2012伦敦奥运会金牌榜预测
摘要
随着社会的发展，体育能力也成了评价一个国家的综合能力的重要一项。伦敦奥运会将于 2012年7月27开幕，奥运会奖牌榜（金银铜总数）成了大家关心的热点问题。我认为奥运奖牌数的变化是一个马尔科夫过程，并据此建立了奖牌数预测模型。在求解转移概率矩阵时，我们建立了以预测值和实际值之间误差量最小为目标的规划模型，借助历年奥运奖牌的数据，运用LINGO软件求得了最优转移概率矩阵。最后代入奖牌数预测模型求得了第30届奥运会中国的奖牌数在87枚左右，加上误差项后预测奖牌数为81—93枚之间。还可以再利用公式Y=
关键词：奖牌数预测、转移概率矩阵的求解 P、东道国效应、马式
链模型、
1
+
++„+模拟来预测今年各个国家奖牌数。
一、 问题重述
伦敦奥运会将于 2012年7月27开幕，奥运会奖牌榜（金银铜总数）成了大家关心的热点问题。根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2012伦敦奥运会的奖牌榜前五名。
二、
0符号说明 x ： 为东道主当届获得的金牌数占当届总金牌数的百分比;
： 为东道主其他届次获得金牌数占该届总金牌数百分比的平均值; ： 为东道主当届获得的奖牌数得分占该届总奖牌分数的百分比；
0y
： 为东道主其他届次获得奖牌数的分数占该届总奖牌分数百分比的平均值； n ： 为该国获得奥运会金牌的总届数。
i:国家或地区编号(1,2,,10
t : 届次编号(1,2,„7)
ni(t):国家或地区第几届获奖牌数
N(t):第t届奥运会奖牌总数
Wi(t):国家或地区第届获奖牌数占总数的比例
W(t):各国家或地区第t届奖牌数结构向量
P,pij:转移概率矩阵，转移概率矩阵元素
Vi(t):奖牌数比例的误差项
三、模型假设
（1）假设其他国家体育实力没有很大变化；
（2）假设第30届奥运会如期举行，不会因为日期影响到各国奖牌数；（3）假设伦敦奥运会设立奖牌数量不少于往届奥运会数量；
（4）假设各国奥运会奖牌数具有无后效性，即得奖情况只与其前一届得奖情况有关。
（5） 假设奥运会主要影响项目为田径，游泳体操，其它项目为次要影响因素。
（6） 假设各国奥运健儿发挥正常。
（7）不考虑政治因素对各参赛国的影响；
四、问题的分析
竞技体育有较强的规律性，单个项目的偶然性并不否定整体发展的必然性，这也使得我们预测体育赛事成绩具有可能性。由于竞技体育是一个渐近发展的过程，一个国家也许在一两届奥运周期内，在某一项目上取得突破性进展，但其国家竞技体育整体实力的大幅度提高却不可能在较短的时间内完成，相邻两届奥运会成绩之间有着很强的关联性。因此，我们认为奥运奖牌变化是一个马尔可夫过程。可以选取一定数量的国家或地区作为研究对象，运用马尔可夫模型研究这些
2
国家会地区之间各界奥运会奖牌数量的转移规律，即求出状态转移概率矩阵，进而可以用今年的数据来预测下届奥运会奖牌数。
五、模型建立和求解
5.1.1 模型一建立
基于前面的分析，我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15名的9个国家，将剩余的国家或地区归为一个地区，这样就选出了10各国家或地区作为研究对象，记国家或地区的编号为i(i=1,2,„10，记届次编号为t(t=1,2,„,6)。具体的选取过程我们将在模型求解释详细说明。
对于选取的10个国家或地区，记国家或地区i在第j次奥运会上所得奖牌数为ni(t)，该届奥运会总奖牌数为N(t)，即N(t)=；由此可以得到该国家或
地区在此次奥运会上所得奖牌数占总奖牌数的比例，记为wi(t)，则wi(t)=
t=1,2,„6 (1)
我们再构造向量W(t)=(w1(t),w2(t),„w10(t))表示各国家或地区获得奖牌数
比例情况的结构向量。由马氏链的基本方程可得，下届奥运会个国家或地区奖牌数比例：W(t+1)=W(t)P t=1,2,„6 (2)
其中，P为我们需要在求解时确定的转移概率矩阵。
关于P矩阵元素pij的确定，由马氏链的基本性质有：
(t+1)=
ijj(t)pij, i=1,2,„,10 (3)
=1, i=1,2„10 (4)
对（3）式引入误差变量vi（t+1），使得实际值wi(t+1)与预测值(t+1)之
间满足关系：wi(t+1)=(t+1)+vi(t+1)。因此，（2）式也可为：
W(t+1)=W(t)P+V(t+1) t=1,2,„6 (5)
我们建立以误差变量最小为目标，关于转移概率矩阵P的规划模型：
min f =
3
[W (t + 1) − W (t ) P ]
S.T. i=1,2,„10；j=1,2,„10
5.1.2模型一求解
针对（6）式的模型，我们先选取合适的研究对象I,再根据以往数据计算个国家奖牌数占总奖牌数的比例wi(t),用lingo软件解（6）的最优解，再利用（2）式即可求得奖牌比例的预测值i(t)
1、选取所要研究的国家或地区
我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15
名的9个国家，并重点参考近两届的排名情况。其基本情况如表1所示：（俄罗斯数据的第25届为独联体的数据，第24届为前苏联的数据，德国第24届的数据为民
按照上表，我们依次对中国、美国、俄罗斯等国家编号i=1,2,„,9,将剩余的国家和地区的综合编号i=10,这样我们就确定了所要研究的10个国家或地区。
5.2主办国金牌递增规律”。
例如，1984年洛杉矶奥运会，韩国获得6枚金牌，而1988年汉城奥运会，作为主办国获得了12枚金牌；西班牙在汉城奥运会获得1枚金牌，而作为主办国在巴塞罗那奥运会上获得13枚金牌；美国在巴塞罗那奥运会获得37枚金牌，而在1996年的亚特兰大奥运会上获得44枚金牌；澳大利亚在亚特兰大获得9枚金牌，而在2000年的悉尼奥运会上获得16枚金牌；希腊在悉尼奥运会上获得4枚金牌，到了2004年雅典奥运会获得了6枚金牌。从中我们可以看出，主办国在奖牌总数上会高于上一届，约2-12枚。按照这个规律，中国能拿到44枚左右并不意外。 4
以上的预测方法和数字只能说明：主办国的金牌数量肯定会有所增加，毕竟主办国有“天时、地利、人和”的优势，并且适应比赛条件。但是，对于数字的玩味并不能如实的反映出举办国夺金的总数，而应该通过各个项目实力看，从中揣测方为上策，并且比赛的不确定性和意外性，以及运动员的心理素质关键时刻能否过硬，这些都增加了预测金牌的难度，最终结果还要等到比赛的结束。
5
分析一下近几届奥运会的金牌榜不难看出，总体来说，占据金牌前列的国家都是硬实力和软实力比较强大的国家，在前十名中联合国五个常任理事国的代表队都进去了，其他都是经济社会发展水平较高的国家。
5.3东道主效应解释
5.3.1 东道主效应解释
竞技体育中的“东道主效应”是指运动员在自己的家乡参加比赛要比在其
他地方参加比赛能取得更好的成绩。东道主效应也可以一般地理解为主场效应,特别是对于球类比赛而言。从历史上各类比赛的经验来看,当两个或几个实力相当或相近的赛队进行比赛时,东道主队常常会取得好成绩,即便跟比自己实力强一些的队比赛,也可能有超水平发挥。美国心理学家Coumeya 将东道主效应定义为“在主客场比赛场次对等情况下,主队在竞赛中获胜的比例超过50 %”。他总结了棒球、足球、篮球等一些运动项目的主场胜率,发现主场明显高于客场。东道主效应现象的普遍存在引起了运动心理学家和体育工作者的广泛关注。
5.3.2东道主效应的测算
本文统计了历届奥运会东道主获取金牌的数量变化情况,通过计算总共25
届奥运会东道主当届获得的金牌数增幅情况的平均值,即得到奥运会金牌数的东道主效应。同时,采用九运会奖牌赋分的官方标准,将金牌赋分为13 分,银牌为11
6
分,铜牌为10 分,赋予各国在各届奥运会上的分值,从而从整体实力上计算奥运会的东道主效应(见表1) 。
x0t1100% AE金牌=n
其中:A E金牌为金牌数的东道主效应; n
y0t1AE整体实力=nn100%
其中：AE整体实力为整体实力的东道主效益；
根据东道国效益测算方法求东道国效益参数，结果如下：
历届奥运会金牌数的东道国效应测算表
5.4转移概率矩阵的求解 P
我们选取分别第24届到28届的数据预测第25届到29届数据，ˆ
其中：
(t + 1) = ∑ (t ) ；再利用第 25 届到 29 届实际数据 (t + 1) 表示出误
(t + 1) − (t + 1) 。 差变量 (t + 1) ，其中： (t + 1) =
利用 LINGO 软件求解(6)式利用LINGO软件求解(6)式模型得到状态转移概率如表所示：
各国家或地区奖牌数比例转移概率表
7
5.5第30届奥运会奖牌数预测
用第29届奥运会中各国家或地区构成数据向量W6)=0.094,0.116,0.076,
0.043,0.050,0.042,0.030,0.049,0.026,0.474)，结合表4所示的概率转移矩阵P由公式(2)：W(t+1)=W(t)P，可得出第30届奥运会各国家或地区奖牌数比例，再根据各届的奖牌总数假设下届的奖牌总数为980枚，最后求得第30届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量情况如表5所示：
30届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量
由上表可以看出中国将仍然保持良好状态，在没有东道主效应时可以拿到87枚左右的奖牌，而美国则基本保持在101枚左右的状态，其他国家或地区的奖牌数量总和将可能增加到472枚。
5.6 结果检验
根据模型的求解方法，我们求得第25届到29届中我们选取的10个研究对象的实际奖牌数和预测奖牌数的比较表：
预测奖牌数目和实际数目的比较表
国家编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均相对误差
实际值 54 108 112 82 20 29 19 27 22 343 7.96%
25 届 预测值 51 101 104 85 21 33 31 31 22 337
实际值 50 90 63 65 15 37 35 41 14 421
26 届 预测值 56 95 75 61 28 35 33 39 23 395 16.56% 27 届 实际值 59 97 88 57 28 38 34 52 18 446 10.58% 预测值 63 99 93 55 35 40 37 51 30 421
28 届 实际值 63 103 92 48 30 33 32 49 37 442 6.01%
预测值 68 102 85 53 37 40 37 49 34 422
29 届 实际值 90 110 72 41 47 40 28 46 25 449 9.28%
预测值 84 103 79 51 44 40 38 50 34 435
由上表我们可以看出预测值和实际值的误差较大，这是由于我们在模型中引入了误差变量vi(t),由上表可以看出该误差变量时不可忽略的，因此我们在预测结果
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中必须加入修正项ni。根据中国各届的预测效果可以定修正项枚，这样我门确定出中国在第30届奥运会时获得奖牌数为81—93枚之间。
模型二建立及求解：
公式：Y=+++„+
其中 y 是某个国家预计获得的奖牌数。 x 是各项影响获得奖牌的因素，相当于各个国家在各项上的得分。 a 是各项的权重，需要靠拟合历史各届奥运会的数据得到。影响各国夺取奥运奖牌的的因素，也就是 x i ，看起来很简单，包括：
人口： 假定擅长体育的牛人在世界人口中是平均分布的，那么人口多的国家摊到的体育天才也会相对多一些，这样奥运会奖牌人才的储备库就会比较大。 国家总的 GDP 和人均 GDP （或者人均收入）： 虽然一个国家人口多，对于获得更多的奖牌来说是一个优势，但是现实中奥运会奖牌获得比例和各国人口数并不完全成正比，比如在1996年亚特兰大奥运会上，中国、印度、印度尼西亚和孟加拉国一共占了当时世界人口的 43%，可是只获得了当年奥运会奖牌总数的6%。如果说人口多提供了比较大的天才宝库，把这些运动天才培养成为奖牌获得者需要不小的人力、物力、财力，富裕的国家可以更轻松地承担。 1996 年的时候这四国的GDP综合不到世界的5%，和奖牌总数的比例很接近。
主办国优势： 主办国占据天时地利人和，入账的奖牌数一定会明显增加。经济学家在预测奖牌的时候更进一步认为如果能成为主办国的邻居国家，或者某个国家在上一届奥运会或者未来几届奥运会里是主办国，在模型里也都会有额外加分。
气候： 可以把各国所处的地球纬度或者每月霜冻期的长短作为一个指标，在冬季运动会里，这一项指标会很有用。
国家体制： 如果其他方面的条件相似，经济上实行计划经济或者体育上实行举国体制的国家往往在奥运会上会有更好的成绩，此前苏联和东欧的国家就是一个比较明显的例子。
各国特有系数： 除了以上这些共有的因素以外，各个国家还有一些自身特别的原因（比如特别擅长某一个奥运项目，这几块金牌旱涝保收，早早便收入囊中），使得金牌数总是超出正常值或者低于正常值，我们可以通过奥运会历史数据算出各国的这个“额外校正金牌数”（可以是负的，也可以是正的）。
在确定了一系影响因素后，再根据历史上各届奥运会各国的奖牌数，计算出在决定奖牌数上，人口、GDP、主办国等因素到底各发挥了多大分量，调整各项的权重，使公式算出来的结果和实际的结果尽量吻合。最后他们选择影响比较大的几个因素留下来，并且计算出最佳的a系数，这样就得到了最终的预测公式。只要把下一届奥运会举办的时候各个国家相应的数据代入公式中，计算出的结果就是各国获得奖牌数和金牌数的预测值。
经过尝试以后，Johnson 最后用了一个简单一点的公式来预测今年奥运会金牌数，主要只包括了人口、人均收入和主办国三个因素： Medals=0.42+(6.2310-4T)+(0.09I+7.8810-4)+(-4.24P+11.60
H+E
9
)+
其中， T 是各国现有奖牌数， I 是人均收入， P 是各国人口数。H是东道主加成，E则是国家体制得分。在公式里，人口和人均收入是主要因素。另外可以看到，作为主办国，英国可以多获得多达 10 块金牌的额外加成，中国因为上一届是举办国，也有 2.78 块的“照顾加分”。
六、模型的评价与推广
6.1.1模型优点
1、我从概率上考虑奖牌的转移情况，并基于此建立了马尔可夫模型来预测2012年中国夺得奖牌数。
2、利用以往几届奥运会金牌转移数据，基于误差最小的目标函数建立规划模型来
6.1.2模型缺点
模型中由于各种奖牌之间存在关联和数据的随机波动性较大，我们没有预测30届奥运会上各种奖牌的获得量。
6.2 模型推广：
我们认为奖牌是一个马尔可夫过程，预测一个国家获得奖牌的情况只与当前情况有关，即国家的奖牌获得具有无后效性。为了体现各国在单项方面的实力，我们建立基于聚类思想对不同国家获得奖牌实力进行划分，进而对各类不同的实力的项目用相应合理的预测方法进行预测
七、参考文献
[1] 田启华，基于神经网络的模糊综合评价方法，系统工程与电子技术，2009,5：1583-1583
[2] 赵晓煜, 汪定伟，选择分销商的模糊综合评判方法，管理工程学报，2002,2:18-21
（3）马氏链模型 http://www.doc88.com/p-[1**********]6.html
（4）华东理工大学学报（自然科学版）第33卷第4期
（5）王宏健 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 福建 2007
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2012伦敦奥运会金牌榜预测
摘要
随着社会的发展，体育能力也成了评价一个国家的综合能力的重要一项。伦敦奥运会将于 2012年7月27开幕，奥运会奖牌榜（金银铜总数）成了大家关心的热点问题。我认为奥运奖牌数的变化是一个马尔科夫过程，并据此建立了奖牌数预测模型。在求解转移概率矩阵时，我们建立了以预测值和实际值之间误差量最小为目标的规划模型，借助历年奥运奖牌的数据，运用LINGO软件求得了最优转移概率矩阵。最后代入奖牌数预测模型求得了第30届奥运会中国的奖牌数在87枚左右，加上误差项后预测奖牌数为81—93枚之间。还可以再利用公式Y=
关键词：奖牌数预测、转移概率矩阵的求解 P、东道国效应、马式
链模型、
1
+
++„+模拟来预测今年各个国家奖牌数。
一、 问题重述
伦敦奥运会将于 2012年7月27开幕，奥运会奖牌榜（金银铜总数）成了大家关心的热点问题。根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2012伦敦奥运会的奖牌榜前五名。
二、
0符号说明 x ： 为东道主当届获得的金牌数占当届总金牌数的百分比;
： 为东道主其他届次获得金牌数占该届总金牌数百分比的平均值; ： 为东道主当届获得的奖牌数得分占该届总奖牌分数的百分比；
0y
： 为东道主其他届次获得奖牌数的分数占该届总奖牌分数百分比的平均值； n ： 为该国获得奥运会金牌的总届数。
i:国家或地区编号(1,2,,10
t : 届次编号(1,2,„7)
ni(t):国家或地区第几届获奖牌数
N(t):第t届奥运会奖牌总数
Wi(t):国家或地区第届获奖牌数占总数的比例
W(t):各国家或地区第t届奖牌数结构向量
P,pij:转移概率矩阵，转移概率矩阵元素
Vi(t):奖牌数比例的误差项
三、模型假设
（1）假设其他国家体育实力没有很大变化；
（2）假设第30届奥运会如期举行，不会因为日期影响到各国奖牌数；（3）假设伦敦奥运会设立奖牌数量不少于往届奥运会数量；
（4）假设各国奥运会奖牌数具有无后效性，即得奖情况只与其前一届得奖情况有关。
（5） 假设奥运会主要影响项目为田径，游泳体操，其它项目为次要影响因素。
（6） 假设各国奥运健儿发挥正常。
（7）不考虑政治因素对各参赛国的影响；
四、问题的分析
竞技体育有较强的规律性，单个项目的偶然性并不否定整体发展的必然性，这也使得我们预测体育赛事成绩具有可能性。由于竞技体育是一个渐近发展的过程，一个国家也许在一两届奥运周期内，在某一项目上取得突破性进展，但其国家竞技体育整体实力的大幅度提高却不可能在较短的时间内完成，相邻两届奥运会成绩之间有着很强的关联性。因此，我们认为奥运奖牌变化是一个马尔可夫过程。可以选取一定数量的国家或地区作为研究对象，运用马尔可夫模型研究这些
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国家会地区之间各界奥运会奖牌数量的转移规律，即求出状态转移概率矩阵，进而可以用今年的数据来预测下届奥运会奖牌数。
五、模型建立和求解
5.1.1 模型一建立
基于前面的分析，我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15名的9个国家，将剩余的国家或地区归为一个地区，这样就选出了10各国家或地区作为研究对象，记国家或地区的编号为i(i=1,2,„10，记届次编号为t(t=1,2,„,6)。具体的选取过程我们将在模型求解释详细说明。
对于选取的10个国家或地区，记国家或地区i在第j次奥运会上所得奖牌数为ni(t)，该届奥运会总奖牌数为N(t)，即N(t)=；由此可以得到该国家或
地区在此次奥运会上所得奖牌数占总奖牌数的比例，记为wi(t)，则wi(t)=
t=1,2,„6 (1)
我们再构造向量W(t)=(w1(t),w2(t),„w10(t))表示各国家或地区获得奖牌数
比例情况的结构向量。由马氏链的基本方程可得，下届奥运会个国家或地区奖牌数比例：W(t+1)=W(t)P t=1,2,„6 (2)
其中，P为我们需要在求解时确定的转移概率矩阵。
关于P矩阵元素pij的确定，由马氏链的基本性质有：
(t+1)=
ijj(t)pij, i=1,2,„,10 (3)
=1, i=1,2„10 (4)
对（3）式引入误差变量vi（t+1），使得实际值wi(t+1)与预测值(t+1)之
间满足关系：wi(t+1)=(t+1)+vi(t+1)。因此，（2）式也可为：
W(t+1)=W(t)P+V(t+1) t=1,2,„6 (5)
我们建立以误差变量最小为目标，关于转移概率矩阵P的规划模型：
min f =
3
[W (t + 1) − W (t ) P ]
S.T. i=1,2,„10；j=1,2,„10
5.1.2模型一求解
针对（6）式的模型，我们先选取合适的研究对象I,再根据以往数据计算个国家奖牌数占总奖牌数的比例wi(t),用lingo软件解（6）的最优解，再利用（2）式即可求得奖牌比例的预测值i(t)
1、选取所要研究的国家或地区
我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15
名的9个国家，并重点参考近两届的排名情况。其基本情况如表1所示：（俄罗斯数据的第25届为独联体的数据，第24届为前苏联的数据，德国第24届的数据为民
按照上表，我们依次对中国、美国、俄罗斯等国家编号i=1,2,„,9,将剩余的国家和地区的综合编号i=10,这样我们就确定了所要研究的10个国家或地区。
5.2主办国金牌递增规律”。
例如，1984年洛杉矶奥运会，韩国获得6枚金牌，而1988年汉城奥运会，作为主办国获得了12枚金牌；西班牙在汉城奥运会获得1枚金牌，而作为主办国在巴塞罗那奥运会上获得13枚金牌；美国在巴塞罗那奥运会获得37枚金牌，而在1996年的亚特兰大奥运会上获得44枚金牌；澳大利亚在亚特兰大获得9枚金牌，而在2000年的悉尼奥运会上获得16枚金牌；希腊在悉尼奥运会上获得4枚金牌，到了2004年雅典奥运会获得了6枚金牌。从中我们可以看出，主办国在奖牌总数上会高于上一届，约2-12枚。按照这个规律，中国能拿到44枚左右并不意外。 4
以上的预测方法和数字只能说明：主办国的金牌数量肯定会有所增加，毕竟主办国有“天时、地利、人和”的优势，并且适应比赛条件。但是，对于数字的玩味并不能如实的反映出举办国夺金的总数，而应该通过各个项目实力看，从中揣测方为上策，并且比赛的不确定性和意外性，以及运动员的心理素质关键时刻能否过硬，这些都增加了预测金牌的难度，最终结果还要等到比赛的结束。
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分析一下近几届奥运会的金牌榜不难看出，总体来说，占据金牌前列的国家都是硬实力和软实力比较强大的国家，在前十名中联合国五个常任理事国的代表队都进去了，其他都是经济社会发展水平较高的国家。
5.3东道主效应解释
5.3.1 东道主效应解释
竞技体育中的“东道主效应”是指运动员在自己的家乡参加比赛要比在其
他地方参加比赛能取得更好的成绩。东道主效应也可以一般地理解为主场效应,特别是对于球类比赛而言。从历史上各类比赛的经验来看,当两个或几个实力相当或相近的赛队进行比赛时,东道主队常常会取得好成绩,即便跟比自己实力强一些的队比赛,也可能有超水平发挥。美国心理学家Coumeya 将东道主效应定义为“在主客场比赛场次对等情况下,主队在竞赛中获胜的比例超过50 %”。他总结了棒球、足球、篮球等一些运动项目的主场胜率,发现主场明显高于客场。东道主效应现象的普遍存在引起了运动心理学家和体育工作者的广泛关注。
5.3.2东道主效应的测算
本文统计了历届奥运会东道主获取金牌的数量变化情况,通过计算总共25
届奥运会东道主当届获得的金牌数增幅情况的平均值,即得到奥运会金牌数的东道主效应。同时,采用九运会奖牌赋分的官方标准,将金牌赋分为13 分,银牌为11
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分,铜牌为10 分,赋予各国在各届奥运会上的分值,从而从整体实力上计算奥运会的东道主效应(见表1) 。
x0t1100% AE金牌=n
其中:A E金牌为金牌数的东道主效应; n
y0t1AE整体实力=nn100%
其中：AE整体实力为整体实力的东道主效益；
根据东道国效益测算方法求东道国效益参数，结果如下：
历届奥运会金牌数的东道国效应测算表
5.4转移概率矩阵的求解 P
我们选取分别第24届到28届的数据预测第25届到29届数据，ˆ
其中：
(t + 1) = ∑ (t ) ；再利用第 25 届到 29 届实际数据 (t + 1) 表示出误
(t + 1) − (t + 1) 。 差变量 (t + 1) ，其中： (t + 1) =
利用 LINGO 软件求解(6)式利用LINGO软件求解(6)式模型得到状态转移概率如表所示：
各国家或地区奖牌数比例转移概率表
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5.5第30届奥运会奖牌数预测
用第29届奥运会中各国家或地区构成数据向量W6)=0.094,0.116,0.076,
0.043,0.050,0.042,0.030,0.049,0.026,0.474)，结合表4所示的概率转移矩阵P由公式(2)：W(t+1)=W(t)P，可得出第30届奥运会各国家或地区奖牌数比例，再根据各届的奖牌总数假设下届的奖牌总数为980枚，最后求得第30届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量情况如表5所示：
30届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量
由上表可以看出中国将仍然保持良好状态，在没有东道主效应时可以拿到87枚左右的奖牌，而美国则基本保持在101枚左右的状态，其他国家或地区的奖牌数量总和将可能增加到472枚。
5.6 结果检验
根据模型的求解方法，我们求得第25届到29届中我们选取的10个研究对象的实际奖牌数和预测奖牌数的比较表：
预测奖牌数目和实际数目的比较表
国家编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均相对误差
实际值 54 108 112 82 20 29 19 27 22 343 7.96%
25 届 预测值 51 101 104 85 21 33 31 31 22 337
实际值 50 90 63 65 15 37 35 41 14 421
26 届 预测值 56 95 75 61 28 35 33 39 23 395 16.56% 27 届 实际值 59 97 88 57 28 38 34 52 18 446 10.58% 预测值 63 99 93 55 35 40 37 51 30 421
28 届 实际值 63 103 92 48 30 33 32 49 37 442 6.01%
预测值 68 102 85 53 37 40 37 49 34 422
29 届 实际值 90 110 72 41 47 40 28 46 25 449 9.28%
预测值 84 103 79 51 44 40 38 50 34 435
由上表我们可以看出预测值和实际值的误差较大，这是由于我们在模型中引入了误差变量vi(t),由上表可以看出该误差变量时不可忽略的，因此我们在预测结果
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中必须加入修正项ni。根据中国各届的预测效果可以定修正项枚，这样我门确定出中国在第30届奥运会时获得奖牌数为81—93枚之间。
模型二建立及求解：
公式：Y=+++„+
其中 y 是某个国家预计获得的奖牌数。 x 是各项影响获得奖牌的因素，相当于各个国家在各项上的得分。 a 是各项的权重，需要靠拟合历史各届奥运会的数据得到。影响各国夺取奥运奖牌的的因素，也就是 x i ，看起来很简单，包括：
人口： 假定擅长体育的牛人在世界人口中是平均分布的，那么人口多的国家摊到的体育天才也会相对多一些，这样奥运会奖牌人才的储备库就会比较大。 国家总的 GDP 和人均 GDP （或者人均收入）： 虽然一个国家人口多，对于获得更多的奖牌来说是一个优势，但是现实中奥运会奖牌获得比例和各国人口数并不完全成正比，比如在1996年亚特兰大奥运会上，中国、印度、印度尼西亚和孟加拉国一共占了当时世界人口的 43%，可是只获得了当年奥运会奖牌总数的6%。如果说人口多提供了比较大的天才宝库，把这些运动天才培养成为奖牌获得者需要不小的人力、物力、财力，富裕的国家可以更轻松地承担。 1996 年的时候这四国的GDP综合不到世界的5%，和奖牌总数的比例很接近。
主办国优势： 主办国占据天时地利人和，入账的奖牌数一定会明显增加。经济学家在预测奖牌的时候更进一步认为如果能成为主办国的邻居国家，或者某个国家在上一届奥运会或者未来几届奥运会里是主办国，在模型里也都会有额外加分。
气候： 可以把各国所处的地球纬度或者每月霜冻期的长短作为一个指标，在冬季运动会里，这一项指标会很有用。
国家体制： 如果其他方面的条件相似，经济上实行计划经济或者体育上实行举国体制的国家往往在奥运会上会有更好的成绩，此前苏联和东欧的国家就是一个比较明显的例子。
各国特有系数： 除了以上这些共有的因素以外，各个国家还有一些自身特别的原因（比如特别擅长某一个奥运项目，这几块金牌旱涝保收，早早便收入囊中），使得金牌数总是超出正常值或者低于正常值，我们可以通过奥运会历史数据算出各国的这个“额外校正金牌数”（可以是负的，也可以是正的）。
在确定了一系影响因素后，再根据历史上各届奥运会各国的奖牌数，计算出在决定奖牌数上，人口、GDP、主办国等因素到底各发挥了多大分量，调整各项的权重，使公式算出来的结果和实际的结果尽量吻合。最后他们选择影响比较大的几个因素留下来，并且计算出最佳的a系数，这样就得到了最终的预测公式。只要把下一届奥运会举办的时候各个国家相应的数据代入公式中，计算出的结果就是各国获得奖牌数和金牌数的预测值。
经过尝试以后，Johnson 最后用了一个简单一点的公式来预测今年奥运会金牌数，主要只包括了人口、人均收入和主办国三个因素： Medals=0.42+(6.2310-4T)+(0.09I+7.8810-4)+(-4.24P+11.60
H+E
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)+
其中， T 是各国现有奖牌数， I 是人均收入， P 是各国人口数。H是东道主加成，E则是国家体制得分。在公式里，人口和人均收入是主要因素。另外可以看到，作为主办国，英国可以多获得多达 10 块金牌的额外加成，中国因为上一届是举办国，也有 2.78 块的“照顾加分”。
六、模型的评价与推广
6.1.1模型优点
1、我从概率上考虑奖牌的转移情况，并基于此建立了马尔可夫模型来预测2012年中国夺得奖牌数。
2、利用以往几届奥运会金牌转移数据，基于误差最小的目标函数建立规划模型来
6.1.2模型缺点
模型中由于各种奖牌之间存在关联和数据的随机波动性较大，我们没有预测30届奥运会上各种奖牌的获得量。
6.2 模型推广：
我们认为奖牌是一个马尔可夫过程，预测一个国家获得奖牌的情况只与当前情况有关，即国家的奖牌获得具有无后效性。为了体现各国在单项方面的实力，我们建立基于聚类思想对不同国家获得奖牌实力进行划分，进而对各类不同的实力的项目用相应合理的预测方法进行预测
七、参考文献
[1] 田启华，基于神经网络的模糊综合评价方法，系统工程与电子技术，2009,5：1583-1583
[2] 赵晓煜, 汪定伟，选择分销商的模糊综合评判方法，管理工程学报，2002,2:18-21
（3）马氏链模型 http://www.doc88.com/p-[1**********]6.html
（4）华东理工大学学报（自然科学版）第33卷第4期
（5）王宏健 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 福建 2007
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