对称轴都过圆心点，如果n 值为偶数，中心对称很方便．正n 边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n 个整，依此计算便简单．
函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限，x 增大y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限，x 增大y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小y 轴看，△的符号最简便，x 轴上数交点，a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
初中数学常用的十种解题方法
数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组) ，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系
数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组) 、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种) 与穷举反证法(结论的反面不只一种) 。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小) 于/不大(小) 于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n一1) 个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。
（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
初中几何常见辅助线作法歌诀汇编
人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
中考数学常用公式和定理大全
0、1、整数(包括：正整数、负整数) 和分数(包括：有限小数和无限环循小数) 都是有理数．如：－3，
，0.231，0.737373„，
，
．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－
，
0.1010010001„(两个1之间依次多1个0) ．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a ≥
0π－3.14．
3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． n 是整数) ，4、把一个数写成±a ×10的形式(其中1≤a ＜10，这种记数法叫做科学记数法．如：
5
10－5． －40700＝－4.07×10，0.000043＝4.3×
n
丨a 丨＝a ；a ≤
0丨a 丨＝－a ．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝
5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式) ：①(a ＋b )(a －b ) ＝a 2－b 2．②(a ±b ) 2＝a 2±2ab
[1**********]2
＋b ．③(a ＋b )(a －ab ＋b ) ＝a ＋b ．④(a －b )(a ＋ab ＋b ) ＝a －b ；a ＋b ＝(a ＋b ) －
2ab ，(a －b ) 2＝(a ＋b ) 2－4ab ．
6、幂的运算性质：①a ×a ＝a
n
) ＝n ．
－n ⑥a ＝
m n m ＋n
m n m －n m n mn n n n
．②a ÷a ＝a ．③(a ) ＝a ．④(ab ) ＝a b ．⑤(-
1n －n
a 01a 0a 3a 2a 5a 6a 2a 4a 32
n ，特别：() ＝() ．⑦＝(≠) ．如：×＝，÷＝，() ＝a
＝
，() －＝() ＝，(－3.14) º＝1，(
2
2
a 6，(3a 3) 3＝27a 9，(－3) －1＝－，5－2＝
) ＝1． 7、二次根式：①(b ≥0) ．如：①(3
) ＝a (a ≥0) ，②) ＝45．②
22
－
＝丨a 丨，③＝6．③a ＜0时，
＝×＝－a
，④．④
＝(a ＞0，的平方根
＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0：
-b ±，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式．
①求根公式是x
＝
2a
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．
②若方程有两个实数根x 1和x 2，并且二次三项式ax ＋bx ＋c 可分解为a (x －x 1)(x －x 2) ．
2
③以a 和b 为根的一元二次方程是x －(a ＋b ) x ＋ab ＝0．
2
9、一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 的图象是一条直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标即一次函数在y 轴上的截距) ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升) ；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小(直线从左向右下降) ．特别：当b ＝0时，y ＝kx (k ≠0) 又叫做正比例函数(y 与x 成正比例) ，图象必过原点．
10、反比例函数y ＝(k ≠0) 的图象叫做双曲线．当k ＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降) ；当k ＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升) ．因此，它的增减性与一次函数相反．
11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个) ，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数) 叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n 个数x 1，x 2，„，x n ，那么： ①平均数为：x =
x 1+x 2+...... +x n
；
n
②极差：
用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差
称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差： 数
据
x 1
、
x 2
„„,
2
x n
的方差
2
为
s 2
，则
s 2=
21轾
x -x (1) +犏n 臌
(x 2-x ) +..... +
x 2
„„,
(x n -x )
的
标
标准差：方差的算术平方根. 数
据
x 1
、
x n
准
差
s
，则
s =
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 12、频率与概率：
（1）频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方
总数
图中各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率
①如果用P 表示一个事件A 发生的概率，则0≤P（A ）≤1； P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0；
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数：
①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A
的正弦：sin A ＝
，∠A 的正切：tan A ＝
，∠A 的余弦：cos A ＝-
22
．并且sin A ＋cos A ＝1．
0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A ) ＝cos A ，cos (90º－A ) ＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝tan30º＝
，tan45º＝1，tan60º＝
．
l
，sin60º＝cos30º＝
，
铅垂高度④斜坡的坡度：i ＝＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．
水平宽度
14、平面直角坐标系中的有关知识：
（1）对称性：若直角坐标系内一点P （a ，b ），则P 关于x 轴对称的点为P 1（a ，－b ），P 关于y 轴对称的点为P 2（－a ，b ），关于原点对称的点为P 3（－a ，－b ）.
（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a －h ，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a ＋h ，b ）；向上平移
h 个单位，坐标变为P （a ，b ＋h ），
向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b －h ）. 如：点A （2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A （7，1）. 15、二次函数的有关知识：
1. 定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数. 2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛2
（-） （1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，⎪+
2a 4a 2a ⎭4a ⎝
对称轴是直线x =-
2
b
. 2a
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶
点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的
交点是顶点。
若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、，则对称轴方程可以表示为：(x 2, y ) （及y 值相同）
x =
x 1+x 2
2
2
2
9. 抛物线y =ax +bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线
2
b b
，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴2a a
b
在y 轴左侧；③
a x =-
（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c
轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
b
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次
方程
2
ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根
的判别式判定：
①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(∆
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐
标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
2 （4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的
2
y =kx +n y =ax 2+bx +c
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
⇔l 与G 有两个交点; ②方
程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （5）抛物线与
x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为
A (x 1，0)，B (x 2，0)，则AB =x 1-x 2
1、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n －2) 180º（n ≥3，n 是正整数），外角和等于
360º
2、平行线分线段成比例定理：
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a ∥b ∥c ，直线l 1与l 2分别与直线a 、b 、c 相交与点A 、B 、C D 、E 、F ，则有
AB DE AB DE BC EF
=, =, = BC EF AC DF AC DF
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
如图：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 、AC 相交与点D 、E ，则有：
DB
AB B ＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt △ABC 中，∠ACB ＝
90o ，CD ⊥AB 于（1）CD =AD ⋅BD （2）AC =AD ⋅AB （3）BC =BD ⋅AB 4、圆的有关性质：
2
2
2
（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．
5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
常见结论：（1）Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径-
r =
a +b -c
； 2
1lr 2
（2）△ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则S =
＊6、弦切角定理及其推论：
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠P AC 为弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
11AC =∠AOC 如果AC 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠PAC =
22
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
如果AC 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠PAC =∠ABC
＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：P A·PB = PC·PD
割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②，即：P A·PB = PC·PD
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC 2 = PA·PB
8、面积公式： ① ②
③
①S 正△＝×(边长) ．
2
②S 平行四边形＝底×高．
③S 菱形＝底×高＝×(对角线的积) ，
S 梯形=1(上底+下底) ⨯高=中位线⨯高 2
2④S 圆＝πR ．
⑤l 圆周长＝2πR ．
⑥弧长L ＝
⑦S 扇形． n πr 21==lr 3602
2⑧S 圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh ，S 全面积＝S 侧＋S 底＝2πrh ＋2πr
⑨S 圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb ， S全面积＝S 侧＋S 底＝πrb ＋πr
2
中考数学几何公式、定理汇编 1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=„=m／n(b+d+„+n≠0),那么(a+c+„+m)／(b+d+„+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线L 和⊙O相交 d＜r
②直线L 和⊙O相切 d=r
③直线L 和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d ＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 141正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R ／180
145扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
代数公式、定理汇编：
第一章 有理数及其运算 1 自然数及其运算
11 自然数
零的符号是“0”，它表示没有数量或进位制上的空位
除0之外，任何自然数都是由若干个“1”组成的，“1”是数个数的单位，称作自然数的单位
自然数的全体：0，1，2，3，4，„，n„，叫做自然数的集合，简称自然数集 能被2整除的数叫做偶数; 不能被2整除的数叫做奇数
12 自然数的运算
1 加法: 求和的运算叫做加法
2 减法: 减法是加法的逆运算
3 乘法: 同一个自然数的连加运算，就叫做乘法
4 除法: 除法是乘法的逆运算，零不能做除数
13 自然数的运算性质
用字母表示任一个自然数，来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质，并简称为运算通性或运算律
1 加法交换律:
a+b=b+a
2 加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
3 乘法交换律:
a?b=b?a
4 乘法对加法的分配律:
(a+b)?c=a?c+b?c
5 加法结合律:
(a?b)?c=a?(b?c)
6 自然数0和1的运算特征
14 乘法运算及指数运算律
求同一个数得连乘运算，叫做乘方运算
a^n中，a 叫做底数，自然数n 叫做指数，乘方的结果a^n叫做幂(读作“a的n 次幂”或“a的n 次方”)
零的n 次方总等于零，1的n 次方总等于1
同底数幂相乘，底数不变，只是指数相加
指数运算律(一)
同底数幂相乘，指数相加，底数不变，即a^m?a^n=a^(m+n)，
指数运算律(二)
乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即(a?b)^n=a^n?b^n
指数运算律(三)
幂的乘方，指数相乘，底数不变，即(a^m)^n=a^(mn)
指数运算律(四)
同底数幂相除，指数相减，底数不变，即a^m/a^n=a^(m-n)其中m>n，a!=0
两个同底数(不为0) 、同指数的幂相除，其商等于1a^0=1 (a!=0)
分数的意义与特点
a/b?b=(a?1/b)?b=(b?1/b)?a=1?a=a
a/b=am/bm (m!=0)
a/b=(a/b)/(b/n) (n!=0)
分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变
22 分数的运算及运算律
加、减法
a/b(+，-)c/d=ad/bd(+，-)bc/bd=(ad(+，-)bc)/bd
乘法
a/b?c/d=ac/bd
除法
(a/b)/(c/d)=(a/b)?(d/c)=ad/bc
乘方
(a/b)^m=(a/b)?(a/b)„(a/b){m个括号}=(a^m)/(b^m)
分数加法的交换律是 a/b+c/d=c/d+a/b
3 有理数的意义
31 相反意义的量
在研究两者的总效果时，可以互相抵消或一部分抵消
32 正数和负数、相反数
带有正号的数叫做正数(“+”号也可省略不写);
带有负号的数叫做负数
负数与正数合并时，其结果可以相消或部分抵消
数零，既不是正数，也不是负数
对任一个数a ，总能有一个数-a ，使它们可以相消，像这样只是符号不同的两个数，叫做互为相反数
零的相反数，仍是零
33 有理数、数轴
整数包括正整数、负数和零
分数包括正分数、负分数
整数和分数，统称为有理数
全体有理数组成的集合，称为有理数集合
全体整数组成的集合，称为整数集合
全体自然数组成自然数集合
有理数可以用一条直线上的点来表示
规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴
对于任一个有理数，在数轴上都可以有一个确定的点表示它
正数和负数，可表示“相反意义”的量，而数零是它们的界限
互为相反数的一对数，在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示
34 绝对值
一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
零的绝对值是零
4 有理数的运算
41 有理数的加法与减法
加法
符号相同的两个有理数相加，只要将两数的绝对值相加，符号仍取原来的符号
两个符号相反的有理数相加，将较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的加数的符号
减法 减法是加法的逆运算
减法法则是减去一个数，等于加上这个有理数的相反数
在有理数范围内，减法运算也是畅通无阻的
42 代数和
含有加减运算的式子，都能转化成井含有加法运算的式子，我们称它为“代数和” 去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时，括号里的各项都不变; 去掉紧接负号后面的括号时，括号里的各项都要变号
添括号法则：紧接正号后面添加括号时，括号到括号里的各项都不变; 紧接符号后面添加括号时，括到括号里的各项都要变号
43 有理数的乘法与除法
乘法
异号(一负一正) 两有理数相乘，将绝对值相乘，符号取负
两个负有理数相乘，将绝对值相乘，符号取正
乘法法则：将绝对值相乘，积的符号是：同号得正，异号得负
当负乘数有奇数个时，成积为负; 当负乘数有偶数个时，成积为正;
只要有一个乘数为零，那么乘积必定是零
除法
除法法则：将绝对值相除，商的符号是：同号相除得正，异号相除得负
零除以任一个非零有理数，其商仍为零
零不能作除数
任一个非零有理数x ，除1所得的商1/x，叫做这个数x 的倒数
非零有理数x 与1/x互为倒数，其特征性质是x?1/x=1
零没有倒数
除以一个非零有理数，就等于诚意这个数的倒数a/b=a?1/b=a/b
44 有理数的乘方
非零有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇数乘方取负号，负号的偶次乘方取正号
零的非零次都0; 零的零次方没有意义
45 有理数的混合运算
先乘方，再乘除，后加减; 若有括号，则“先里后外”去括号，逐步计算
46 近似数和有效数字
与实际相符的数，叫做准确数
与实际接近的数，叫近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位这时，从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字 5 有理数的基本性质
51 有理数运算的“通性”
1 加、减、乘(乘方) 、除运算的封闭性
任意两个有理数的和、差、积、商(0不作除数) 都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下，在自然数范围内，除法(除数不为0) 、减法都不封闭; 在整数范围内，除法(除数不为0) 也不封闭
2 加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律
(1) 加法的交换律、结合律
对于有理数a 、b 、c 来说
a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)
(2) 乘法的交换律、结合律
对于有理数a 、b 、c 来说，
a?b=b?a; (a?b)?c=a?(b?c)
(3)乘法对于加法的分配律
对于有理数a 、b 、c 来说
a?(b+c)=a?b+a?c
3 加、减法运算，乘、除运算的统一
(1) 加、减运算的统一
任意一个有理数a ，总有它唯一的一个相反数-a ，使得(-a)+a=a+(-a)=0因而，有理数减法，就可以转化为加法，即a-b=a+(-b)
(2) 乘、除运算的统一
任意一非零有理数b ，总有它唯一的一个倒数1/b，使得b?1/b=1/b?b=1因而，有理数除法，就可以转化为乘法，即a/b=a?1/b(b!=
0)
4 数0与1的特性
对于任意有理数a 来说，
a+0=0+a=a; a?0=0?a=0; a?1=1?a=a
5 乘方运算满足指数运算律
52 有理数的大小顺序
负数
a-b>0， a>b;
a-b=0， a=b;
a-b
负数小于0，0小于正数，负数小于正数;
两个整数比较时，绝对值大的数较大;
两个负数比较时，绝对值大的数反而较小
负数按绝对值由大到小排列，正数按绝对值由小到大排列
在数轴上，右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数
53 等式与不等式的基本性质
1 等式
用等号“=”联结两个算式的式子，叫做等式
无需任何条件，本来就是真实的等式，叫做恒等式
在某些条件下，才能成为真实的等式，叫做条件等式
根本不能成立的等式，叫矛盾等式
等式有以下基本性质：
1) 等式的两边可以对调
2) 等式的关系可以传递
3) 等式的两边，可以加上(或减去) 同一个数
4) 等式的两边，可以乘以(或除以非零的) 同一个数
2 不等式
用不等号“>”或“
1) 如果A>B，那么B
2) 如果A>B，B>C，那么A
3) 如果A>B，那么A(+，-)m>B(+，-)m
4) 如果A>B，且m>0，那么Am>Bm
5) 如果A>B，且m
5 乘方运算满足指数运算律
52 有理数的大小顺序
负数
a-b>0， a>b;
a-b=0， a=b;
a-b
负数小于0，0小于正数，负数小于正数;
两个整数比较时，绝对值大的数较大;
两个负数比较时，绝对值大的数反而较小
负数按绝对值由大到小排列，正数按绝对值由小到大排列
在数轴上，右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数
53 等式与不等式的基本性质
1 等式
用等号“=”联结两个算式的式子，叫做等式
无需任何条件，本来就是真实的等式，叫做恒等式
在某些条件下，才能成为真实的等式，叫做条件等式
根本不能成立的等式，叫矛盾等式
等式有以下基本性质：
1) 等式的两边可以对调
2) 等式的关系可以传递
3) 等式的两边，可以加上(或减去) 同一个数
4) 等式的两边，可以乘以(或除以非零的) 同一个数
2 不等式
用不等号“>”或“
1) 如果A>B，那么B
2) 如果A>B，B>C，那么A
3) 如果A>B，那么A(+，-)m>B(+，-)m
4) 如果A>B，且m>0，那么Am>Bm
5) 如果A>B，且m
第二章 一次方程(组) 与一次不等式(组)
1 算术解法与代数解法
11 两种解法的分析、对比
12 未知数和方程
用字母x 、y 、„等，表示所要求的数量，这些字母称为“未知数”
用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式
含有未知数的等式，叫做方程
在一个方程中，所含未知数，又成为元;
被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数
某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数
不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项
13 方程的解与解方程的根据
未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式
能是方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根
求方程解的过程，叫做解方程
解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”
可以“由表及里”地去掉括号，并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来，合并在一起——这叫做合并同类项
把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是“移项变号” 把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数) ，就得到未知数应取的值 综上所述，得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项，使方程化为最简形式ax=b(a!=0)、除以未知数的系数，得出x=b/a(a!=0)
2 一元一次方程
只含有一个未知数并且次数是1的方程，叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0(a!=0，a 、b 是常数)
22 一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
1 去分母(或化为整系数);
2 去括号;
3移项变号;
4 合并同类项，化为ax=-b(a!=0)的形式;
5 方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解x=-b/a
3 一次方程组
31 二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程
能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x 、y 的一组值，叫做这个二元一次方程的一个解
任何一个二元一次方程都有无限多个解，正因为如此，二元一次方程也被称为不定方程 32 方程组与方程组的解
把几个方程联合在一起，组成一个整体，叫做联立方程，也叫方程组
由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组，成为二元一次方程组
能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组，叫做方程组的解
33 二元一次方程组的解法
求方程组的解的过程，叫做解方程组
设把二元方程转化为一元方程求解，称为消元法
叫做加减消元法，简称加减法
原方程组是矛盾方程组，无解
34 三元一次方程组及其解法
含有三个未知数的三元一次方程组
4 解应用问题
5 一元一次不等式(组)
51 一元一次方程式
在含有未知数的不等式中，如果只含有一个未知数、分母不含未知数，并且未知数的次数是一次，那么这样的不等式，叫做一元一次不 等式
能够使不等式成立的未知数的值，称为这个不等式的解，所有这样的解的集合，简称为这个不等式的解集
求不等式的解集的过程，叫做解不等式
52 一元一次不等式的解法
53 一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分，叫做这个不等式组的解集
54 一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的一般步骤是：
1 先求出不等式组里各个不等式的解集;
2 在求出这些不等式的解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集
第三章 一元二次方程
1 平方与平方根
11 面积与平方
(1) 任意两个正数的和的平方，等于这两个数的平方和
(2) 任意两个正数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减去这两个数乘积的2倍
任意两个有理数的和(或差) 的平方，等于这两个数的平方和，再加上(或减去) 这两个数乘积的2倍
12 平方根
1 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;
2 零只有一个平方根，它就是零本身;
3 负数没有平方根
14 实数
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
2 平方根的运算
21 算术平方根的性质
性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身
性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
22 算术平方根的乘、除运算
1 算术平方根的乘法
sqrt(a)?sqrt(b)=sqrt(ab) (a>=0，b>=0)
2 算术平方根的除法
sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a>=0，b>0)
通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去，叫做分母有理化
(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根
23 算术平方根的加、减运算
如果几个平方根化成最简平方根以后，被开方数相同，那么这几个平方根就叫做同类平方根
3 一元二次方程及其解法
31 一元二次方程
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程
32 特殊的一元二次方程的解法
33 一般的一元二次方程的解法——配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边，将方程化为x^2+px+q=0的形式 2 移项把常数项移至方程右边，将方程化为x^2+px=-q的形式
3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，是方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数
4 有平方根的定义，可知
(1) 当p^2/4-q>0时，原方程有两个实数根;
(2) 当p^2/4-q=0，原方程有两个相等的实数根(二重根);
(3) 当p^2/4-q
34 一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a!=0)的求根公式:
当b^2-4ac>=0时，x1，2=(-b(+，-)sqrt(b^2-4ac))/2a
35 一元二次方程根的判别式
方程ax^2+bx+c=0(a!=0)
当delta=b^2-4ac>0时，有两个不相等的实数根;
当delta=b^2-4ac=0时，有两个相等的实数根;
当delta=b^2-4ac
36 一元二次方程的根与系数的关系
以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是x^2-(x1+x2)x+x1?x2=0 4 解应用问题
第四章 多项式的四则运算
1 单项式与多项式
仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方) 运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式
单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数) 的数字系数，简称系数
当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项
12 多项式
有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式
多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项
单项式可以看作是多项式的特例
把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变
在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数，就称为这个多项式的次数
13 多项式的值
任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子 14 多项式的恒等
对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说，当未知数x 同取任一个数值a 时，如果它们所得的值都是相等的，即f(a)=g(a)，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x)，或简记为f(x)=g(x)
性质1 如果f(x)==g(x)，那么，对于任一个数值a ，都有f(a)=g(a)
性质2 如果f(x)==g(x)，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等 15 一元多项式的根
一般地，能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x 的值，叫做多项式f(x)的根 2 多项式的加、减法，乘法
21 多项式的加、减法
22 多项式的乘法
单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式
3 多项式的乘法
多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加
23 常用乘法公式
公式I 平方差公式
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
公式II 完全平方公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
两数(或两式) 和(或差) 的平方，等于它们的平方和，加上(或减去) 它们积的2倍 3 单项式的除法
两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的幂分别相除，而对于那些只在被除式里出现的字母，连同它们的指数一起作为商的因式，对于只在除式里出现的字母，连同它们的指数的相反数一起作为商的因式
一个多项式处以一个单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
第五章 因式分解
1 因式分解
11 因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式，除这个多项式本身和非零常数外，再也没有其他的因式，那么这个因式(即该多项式) 就叫做质因式
12 因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法
13 用待定系数法分解因式
2 余式定理及其应用
21 余式定理
f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)
第六章 分式与二次根式
1 分式与分式方程
11 指数的扩充
12 分式和分式的基本性质
设f ，g 是一元或多元多项式，g 的次数高于零次，则称f ，g 之比f/g为分式
分式的基本性质 分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变 13 分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式，且各系数没有大于1的公约数，则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式
对于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的值保持不变，这种运算叫做通分
14 分式的运算
15 分式方程
方程的两遍都是有理式，这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式，则称为分式方程
2 二次根式
21 根式
在实数范围内，如果n 个x 相乘等于a ，n 是大于1的整数，则称x 为a 的n 次方根
含有数字与变元的加，减，乘，除，乘方，开方运算，并一定含有变元开方运算的算式成为无理式
22 最简二次根式与同类根式
具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数 (2)根号内不含有分母
如果几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类根式
23 二次根式的运算
24 无理方程
根号里含有未知数的方程叫做无理方程
第七章 二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程 关于x ，y 的二元二次方程的一般形式是 ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²，bxy ，cy²叫做方程的二次项，d ，e 叫做一次项，f 叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候，我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法，称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法
第八章 函数与图像
1数轴
11 有向直线
在科学技术和日常生活中，为了区别一条直线的两个不同方向，可以规定其中一方向为正向，另一方向为负相
规定了正方向的直线，叫做有向直线，读作有向直线l
12 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数) ，在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化 数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
21 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o 为作为原点(基准点) ，过o 引两条互相垂直的，以o 为公共原点的数轴，一般地，两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x 轴叫横轴，y 轴叫纵轴，它们都叫直角坐标系的坐标轴; 公共原点o 称为直角坐标系的原点; 我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分，它们叫做四个象限
22 两点间的距离
23 中点公式
3 函数
31 常量，变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量，叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数
一般地，设在变活过程中有两个互相关联的变量x ，y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数，这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的，当函数f(x)的自变量x 去定义域D 中的一个确定的值a ，函数有唯一确定的对应值这个对应值，称为x=a时的函数值，简称函数值，记作:f(a)
32 函数的图像
若把自变量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x))的集合构成一个图形F ，而集F 成为函数y=f(x)的图像 知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表，描点，连线三个步骤 4 正比例函数
41 正比例函数
一般地，函数y=kx(k是不等于零的常数) 叫做正比例函数，其中常数k 叫做变量y 与x 之间的比例函数确定了比例函数k ，就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时，它的图像经过第一，三象限，y 随着x 的值增大而增大; 当k
(2)随着比例函数的绝对值的增加，函数图像渐渐离开x 轴而接近于y 轴，因此，比例系数k 和直线y=kx与x 轴正方向所成的角有关据此，k 叫做直线y=kx的斜率
42 反比例函数
一般地，函数y=k/x(k是不等于0的常数) 叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时，他的图像的两个分支分别位于第一，三象限内，在每一个象限内，y 随x 的值增大而减小; 当k
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时，函数变形为y=b，无论x 在其定义域内取何值，y 都有唯一确定的值b 与之对应，这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y 轴交与点(0，b) ，b 叫做直线y=kx+b在y 轴上的截距，简称纵截距 52 一次函数的性质
函数y=f(小) ，在a 〈x 〈b 上，如果函数值随着自变量x 的值增加而增加，那么我们说函数f(x)在a 〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像，交点的坐标就是这个方程组的解，这种求二元一次方程组的解法叫图像法
3. 3 一次函数的应用
第九章 二次函数
1 二次函数及其图像
11 二次函数
我们把函数y=ax²+bx+c(a，b ，c 为常数，且a 不等于0) 叫做二次函数
12 函数y=ax²(a不等于0) 的图像和性质
用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来，就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像，以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y 轴成对称的我们把y 轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点，叫做抛物线的顶点
13 函数y=ax²+bx+c(a不等于0) 的图像和性质
抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a，4ac-b²/4a)，对称轴方程是x=-b/2a，当a 〉0时，抛物线的开口向上，并且向上无限延伸; 当a 〈0时，抛物线的开口向下，并且向下无限延伸
当a 〉0时，二次函数y=ax²+bx+c在x 〈-b/2a时是递减的，在x 〉-b/2a时是递增的; 在x=-b/2a处取得y 最小=4ac-b²/4a当a 〈0时，二次函数y=ax²+bx+c在x 〈-b/2a时是递减的; 在x=-不/2a处取得y 最大=4ac-b²/4a
2 根据已知条件求二次函数
21 根据已知条件确定二次函数
22 二次函数的最大值或最小值
23 一元二次方程的图像解法
初中数学学习口诀
有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加" 大" 减" 小" ，符号跟着大的跑；绝对值相等" 零" 正好。[注]"大" 减" 小" 是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a -b ）2n+1=-（b-a ）2n+1（a-b ）2n=（b-a ）2n
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
" 代入" 口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小-中-大）
单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间, 大小, 小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼) 于(吃) 取两边, 小(鱼) 于(吃) 取中间。
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。
最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。
特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。
象限角的平分线:象限角的平分线, 坐标特征有特点，一、三横纵都相等, 二、四横纵确相反。
平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X 轴, 纵坐标相等横不同；直线平行于Y 轴, 点的横坐标仍照旧。
对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。
函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀" 左右平移在括号, 上下平移在末稍, 左正右负须牢记, 上正下负错不了" 。
一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数k 与b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减y 增减；k 为负来左下展, 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反, 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正, 图在一、三(象) 限,k 为负, 图在二、四(象) 限; 图在一、三函数减, 两个分支分别减。图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾边。
巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:正对鱼磷(余邻) 直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。
三角函数的增减性：正增余减
特殊三角函数值记忆:首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀"123，321，三九二十七" 既可。
平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分" 跑不了" ，对角相等也有用，" 两组对角" 才能成。
梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在" △"现；延长两腰交一点，"△"中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线。
添加辅助线歌：辅助线，怎么添？找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线翻一番。
圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆；直角相对或共弦，试试加个辅助圆；若是证题打转转，四点共圆可解难；要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线；四边形有内切圆，对边和等是条件；如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。
圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似；不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。
正多边形诀窍歌:份相等分割圆，n 值必须大于三，依次连接各分点，内接正n 边形在眼前．
经过分点做切线，切线相交n 个点．n 个交点做顶点，外切正n 边形便出现．正n 边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n 条对称轴都过圆心点，如果n 值为偶数，中心对称很方便．正n 边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n 个整，依此计算便简单．
函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限，x 增大y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限，x 增大y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小y 轴看，△的符号最简便，x 轴上数交点，a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。