高中排列组合的12种策略

解排组列应合用的题 1 2策种略排列 组合题是问考高必考的，它联题系实生动际有，但趣型多题，样思灵路 活，不易掌握，践证实明，掌题握型和题方解法，识别模式，练运熟用是解，决排列组合 应题的用效途径有下；面谈就一排列谈合组应用题的题解略. 策1.邻相题捆绑法: 问目题规中相邻的定个元素捆绑成一个组几当，作一大元素参个与 列.排例 . A,1 B, C D,,E 五人并 站成排一，排如果 ,AB 必 相须且 邻B 在 的A右，边那不么同的 法排种有（数） A6、 0种 、B48种 C、 63 种 D、24 种

4

解析 把 A,：B 视为一 ， 人 B 且固在定A 的边， 则本题右相当于4 的人排列， 全A 424

，答种： D案 .2. 离问相题插空排 :元素离相即（相不）邻问题，可把无先位要置的求几元素个 全列，排把规定的相再离的个几素元入上述几插个元的空位和两素. 端 例.2七人并排站一成，行 果甲乙两如必须不个邻， 相那不么同的排种数是法 （） A、1440 B、3种060种 C48、02 种D 、8004种

解5：除析甲乙外其，余5 个 列数为排A 5 种，再用甲去插乙6 个空位 有6A2 ，种同不 25 的法排种是 数5A 6A  3600种 选，B .

3.定序问题缩倍: 法排在问题中列限制几某元个必素须保一持定顺序的，用缩小 倍可的数法方 例 3..A ,B, C ,, E 五人D并站排成一排，如 B果 须必站 在 的A右边（ , BA 以可不相） 邻那不么的排同法数是种 （） 、A42 种B 60、种 C、90 种D、20 种 1析解 ： B 在 A右边的与B 在 A 的左边排法数相，同所题以设的排法只是 5 元个 1素 全排列5的数一，半即A5  60 种，选 B .2 4.标排号位题分问法步 把元:素到排指位定置上可，先把个某素按规元定入，排第 步二再排一另元个，素如继此下去续，依次可完即.成例 4 将.字 数1，2，3，4 填标号入 1为2，3，4， 的个四格里方每格填一个数， ，每个方格则标的号所与数填字均相不的填同法有（） 、6A 种 、B 种 9C1、1 种 、D32种 解析：先把 1填入格方中，合符件的有 条3 方法种，二步把第被填方入格对应 的数字填入它三个其格，又方三种方法有；三第步填余下两的数字个，有只种填 一，法有共3 3××19 =填法，选 B 种. 5有序分.配问逐题分法 :序有分配问指把元题素分成若干，可组逐步下用量分 法. 组例 5.（1）甲有丙乙三项务任甲需， 2人 担，乙承丙各一人需承，从担 10人 中选出 4 人承 担三项这务，不同的任法种数是（选 ）A1260 、 B种、2025种 C 、520 2 种、5D400种 解 ：先析 10从人中选出 2承人甲项任担务再从，下的剩 8人 选 中 人1担承项乙任2

1 C1C8 7 2520 务，第三步从外另的7 人中选 人1承丙担项任，不同的选务法有 共C01

，选 C种 .（

2）2 名同1学分到三个别同不路的进行流口的量调，若查每路个口4 人，则不同 分配方的案（ 有

）4 4

A、C 1 2种C 48C4

4 4 B、3 1C2种 C844

C4

3 、 CC1 2种C84 3A

D、

4

4C12 84CC4 种 3A

3答：案 . 6.A全 员配问题分分组: 例 法.61）（ 4优名秀生全部保学到 3送所学 校去，所学每校少至去名一，不同则的保送 案有多少方种

3？解析 ：把四学名分成 3生组 有C42 种方 法再，把组三学生配到分所学校有三 A 3，种 2 3故共有 C 4A3  63种方 法

.说明：分配

的素元于对象多且一对象每都有元分素时配常先用组分再分配. 2）（ 本不5的同书，部全给 分 个学生，4每学生个至少一本不，的分法种同为 （数） A、480种 、240B 种 、1C02 种D、 6 种9答 ：案 .B7. 名 额配分问隔板法题:例 ：10 个7三学生名好分额到7 个班级，每班个级少至个一额名，多有种少不同分 方配？案 解： 10 析个名额到分7 班个，级 就是 1把 0个额名成 看1 0个相同小的球成 分7 ， 每堆堆少一个至可，以在 0 个1球的小9 个 空位中入插6 块 板木，每种一法对插着应

一6种配分方案故，共有同不的分方配案为 9C 4 种8.

8

.限制 件条分的配问题类法: 分 8.例高某校某从系 的0 1优名毕秀业生中选4 人 分到别西四部城参加市中西国部经 济开建发设其，甲中学同到不川银乙不，到西宁，共有多少不同派种方案遣 ？解：因析甲为乙有制限条件所，以照是按否有含乙甲分来类有，以四下情种况：① 若甲都乙参不，加则派遣有方案A84 ；②若种甲加参乙而参加不先安，排甲有 3 种法，方然安后其余排生学 有83 A法方所，以有共 3A3 8③若乙参加而甲；参不加 同理有 也3 A83种； ④若乙甲都参加则先，安甲乙，排 有7 种法方然，后安再排余其8 到人另外两 城 市个有 A2 8，种共 有 7A82 方法 .所以 共 有同不的 派遣方 法总数

3为3 A8 43 A8  3 A8 7A82  084 种8.

9 多元.问题分法：类元多素，出的情况也多取，种按结果要求分成可不容相几的 情况类别分数计，后总计最. 例（1）由数字9 ，10， 2，，43， 组5成没有复数字的重六位，其中数个位字小数于 位数字的共有（ 十 ）、21A0种 B 、00 3种C、4 64种 D、6 0 种0

5析解：按题意，位个字只数可是 0，1能2，，34， 5共种 情，况分有别A5 个，1 311 1 3 1 13 31 4AA A33, A3A 3 A3, 2 AA A33, A 3 A 个3，合总计 300并个 ,选 B

.2）从 1（2 ，，…，3001 这100 数个中任取两，数，个它使的们积能被 乘 7除整，这两 数个的法取（不顺计序共有多）种？ 解析少：被取的两数中至少个一有能个被 7 除整，他时们乘积的能就 7 被整除将 这，1 0 个0数成的集合视组为全 集,能被I7 除的整数集

的合记做A  7,41, 12

,9

8

有共1 4个元素 ,能被不7 整的数组除成集合的做 记A 1, 2,,3 ,4

,010 共有8 个

26元素；由此 知可从， A 任取 2中 元个素的法有 C14取，从 A 中任 取一，又从个 A 1中1 2 1 1 任取一 个有共C 4 ，1种两情共形合要符求取的法有 14C C6  8C4 C81 6 2951 .

（种）从 1，3，23…，，100这 100 个 中任取数个两数，其和能被使 4整除的 法取 不（计序）有多少顺种？解 析： 将 I 1, 2,3

,

10分 0成个四不交的子集相，被 能 整4的除数集9 7， 能 被 除4 2 的数余集99 ，易见这四个合中集每

一  4A, , 18 2 C , 2,6,

1 ；能被 4 除0余 1的 数 集 B 15,9,,0

,

98 ，能被 4余 3除的数集 D 3,,711,

个有25 个 素；元 从 A任中两取数符合个要从；B, D 中 各取个数一也符合要；求从

C

中 取两任个数符也要求；此合外其它法都取不合符要；求所以符合要求的取法

12 1 2有共 2C 5种 .C25 C2 5C25

01交叉问.集合题：某些排法组合问题列几分部间之交有集可用，合中求元集素 个数公式n( AB) n( )  nA( ) Bn (A B) 例 .10. 从6 运动员名选出中4 人参加 ×1400米接力 ，赛果如不跑甲第棒一乙， 跑第四棒，共不有多种不少的参赛同案方？解 析设全集=｛6 ：中人取 任 人4赛的参列排 ，｝A=｛甲跑第棒的一列｝排， B=乙 跑｛四第棒排的列｝ 根据，求集元合个素的公式得数赛参法方共：有

3 43 2 5 A A5  A4 522 . 种n ( ) I n( )A n B() n( A B ) A

611 定位问题优.法先某个或几：个素元要排指在位定，可先排这个置几或元素个 ；排其它再的元。素例 11.1 名老师 和 4 获名奖学排成同排一相留念照若老，师站不端则有不两的同 排有多法少？

1种 解析老：在中师三个位置间上一个有选 A3种 ，4名同 学其余 4 个在置位有 上4A4种 1 4A4 27 种.。方法 ；所以有 A3共

12 多.问排单排法:题元素排成几排的问题把归结为一可考排虑再，分段理。处 例 2.11）6 个（不同元素的成前后排两，排每排3 个元 ，那素不同么的法排种数 是 （） A36、 B种、120种 、720 C 种D1、40 种 解析：前后两4排可成看一的两排，段因本此题可看 成 6不个同元的素成排排，

6 一 702 种， 选 . 共 CA

62（）8 个同的不元素成前排两后排，每排 4 个 素，元其 某 2中 元素个排要在排，前某 1 个素元在排后排有，少种多不排法？ 解析：看成同一排某， 2个 元素前在段四个半置位中选 2排个 有， A24种 ，某 1 元个

15 素 排后在半段的四个置中位一个有 选4A 种 ，其余5 个元素任 排 5个置位有 A上5种， 1 5 24 AA5 5 607种 排法.故 共有A4

31.“至 少” “多至

”

问题间用接除法或分排类法:例 1.从34 台甲型 和 5乙型台电机视中任取3 台 ，中至其要甲型少乙和 电型视 各机一台则不同的，法取共有（ ） 、A14 0种 B、8 种0C 、7 0种D、 53 解种 析1：向思考逆，少至一各的反台就是分别面取只种型一号不取，一种另型号的3

3 电视3机，故不的同取法共有 9C 4C C 57 种0,.选C

解析

：2少至要甲型和乙 电型视各一台机分两种情可：况甲 1型 台乙型2 ；台

1 1 2甲 2 台乙型 1型台 ；不故的同法取 有C2C54 C5 C4 7 台,选 0 C

.14.

选问排先取题排后 :从类几元素中出符取题意合几个的素，元安排再到定一的 置位上可用，取先后法.排例 14 （.）1个不同球四放编入号 1为2，，3，4的 个盒中，则四恰有个空一的放盒 有法少种多？解析 先取：个球中二个为一四组另，二各组一个的球法有方 42 C种，排：再四个在3

23 盒 中次每 3排 有 A个 4，故共种 C4 有4A 144 .

种

2）9（名 乒乓运球动员其，男中5 名，女 名4现，在要行混进合双训练，有打多少 不同种分的组法方

？2解 ：析取男女先动员各运 2名， C5有2C4种 这四，名运员动和双打练习混 A22 中有 排2 2法， 共故有 C52C4A 2 12 0种 .

15.部 分合条问件排题除法 在:选的取总中，只数有部一分合件条，可以总从数 减去不中符条件数，合为所即. 求 15例.（）以正方体1顶的点顶点的四为体共面有 （）A、 07 种B6、4种 C5、 种8 D5、 种2 析：解正体 8方个 点从顶每中次取点，理四论上构成 C可48四面 ，但体6 表面和个 6个 角对的面个四顶点面都不共构能四成面，体所四面以体际共有 实C48 1 2 58 个. （）四2体的面顶和各点中点棱 共10点， 其在取 4中 不个面的点，共同不的法取 有（ 共 A、15）0 种B、17 种4C、1 44 种 、D14 种1

解析4：10个点中任 取 4 点个有共C1 0 ，其中种点四共的有面三种况情①：四在体

的四面个上面，每内面点四共面情况的 C为4 6四个，共面有 C464 个；过②间空四形边 边各点中平的行四边形共3 个；③过棱上三点对与中棱点三的形角共6 个 .以四所4

44 C  63 6 11 4.种 点共面不情的况种的是数C10

1

.6排问题单排法圆: n 个把不同元素在圆周 放n个无 编号位置的上排列顺序（，例 按顺时如）钟同的不排才算不法同排列，而顺序相同的即旋转一下就（以重可） 合的法排为认是同的，相它与通排普列区的别在于计只顺序首而位末位、分之下 列 ，n 个普排通：

a1列 ,a2, 3a, an ; 2 a, a 3, a 4,, na, ; a , an,1, an 1在 圆排中只列一种，因为旋转后可

算

以重

合，故认相同为 n， 个元素圆的列数排

有

n 种!因.可将此某元个素定固成展单n

，其它的 排n 1 元

素全列.排例 16. 5对 姐站妹一圈，要求每成对姐相邻，妹有多种不少同法？ 站析解首：先让 5 可位姐姐站一圈成，属圆列有排 A44 种，后然在让插其入间，位 均每可入插姐其姐的左和右边边，有2 种方式，故同不的安方排 2式 425  7 68 种 同站法.不

1 Amn种 同不排法 m. 1.7可 重复排的求幂法: 允许列重复排问题的特列是以元素为点研对象，究素不 受位置的约束，元可逐 安排一元素位的，置一般地 n 个不同元素排 在 个不m同置的位

说明：

从n 个 不元同素中出取m 个素作元形排圆列共

有排列

有数 mn 种 法.方例 17 把 6.名实习 分生到 配 7车间个习实共有少多种同不法？ 解析：完成此方共分 事 步，6一第；步将第一实习生分配到名间有车 7种 同方不案， 第步二：第将二实习生名配分车到间也 有 7种不方同，依案次推，由分步计类数原 理知共 7 有6 种不同方.案 81 .杂复排列组合题构造模型法问 例:1 .8马路有编号为 1上，23…，， 九9路灯，只要现关掉中其的盏三但不能，关掉相 邻二的或盏盏三，也 能不关掉端的两盏两 ，求足条件的满关方案灯多少有？ 种析解 把此问：当题一作个排模型对 在 ， 盏6亮灯 的5个空 中隙插 3 盏不亮入灯的 C35种 方法,所以足满条的关灯方案有 1件0种 .说 ：一些不易明解理排列的合组，如题能果转化为悉的熟模型填如空型，模队 排模，装盒型型模可问使容易解题. 决9. 1元个素较数的少列排组合问可以考题枚举法: 例 19.虑有设号为 1，2，3，4编， 的五5个和编球为号1 ，，32 ，45，的 子盒现这将 5球个投入 5 盒子个求要个每盒放子个球， 一并恰好且两个球有的码号盒子号码 与同相问有多，少不种的同方？ 法析解从： 5 球中取个 出 2与个子对盒号 有52C 种，剩还下 3球个 与3 个子序盒号不能对 ，应用利枚法分举，如析果下剩3 4，5 号球，与3 ，4 5 号盒子时，，3 号球不 装能入3 盒号，当子 3号 球入 4 号盒装子时4，，5号 只有球1 种 装，3法 球号装 5 号盒子时，4，入5号 也只球有1 种装 ，所法剩下三以只有球2 种装 ，因此法 共总装数法为 2C52 20 种 .2.0复 杂的列排组合问也可用分题与合解法成:例 02.1（）3003 能0被多个少同不数偶整除？解 ：先析 把0303 分解0成因数质的形式3：030=023×5×7××1×113；依意题 因偶 2数 取必，，5，73，1，113 这 个5数因中任取干若组成成积个所有，偶的数 为因0

1 3 5 5C 5 CC 52 5  CC5 4 C 5 2 个.3

2（正）方体 8 顶个可点成多连队少异直线？面解 析因：四面体为仅中 有 对3面直线异可，将问分题解正方体成 的8个 点顶构可 多少成个同的四不面体，从正方 体 8个顶点中任四取顶点构个

成的四面体

有8C4 1 2  8个5所以 8，个顶点可连 的成面直异有 线358×=17 4.对

2

1.利用对应思 想转法化:对应 想是教思中渗材的透种重一的解题要法，它可方 以复杂将的题转化问简单为题处理.问 例1.（2）圆周1上有1 点0以，这点为些点的端弦交于圆内的交相点多有个少？ 析解因：为的一个内圆四边接形的两对角条线相于交内一点，圆一个圆内接的四边形就对应着两 条相交弦圆于的内个一交点，于是问题转化为就圆上的周10 个

4点 可以定多确少个不的同四边，显然有形C1 0个，所圆周上有 10 以，以这些点点 4为 点的弦相交于端圆的交点有内 1C0 .个

（

）2某市的城街区 有2 个全1等的形矩组成其中实线，表马示，从 路A到 B 的最 短路有多少径种

B

？A

析：解可 将中图形的矩边叫一小段， 从一 到AB 最路短线须走必 7 小，段其中： 向 4东段，向北 3 段 ；且而前一段尾接的后段一的，所以只要首确定向走东过 段的走4，便能确定路径法，此因不走法有同C7 种.

4

解排组列应合用的题 1 2策种略排列 组合题是问考高必考的，它联题系实生动际有，但趣型多题，样思灵路 活，不易掌握，践证实明，掌题握型和题方解法，识别模式，练运熟用是解，决排列组合 应题的用效途径有下；面谈就一排列谈合组应用题的题解略. 策1.邻相题捆绑法: 问目题规中相邻的定个元素捆绑成一个组几当，作一大元素参个与 列.排例 . A,1 B, C D,,E 五人并 站成排一，排如果 ,AB 必 相须且 邻B 在 的A右，边那不么同的 法排种有（数） A6、 0种 、B48种 C、 63 种 D、24 种

4

解析 把 A,：B 视为一 ， 人 B 且固在定A 的边， 则本题右相当于4 的人排列， 全A 424

，答种： D案 .2. 离问相题插空排 :元素离相即（相不）邻问题，可把无先位要置的求几元素个 全列，排把规定的相再离的个几素元入上述几插个元的空位和两素. 端 例.2七人并排站一成，行 果甲乙两如必须不个邻， 相那不么同的排种数是法 （） A、1440 B、3种060种 C48、02 种D 、8004种

解5：除析甲乙外其，余5 个 列数为排A 5 种，再用甲去插乙6 个空位 有6A2 ，种同不 25 的法排种是 数5A 6A  3600种 选，B .

3.定序问题缩倍: 法排在问题中列限制几某元个必素须保一持定顺序的，用缩小 倍可的数法方 例 3..A ,B, C ,, E 五人D并站排成一排，如 B果 须必站 在 的A右边（ , BA 以可不相） 邻那不么的排同法数是种 （） 、A42 种B 60、种 C、90 种D、20 种 1析解 ： B 在 A右边的与B 在 A 的左边排法数相，同所题以设的排法只是 5 元个 1素 全排列5的数一，半即A5  60 种，选 B .2 4.标排号位题分问法步 把元:素到排指位定置上可，先把个某素按规元定入，排第 步二再排一另元个，素如继此下去续，依次可完即.成例 4 将.字 数1，2，3，4 填标号入 1为2，3，4， 的个四格里方每格填一个数， ，每个方格则标的号所与数填字均相不的填同法有（） 、6A 种 、B 种 9C1、1 种 、D32种 解析：先把 1填入格方中，合符件的有 条3 方法种，二步把第被填方入格对应 的数字填入它三个其格，又方三种方法有；三第步填余下两的数字个，有只种填 一，法有共3 3××19 =填法，选 B 种. 5有序分.配问逐题分法 :序有分配问指把元题素分成若干，可组逐步下用量分 法. 组例 5.（1）甲有丙乙三项务任甲需， 2人 担，乙承丙各一人需承，从担 10人 中选出 4 人承 担三项这务，不同的任法种数是（选 ）A1260 、 B种、2025种 C 、520 2 种、5D400种 解 ：先析 10从人中选出 2承人甲项任担务再从，下的剩 8人 选 中 人1担承项乙任2

1 C1C8 7 2520 务，第三步从外另的7 人中选 人1承丙担项任，不同的选务法有 共C01

，选 C种 .（

2）2 名同1学分到三个别同不路的进行流口的量调，若查每路个口4 人，则不同 分配方的案（ 有

）4 4

A、C 1 2种C 48C4

4 4 B、3 1C2种 C844

C4

3 、 CC1 2种C84 3A

D、

4

4C12 84CC4 种 3A

3答：案 . 6.A全 员配问题分分组: 例 法.61）（ 4优名秀生全部保学到 3送所学 校去，所学每校少至去名一，不同则的保送 案有多少方种

3？解析 ：把四学名分成 3生组 有C42 种方 法再，把组三学生配到分所学校有三 A 3，种 2 3故共有 C 4A3  63种方 法

.说明：分配

的素元于对象多且一对象每都有元分素时配常先用组分再分配. 2）（ 本不5的同书，部全给 分 个学生，4每学生个至少一本不，的分法种同为 （数） A、480种 、240B 种 、1C02 种D、 6 种9答 ：案 .B7. 名 额配分问隔板法题:例 ：10 个7三学生名好分额到7 个班级，每班个级少至个一额名，多有种少不同分 方配？案 解： 10 析个名额到分7 班个，级 就是 1把 0个额名成 看1 0个相同小的球成 分7 ， 每堆堆少一个至可，以在 0 个1球的小9 个 空位中入插6 块 板木，每种一法对插着应

一6种配分方案故，共有同不的分方配案为 9C 4 种8.

8

.限制 件条分的配问题类法: 分 8.例高某校某从系 的0 1优名毕秀业生中选4 人 分到别西四部城参加市中西国部经 济开建发设其，甲中学同到不川银乙不，到西宁，共有多少不同派种方案遣 ？解：因析甲为乙有制限条件所，以照是按否有含乙甲分来类有，以四下情种况：① 若甲都乙参不，加则派遣有方案A84 ；②若种甲加参乙而参加不先安，排甲有 3 种法，方然安后其余排生学 有83 A法方所，以有共 3A3 8③若乙参加而甲；参不加 同理有 也3 A83种； ④若乙甲都参加则先，安甲乙，排 有7 种法方然，后安再排余其8 到人另外两 城 市个有 A2 8，种共 有 7A82 方法 .所以 共 有同不的 派遣方 法总数

3为3 A8 43 A8  3 A8 7A82  084 种8.

9 多元.问题分法：类元多素，出的情况也多取，种按结果要求分成可不容相几的 情况类别分数计，后总计最. 例（1）由数字9 ，10， 2，，43， 组5成没有复数字的重六位，其中数个位字小数于 位数字的共有（ 十 ）、21A0种 B 、00 3种C、4 64种 D、6 0 种0

5析解：按题意，位个字只数可是 0，1能2，，34， 5共种 情，况分有别A5 个，1 311 1 3 1 13 31 4AA A33, A3A 3 A3, 2 AA A33, A 3 A 个3，合总计 300并个 ,选 B

.2）从 1（2 ，，…，3001 这100 数个中任取两，数，个它使的们积能被 乘 7除整，这两 数个的法取（不顺计序共有多）种？ 解析少：被取的两数中至少个一有能个被 7 除整，他时们乘积的能就 7 被整除将 这，1 0 个0数成的集合视组为全 集,能被I7 除的整数集

的合记做A  7,41, 12

,9

8

有共1 4个元素 ,能被不7 整的数组除成集合的做 记A 1, 2,,3 ,4

,010 共有8 个

26元素；由此 知可从， A 任取 2中 元个素的法有 C14取，从 A 中任 取一，又从个 A 1中1 2 1 1 任取一 个有共C 4 ，1种两情共形合要符求取的法有 14C C6  8C4 C81 6 2951 .

（种）从 1，3，23…，，100这 100 个 中任取数个两数，其和能被使 4整除的 法取 不（计序）有多少顺种？解 析： 将 I 1, 2,3

,

10分 0成个四不交的子集相，被 能 整4的除数集9 7， 能 被 除4 2 的数余集99 ，易见这四个合中集每

一  4A, , 18 2 C , 2,6,

1 ；能被 4 除0余 1的 数 集 B 15,9,,0

,

98 ，能被 4余 3除的数集 D 3,,711,

个有25 个 素；元 从 A任中两取数符合个要从；B, D 中 各取个数一也符合要；求从

C

中 取两任个数符也要求；此合外其它法都取不合符要；求所以符合要求的取法

12 1 2有共 2C 5种 .C25 C2 5C25

01交叉问.集合题：某些排法组合问题列几分部间之交有集可用，合中求元集素 个数公式n( AB) n( )  nA( ) Bn (A B) 例 .10. 从6 运动员名选出中4 人参加 ×1400米接力 ，赛果如不跑甲第棒一乙， 跑第四棒，共不有多种不少的参赛同案方？解 析设全集=｛6 ：中人取 任 人4赛的参列排 ，｝A=｛甲跑第棒的一列｝排， B=乙 跑｛四第棒排的列｝ 根据，求集元合个素的公式得数赛参法方共：有

3 43 2 5 A A5  A4 522 . 种n ( ) I n( )A n B() n( A B ) A

611 定位问题优.法先某个或几：个素元要排指在位定，可先排这个置几或元素个 ；排其它再的元。素例 11.1 名老师 和 4 获名奖学排成同排一相留念照若老，师站不端则有不两的同 排有多法少？

1种 解析老：在中师三个位置间上一个有选 A3种 ，4名同 学其余 4 个在置位有 上4A4种 1 4A4 27 种.。方法 ；所以有 A3共

12 多.问排单排法:题元素排成几排的问题把归结为一可考排虑再，分段理。处 例 2.11）6 个（不同元素的成前后排两，排每排3 个元 ，那素不同么的法排种数 是 （） A36、 B种、120种 、720 C 种D1、40 种 解析：前后两4排可成看一的两排，段因本此题可看 成 6不个同元的素成排排，

6 一 702 种， 选 . 共 CA

62（）8 个同的不元素成前排两后排，每排 4 个 素，元其 某 2中 元素个排要在排，前某 1 个素元在排后排有，少种多不排法？ 解析：看成同一排某， 2个 元素前在段四个半置位中选 2排个 有， A24种 ，某 1 元个

15 素 排后在半段的四个置中位一个有 选4A 种 ，其余5 个元素任 排 5个置位有 A上5种， 1 5 24 AA5 5 607种 排法.故 共有A4

31.“至 少” “多至

”

问题间用接除法或分排类法:例 1.从34 台甲型 和 5乙型台电机视中任取3 台 ，中至其要甲型少乙和 电型视 各机一台则不同的，法取共有（ ） 、A14 0种 B、8 种0C 、7 0种D、 53 解种 析1：向思考逆，少至一各的反台就是分别面取只种型一号不取，一种另型号的3

3 电视3机，故不的同取法共有 9C 4C C 57 种0,.选C

解析

：2少至要甲型和乙 电型视各一台机分两种情可：况甲 1型 台乙型2 ；台

1 1 2甲 2 台乙型 1型台 ；不故的同法取 有C2C54 C5 C4 7 台,选 0 C

.14.

选问排先取题排后 :从类几元素中出符取题意合几个的素，元安排再到定一的 置位上可用，取先后法.排例 14 （.）1个不同球四放编入号 1为2，，3，4的 个盒中，则四恰有个空一的放盒 有法少种多？解析 先取：个球中二个为一四组另，二各组一个的球法有方 42 C种，排：再四个在3

23 盒 中次每 3排 有 A个 4，故共种 C4 有4A 144 .

种

2）9（名 乒乓运球动员其，男中5 名，女 名4现，在要行混进合双训练，有打多少 不同种分的组法方

？2解 ：析取男女先动员各运 2名， C5有2C4种 这四，名运员动和双打练习混 A22 中有 排2 2法， 共故有 C52C4A 2 12 0种 .

15.部 分合条问件排题除法 在:选的取总中，只数有部一分合件条，可以总从数 减去不中符条件数，合为所即. 求 15例.（）以正方体1顶的点顶点的四为体共面有 （）A、 07 种B6、4种 C5、 种8 D5、 种2 析：解正体 8方个 点从顶每中次取点，理四论上构成 C可48四面 ，但体6 表面和个 6个 角对的面个四顶点面都不共构能四成面，体所四面以体际共有 实C48 1 2 58 个. （）四2体的面顶和各点中点棱 共10点， 其在取 4中 不个面的点，共同不的法取 有（ 共 A、15）0 种B、17 种4C、1 44 种 、D14 种1

解析4：10个点中任 取 4 点个有共C1 0 ，其中种点四共的有面三种况情①：四在体

的四面个上面，每内面点四共面情况的 C为4 6四个，共面有 C464 个；过②间空四形边 边各点中平的行四边形共3 个；③过棱上三点对与中棱点三的形角共6 个 .以四所4

44 C  63 6 11 4.种 点共面不情的况种的是数C10

1

.6排问题单排法圆: n 个把不同元素在圆周 放n个无 编号位置的上排列顺序（，例 按顺时如）钟同的不排才算不法同排列，而顺序相同的即旋转一下就（以重可） 合的法排为认是同的，相它与通排普列区的别在于计只顺序首而位末位、分之下 列 ，n 个普排通：

a1列 ,a2, 3a, an ; 2 a, a 3, a 4,, na, ; a , an,1, an 1在 圆排中只列一种，因为旋转后可

算

以重

合，故认相同为 n， 个元素圆的列数排

有

n 种!因.可将此某元个素定固成展单n

，其它的 排n 1 元

素全列.排例 16. 5对 姐站妹一圈，要求每成对姐相邻，妹有多种不少同法？ 站析解首：先让 5 可位姐姐站一圈成，属圆列有排 A44 种，后然在让插其入间，位 均每可入插姐其姐的左和右边边，有2 种方式，故同不的安方排 2式 425  7 68 种 同站法.不

1 Amn种 同不排法 m. 1.7可 重复排的求幂法: 允许列重复排问题的特列是以元素为点研对象，究素不 受位置的约束，元可逐 安排一元素位的，置一般地 n 个不同元素排 在 个不m同置的位

说明：

从n 个 不元同素中出取m 个素作元形排圆列共

有排列

有数 mn 种 法.方例 17 把 6.名实习 分生到 配 7车间个习实共有少多种同不法？ 解析：完成此方共分 事 步，6一第；步将第一实习生分配到名间有车 7种 同方不案， 第步二：第将二实习生名配分车到间也 有 7种不方同，依案次推，由分步计类数原 理知共 7 有6 种不同方.案 81 .杂复排列组合题构造模型法问 例:1 .8马路有编号为 1上，23…，， 九9路灯，只要现关掉中其的盏三但不能，关掉相 邻二的或盏盏三，也 能不关掉端的两盏两 ，求足条件的满关方案灯多少有？ 种析解 把此问：当题一作个排模型对 在 ， 盏6亮灯 的5个空 中隙插 3 盏不亮入灯的 C35种 方法,所以足满条的关灯方案有 1件0种 .说 ：一些不易明解理排列的合组，如题能果转化为悉的熟模型填如空型，模队 排模，装盒型型模可问使容易解题. 决9. 1元个素较数的少列排组合问可以考题枚举法: 例 19.虑有设号为 1，2，3，4编， 的五5个和编球为号1 ，，32 ，45，的 子盒现这将 5球个投入 5 盒子个求要个每盒放子个球， 一并恰好且两个球有的码号盒子号码 与同相问有多，少不种的同方？ 法析解从： 5 球中取个 出 2与个子对盒号 有52C 种，剩还下 3球个 与3 个子序盒号不能对 ，应用利枚法分举，如析果下剩3 4，5 号球，与3 ，4 5 号盒子时，，3 号球不 装能入3 盒号，当子 3号 球入 4 号盒装子时4，，5号 只有球1 种 装，3法 球号装 5 号盒子时，4，入5号 也只球有1 种装 ，所法剩下三以只有球2 种装 ，因此法 共总装数法为 2C52 20 种 .2.0复 杂的列排组合问也可用分题与合解法成:例 02.1（）3003 能0被多个少同不数偶整除？解 ：先析 把0303 分解0成因数质的形式3：030=023×5×7××1×113；依意题 因偶 2数 取必，，5，73，1，113 这 个5数因中任取干若组成成积个所有，偶的数 为因0

1 3 5 5C 5 CC 52 5  CC5 4 C 5 2 个.3

2（正）方体 8 顶个可点成多连队少异直线？面解 析因：四面体为仅中 有 对3面直线异可，将问分题解正方体成 的8个 点顶构可 多少成个同的四不面体，从正方 体 8个顶点中任四取顶点构个

成的四面体

有8C4 1 2  8个5所以 8，个顶点可连 的成面直异有 线358×=17 4.对

2

1.利用对应思 想转法化:对应 想是教思中渗材的透种重一的解题要法，它可方 以复杂将的题转化问简单为题处理.问 例1.（2）圆周1上有1 点0以，这点为些点的端弦交于圆内的交相点多有个少？ 析解因：为的一个内圆四边接形的两对角条线相于交内一点，圆一个圆内接的四边形就对应着两 条相交弦圆于的内个一交点，于是问题转化为就圆上的周10 个

4点 可以定多确少个不的同四边，显然有形C1 0个，所圆周上有 10 以，以这些点点 4为 点的弦相交于端圆的交点有内 1C0 .个

（

）2某市的城街区 有2 个全1等的形矩组成其中实线，表马示，从 路A到 B 的最 短路有多少径种

B

？A

析：解可 将中图形的矩边叫一小段， 从一 到AB 最路短线须走必 7 小，段其中： 向 4东段，向北 3 段 ；且而前一段尾接的后段一的，所以只要首确定向走东过 段的走4，便能确定路径法，此因不走法有同C7 种.

4