第4章 课后习题详解
1．下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：
（1）在表中填空。
（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？
答：（1）利用短期生产的总产量（TP ）、平均产量（AP ）和边际产量（MP ）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4-2所示：
（2）是。由上表中数据可知，从第5单位的可变要素投入量开始出现规模报酬递减。 所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。
2．用图说明短期生产函数Q f (L , K ) 的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的特征及其相互之间的关系。
答：短期生产函数的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的综合图，如图4-5所示。
图4-5 生产函数曲线
由图4-5可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP L 曲线呈现出先上升达到最高点A 以后又下降的趋势。由边际报酬递减规律决定的MP L 曲线出发，可以方便地推导出TP L 曲线和AP L 曲线，并掌握它们各自的特征及其相互之间的关系。
关于TP L 曲线。由于MP L =
dTP L
，所以，当MP L ＞0时，TP L 曲线是上升的；当MP L ＜dL
0时，TP L 曲线是下降的；而当MP L ＝0时，TP L 曲线达最高点。换言之，在L ＝L 3时，MP L 曲线达到零值的B 点与TP L 曲线达到最大值的B' 点是相互对应的。此外，在L ＜L 3即MP L ＞0的范围内，当MP L ' ＞0时，TP L 曲线的斜率递增，即TP L 曲线以递增的速率上升；当MP L ' ＜0时，TP L 曲线的斜率递减，即TP L 曲线以递减的速率上升；而当MP L ' ＝0时，TP L 曲线存在一个拐点，换言之，在L ＝L １时，MP L 曲线斜率为零的A 点与TP L 曲线的拐点A' 是相互对应的。
TP
关于AP L 曲线。由于AP L =L ，所以，在L ＝L 2时，TP L 曲线有一条由原点出发的切
L 线，其切点为C 。该切线是由原点出发与TP L 曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是的最大值点。再考虑到AP L 曲线和MP L 曲线一定会相交在AP L 曲线的最高点。因此，在图4-5中，在L ＝L 2时，TP L 曲线与MP L 曲线相交于AP L ，曲线的最高点C' ，而且与C' 点相对应的是TP L ，曲线上的切点C 。
22
3．已知生产函数Q =f (L , K ) =2KL -0.5L -0.5K ，假定厂商目前处于短期生产，且
K ＝10。
（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L 函数、劳动的平均产量AP L 函数和劳动的边际产量MP L 函数；
（2）分别计算当劳动的总产量TP 、劳动的平均产量AP 和劳动的边际产量MP L 各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；
（3）什么时候AP L ＝MP L ？它的值又是多少？
解：（1）将K ＝10代入生产函数Q =f (L , K ) =2KL -0.5L 2-0.5K 2中，
2
得：Q =-0.5L +20L -50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数： 劳动的总产量函数 TP L =-0.5L +20L -50
2
劳动的平均产量函数 AP L =-0.5L +20-劳动的边际产量函数 MP L =-L +20 （2）令MP L =0，解得L =20
50
L
即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TP L 达到最大。 令AP ' L =-0.5+且有
50
=0，解得L =10（负值舍去） L 2
所以，当劳动投入量为L =10时，劳动的平均产量AP L 达到最大。
由劳动的边际产量函数MP L =-L +20可知，MP ' L =-1＜0，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边际产量函数递减，因此当劳动投入量L =0时劳动的边际产量MP L 达到极大值。
（3）当劳动的平均产量AP L 达到最大时，一定有AP L ＝MP L ，
即-0.5L +20-
50
＝-L +20，得：L =10 L
此时AP L ＝MP L ＝10。
4．已知生产函数为Q =min {2L ,3K }，求： （1）当产量Ｑ＝36时，L 与K 值分别为多少？
（2）如果生产要素的价格分别为P L =2, P K =5，则生产480单位产量的最小成本是多少？
解：（1）生产函数Q =min {2L ,3K }表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，当场上进行生产时，总有Q =2L =3K 。
因为已知Q=36，解得L ＝18，K ＝12。 （2）由Q =2L =3K ，Q=480，可得： L ＝240，K ＝160
又因P L ＝2，P K ＝5，所以有：
TC =L ⋅P L +K ⋅P K =240⨯2+160⨯5=1280
即生产480单位产量的最小成本为1280。 5．已知生产函数为： （1）Q =5L K （2）Q =
1/3
2/3
；
KL
； K +L
（3）Q =KL 2； （4）Q =Min (3L , K ) 。
求：（1）厂商的长期生产的扩展线方程；
（2）当P , P K =1, Q =1000时，厂商实现成本最小的要素投入的组合。 L =1
1/32/3解：（1）①对于生产函数Q =5L K 来说，有：
MP K =
10L 1/35L
() ，MP L =() -2/3 3K 3K
MP L P L
=，可得： MP K P K
由最优要素组合的均衡条件
P L 2L
=
P K K
即厂商长期生产扩展线方程为：
K =
2P L
L 。 P K
2P L
L =2L P K
2/3
②当P , P K =1, Q =1000时，有：K =L =1代入生产函数Q =5L K
1/3
2/3
中，可解得：Q =5⨯2L
即当Q =
1000时，L =
K =。 （2）①对于生产函数Q =
KL
来说，有： K +L
K (K +L ) -KL K 2
MP L ==2
(K +L ) (K +L ) 2MP K =
由
L (K +L ) -KL L
=
(K +L ) 2(K +L ) 2
2
，
MP L P L P K 2
=，可得：L =()
P K L MP K P K
P L 1/2
) L 。 P K
即厂商长期生产扩展线方程为K =(
②当P , P K =1, Q =1000时，有：K =L L =1
代入生产函数Q =
KL
中，得：L ＝K ＝2Q ＝2000 K +L
即当Q =1000时，L =K =2000。
2
（3）①对于生产函数Q =KL 2, MP L =2KL , MP K =L ，
由
MP L P L
，可得： =
MP K P K 2K P L
=
L P K
则K =
P L 即为厂商长期生产扩展线方程。
L 2P K
②当P , P K =1, Q =1000时，有： L =1
K =
P L L
L = 2P K 2
2
L 3
代入生产函数Q =KL 中，可得：1000=
2
解得：L =K =
L
=2
（3）①生产函数Q =min(3L , K ) 是固定比例生产函数，厂商按照
L 1
=的固定投入K 3
比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K ＝3L 上，即厂商的长期扩展线函数为K ＝3L 。
②由Q =3L =K =1000，得：K =1000，L =
6．已知生产函数
。
1000
3
判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？
（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：
这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MP K 是递减的。
以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。
7．令生产函数f （L ，K ）＝α0＋α1（LK ）1/2＋α2K ＋α3L ，其中0≤αi ≤1，i ＝0，1，2，3。
（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
1/2
解：（1）∵f （L ，K ）＝α0＋α1（LK ）＋α2K ＋α3L
则f (λL , λK ) =α0+α1(λLK ) +α2(λK ) +α3(λL )
2
1
2
=α0+α1λ(LK ) +α2λK +α3λL
=λ[α0+α1(LK ) +α2K +α3L ]+(1-λ) α0 =λf (L , K ) +(1-λ) α0
如果该生产函数表现出规模报酬不变，则f (L , K ) =λf (L , K ) , 这就意味着对于任何常数λ＞0都必有(1-λ) α0=0，解得α0=0。
可见，当α0=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为f (L , K ) =α1(LK ) +α2K +α3L ，这时有：
1
2
12
12
MP L =
df (L , K ) 1⎛K ⎫
=α1 ⎪+α3 dL 2⎝L ⎭df (L , K ) 1⎛L ⎫
=α1 ⎪+α2 dK 2⎝K ⎭
1
2
12
MP K =
1
dMP L 1-3
2
=-L K 2＜0 dL 4
13
dMP K 12-2
=-L K ＜0 dK 4
这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。
8．已知某企业的生产函数为Ｑ＝L 2/3K 1/3，劳动的价格w ＝2，资本的价格r ＝1。求： （1）当成本C ＝3 000时，企业实现最大产量时的L 、K 和Ｑ的均衡值。 （2）当产量Ｑ＝800时，企业实现最小成本时的L 、K 和C 的均衡值。 解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：
其中
w ＝2，r ＝1 于是有：
整理得：
即：K ＝L
再将K ＝L 代入约束条件2×L ＋1×K ＝3 000，有：
2L ＋L ＝3 000 解得：L *＝1 000 且有：K *＝1 000
将L *＝K *＝1 000代入生产函数，求得最大的产量： Ｑ*＝（L *）2/3（K *）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000
以上结果表明，在成本为C ＝3 000时，厂商以L *＝1 000，K *＝1 000进行生产所达到的最大产量为Ｑ*＝1 000
此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。
将拉格朗日函数分别对L 、K 和λ求偏导，得极值的一阶条件：
①
②
由①式、②式可得：
，即K ＝L
将K ＝L 代入约束条件即③式，可得：
3 000－2L －L ＝0 解得L *＝1 000 且有K *＝1 000
再将L *＝K *＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量：
Ｑ*＝（L *）2/3（K *）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000 在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。
（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：
其中
w ＝2，r ＝1 于是有：
整理得：
③
即：K ＝L
再将K ＝L 代入约束条件L 2/3K 1/3＝800，有：
L 2/3L 1/3＝800 解得L *＝800 且有K *＝800
将L *＝K *＝800代人成本方程2L ＋1·K ＝C ，求得最小成本：
C *＝2L *＋1K *＝2×800＋1×800＝2 400
本题的计算结果表示：在Ｑ＝800时，厂商以L *＝800，K *＝800进行生产的最小成本为C *＝2 400。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。
将拉格朗日函数分别对L 、K 和µ求偏导，得极值的一阶条件：
①
②
③
由①、②两式可得：
即：K ＝L
再将K ＝L 代入约束条件即③式，有：
L 2/3K 1/3－800＝0
解得L *＝800 且有K *＝800
将L *＝K *＝800代人成本方程2L ＋1·K ＝C ，求得最小成本：
C *＝2L *＋1K *＝2×800＋1×800＝2 400 在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。
9．利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。 答：（1）以在图4-6为例来说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。由于本题的约束条件是既定的成本，所以，图中只有一条等成本线AB ，此外有三条等产量曲线Q 1、Q 2和Q 3以供分析，并从中找出对应的最大产量水平。
图4-6 既定成本条件下产量最大的要素组合
（2）分析代表既定成本的惟一的等成本线AB 与三条等产量曲线Q 1、Q 2和Q 3之间的关系。先看等产量曲线Q 3，等产量曲线Q 3代表的产量虽然高于等产量曲线Q 2，但惟一的等成本线AB 与等产量曲线Q 3既无交点又无切点。这表明等产量曲线Q 3所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量，因为厂商利用既定成本只能购买到位于等成本线AB 上或等成本线AB 以内区域的要素组合。再看等产量曲线Q 1，等产量曲线Q 1虽然与惟一的等成本线AB 相交于a 、b 两点，但等产量曲线Q 1所代表的产量是比较低的。因为，此时厂商在不增加成本的情况下，只需由a 点出发向右或由b 点出发向左沿着既定的等成本线AB 改变要素组合，就可以增加产量。所以，只有在惟一的等成本线AB 和等产量曲线Q 2的相切点E ，才是实现既定成本条件下的最大产量的要素组合。任何更高的产量在既定成本条件下都是无法实现的，任何更低的产量都是低效率的。
由此可见，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件为MRTS LK =可得：
MP L MP K
=w r
w
，且整理r
它表示：厂商可以通过对两要素投人量的不断调整，使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等，从而实现既定成本条件下的最大产量。
10．利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。 答：以图4-7为例，说明如下：
（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图4-2-4中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本曲线AB 、A'B' 和A " B " 以供分析，并从中找出相应的最小成本。
图4-7 既定产量下成本最小化
（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下，先看等成本曲线AB ，该线处于等产量曲线以下，与等产量曲线既无交点又无切点，所以，等成本线AB 所代表的成本过小，它不可能生产既定产量。再看等成本线A " B " ，它与既定的等产量曲线交于a 、b 两点。在这种情况下，厂商只要从a 点出发，沿着等产量线往下向E 点靠拢，或者，从b 点出发，沿着等产量曲线往上向E 点靠拢，即都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量线与等成本线A'B' 的相切处E 点，实现最下的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是
。
第5章 课后习题详解
1．表5-1是一张关于短期生产函数Q =f (L , ) 的产量表：
短期生产的产量表
，整理得
（1）在表中填空。 （2）根据（1），在一张坐标图上作出TP L 曲线，在另一张坐标图上作出AP L 曲线和MP L 曲线。（提示：为了便于作图与比较，TP L 曲线图的纵坐标的刻度单位大于AP L 曲线图和MP L 曲线图。）
（3）根据（1），并假定劳动的价格w ＝200，完成下面的相应的短期成本表，即表5-2。
（4）根据表5-2-2，在一张坐标图上作出TVC 曲线，在另一张坐标图上作出AVC 曲线和MC 曲线。（提示：为了便于作图与比较，TVC 曲线图的纵坐标的单位刻度大于AVC 曲线和MC 曲线图。）
（5）根据（2）、（4），说明短期生产函数和短期成本函数之间的关系。 答：（1）经填空完成的短期生产的产量表如表5-3所示：
（2）根据（1）中的短期生产的产量表所绘制的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线如图5-4所示。
图5-3 生产函数曲线
（3）当w ＝200时，有表5-4：
图5-4 成本曲线
（5）边际产量和边际成本的关系：边际成本MC 和边际产量MP L 两者的变动方向是相反的。联系图5-3和图5-4，可以看出：MP L 曲线的上升段对应MC 曲线的下降段；MP L 曲线的下降段对应MC 曲线的上升段；MP L 曲线的最高点对应MC 曲线的最低点。
总产量和总成本之间也存在对应关系。如图所示：当总产量TP L 曲线下凸时，总成本TC 曲线和总可变成本TVC 曲线是下凸的；当总产量TP L 曲线存在一个拐点时，总成本TC 曲线和总可变成本TVC 曲线也各存在一个拐点。
平均可变成本AVC 和平均产量AP L 两者的变动方向是相反的。前者递增时，后者递减；前者递减时，后者递增；前者的最高点对应后者的最低点。
MC 曲线与AVC 曲线的交点与MP L 曲线和AP L 曲线的交点是对应的。
2．下面是一张某厂商的LAC 曲线和LMC 曲线图5-5。
请分别在Q 1和Q 2的产量上画出代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线。
图5-5 短期成本曲线
答：在产量Q 1和Q 2上，代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线是SAC 1和SAC 2以及SMC 1和SMC 2。SAC 1和SAC 2分别相切于LAC 的A 点和B 点，SMC 1和SMC 2则分别相交于LMC 的A' 和B ' 点。见下图5-6。
图5-6 成本曲线
3．假定某企业的短期成本函数是TC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q ＋66： （1）指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分； （2）写出下列相应的函数： TVC （Q ）、AC （Q ）、AVC （Q ）、AFC （Q ）和MC （Q ）。 解：（1）在短期成本函数TC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q ＋66中，可变成本部分为TVC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q ；不变成本部分为AFC （Q ）＝66
（2）根据已知条件和（1），可以得到以下相应的各类短期成本函数： TVC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q
AC （Q ）＝AVC （Q ）＝AFC （Q ）MC （Q ）
＝Q 2－5Q ＋15＋Q
＝Q 2－5Q ＋15
66
＝3Q 2－10Q ＋15
4．已知某企业的短期总成本函数是STC （Ｑ）＝ 0.04Ｑ3－0.8Ｑ2＋10Ｑ＋5，求最小的平均可变成本值。
解：据题意，可知AVC （Ｑ）
＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10
＝0。
因为，当平均可变成本AVC 函数达到最小值时，一定有故令
＝0，有
解得：Ｑ＝10 又由于
，所以当Ｑ＝10时，AVC （Q ）达到最小值。
将Ｑ＝10代入平均可变成本函数AVC （Q ）＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10，解得：AVC （Q ）min
＝6
也就是说，当产量Ｑ＝10时，平均可变成本AVC （Ｑ）达到最小值，其最小值为6。
5．假定某厂商的边际成本函数MC ＝3Ｑ2－30Ｑ + 100，且生产10单位产量时的总成本为l 000。
求：（1）固定成本的值。
（2）总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。 解：（1）根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC=3Q2-30Q+100积分可得总成本函数，即有：
总成本函数
又因为根据题意有Ｑ＝10时的TC ＝1 000，所以有：
TC ＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000 解得：α＝500
所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本为：TFC ＝α＝500. （2）由（1），可得： 总成本函数： 总可变成本函数： 平均成本函数：平均可变成本函数：
26．某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C ＝2Ｑ1＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2，其中
Ｑ1表示第一个工厂生产的产量，Ｑ2表示第二个工厂生产的产量。
求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。 解:此题可以用两种方法来求解。 （1）第一种方法：
当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它必须使两个工厂生产的边际成本相等，即MC 1＝MC 2, 才能实现成本最小的产量组合。
根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为：
MC 1
＝4Ｑ1－Ｑ2
第二个工厂的边际成本函数为：
MC 2
＝2Ｑ2－Ｑ1
于是，根据MC 1＝MC 2原则，得：
2Ｑ2－Ｑ1＝4Ｑ1 －Ｑ2
解得：Ｑ1＝0.6Ｑ2 （1） 又因为Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2＝40，于是，将（1）代入有：
0.6Ｑ2＋Ｑ2＝Ｑ＝40 解得：Ｑ2*＝25 将其代入（1），解得：Q 1*＝15
（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。
C ＝2Ｑ1＋Ｑ2－Ｑ1Ｑ2 s.t. Ｑ1＋Ｑ2 ＝
40
将以上拉格朗日函数分别对Ｑ1、Ｑ2和λ求导，得最小值的一阶条件为：
2
2
由前两个式子可得：
4Ｑ1 －Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1 即：Ｑ1＝0.6Ｑ2
将Ｑ1＝0.6Ｑ2代入第三个式子，得：
40－0.6Ｑ2－Ｑ2＝0 解得：Ｑ2*＝25
再由Ｑ1＝0.6Ｑ2，得：Ｑ1*＝15
7．已知生产函数Ｑ＝A 1/4L 1/4K 1/2；各要素价格分别为P A ＝1，P L ＝1，P K ＝2；假定厂商处于短期生产，且＝16。
推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。
解:由于是短期生产, 且＝16，P A ＝1，P L ＝1，P K ＝2，故总成本等式C ＝P A A ＋P L L ＋P K K可以写成：
C ＝1×A ＋1×L ＋32C ＝A ＋L ＋32 生产函数可以写成：
Ｑ＝A 1/4L 1/4（16）1/2＝4A 1/4L 1/4
而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述如下：
A ＋L ＋32
s.t. A 1/4L 1/4＝Ｑ （其中，Ｑ为常数）
将以上拉格朗日函数分别对A 、L 、λ求偏导，得最小值的一阶条件为：
由前两个式子可得：
即：L ＝A
将L ＝A 代入约束条件即第三个式子，得：
Ｑ－A 1/4L 1/4＝0 解得：A *＝且：L *＝
于是，有短期生产的各类成本函数如下： 总成本函数TC （Ｑ）＝A + L + 32 ＝平均成本函数AC （Ｑ）＝
总可变成本函数TVC （Ｑ）＝平均可变成本函数AVC （Ｑ）＝边际成本函数MC （Ｑ）＝
8．已知某厂商的生产函数为Q ＝0.5L 1/3K 2/3；当资本投入量K ＝50时资本的总价格为 500；劳动的价格P L ＝5。求：
（1）劳动的投入函数L ＝L （Q ）。
（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。
（3）当产品的价格P ＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？
解：（1）已知K ＝50时，其总价格为500，所以P K =10 对于生产函数Q ＝0.5L 1/3K 2/3
1K 2/31L 1/3可求出：MP L =），MP K =）
6L 3K
P L MP L
=由，可得：K =L P K MP K
代入生产函数，得：Q =0.5L ，即L =2Q （2）将L ＝2Q 代入成本等式C ＝5L ＋10K 可得：总成本函数TC =LP L +KP K =10Q +500 平均成本函数AC =10+500/Q 边际成本函数MC =10
（3）由（1）可知，生产者达到均衡时，有：K =L 因为K ＝50，所以：L ＝50 代入生产函数有：得：Q ＝25
此时利润为：π=PQ -TC =PQ -(P L ∙L +P K ∙K ) =2500-750=1750
9、假定某厂商短期生产的边际成本函数SMC （Q ）＝3Q 2－8Q ＋100，且已知当产量Q ＝10时的总成本STC ＝2 400，求相应的STC 函数、SAC 函数和AVC 函数。
解：由边际成本函数SMC （Q ）＝3Q 2－8Q ＋100积分得： 总成本函数STC ＝Q 3－4Q 2＋100Q+a
又因为当产量Q ＝10时的总成本STC ＝2 400，即： 2400＝103－4×102+100×10+a 解得：a ＝800
所求总成本函数STC ＝Q 3－4Q 2＋100Q+800
平均成本函数SAC =
STC 800
=Q 2-4Q +100+ C Q
可变成本函数SVC ＝Q 3－4Q 2＋100Q
平均成本函数AVC =
SVC
=Q 2-4Q +100 C
10．试用图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线，并说明长期总成本曲线的经济含义。
答：（1）长期总成本曲线的推导。
长期总成本LTC 是指厂商在长期中在每一个产量水平上通过选择最优的生产规模所能达到的最低总成本。相应地，长期总成本函数写成以下形式：
LTC ＝LTC （Q ）
根据对长期总成本函数的规定，可以由短期总成本曲线出发，推导长期总成本曲线。 在图5-7中，有三条短期总成本曲线STC 1、STC 2和STC 3，它们分别代表三个不同的生产规模。由于短期总成本曲线的纵截距表示相应的总不变成本TFC 的数量，因此，从图中三条短期总成本曲线的纵截距可知，STC 1曲线所表示的总不变成本小于STC 2曲线，STC 2曲线所表示的总不变成本又小于STC 3曲线，而总不变成本的多少（如厂房、机器设备等）往往表示生产规模的大小。因此，从三条短期总成本曲线所代表的生产规模看，STC 1曲线最小，STC 2曲线居中，STC 3曲线最大。
图5-7 长期总成本曲线的推导
假定厂商生产的产量为Q 2，在短期内，厂商可能面临STC 1曲线所代表的过小的生产规模或STC 3曲线所代表的过大的生产规模，于是，厂商只能按较高的总成本来生产产量Q 2，即在STC 1曲线上的d 点或STC 3曲线上的e 点进行生产。但在长期，情况就会发生变化。厂商在长期可以变动全部的要素投入量，选择最优的生产规模，于是，厂商必然会选择STC 2曲线所代表的生产规模进行生产，从而将总成本降低到所能达到的最低水平，即厂商是在STC 2曲线上的b 点进行生产。类似地，在长期内，厂商会选择STC 1曲线所代表的生产规模，在a 点上生产Q 1的产量；选择STC 3曲线所代表的生产规模，在c 点上生产Q 3的产量。这样，厂商就在每一个既定的产量水平实现了最低的总成本。
虽然在图5-7中只有三条短期总成本线，但在理论分析上可以假定有无数条短期总成本曲线。这样一来，厂商可以在任何一个产量水平上，都找到相应的一个最优的生产规模，都可以把总成本降到最低水平。也就是说，可以找到无数个类似于a 、b 和c 的点，这些点的轨迹就形成了图5-7中的长期总成本LTC 曲线。显然，长期总成本曲线是无数条短期总成本曲线的包络线。在这条包络线上，在连续变化的每一个产量水平上，都存在着LTC 曲线和一条STC 曲线的相切点，该STC 曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的总成本就是生产该产量的最低总成本。所以，LTC 曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小生产总成本。
（2）长期总成本曲线的经济含义
长期总成本LTC 曲线是从原点出发向右上方倾斜的。它表示：当产量为零时，长期总成本为零，以后随着产量的增加，长期总成本是增加的。而且，长期总成本LTC 曲线的斜
率先递减，经拐点之后，又变为递增。
11．试用图从短期平均成本曲线推导长期平均成本曲线，并说明长期平均成本曲线的经济含义。
答：长期平均成本LAC 表示厂商在长期内按产量平均计算的最低总成本。长期平均成本函数可以写为：
LTC (Q )
LAC (Q )
Q 如图5-8所示。在图5-2-7中有三条短期平均成本曲线SAC 1、SAC 2和SAC 3，它们各自
代表了三个不同的生产规模。在长期，厂商可以根据生产要求，选择最优的生产规模进行生产。假定厂商生产Q 1的产量，则厂商会选择SAC 1曲线所代表的生产规模，以OC 1的平均成本进行生产。而对于产量Q 1而言，平均成本OC 1是低于其他任何生产规模下的平均成本的。假定厂商生产的产量为Q 2，则厂商会选择SAC 2曲线所代表的生产规模进行生产，相应的最小平均成本为OC 2；假定厂商生产的产量为Q 3，则厂商会选择SAC 3曲线所代表的生产规模进行生产，相应的最小平均成本为OC 3。
图5-8 长期平均成本曲线的推导
如果厂商生产的产量为Q 1′，则厂商既可选择SAC 1曲线所代表的生产规模，也可选择SAC 2曲线所代表的生产规模。因为，这两个生产规模都以相同的最低平均成本生产同一个产量。这时，厂商有可能选择SAC 1曲线所代表的生产规模，因为，该生产规模相对较小，厂商的投资可以少一些。厂商也有可能考虑到今后扩大产量的需要，而选择SAC 2曲线所代表的生产规模。厂商的这种考虑和选择，对于其他的类似的每两条SAC 曲线的交点，如Q 2′的产量，也是同样适用的。
在长期生产中，厂商总是可以在每一产量水平上找到相应的最优的生产规模进行生产。而在短期内，厂商做不到这一点。假定厂商现有的生产规模由SAC 1曲线所代表，而他需要生产的产量为OQ 2，那么，厂商在短期内就只能以SAC 1曲线上的OC 1的平均成本来生产，而不可能是SAC 2曲线上的更低的平均成本OC 2。
由以上分析可见，沿着图5-8中所有的SAC 曲线的实线部分，厂商总是可以找到长期内生产某一产量的最低平均成本的。由于在长期内可供厂商选择的生产规模是很多的，在理论分析中，可以假定生产规模可以无限细分，从而可以有无数条SAC 曲线，于是，便得到图5-9中的长期平均成本LAC 曲线。显然，长期平均成本曲线是无数条短期平均成本曲线的包络线。在这条包络线上，在连续变化的每一个产量水平，都存在LAC 曲线和一条SAC 曲线的相切点，该SAC 曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的平均成本就是相应的最低平均成本。LAC 曲线表示厂商在长期内在每一产量水平上可以实现的最小的平均成本。
图5-9 长期平均成本曲线
此外，从图5-9还可以看到，LAC 曲线呈现出U 形的特征。而且，在LAC 曲线的下降段，LAC 曲线相切于所有相应的SAC 曲线最低的左边；在LAC 曲线的上升段，LAC 曲线相切于所有相应的SAC 曲线最低点的右边。只有在LAC 曲线的最低点上，LAC 曲线才相切于相应的SAC 曲线（图中为SAC 4曲线）的最低点。
（2）经济含义
长期平均成本曲线呈先降后升的U 形，这一特征是由长期生产中的规模经济和规模不经济所决定。同时，企业长期生产技术表现出规模报酬先是递增的，然后是递减的。规模报酬的这种变化规律，也是造成长期平均成本LAC 曲线表现出先降后升的特征的一种原因。
12．试用图从短期边际成本曲线推导长期边际成本曲线，并说明长期边际成本曲线的经济含义。
答：长期边际成本LMC 表示厂商在长期内增加一单位产量所引起的最低总成本的增量。长期边际成本函数可以写为：
∆LTC (Q ) ∆LTC (Q ) dLTC (Q )
LMC (Q ) ==，或LMC (Q ) =lim ∆Q →0∆Q ∆Q dQ 显然，每一产量水平上的LMC 值都是相应的LTC 曲线的斜率。
（1）由短期边际成本推导长期边际成本如图5-10所示。
图5-10 长期边际成本曲线的推导
图5-10中，在每一个产量水平，代表最优生产规模的SAC 曲线都有一条相应的SMC 曲线，每一条SMC 曲线都过相应的SAC 曲线最低点。在Q 1的产量上，生产该产量的最优生产规模由SAC 1曲线和SMC 1曲线所代表，相应的短期边际成本由P 点给出，PQ 1既是最优的短期边际成本，又是长期边际成本，即有LMC ＝SMC 1＝PQ 1。或者说，在Q 1的产量上，长期边际成本LMC 等于最优生产规模的短期边际成本SMC 1，它们都等于PQ 1的高度。同理，在Q 2的产量上，有LMC ＝SMC 2＝SQ 2。在Q 3的产量上，有LMC ＝SMC 3＝SQ 3。在生
产规模可以无限细分的条件下，可以得到无数个类似与P 、R 和S 的点，将这些点连结起来便得到一条光滑的长期边际成本LMC 曲线。
（2）经济含义
长期边际成本曲线呈U 形，它与长期平均成本曲线相交于长期平均成本曲线的最低点。其原因在于：根据边际量和平均量之间的关系，当LAC 曲线处于下降段时，LMC 曲线一定处于LAC 曲线的下方，也就是说，此时LMC ＜LAC ，LMC 将LAC 拉下；相反，当LAC 曲线处于上升段时，LMC 曲线一定位于LAC 曲线的上方，也就是说，此时LMC ＞LAC ，LMC 将LAC 拉上。因为LAC 曲线在规模经济和规模不经济的作用下呈先降后升的U 形，这就使得LMC 曲线也必然呈先降后升的U 形，并且，两条曲线相交于LAC 曲线的最低点。
第4章 课后习题详解
1．下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：
（1）在表中填空。
（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？
答：（1）利用短期生产的总产量（TP ）、平均产量（AP ）和边际产量（MP ）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4-2所示：
（2）是。由上表中数据可知，从第5单位的可变要素投入量开始出现规模报酬递减。 所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。
2．用图说明短期生产函数Q f (L , K ) 的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的特征及其相互之间的关系。
答：短期生产函数的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的综合图，如图4-5所示。
图4-5 生产函数曲线
由图4-5可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP L 曲线呈现出先上升达到最高点A 以后又下降的趋势。由边际报酬递减规律决定的MP L 曲线出发，可以方便地推导出TP L 曲线和AP L 曲线，并掌握它们各自的特征及其相互之间的关系。
关于TP L 曲线。由于MP L =
dTP L
，所以，当MP L ＞0时，TP L 曲线是上升的；当MP L ＜dL
0时，TP L 曲线是下降的；而当MP L ＝0时，TP L 曲线达最高点。换言之，在L ＝L 3时，MP L 曲线达到零值的B 点与TP L 曲线达到最大值的B' 点是相互对应的。此外，在L ＜L 3即MP L ＞0的范围内，当MP L ' ＞0时，TP L 曲线的斜率递增，即TP L 曲线以递增的速率上升；当MP L ' ＜0时，TP L 曲线的斜率递减，即TP L 曲线以递减的速率上升；而当MP L ' ＝0时，TP L 曲线存在一个拐点，换言之，在L ＝L １时，MP L 曲线斜率为零的A 点与TP L 曲线的拐点A' 是相互对应的。
TP
关于AP L 曲线。由于AP L =L ，所以，在L ＝L 2时，TP L 曲线有一条由原点出发的切
L 线，其切点为C 。该切线是由原点出发与TP L 曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是的最大值点。再考虑到AP L 曲线和MP L 曲线一定会相交在AP L 曲线的最高点。因此，在图4-5中，在L ＝L 2时，TP L 曲线与MP L 曲线相交于AP L ，曲线的最高点C' ，而且与C' 点相对应的是TP L ，曲线上的切点C 。
22
3．已知生产函数Q =f (L , K ) =2KL -0.5L -0.5K ，假定厂商目前处于短期生产，且
K ＝10。
（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L 函数、劳动的平均产量AP L 函数和劳动的边际产量MP L 函数；
（2）分别计算当劳动的总产量TP 、劳动的平均产量AP 和劳动的边际产量MP L 各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；
（3）什么时候AP L ＝MP L ？它的值又是多少？
解：（1）将K ＝10代入生产函数Q =f (L , K ) =2KL -0.5L 2-0.5K 2中，
2
得：Q =-0.5L +20L -50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数： 劳动的总产量函数 TP L =-0.5L +20L -50
2
劳动的平均产量函数 AP L =-0.5L +20-劳动的边际产量函数 MP L =-L +20 （2）令MP L =0，解得L =20
50
L
即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TP L 达到最大。 令AP ' L =-0.5+且有
50
=0，解得L =10（负值舍去） L 2
所以，当劳动投入量为L =10时，劳动的平均产量AP L 达到最大。
由劳动的边际产量函数MP L =-L +20可知，MP ' L =-1＜0，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边际产量函数递减，因此当劳动投入量L =0时劳动的边际产量MP L 达到极大值。
（3）当劳动的平均产量AP L 达到最大时，一定有AP L ＝MP L ，
即-0.5L +20-
50
＝-L +20，得：L =10 L
此时AP L ＝MP L ＝10。
4．已知生产函数为Q =min {2L ,3K }，求： （1）当产量Ｑ＝36时，L 与K 值分别为多少？
（2）如果生产要素的价格分别为P L =2, P K =5，则生产480单位产量的最小成本是多少？
解：（1）生产函数Q =min {2L ,3K }表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，当场上进行生产时，总有Q =2L =3K 。
因为已知Q=36，解得L ＝18，K ＝12。 （2）由Q =2L =3K ，Q=480，可得： L ＝240，K ＝160
又因P L ＝2，P K ＝5，所以有：
TC =L ⋅P L +K ⋅P K =240⨯2+160⨯5=1280
即生产480单位产量的最小成本为1280。 5．已知生产函数为： （1）Q =5L K （2）Q =
1/3
2/3
；
KL
； K +L
（3）Q =KL 2； （4）Q =Min (3L , K ) 。
求：（1）厂商的长期生产的扩展线方程；
（2）当P , P K =1, Q =1000时，厂商实现成本最小的要素投入的组合。 L =1
1/32/3解：（1）①对于生产函数Q =5L K 来说，有：
MP K =
10L 1/35L
() ，MP L =() -2/3 3K 3K
MP L P L
=，可得： MP K P K
由最优要素组合的均衡条件
P L 2L
=
P K K
即厂商长期生产扩展线方程为：
K =
2P L
L 。 P K
2P L
L =2L P K
2/3
②当P , P K =1, Q =1000时，有：K =L =1代入生产函数Q =5L K
1/3
2/3
中，可解得：Q =5⨯2L
即当Q =
1000时，L =
K =。 （2）①对于生产函数Q =
KL
来说，有： K +L
K (K +L ) -KL K 2
MP L ==2
(K +L ) (K +L ) 2MP K =
由
L (K +L ) -KL L
=
(K +L ) 2(K +L ) 2
2
，
MP L P L P K 2
=，可得：L =()
P K L MP K P K
P L 1/2
) L 。 P K
即厂商长期生产扩展线方程为K =(
②当P , P K =1, Q =1000时，有：K =L L =1
代入生产函数Q =
KL
中，得：L ＝K ＝2Q ＝2000 K +L
即当Q =1000时，L =K =2000。
2
（3）①对于生产函数Q =KL 2, MP L =2KL , MP K =L ，
由
MP L P L
，可得： =
MP K P K 2K P L
=
L P K
则K =
P L 即为厂商长期生产扩展线方程。
L 2P K
②当P , P K =1, Q =1000时，有： L =1
K =
P L L
L = 2P K 2
2
L 3
代入生产函数Q =KL 中，可得：1000=
2
解得：L =K =
L
=2
（3）①生产函数Q =min(3L , K ) 是固定比例生产函数，厂商按照
L 1
=的固定投入K 3
比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K ＝3L 上，即厂商的长期扩展线函数为K ＝3L 。
②由Q =3L =K =1000，得：K =1000，L =
6．已知生产函数
。
1000
3
判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？
（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：
这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MP K 是递减的。
以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。
7．令生产函数f （L ，K ）＝α0＋α1（LK ）1/2＋α2K ＋α3L ，其中0≤αi ≤1，i ＝0，1，2，3。
（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
1/2
解：（1）∵f （L ，K ）＝α0＋α1（LK ）＋α2K ＋α3L
则f (λL , λK ) =α0+α1(λLK ) +α2(λK ) +α3(λL )
2
1
2
=α0+α1λ(LK ) +α2λK +α3λL
=λ[α0+α1(LK ) +α2K +α3L ]+(1-λ) α0 =λf (L , K ) +(1-λ) α0
如果该生产函数表现出规模报酬不变，则f (L , K ) =λf (L , K ) , 这就意味着对于任何常数λ＞0都必有(1-λ) α0=0，解得α0=0。
可见，当α0=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为f (L , K ) =α1(LK ) +α2K +α3L ，这时有：
1
2
12
12
MP L =
df (L , K ) 1⎛K ⎫
=α1 ⎪+α3 dL 2⎝L ⎭df (L , K ) 1⎛L ⎫
=α1 ⎪+α2 dK 2⎝K ⎭
1
2
12
MP K =
1
dMP L 1-3
2
=-L K 2＜0 dL 4
13
dMP K 12-2
=-L K ＜0 dK 4
这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。
8．已知某企业的生产函数为Ｑ＝L 2/3K 1/3，劳动的价格w ＝2，资本的价格r ＝1。求： （1）当成本C ＝3 000时，企业实现最大产量时的L 、K 和Ｑ的均衡值。 （2）当产量Ｑ＝800时，企业实现最小成本时的L 、K 和C 的均衡值。 解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：
其中
w ＝2，r ＝1 于是有：
整理得：
即：K ＝L
再将K ＝L 代入约束条件2×L ＋1×K ＝3 000，有：
2L ＋L ＝3 000 解得：L *＝1 000 且有：K *＝1 000
将L *＝K *＝1 000代入生产函数，求得最大的产量： Ｑ*＝（L *）2/3（K *）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000
以上结果表明，在成本为C ＝3 000时，厂商以L *＝1 000，K *＝1 000进行生产所达到的最大产量为Ｑ*＝1 000
此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。
将拉格朗日函数分别对L 、K 和λ求偏导，得极值的一阶条件：
①
②
由①式、②式可得：
，即K ＝L
将K ＝L 代入约束条件即③式，可得：
3 000－2L －L ＝0 解得L *＝1 000 且有K *＝1 000
再将L *＝K *＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量：
Ｑ*＝（L *）2/3（K *）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000 在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。
（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：
其中
w ＝2，r ＝1 于是有：
整理得：
③
即：K ＝L
再将K ＝L 代入约束条件L 2/3K 1/3＝800，有：
L 2/3L 1/3＝800 解得L *＝800 且有K *＝800
将L *＝K *＝800代人成本方程2L ＋1·K ＝C ，求得最小成本：
C *＝2L *＋1K *＝2×800＋1×800＝2 400
本题的计算结果表示：在Ｑ＝800时，厂商以L *＝800，K *＝800进行生产的最小成本为C *＝2 400。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。
将拉格朗日函数分别对L 、K 和µ求偏导，得极值的一阶条件：
①
②
③
由①、②两式可得：
即：K ＝L
再将K ＝L 代入约束条件即③式，有：
L 2/3K 1/3－800＝0
解得L *＝800 且有K *＝800
将L *＝K *＝800代人成本方程2L ＋1·K ＝C ，求得最小成本：
C *＝2L *＋1K *＝2×800＋1×800＝2 400 在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。
9．利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。 答：（1）以在图4-6为例来说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。由于本题的约束条件是既定的成本，所以，图中只有一条等成本线AB ，此外有三条等产量曲线Q 1、Q 2和Q 3以供分析，并从中找出对应的最大产量水平。
图4-6 既定成本条件下产量最大的要素组合
（2）分析代表既定成本的惟一的等成本线AB 与三条等产量曲线Q 1、Q 2和Q 3之间的关系。先看等产量曲线Q 3，等产量曲线Q 3代表的产量虽然高于等产量曲线Q 2，但惟一的等成本线AB 与等产量曲线Q 3既无交点又无切点。这表明等产量曲线Q 3所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量，因为厂商利用既定成本只能购买到位于等成本线AB 上或等成本线AB 以内区域的要素组合。再看等产量曲线Q 1，等产量曲线Q 1虽然与惟一的等成本线AB 相交于a 、b 两点，但等产量曲线Q 1所代表的产量是比较低的。因为，此时厂商在不增加成本的情况下，只需由a 点出发向右或由b 点出发向左沿着既定的等成本线AB 改变要素组合，就可以增加产量。所以，只有在惟一的等成本线AB 和等产量曲线Q 2的相切点E ，才是实现既定成本条件下的最大产量的要素组合。任何更高的产量在既定成本条件下都是无法实现的，任何更低的产量都是低效率的。
由此可见，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件为MRTS LK =可得：
MP L MP K
=w r
w
，且整理r
它表示：厂商可以通过对两要素投人量的不断调整，使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等，从而实现既定成本条件下的最大产量。
10．利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。 答：以图4-7为例，说明如下：
（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图4-2-4中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本曲线AB 、A'B' 和A " B " 以供分析，并从中找出相应的最小成本。
图4-7 既定产量下成本最小化
（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下，先看等成本曲线AB ，该线处于等产量曲线以下，与等产量曲线既无交点又无切点，所以，等成本线AB 所代表的成本过小，它不可能生产既定产量。再看等成本线A " B " ，它与既定的等产量曲线交于a 、b 两点。在这种情况下，厂商只要从a 点出发，沿着等产量线往下向E 点靠拢，或者，从b 点出发，沿着等产量曲线往上向E 点靠拢，即都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量线与等成本线A'B' 的相切处E 点，实现最下的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是
。
第5章 课后习题详解
1．表5-1是一张关于短期生产函数Q =f (L , ) 的产量表：
短期生产的产量表
，整理得
（1）在表中填空。 （2）根据（1），在一张坐标图上作出TP L 曲线，在另一张坐标图上作出AP L 曲线和MP L 曲线。（提示：为了便于作图与比较，TP L 曲线图的纵坐标的刻度单位大于AP L 曲线图和MP L 曲线图。）
（3）根据（1），并假定劳动的价格w ＝200，完成下面的相应的短期成本表，即表5-2。
（4）根据表5-2-2，在一张坐标图上作出TVC 曲线，在另一张坐标图上作出AVC 曲线和MC 曲线。（提示：为了便于作图与比较，TVC 曲线图的纵坐标的单位刻度大于AVC 曲线和MC 曲线图。）
（5）根据（2）、（4），说明短期生产函数和短期成本函数之间的关系。 答：（1）经填空完成的短期生产的产量表如表5-3所示：
（2）根据（1）中的短期生产的产量表所绘制的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线如图5-4所示。
图5-3 生产函数曲线
（3）当w ＝200时，有表5-4：
图5-4 成本曲线
（5）边际产量和边际成本的关系：边际成本MC 和边际产量MP L 两者的变动方向是相反的。联系图5-3和图5-4，可以看出：MP L 曲线的上升段对应MC 曲线的下降段；MP L 曲线的下降段对应MC 曲线的上升段；MP L 曲线的最高点对应MC 曲线的最低点。
总产量和总成本之间也存在对应关系。如图所示：当总产量TP L 曲线下凸时，总成本TC 曲线和总可变成本TVC 曲线是下凸的；当总产量TP L 曲线存在一个拐点时，总成本TC 曲线和总可变成本TVC 曲线也各存在一个拐点。
平均可变成本AVC 和平均产量AP L 两者的变动方向是相反的。前者递增时，后者递减；前者递减时，后者递增；前者的最高点对应后者的最低点。
MC 曲线与AVC 曲线的交点与MP L 曲线和AP L 曲线的交点是对应的。
2．下面是一张某厂商的LAC 曲线和LMC 曲线图5-5。
请分别在Q 1和Q 2的产量上画出代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线。
图5-5 短期成本曲线
答：在产量Q 1和Q 2上，代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线是SAC 1和SAC 2以及SMC 1和SMC 2。SAC 1和SAC 2分别相切于LAC 的A 点和B 点，SMC 1和SMC 2则分别相交于LMC 的A' 和B ' 点。见下图5-6。
图5-6 成本曲线
3．假定某企业的短期成本函数是TC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q ＋66： （1）指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分； （2）写出下列相应的函数： TVC （Q ）、AC （Q ）、AVC （Q ）、AFC （Q ）和MC （Q ）。 解：（1）在短期成本函数TC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q ＋66中，可变成本部分为TVC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q ；不变成本部分为AFC （Q ）＝66
（2）根据已知条件和（1），可以得到以下相应的各类短期成本函数： TVC （Q ）＝Q 3－5Q 2＋15Q
AC （Q ）＝AVC （Q ）＝AFC （Q ）MC （Q ）
＝Q 2－5Q ＋15＋Q
＝Q 2－5Q ＋15
66
＝3Q 2－10Q ＋15
4．已知某企业的短期总成本函数是STC （Ｑ）＝ 0.04Ｑ3－0.8Ｑ2＋10Ｑ＋5，求最小的平均可变成本值。
解：据题意，可知AVC （Ｑ）
＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10
＝0。
因为，当平均可变成本AVC 函数达到最小值时，一定有故令
＝0，有
解得：Ｑ＝10 又由于
，所以当Ｑ＝10时，AVC （Q ）达到最小值。
将Ｑ＝10代入平均可变成本函数AVC （Q ）＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10，解得：AVC （Q ）min
＝6
也就是说，当产量Ｑ＝10时，平均可变成本AVC （Ｑ）达到最小值，其最小值为6。
5．假定某厂商的边际成本函数MC ＝3Ｑ2－30Ｑ + 100，且生产10单位产量时的总成本为l 000。
求：（1）固定成本的值。
（2）总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。 解：（1）根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC=3Q2-30Q+100积分可得总成本函数，即有：
总成本函数
又因为根据题意有Ｑ＝10时的TC ＝1 000，所以有：
TC ＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000 解得：α＝500
所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本为：TFC ＝α＝500. （2）由（1），可得： 总成本函数： 总可变成本函数： 平均成本函数：平均可变成本函数：
26．某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C ＝2Ｑ1＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2，其中
Ｑ1表示第一个工厂生产的产量，Ｑ2表示第二个工厂生产的产量。
求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。 解:此题可以用两种方法来求解。 （1）第一种方法：
当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它必须使两个工厂生产的边际成本相等，即MC 1＝MC 2, 才能实现成本最小的产量组合。
根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为：
MC 1
＝4Ｑ1－Ｑ2
第二个工厂的边际成本函数为：
MC 2
＝2Ｑ2－Ｑ1
于是，根据MC 1＝MC 2原则，得：
2Ｑ2－Ｑ1＝4Ｑ1 －Ｑ2
解得：Ｑ1＝0.6Ｑ2 （1） 又因为Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2＝40，于是，将（1）代入有：
0.6Ｑ2＋Ｑ2＝Ｑ＝40 解得：Ｑ2*＝25 将其代入（1），解得：Q 1*＝15
（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。
C ＝2Ｑ1＋Ｑ2－Ｑ1Ｑ2 s.t. Ｑ1＋Ｑ2 ＝
40
将以上拉格朗日函数分别对Ｑ1、Ｑ2和λ求导，得最小值的一阶条件为：
2
2
由前两个式子可得：
4Ｑ1 －Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1 即：Ｑ1＝0.6Ｑ2
将Ｑ1＝0.6Ｑ2代入第三个式子，得：
40－0.6Ｑ2－Ｑ2＝0 解得：Ｑ2*＝25
再由Ｑ1＝0.6Ｑ2，得：Ｑ1*＝15
7．已知生产函数Ｑ＝A 1/4L 1/4K 1/2；各要素价格分别为P A ＝1，P L ＝1，P K ＝2；假定厂商处于短期生产，且＝16。
推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。
解:由于是短期生产, 且＝16，P A ＝1，P L ＝1，P K ＝2，故总成本等式C ＝P A A ＋P L L ＋P K K可以写成：
C ＝1×A ＋1×L ＋32C ＝A ＋L ＋32 生产函数可以写成：
Ｑ＝A 1/4L 1/4（16）1/2＝4A 1/4L 1/4
而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述如下：
A ＋L ＋32
s.t. A 1/4L 1/4＝Ｑ （其中，Ｑ为常数）
将以上拉格朗日函数分别对A 、L 、λ求偏导，得最小值的一阶条件为：
由前两个式子可得：
即：L ＝A
将L ＝A 代入约束条件即第三个式子，得：
Ｑ－A 1/4L 1/4＝0 解得：A *＝且：L *＝
于是，有短期生产的各类成本函数如下： 总成本函数TC （Ｑ）＝A + L + 32 ＝平均成本函数AC （Ｑ）＝
总可变成本函数TVC （Ｑ）＝平均可变成本函数AVC （Ｑ）＝边际成本函数MC （Ｑ）＝
8．已知某厂商的生产函数为Q ＝0.5L 1/3K 2/3；当资本投入量K ＝50时资本的总价格为 500；劳动的价格P L ＝5。求：
（1）劳动的投入函数L ＝L （Q ）。
（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。
（3）当产品的价格P ＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？
解：（1）已知K ＝50时，其总价格为500，所以P K =10 对于生产函数Q ＝0.5L 1/3K 2/3
1K 2/31L 1/3可求出：MP L =），MP K =）
6L 3K
P L MP L
=由，可得：K =L P K MP K
代入生产函数，得：Q =0.5L ，即L =2Q （2）将L ＝2Q 代入成本等式C ＝5L ＋10K 可得：总成本函数TC =LP L +KP K =10Q +500 平均成本函数AC =10+500/Q 边际成本函数MC =10
（3）由（1）可知，生产者达到均衡时，有：K =L 因为K ＝50，所以：L ＝50 代入生产函数有：得：Q ＝25
此时利润为：π=PQ -TC =PQ -(P L ∙L +P K ∙K ) =2500-750=1750
9、假定某厂商短期生产的边际成本函数SMC （Q ）＝3Q 2－8Q ＋100，且已知当产量Q ＝10时的总成本STC ＝2 400，求相应的STC 函数、SAC 函数和AVC 函数。
解：由边际成本函数SMC （Q ）＝3Q 2－8Q ＋100积分得： 总成本函数STC ＝Q 3－4Q 2＋100Q+a
又因为当产量Q ＝10时的总成本STC ＝2 400，即： 2400＝103－4×102+100×10+a 解得：a ＝800
所求总成本函数STC ＝Q 3－4Q 2＋100Q+800
平均成本函数SAC =
STC 800
=Q 2-4Q +100+ C Q
可变成本函数SVC ＝Q 3－4Q 2＋100Q
平均成本函数AVC =
SVC
=Q 2-4Q +100 C
10．试用图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线，并说明长期总成本曲线的经济含义。
答：（1）长期总成本曲线的推导。
长期总成本LTC 是指厂商在长期中在每一个产量水平上通过选择最优的生产规模所能达到的最低总成本。相应地，长期总成本函数写成以下形式：
LTC ＝LTC （Q ）
根据对长期总成本函数的规定，可以由短期总成本曲线出发，推导长期总成本曲线。 在图5-7中，有三条短期总成本曲线STC 1、STC 2和STC 3，它们分别代表三个不同的生产规模。由于短期总成本曲线的纵截距表示相应的总不变成本TFC 的数量，因此，从图中三条短期总成本曲线的纵截距可知，STC 1曲线所表示的总不变成本小于STC 2曲线，STC 2曲线所表示的总不变成本又小于STC 3曲线，而总不变成本的多少（如厂房、机器设备等）往往表示生产规模的大小。因此，从三条短期总成本曲线所代表的生产规模看，STC 1曲线最小，STC 2曲线居中，STC 3曲线最大。
图5-7 长期总成本曲线的推导
假定厂商生产的产量为Q 2，在短期内，厂商可能面临STC 1曲线所代表的过小的生产规模或STC 3曲线所代表的过大的生产规模，于是，厂商只能按较高的总成本来生产产量Q 2，即在STC 1曲线上的d 点或STC 3曲线上的e 点进行生产。但在长期，情况就会发生变化。厂商在长期可以变动全部的要素投入量，选择最优的生产规模，于是，厂商必然会选择STC 2曲线所代表的生产规模进行生产，从而将总成本降低到所能达到的最低水平，即厂商是在STC 2曲线上的b 点进行生产。类似地，在长期内，厂商会选择STC 1曲线所代表的生产规模，在a 点上生产Q 1的产量；选择STC 3曲线所代表的生产规模，在c 点上生产Q 3的产量。这样，厂商就在每一个既定的产量水平实现了最低的总成本。
虽然在图5-7中只有三条短期总成本线，但在理论分析上可以假定有无数条短期总成本曲线。这样一来，厂商可以在任何一个产量水平上，都找到相应的一个最优的生产规模，都可以把总成本降到最低水平。也就是说，可以找到无数个类似于a 、b 和c 的点，这些点的轨迹就形成了图5-7中的长期总成本LTC 曲线。显然，长期总成本曲线是无数条短期总成本曲线的包络线。在这条包络线上，在连续变化的每一个产量水平上，都存在着LTC 曲线和一条STC 曲线的相切点，该STC 曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的总成本就是生产该产量的最低总成本。所以，LTC 曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小生产总成本。
（2）长期总成本曲线的经济含义
长期总成本LTC 曲线是从原点出发向右上方倾斜的。它表示：当产量为零时，长期总成本为零，以后随着产量的增加，长期总成本是增加的。而且，长期总成本LTC 曲线的斜
率先递减，经拐点之后，又变为递增。
11．试用图从短期平均成本曲线推导长期平均成本曲线，并说明长期平均成本曲线的经济含义。
答：长期平均成本LAC 表示厂商在长期内按产量平均计算的最低总成本。长期平均成本函数可以写为：
LTC (Q )
LAC (Q )
Q 如图5-8所示。在图5-2-7中有三条短期平均成本曲线SAC 1、SAC 2和SAC 3，它们各自
代表了三个不同的生产规模。在长期，厂商可以根据生产要求，选择最优的生产规模进行生产。假定厂商生产Q 1的产量，则厂商会选择SAC 1曲线所代表的生产规模，以OC 1的平均成本进行生产。而对于产量Q 1而言，平均成本OC 1是低于其他任何生产规模下的平均成本的。假定厂商生产的产量为Q 2，则厂商会选择SAC 2曲线所代表的生产规模进行生产，相应的最小平均成本为OC 2；假定厂商生产的产量为Q 3，则厂商会选择SAC 3曲线所代表的生产规模进行生产，相应的最小平均成本为OC 3。
图5-8 长期平均成本曲线的推导
如果厂商生产的产量为Q 1′，则厂商既可选择SAC 1曲线所代表的生产规模，也可选择SAC 2曲线所代表的生产规模。因为，这两个生产规模都以相同的最低平均成本生产同一个产量。这时，厂商有可能选择SAC 1曲线所代表的生产规模，因为，该生产规模相对较小，厂商的投资可以少一些。厂商也有可能考虑到今后扩大产量的需要，而选择SAC 2曲线所代表的生产规模。厂商的这种考虑和选择，对于其他的类似的每两条SAC 曲线的交点，如Q 2′的产量，也是同样适用的。
在长期生产中，厂商总是可以在每一产量水平上找到相应的最优的生产规模进行生产。而在短期内，厂商做不到这一点。假定厂商现有的生产规模由SAC 1曲线所代表，而他需要生产的产量为OQ 2，那么，厂商在短期内就只能以SAC 1曲线上的OC 1的平均成本来生产，而不可能是SAC 2曲线上的更低的平均成本OC 2。
由以上分析可见，沿着图5-8中所有的SAC 曲线的实线部分，厂商总是可以找到长期内生产某一产量的最低平均成本的。由于在长期内可供厂商选择的生产规模是很多的，在理论分析中，可以假定生产规模可以无限细分，从而可以有无数条SAC 曲线，于是，便得到图5-9中的长期平均成本LAC 曲线。显然，长期平均成本曲线是无数条短期平均成本曲线的包络线。在这条包络线上，在连续变化的每一个产量水平，都存在LAC 曲线和一条SAC 曲线的相切点，该SAC 曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的平均成本就是相应的最低平均成本。LAC 曲线表示厂商在长期内在每一产量水平上可以实现的最小的平均成本。
图5-9 长期平均成本曲线
此外，从图5-9还可以看到，LAC 曲线呈现出U 形的特征。而且，在LAC 曲线的下降段，LAC 曲线相切于所有相应的SAC 曲线最低的左边；在LAC 曲线的上升段，LAC 曲线相切于所有相应的SAC 曲线最低点的右边。只有在LAC 曲线的最低点上，LAC 曲线才相切于相应的SAC 曲线（图中为SAC 4曲线）的最低点。
（2）经济含义
长期平均成本曲线呈先降后升的U 形，这一特征是由长期生产中的规模经济和规模不经济所决定。同时，企业长期生产技术表现出规模报酬先是递增的，然后是递减的。规模报酬的这种变化规律，也是造成长期平均成本LAC 曲线表现出先降后升的特征的一种原因。
12．试用图从短期边际成本曲线推导长期边际成本曲线，并说明长期边际成本曲线的经济含义。
答：长期边际成本LMC 表示厂商在长期内增加一单位产量所引起的最低总成本的增量。长期边际成本函数可以写为：
∆LTC (Q ) ∆LTC (Q ) dLTC (Q )
LMC (Q ) ==，或LMC (Q ) =lim ∆Q →0∆Q ∆Q dQ 显然，每一产量水平上的LMC 值都是相应的LTC 曲线的斜率。
（1）由短期边际成本推导长期边际成本如图5-10所示。
图5-10 长期边际成本曲线的推导
图5-10中，在每一个产量水平，代表最优生产规模的SAC 曲线都有一条相应的SMC 曲线，每一条SMC 曲线都过相应的SAC 曲线最低点。在Q 1的产量上，生产该产量的最优生产规模由SAC 1曲线和SMC 1曲线所代表，相应的短期边际成本由P 点给出，PQ 1既是最优的短期边际成本，又是长期边际成本，即有LMC ＝SMC 1＝PQ 1。或者说，在Q 1的产量上，长期边际成本LMC 等于最优生产规模的短期边际成本SMC 1，它们都等于PQ 1的高度。同理，在Q 2的产量上，有LMC ＝SMC 2＝SQ 2。在Q 3的产量上，有LMC ＝SMC 3＝SQ 3。在生
产规模可以无限细分的条件下，可以得到无数个类似与P 、R 和S 的点，将这些点连结起来便得到一条光滑的长期边际成本LMC 曲线。
（2）经济含义
长期边际成本曲线呈U 形，它与长期平均成本曲线相交于长期平均成本曲线的最低点。其原因在于：根据边际量和平均量之间的关系，当LAC 曲线处于下降段时，LMC 曲线一定处于LAC 曲线的下方，也就是说，此时LMC ＜LAC ，LMC 将LAC 拉下；相反，当LAC 曲线处于上升段时，LMC 曲线一定位于LAC 曲线的上方，也就是说，此时LMC ＞LAC ，LMC 将LAC 拉上。因为LAC 曲线在规模经济和规模不经济的作用下呈先降后升的U 形，这就使得LMC 曲线也必然呈先降后升的U 形，并且，两条曲线相交于LAC 曲线的最低点。