高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合中的元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山(反例:班里最漂亮的姑娘) (2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3. 集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系 1. ‚包含‛关系—子集
注意:A ⊆B 有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集
合。
/B 或B ⊇/反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ⊆
A 2.‚相等‛关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
2
实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ‚元素相同则两集合相等‛ 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A)
③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
n n-1
有n 个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
德摩根定律:
例题:
1. 下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B著名的艺术家
C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2. 集合{a,b ,c }的真子集共有 个
2
3. 若集合M={y|y=x-2x+1,x∈R},N={x|x≥0},则M 与N 的关系是 .
4. (2011年湖南) 设全集U =M ∪N ={1,2,3,4,5},M ∩∁U N ={2,4},则N =( ) A .{1,2,3} B .{1,3,5} C .{1,4,5} D .{2,3,4}
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示右图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
2222
7. 已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A ∩C=Φ,求m 的值
C U (A B )=(C U A ) (C U B ),C U (A B )=(C U A ) (C U B )
5, -2
三、函数的有关概念
1. 函数的概念
设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .
其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
◆ 定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合; (6)指数为零底不可以等于零;
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (见课本21页相关例
◆
值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
2. 函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
◆ 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换
3) 对称变换【eg 】 3.区间的概念
a , b 是两个实数,且a
闭区间,记做[a , b ];满足a a , x ≤b , x
一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作‚f (对应关系):A (原象)→B (象)‛
对于映射f :A →B 来说,则应满足:(1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A 中不同的元素,在集
合B 中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 5. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. ◆ 复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则F(x)=f[g(x)] (x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
四、函数的性质
1. 函数的单调性 (1) 定义
设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1
◆ 函数的单调性是函数的局部性质; ◆ 在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减
函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3) 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:[以y=x+2x-8为例] 1) 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
3) 变形(通常是因式分解和配方); 4) 定号(即判断差f(x1) -f(x2) 的正负);
5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:‚同增异减‛ 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2
f (x ) =x +
◆ ‚√‛函数
a
(a >0) x 的图象与性质
y f (x
) 分别在(-∞,
、+∞) 上为增函数,
分别在[
、上为减函数.
值域:
2.函数的奇偶性
o x
(1)定义
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数;对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都 有 f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (2)图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (3)奇偶性的判定 ◆ 定义法
1) 确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2) 确定f(-x) 与f(x)的关系;
3) 作出结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则f(x)是
偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数. ◆ 图像法
1) 确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2) 观察函数图像的性质:若图像关于原点对称,则f(x)是奇函数;
若图像关于y 轴对称,则f(x)是偶函数。
(4)函数的性质
1) 若函数的定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数. 2) 若函数f (x ) 为奇函数,且在x =0处有定义,则f (0)=0. 3) 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧
相对称的区间增减性相反.
4) 在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶
函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
3、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
4. 函数最大(小)值的求法
1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2) 利用图象求函数的最大(小)值
3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1. 求下列函数的定义域:
⑴y =
⑵
y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0,1],则函数f (x 2) 的定义域为_ _
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2,3],则函数f (2x -1) 的定义域是⎧x +2(x ≤-1)
4. 函数f (x ) =⎪x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
5. 求下列函数的值域:
⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y =x 2+2x -3 x ∈[1,2]
(3)y =x
y 6. 已知函数f (x -1) =x 2-4x ,求函数f (x ) ,f (2x +1) 的解析式 7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4,则f (x ) = 。
8. 设f (x ) 是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞) 时
, f (x ) =x (1, 则当x ∈(-∞,0) 时f (x ) = f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间:
⑴ y =x 2+2x +3
⑵y =⑶ y =x 2-6x -1 10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论.
11. 设函数f (x ) =1+x 判断它的奇偶性并且求证:f (1) =-f (x ) .
2
1-x
x
2
直线y =x y =f (x ) −−−−→y =f -(x )
去掉y 轴左边图象
y =f x −−−−−−−−−−−−−−−→y =f x 保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称图象保留x 轴上方图象
y =f x −−−−−−−−−→y =f x 将x 轴下方图象翻折上去
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合中的元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山(反例:班里最漂亮的姑娘) (2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3. 集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系 1. ‚包含‛关系—子集
注意:A ⊆B 有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集
合。
/B 或B ⊇/反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ⊆
A 2.‚相等‛关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
2
实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ‚元素相同则两集合相等‛ 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A)
③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
n n-1
有n 个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
德摩根定律:
例题:
1. 下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B著名的艺术家
C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2. 集合{a,b ,c }的真子集共有 个
2
3. 若集合M={y|y=x-2x+1,x∈R},N={x|x≥0},则M 与N 的关系是 .
4. (2011年湖南) 设全集U =M ∪N ={1,2,3,4,5},M ∩∁U N ={2,4},则N =( ) A .{1,2,3} B .{1,3,5} C .{1,4,5} D .{2,3,4}
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示右图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
2222
7. 已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A ∩C=Φ,求m 的值
C U (A B )=(C U A ) (C U B ),C U (A B )=(C U A ) (C U B )
5, -2
三、函数的有关概念
1. 函数的概念
设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .
其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
◆ 定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合; (6)指数为零底不可以等于零;
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (见课本21页相关例
◆
值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
2. 函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
◆ 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换
3) 对称变换【eg 】 3.区间的概念
a , b 是两个实数,且a
闭区间,记做[a , b ];满足a a , x ≤b , x
一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作‚f (对应关系):A (原象)→B (象)‛
对于映射f :A →B 来说,则应满足:(1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A 中不同的元素,在集
合B 中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 5. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. ◆ 复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则F(x)=f[g(x)] (x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
四、函数的性质
1. 函数的单调性 (1) 定义
设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1
◆ 函数的单调性是函数的局部性质; ◆ 在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减
函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3) 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:[以y=x+2x-8为例] 1) 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
3) 变形(通常是因式分解和配方); 4) 定号(即判断差f(x1) -f(x2) 的正负);
5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:‚同增异减‛ 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2
f (x ) =x +
◆ ‚√‛函数
a
(a >0) x 的图象与性质
y f (x
) 分别在(-∞,
、+∞) 上为增函数,
分别在[
、上为减函数.
值域:
2.函数的奇偶性
o x
(1)定义
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数;对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都 有 f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (2)图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (3)奇偶性的判定 ◆ 定义法
1) 确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2) 确定f(-x) 与f(x)的关系;
3) 作出结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则f(x)是
偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数. ◆ 图像法
1) 确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2) 观察函数图像的性质:若图像关于原点对称,则f(x)是奇函数;
若图像关于y 轴对称,则f(x)是偶函数。
(4)函数的性质
1) 若函数的定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数. 2) 若函数f (x ) 为奇函数,且在x =0处有定义,则f (0)=0. 3) 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧
相对称的区间增减性相反.
4) 在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶
函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
3、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
4. 函数最大(小)值的求法
1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2) 利用图象求函数的最大(小)值
3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1. 求下列函数的定义域:
⑴y =
⑵
y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0,1],则函数f (x 2) 的定义域为_ _
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2,3],则函数f (2x -1) 的定义域是⎧x +2(x ≤-1)
4. 函数f (x ) =⎪x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
5. 求下列函数的值域:
⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y =x 2+2x -3 x ∈[1,2]
(3)y =x
y 6. 已知函数f (x -1) =x 2-4x ,求函数f (x ) ,f (2x +1) 的解析式 7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4,则f (x ) = 。
8. 设f (x ) 是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞) 时
, f (x ) =x (1, 则当x ∈(-∞,0) 时f (x ) = f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间:
⑴ y =x 2+2x +3
⑵y =⑶ y =x 2-6x -1 10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论.
11. 设函数f (x ) =1+x 判断它的奇偶性并且求证:f (1) =-f (x ) .
2
1-x
x
2
直线y =x y =f (x ) −−−−→y =f -(x )
去掉y 轴左边图象
y =f x −−−−−−−−−−−−−−−→y =f x 保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称图象保留x 轴上方图象
y =f x −−−−−−−−−→y =f x 将x 轴下方图象翻折上去