24 点到直线的距离
教材分析
点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．
这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．
教学目标
1. 通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力．
2. 理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力． 任务分析
这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．
教学设计
一、问题情境
1. 某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？
这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？
2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：
（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由 解得即m与l的交点
由两点间的距离公式，得
故要完成任务，至少需要9km长的电线．
（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（
M（0，－），易让向量＝（，，0）．在直线l上任取一点）与向量n＝（3，－4）垂直． 设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．
设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0， ①
又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，
而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），
即3（xo－15）－4（yo－20）＝
45． ②
把等式①和等式②两边相加，得
25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，
∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，
3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．
二、建立模型
设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．
我们来寻求点到直线l距离的算法．
作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为
B（x－x1）－A（y－y1）＝0．
由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①
由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，
即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，
即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
三、解释应用
［例 题］
1. 求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l1：2x＋y＝5， l2：3x＝2．
注意：规范解题格式．
2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离． 分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．
解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d
＝
3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．
不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC：
∴点B（a，0）． ，即bx＋ay－ab＝0，
在线段AB上任取一点D（m，0），
则－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝
［练 习］ ，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
1. 求下列点到直线的距离．
（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．
（2）A（1，0），l2：x＋y
－＝0．
（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．
（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．
2. 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．
3. （1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．
（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．
（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．
（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．
（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．
四、拓展延伸
1. 点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？
2. 点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．
（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离． 不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．
如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．
∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，
即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，
∴向量n＝（A，B），与向量
②求点P0到直线l的距离d． ＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂直．
由数量积的定义，如果向量与向量n的夹角为θ，那么
易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．
点 评
这节课首先通过实例阐述了点到直线距离的产生背景，并通过学生思考讨论，归纳和概括出了求点到直线的距离的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推导点到直线距离公式的方法．这种安排充分体现了新课程标准的教学理念，符合新课程标准精神．例题与练习的设计由浅入深，完整，全面．解释应用深有新意，有深度．拓展延伸活跃了学生思维，培养了学生发现问题、研究问题、解决问题的能力．总之，这篇案例较好地体现了高中数学教育发展的一丝新理念．
24 点到直线的距离
教材分析
点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．
这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．
教学目标
1. 通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力．
2. 理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力． 任务分析
这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．
教学设计
一、问题情境
1. 某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？
这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？
2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：
（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由 解得即m与l的交点
由两点间的距离公式，得
故要完成任务，至少需要9km长的电线．
（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（
M（0，－），易让向量＝（，，0）．在直线l上任取一点）与向量n＝（3，－4）垂直． 设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．
设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0， ①
又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，
而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），
即3（xo－15）－4（yo－20）＝
45． ②
把等式①和等式②两边相加，得
25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，
∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，
3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．
二、建立模型
设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．
我们来寻求点到直线l距离的算法．
作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为
B（x－x1）－A（y－y1）＝0．
由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①
由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，
即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，
即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
三、解释应用
［例 题］
1. 求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l1：2x＋y＝5， l2：3x＝2．
注意：规范解题格式．
2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离． 分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．
解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d
＝
3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．
不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC：
∴点B（a，0）． ，即bx＋ay－ab＝0，
在线段AB上任取一点D（m，0），
则－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝
［练 习］ ，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
1. 求下列点到直线的距离．
（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．
（2）A（1，0），l2：x＋y
－＝0．
（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．
（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．
2. 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．
3. （1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．
（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．
（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．
（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．
（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．
四、拓展延伸
1. 点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？
2. 点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．
（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离． 不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．
如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．
∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，
即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，
∴向量n＝（A，B），与向量
②求点P0到直线l的距离d． ＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂直．
由数量积的定义，如果向量与向量n的夹角为θ，那么
易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．
点 评
这节课首先通过实例阐述了点到直线距离的产生背景，并通过学生思考讨论，归纳和概括出了求点到直线的距离的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推导点到直线距离公式的方法．这种安排充分体现了新课程标准的教学理念，符合新课程标准精神．例题与练习的设计由浅入深，完整，全面．解释应用深有新意，有深度．拓展延伸活跃了学生思维，培养了学生发现问题、研究问题、解决问题的能力．总之，这篇案例较好地体现了高中数学教育发展的一丝新理念．