6.7二重积分的概念与性质

1．利用二重积分定义证明：

kf(x,y)dkf(x,y)d。

D

Dn0

i

i

i

【证明】由二重积分定义

f(,)f(x,y)dlim

D

i1

n

，得

kf(,)kf(x,y)dlim

D

0

i

i

i1

i

limkf(i,i)i

0

i1

n

klimf(i,i)ikf(x,y)d，

0

i1

n

D

证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：kdk（kR为常数，为积分区域D的面积）。

D



【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积，

于是知，二重积分

f(x,y)d就是以zf(x,y)为曲顶

D

kd表示以平面zk为顶的柱体体积，

D

而以平面zk为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高zk， 但该柱体的底面积就是积分区域D的面积， 从而得，

kdk。

D

3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴

xy(xy)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y1；

D

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y1，可知区域D的面积为

而由于0x1，0y1，可得0xy1，0xy2， 从而有0xy(xy)2，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得



d111，

D

0dxy(xy)d2d

D

D

D

亦即为 0⑵

xy(xy)d2。

D

(xy1)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y2；

D

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y2，可知区域D的面积为



d122，

D

而由于0x1，0y2，可得0xy3， 从而1xy14，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

1d(xy1)d4d

D

D

D

亦即为 2⑶

(xy1)d42，整理得2(xy1)d8。

D

D

2

2

(x

D

2

4y29)d，其中积分区域D(x,y)x2y24。

【解】由于区域D(x,y)xy4，可知区域D的面积为

2

2

2

2



2

d24， D

下面求函数f(x,y)x4y9在条件xy4下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面zx4y9在圆柱xy4内部的最大、最小值， 易见x4y0，可知zx4y99，当xy0时等号成立， 又可知，椭圆抛物面zx4y9与圆柱xy4的交线，在椭圆簇的短轴上

达到最高，亦即当x0，y2时，函数f(x,y)x4y9取得最大值，最大值为

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

f(0,2)044925，

因此得，9x4y925， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

2

2

9d(x

D

D

2

4y29)d25d

D

亦即为 94整理得 36

(xy1)d254，

DD

(xy1)d100。

3

4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴

(xy)d与(xy)d，其中积分区域D由x轴，y轴与直线xy1所围成。

D

D

2

【解】积分区域D如图

由图可见，在区域D中，0xy1，于是由于函数ya（0a1）是减函数，而知以xy为底的指数函数是增函数，即由23有(xy)(xy)，

于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得⑵

2

3

x

(xy)d(xy)d。

D

D

23

2

与ln(xy)d[ln(xy)]d，其中D(x,y)3x5,0y1。 D

D

【解】积分区域D如图

由于在区域D中有3x5，0y1，可得3xy6， 于是1lneln3ln(xy)ln6，

于是由于函数ya（a1）是增函数，可知以ln(xy)为底的指数函数是增函数， 即由12得ln(xy)[ln(xy)]， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得

5．若

。 1d=1，则积分区域D可以是（ ）

D

2

ln(xy)d[ln(xy)]d。D

D

2

x

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域； （B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域； （C）由x

11

，y所围成的区域； 22

（D）由xy1，xy1所围成的区域。 【解】应填“（C）”。因为

1dS

D

D

1，而下面各区域D的面积为：

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域如图

得SD

22

21； 2

（B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域如图

得SD(21)(42)21； （C）由x

11

，y所围成的区域如图

22

得SD[()][()]1； 至此，可以终止判断了。事实上有：

（D）由xy1，xy1所围成的区域如图

12121212

得SD

21。

1．利用二重积分定义证明：

kf(x,y)dkf(x,y)d。

D

Dn0

i

i

i

【证明】由二重积分定义

f(,)f(x,y)dlim

D

i1

n

，得

kf(,)kf(x,y)dlim

D

0

i

i

i1

i

limkf(i,i)i

0

i1

n

klimf(i,i)ikf(x,y)d，

0

i1

n

D

证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：kdk（kR为常数，为积分区域D的面积）。

D



【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积，

于是知，二重积分

f(x,y)d就是以zf(x,y)为曲顶

D

kd表示以平面zk为顶的柱体体积，

D

而以平面zk为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高zk， 但该柱体的底面积就是积分区域D的面积， 从而得，

kdk。

D

3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴

xy(xy)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y1；

D

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y1，可知区域D的面积为

而由于0x1，0y1，可得0xy1，0xy2， 从而有0xy(xy)2，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得



d111，

D

0dxy(xy)d2d

D

D

D

亦即为 0⑵

xy(xy)d2。

D

(xy1)d，其中积分区域D(x,y)0x1,0y2；

D

【解】由于区域D(x,y)0x1,0y2，可知区域D的面积为



d122，

D

而由于0x1，0y2，可得0xy3， 从而1xy14，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

1d(xy1)d4d

D

D

D

亦即为 2⑶

(xy1)d42，整理得2(xy1)d8。

D

D

2

2

(x

D

2

4y29)d，其中积分区域D(x,y)x2y24。

【解】由于区域D(x,y)xy4，可知区域D的面积为

2

2

2

2



2

d24， D

下面求函数f(x,y)x4y9在条件xy4下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面zx4y9在圆柱xy4内部的最大、最小值， 易见x4y0，可知zx4y99，当xy0时等号成立， 又可知，椭圆抛物面zx4y9与圆柱xy4的交线，在椭圆簇的短轴上

达到最高，亦即当x0，y2时，函数f(x,y)x4y9取得最大值，最大值为

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

f(0,2)044925，

因此得，9x4y925， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

2

2

9d(x

D

D

2

4y29)d25d

D

亦即为 94整理得 36

(xy1)d254，

DD

(xy1)d100。

3

4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴

(xy)d与(xy)d，其中积分区域D由x轴，y轴与直线xy1所围成。

D

D

2

【解】积分区域D如图

由图可见，在区域D中，0xy1，于是由于函数ya（0a1）是减函数，而知以xy为底的指数函数是增函数，即由23有(xy)(xy)，

于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得⑵

2

3

x

(xy)d(xy)d。

D

D

23

2

与ln(xy)d[ln(xy)]d，其中D(x,y)3x5,0y1。 D

D

【解】积分区域D如图

由于在区域D中有3x5，0y1，可得3xy6， 于是1lneln3ln(xy)ln6，

于是由于函数ya（a1）是增函数，可知以ln(xy)为底的指数函数是增函数， 即由12得ln(xy)[ln(xy)]， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得

5．若

。 1d=1，则积分区域D可以是（ ）

D

2

ln(xy)d[ln(xy)]d。D

D

2

x

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域； （B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域； （C）由x

11

，y所围成的区域； 22

（D）由xy1，xy1所围成的区域。 【解】应填“（C）”。因为

1dS

D

D

1，而下面各区域D的面积为：

（A）由x轴，y轴与直线xy2所围成的区域如图

得SD

22

21； 2

（B）由x1，x2及y2，y4所围成的区域如图

得SD(21)(42)21； （C）由x

11

，y所围成的区域如图

22

得SD[()][()]1； 至此，可以终止判断了。事实上有：

（D）由xy1，xy1所围成的区域如图

12121212

得SD

21。