等差、等比数列的判断与证明（培优班）
姓名
学习目标：
1、 掌握等差、等比数列的判断方法
2、 会用定义法证明等差、等比数列
知识回顾：
一、判断或证明等差数列的方法
定义法：a n +1-a n =d 等差中项法：2a n +1=a n +a n +2
通项公式法：a n =kn +b (k )
前n 项和公式法：S n =An 2+Bn
(A )
二、判断或证明等差、等比数列的方法 a 2定义法：n +1(0) 等比中项法：a n +1=a n ⋅a n +2且a n ≠0 q n ) 前n 项和公式法：S n =Aq n -A(q ≠1)
3x , 数列{x n }的通项由x n =f (x n -1)(n ≥2, n ∈N *)x +3
例1. 已知函数f (x ) =⎧1⎫1确定.(1) 求证:⎨⎬是等差数列; (2) 当x 1=时, 求x 100. 2⎩x n ⎭{a n }的前n 项和为S n , S n =例2. 已知数列1(a n -1), n ∈N *. 3{a n }是等比数列. (1) 求a 1, a 2; (2) 求证：数列
a +a n +1例3. 数列{a n }, {b n }满足下列条件:a 1=0, a 2=1, a n +2=n , b n =a n +1-a n . 2 (1) 求证：{b n }是等比数列；(2) 求{b n }的通项公式.
.
m m m 不为0, 求证:x , y , z 成等比数列; (1) 若a , b , c 依次成等差数列且公差
, 公比不为1, 求证:a , b , c 成等差数列. (2) 若正数x , y , z 依次成等比数列
例4、. 已知(b -c ) log x +(c -a ) log y +(a -b ) log z =0
数列求通项
学习目标：
1、 掌握方法
2、 会用定义法证明等差、等比数列
知识回顾：
一、. 由S n 求a n . (n =1) ⎧(1) S n =f (n ) →得a n ⎧S 1方法:a n =⎨；类型：⎨S -S (n ≥2) n -1⎩n ⎩(2) S n =f (a n ) →得递推关系二、、. 由递推关系求通项. (1) 公式法：运用等差、等比数列定义与通项公式；(2) 累加（逐差）法：递推关系为a n +1=a n +f (n ) (3) 累乘（逐商）法：递推关系为a n +1=a n ⋅f (n ) (4) 构造新数列：递推关系为:类型1：a n +1=pa n +q 待定系数a n +1+x =p (a n +x ) 的形式类型2：a n +1=pa n +c ⋅q n 两边同除以q n +1得a n +1p a n c =+→类型1q n +1q q n q 类型3：a n +2=pa n +1+qa n 待定系数a n +2+xa n +1=y (a n +1+xa n ) 的形式类型4：a n +1+p =(a n +p )取对数ln (a n +1+p )=k ln (a n +p )成等比k
知识应用：
{a n }中，a 1=例1、. 11, a n +1=a n +, 求a n . 2n (n +1) {a n }中，a 1=1, a n =3n -1a n -1(n ≥2), 数列{b n }的例2、⎛a n ⎫前n 项和S n =log 3 n ⎪(n ∈N *),(1) 求a n ; (2) 求b n . ⎝9⎭
例3. 已知a 1=3, a n +1=2a n +3, 求a n 例4. 数列{a n }满足a 0为常数, a n =3n -1-2a n -1, 求a n
552例5. 数列{a n }满足a 1=1, a 2=, a n +2=a n +1-a n , 求a n 333
2-3 例6. 数列{a n }中, a n >0, a 1=1, a 2=10, n ≥3时, a n a n -1a n -2=1, 求a n .
.
课后检测：
1. 已知a 1=1, a n +1-a n =2n -n , 求a n
.
22S n 3.{a n }中, a 1=1, a n =(n ≥2), 求S n . 2S n -1511n +12. {a n }中，a 1=, a n +1=a n +（）, 求a n . 632
等差、等比数列的判断与证明（培优班）
姓名
学习目标：
1、 掌握等差、等比数列的判断方法
2、 会用定义法证明等差、等比数列
知识回顾：
一、判断或证明等差数列的方法
定义法：a n +1-a n =d 等差中项法：2a n +1=a n +a n +2
通项公式法：a n =kn +b (k )
前n 项和公式法：S n =An 2+Bn
(A )
二、判断或证明等差、等比数列的方法 a 2定义法：n +1(0) 等比中项法：a n +1=a n ⋅a n +2且a n ≠0 q n ) 前n 项和公式法：S n =Aq n -A(q ≠1)
3x , 数列{x n }的通项由x n =f (x n -1)(n ≥2, n ∈N *)x +3
例1. 已知函数f (x ) =⎧1⎫1确定.(1) 求证:⎨⎬是等差数列; (2) 当x 1=时, 求x 100. 2⎩x n ⎭{a n }的前n 项和为S n , S n =例2. 已知数列1(a n -1), n ∈N *. 3{a n }是等比数列. (1) 求a 1, a 2; (2) 求证：数列
a +a n +1例3. 数列{a n }, {b n }满足下列条件:a 1=0, a 2=1, a n +2=n , b n =a n +1-a n . 2 (1) 求证：{b n }是等比数列；(2) 求{b n }的通项公式.
.
m m m 不为0, 求证:x , y , z 成等比数列; (1) 若a , b , c 依次成等差数列且公差
, 公比不为1, 求证:a , b , c 成等差数列. (2) 若正数x , y , z 依次成等比数列
例4、. 已知(b -c ) log x +(c -a ) log y +(a -b ) log z =0
数列求通项
学习目标：
1、 掌握方法
2、 会用定义法证明等差、等比数列
知识回顾：
一、. 由S n 求a n . (n =1) ⎧(1) S n =f (n ) →得a n ⎧S 1方法:a n =⎨；类型：⎨S -S (n ≥2) n -1⎩n ⎩(2) S n =f (a n ) →得递推关系二、、. 由递推关系求通项. (1) 公式法：运用等差、等比数列定义与通项公式；(2) 累加（逐差）法：递推关系为a n +1=a n +f (n ) (3) 累乘（逐商）法：递推关系为a n +1=a n ⋅f (n ) (4) 构造新数列：递推关系为:类型1：a n +1=pa n +q 待定系数a n +1+x =p (a n +x ) 的形式类型2：a n +1=pa n +c ⋅q n 两边同除以q n +1得a n +1p a n c =+→类型1q n +1q q n q 类型3：a n +2=pa n +1+qa n 待定系数a n +2+xa n +1=y (a n +1+xa n ) 的形式类型4：a n +1+p =(a n +p )取对数ln (a n +1+p )=k ln (a n +p )成等比k
知识应用：
{a n }中，a 1=例1、. 11, a n +1=a n +, 求a n . 2n (n +1) {a n }中，a 1=1, a n =3n -1a n -1(n ≥2), 数列{b n }的例2、⎛a n ⎫前n 项和S n =log 3 n ⎪(n ∈N *),(1) 求a n ; (2) 求b n . ⎝9⎭
例3. 已知a 1=3, a n +1=2a n +3, 求a n 例4. 数列{a n }满足a 0为常数, a n =3n -1-2a n -1, 求a n
552例5. 数列{a n }满足a 1=1, a 2=, a n +2=a n +1-a n , 求a n 333
2-3 例6. 数列{a n }中, a n >0, a 1=1, a 2=10, n ≥3时, a n a n -1a n -2=1, 求a n .
.
课后检测：
1. 已知a 1=1, a n +1-a n =2n -n , 求a n
.
22S n 3.{a n }中, a 1=1, a n =(n ≥2), 求S n . 2S n -1511n +12. {a n }中，a 1=, a n +1=a n +（）, 求a n . 632