高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合中的元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(反例：班里最漂亮的姑娘) (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3. 集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
二、集合间的基本关系 1. ‚包含‛关系—子集
注意：A ⊆B 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集
合。
/B 或B ⊇/反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ⊆
A 2．‚相等‛关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
2
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ‚元素相同则两集合相等‛ 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)
③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
n n-1
有n 个元素的集合，含有2个子集，2个真子集
德摩根定律：
例题：
1. 下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B著名的艺术家
C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2. 集合{a，b ，c }的真子集共有 个
2
3. 若集合M={y|y=x-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M 与N 的关系是 .
4. (2011年湖南) 设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4}
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .
2222
7. 已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值
C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )
5， -2
三、函数的有关概念
1. 函数的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
◆ 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合； (6)指数为零底不可以等于零；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (见课本21页相关例
◆
值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
2. 函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
◆ 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换
3) 对称变换【eg 】 3．区间的概念
a , b 是两个实数，且a
闭区间，记做[a , b ]；满足a a , x ≤b , x
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作‚f （对应关系）：A （原象）→B （象）‛
对于映射f ：A →B 来说，则应满足：(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A 中不同的元素，在集
合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 5. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． ◆ 复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则F(x)=f[g(x)] (x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
四、函数的性质
1. 函数的单调性 （1） 定义
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1
◆ 函数的单调性是函数的局部性质； ◆ 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减
函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. （3） 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：[以y=x+2x-8为例] 1) 任取x 1，x 2∈D ，且x 1
3) 变形（通常是因式分解和配方）； 4) 定号（即判断差f(x1) －f(x2) 的正负）；
5) 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：‚同增异减‛ 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2
f (x ) =x +
◆ ‚√‛函数
a
(a >0) x 的图象与性质
y f (x
) 分别在(-∞,
、+∞) 上为增函数，
分别在[
、上为减函数．
值域：
2．函数的奇偶性
o x
（1）定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都 有 f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （2）图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （3）奇偶性的判定 ◆ 定义法
1) 确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2) 确定f(－x) 与f(x)的关系；
3) 作出结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x) －f(x) = 0，则f(x)是
偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x) ＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． ◆ 图像法
1) 确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2) 观察函数图像的性质：若图像关于原点对称，则f(x)是奇函数；
若图像关于y 轴对称，则f(x)是偶函数。
（4）函数的性质
1) 若函数的定义域关于原点不对称，则函数是非奇非偶函数. 2) 若函数f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0． 3) 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧
相对称的区间增减性相反．
4) 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶
函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
3、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
4. 函数最大（小）值的求法
1) 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2) 利用图象求函数的最大（小）值
3) 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1. 求下列函数的定义域：
⑴y =
⑵
y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数f (x 2) 的定义域为_ _
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2，3]，则函数f (2x -1) 的定义域是⎧x +2(x ≤-1)
4. 函数f (x ) =⎪x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
5. 求下列函数的值域：
⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y =x 2+2x -3 x ∈[1,2]
(3)y =x
y 6. 已知函数f (x -1) =x 2-4x ，求函数f (x ) ，f (2x +1) 的解析式 7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4，则f (x ) = 。
8. 设f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞) 时
, f (x ) =x (1, 则当x ∈(-∞,0) 时f (x ) = f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间：
⑴ y =x 2+2x +3
⑵y =⑶ y =x 2-6x -1 10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论．
11. 设函数f (x ) =1+x 判断它的奇偶性并且求证：f (1) =-f (x ) ．
2
1-x
x
2
直线y =x y =f (x ) −−−−→y =f -(x )
去掉y 轴左边图象
y =f x −−−−−−−−−−−−−−−→y =f x 保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称图象保留x 轴上方图象
y =f x −−−−−−−−−→y =f x 将x 轴下方图象翻折上去
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合中的元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(反例：班里最漂亮的姑娘) (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3. 集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
二、集合间的基本关系 1. ‚包含‛关系—子集
注意：A ⊆B 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集
合。
/B 或B ⊇/反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ⊆
A 2．‚相等‛关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
2
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ‚元素相同则两集合相等‛ 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)
③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
n n-1
有n 个元素的集合，含有2个子集，2个真子集
德摩根定律：
例题：
1. 下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B著名的艺术家
C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2. 集合{a，b ，c }的真子集共有 个
2
3. 若集合M={y|y=x-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M 与N 的关系是 .
4. (2011年湖南) 设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4}
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .
2222
7. 已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值
C U (A B )=(C U A ) (C U B )，C U (A B )=(C U A ) (C U B )
5， -2
三、函数的有关概念
1. 函数的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
◆ 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合； (6)指数为零底不可以等于零；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (见课本21页相关例
◆
值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
2. 函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
◆ 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换
3) 对称变换【eg 】 3．区间的概念
a , b 是两个实数，且a
闭区间，记做[a , b ]；满足a a , x ≤b , x
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作‚f （对应关系）：A （原象）→B （象）‛
对于映射f ：A →B 来说，则应满足：(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A 中不同的元素，在集
合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 5. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． ◆ 复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则F(x)=f[g(x)] (x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
四、函数的性质
1. 函数的单调性 （1） 定义
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1
◆ 函数的单调性是函数的局部性质； ◆ 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减
函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. （3） 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：[以y=x+2x-8为例] 1) 任取x 1，x 2∈D ，且x 1
3) 变形（通常是因式分解和配方）； 4) 定号（即判断差f(x1) －f(x2) 的正负）；
5) 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：‚同增异减‛ 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2
f (x ) =x +
◆ ‚√‛函数
a
(a >0) x 的图象与性质
y f (x
) 分别在(-∞,
、+∞) 上为增函数，
分别在[
、上为减函数．
值域：
2．函数的奇偶性
o x
（1）定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都 有 f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （2）图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （3）奇偶性的判定 ◆ 定义法
1) 确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2) 确定f(－x) 与f(x)的关系；
3) 作出结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x) －f(x) = 0，则f(x)是
偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x) ＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． ◆ 图像法
1) 确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2) 观察函数图像的性质：若图像关于原点对称，则f(x)是奇函数；
若图像关于y 轴对称，则f(x)是偶函数。
（4）函数的性质
1) 若函数的定义域关于原点不对称，则函数是非奇非偶函数. 2) 若函数f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0． 3) 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧
相对称的区间增减性相反．
4) 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶
函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
3、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
4. 函数最大（小）值的求法
1) 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2) 利用图象求函数的最大（小）值
3) 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1. 求下列函数的定义域：
⑴y =
⑵
y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数f (x 2) 的定义域为_ _
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2，3]，则函数f (2x -1) 的定义域是⎧x +2(x ≤-1)
4. 函数f (x ) =⎪x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
5. 求下列函数的值域：
⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y =x 2+2x -3 x ∈[1,2]
(3)y =x
y 6. 已知函数f (x -1) =x 2-4x ，求函数f (x ) ，f (2x +1) 的解析式 7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4，则f (x ) = 。
8. 设f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞) 时
, f (x ) =x (1, 则当x ∈(-∞,0) 时f (x ) = f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间：
⑴ y =x 2+2x +3
⑵y =⑶ y =x 2-6x -1 10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论．
11. 设函数f (x ) =1+x 判断它的奇偶性并且求证：f (1) =-f (x ) ．
2
1-x
x
2
直线y =x y =f (x ) −−−−→y =f -(x )
去掉y 轴左边图象
y =f x −−−−−−−−−−−−−−−→y =f x 保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称图象保留x 轴上方图象
y =f x −−−−−−−−−→y =f x 将x 轴下方图象翻折上去