计算一条抛物线参数
计算一条抛物线的方法有多种：
1、已知3个点坐标
假设3个点坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) 、(x 3, y 3) ，联立方程式即可求得抛物线参数a ，b ，c 。
⎧(y 2-y 3) x 1-(x 2-x 3) y 1+x 2y 3-x 3y 2a =-⎪2(x 2-x 3)(x 1-x 2)(x 1-x 3) ⎧y 1=ax 1+bx 1+c ⎪22222⎪(y 2-y 3) x 1+x 2y 3-x 3y 2-(x 2-x 3) y 1⎪2 ⎨y 2=ax 2+bx 2+c ⇒⎨b =(x 2-x 3)(x 1-x 2)(x 1-x 3) ⎪y =ax 2+bx +c ⎪2222233⎩3⎪(x 2y 3-x 3y 2) x 1-(x 2-x 3) x 1+(x 2x 3-x 2x 3) y 1⎪c =(x 2-x 3)(x 1-x 2)(x 1-x 3) ⎩
2、已知2个点坐标和第1点（或第2点）的导数
假设两点坐标为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，第1点（或第2点）的导数为k ，联立方程式即可求得抛物线参数a ，b ，c 。
⎧y 1=ax 12+bx 1+c ⎪2⎨y 2=ax 2+bx 2+c
⎪2ax +b =k 或者2ax +b =k 2⎩1
⎧k (x 1-x 2) -(y 1-y 2) a =⎪2(x -x ) 12⎪22k (x 1-x 2) -2x 1(y 1-y 2) ⎪⇒第1点导数为k ⎨b =-2(x -x ) 12⎪222⎪kx 1x 2-(kx 2+y 2) x 1+(2x 1x 2-x 2) y 1 ⎪c =-(x 1-x 2) 2⎩
或者
⎧k (x 1-x 2) -(y 1-y 2) a =-⎪2(x -x ) 12⎪22k (x 1-x 2) -2x 2(y 1-y 2) ⎪⇒第2点导数为k ⎨b =2(x -x ) 12⎪222⎪(kx 2-y 2) x 1-x 2y 1-(kx 2-2x 2y 2) x 1⎪c =-(x 1-x 2) 2⎩
3、已知2个点坐标和2个点的导数（第1点或第2点的y 坐标实际上并不需要） 假设两点坐标为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，第1点的导数为k 1，第2点的导数为k 2，
联立方程式即可求得抛物线参数a ，b ，c 。
⎧y 1=ax 12+bx 1+c ⎧y 2=ax 22+bx 2+c ⎪⎪ 2ax +b =k 或者⎨1⎨2ax 1+b =k 11⎪2ax +b =k ⎪2ax +b =k 222⎩⎩2
⎧k -k ⎪a =12
2(x 1-x 2) ⎪k x -k x ⎪⇒使用第1点的y 坐标⎨b =-1221
x 1-x 2⎪2⎪(k 1+k 2) x 1-2k 1x 1x 2-2(x 1-x 2) y 1⎪c =-2(x 1-x 2) ⎩
或者
⎧k -k ⎪a =12
2(x 1-x 2) ⎪k x -k x ⎪⇒使用第2点的y 坐标⎨b =-1221
x 1-x 2⎪2⎪(k 1+k 2) x 2-2k 2x 1x 2+2(x 1-x 2) y 2⎪c =2(x 1-x 2) ⎩
两条抛物线相交相切
假设2条抛物线分别为f 1和f 2
⎧f 1=a 1x 2+b 1x +c 1 ⎨2⎩f 2=a 2x +b 2x +c 2
两条抛物线应满足2个条件：
1）相交
2）交点处导数相同
推导得出两条抛物线参数之间的数学关系以及交点的坐标。
⎧(b 1-b 2) 2=4(a 1-a 2)(c 1-c 2) ⎧f 1=f 2⎪b 1-b 22(c 1-c 2) ⇒⎨⎨x =-=-⎩f 1'=f '2⎪2(a 1-a 2) b 1-b 2⎩
根据上述推导结果，如果已知一条抛物线，要求另一条相交相切的抛物线，两条抛物线相交相切的交点必须是已知的，否则即使已知再多的数据也无法正确的计算出另一条抛物线。
计算相交相切的抛物线
已知左侧开口向上的抛物线方程f 1，左右抛物线的交点坐标(x 0, y 0) ，求右抛物线方程f 2。假设左侧抛物线方程和交点已知：
⎧左抛物线⇒f 1=a 1x 2+b 1x +c 1⎪ ⎨抛物线交点⇒(x 0, y 0)
⎪交点的导数⇒k =2a x +b 101⎩
根据“计算一条抛物线参数”小节中的计算方法，采用方法2或方法3即可计算出右抛物线方程f 2=a 2x 2+b 2x +c 2，且需要的数据最少。 ◆ 方法2：给定右抛物线的极大点x 坐标x max
⎧k ⎪a 2=2k (x 0-x max ) ⎧y 0=a 2x 02+b 2x 0+c 2⎪⎪kx max ⎪⎨2a 2x 0+b 2=k =2a 1x 0+b 1⇒⎨b 2=-x 0-x max ⎪2a x +b =0⎪22max 2⎩⎪kx 0-2kx 0x max -2(x 0-x max ) y 0c =-⎪22(x 0-x max ) ⎩
◆ 方法3：给定右抛物线任意一点坐标(x k , y k )
⎧k (x 0-x k ) -(y 0-y k ) a =⎪222(x -x ) 0k ⎧y 0=a 2x 0+b 2x 0+c 2⎪22⎪k (x 0-x k ) -2x 0(y 0-y k ) ⎪ ⎨2a 2x 0+b 2=k =2a 1x 0+b 1⇒⎨b 2=-2(x -x ) 0k ⎪y =a x 2+b x +c ⎪222k 2k 2k 2⎩⎪kx 0x k -(kx k +y k ) x 0+(2x 0x k -x k ) y 0⎪c 2=-(x 0-x k ) 2⎩
计算一条抛物线参数
计算一条抛物线的方法有多种：
1、已知3个点坐标
假设3个点坐标分别为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) 、(x 3, y 3) ，联立方程式即可求得抛物线参数a ，b ，c 。
⎧(y 2-y 3) x 1-(x 2-x 3) y 1+x 2y 3-x 3y 2a =-⎪2(x 2-x 3)(x 1-x 2)(x 1-x 3) ⎧y 1=ax 1+bx 1+c ⎪22222⎪(y 2-y 3) x 1+x 2y 3-x 3y 2-(x 2-x 3) y 1⎪2 ⎨y 2=ax 2+bx 2+c ⇒⎨b =(x 2-x 3)(x 1-x 2)(x 1-x 3) ⎪y =ax 2+bx +c ⎪2222233⎩3⎪(x 2y 3-x 3y 2) x 1-(x 2-x 3) x 1+(x 2x 3-x 2x 3) y 1⎪c =(x 2-x 3)(x 1-x 2)(x 1-x 3) ⎩
2、已知2个点坐标和第1点（或第2点）的导数
假设两点坐标为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，第1点（或第2点）的导数为k ，联立方程式即可求得抛物线参数a ，b ，c 。
⎧y 1=ax 12+bx 1+c ⎪2⎨y 2=ax 2+bx 2+c
⎪2ax +b =k 或者2ax +b =k 2⎩1
⎧k (x 1-x 2) -(y 1-y 2) a =⎪2(x -x ) 12⎪22k (x 1-x 2) -2x 1(y 1-y 2) ⎪⇒第1点导数为k ⎨b =-2(x -x ) 12⎪222⎪kx 1x 2-(kx 2+y 2) x 1+(2x 1x 2-x 2) y 1 ⎪c =-(x 1-x 2) 2⎩
或者
⎧k (x 1-x 2) -(y 1-y 2) a =-⎪2(x -x ) 12⎪22k (x 1-x 2) -2x 2(y 1-y 2) ⎪⇒第2点导数为k ⎨b =2(x -x ) 12⎪222⎪(kx 2-y 2) x 1-x 2y 1-(kx 2-2x 2y 2) x 1⎪c =-(x 1-x 2) 2⎩
3、已知2个点坐标和2个点的导数（第1点或第2点的y 坐标实际上并不需要） 假设两点坐标为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，第1点的导数为k 1，第2点的导数为k 2，
联立方程式即可求得抛物线参数a ，b ，c 。
⎧y 1=ax 12+bx 1+c ⎧y 2=ax 22+bx 2+c ⎪⎪ 2ax +b =k 或者⎨1⎨2ax 1+b =k 11⎪2ax +b =k ⎪2ax +b =k 222⎩⎩2
⎧k -k ⎪a =12
2(x 1-x 2) ⎪k x -k x ⎪⇒使用第1点的y 坐标⎨b =-1221
x 1-x 2⎪2⎪(k 1+k 2) x 1-2k 1x 1x 2-2(x 1-x 2) y 1⎪c =-2(x 1-x 2) ⎩
或者
⎧k -k ⎪a =12
2(x 1-x 2) ⎪k x -k x ⎪⇒使用第2点的y 坐标⎨b =-1221
x 1-x 2⎪2⎪(k 1+k 2) x 2-2k 2x 1x 2+2(x 1-x 2) y 2⎪c =2(x 1-x 2) ⎩
两条抛物线相交相切
假设2条抛物线分别为f 1和f 2
⎧f 1=a 1x 2+b 1x +c 1 ⎨2⎩f 2=a 2x +b 2x +c 2
两条抛物线应满足2个条件：
1）相交
2）交点处导数相同
推导得出两条抛物线参数之间的数学关系以及交点的坐标。
⎧(b 1-b 2) 2=4(a 1-a 2)(c 1-c 2) ⎧f 1=f 2⎪b 1-b 22(c 1-c 2) ⇒⎨⎨x =-=-⎩f 1'=f '2⎪2(a 1-a 2) b 1-b 2⎩
根据上述推导结果，如果已知一条抛物线，要求另一条相交相切的抛物线，两条抛物线相交相切的交点必须是已知的，否则即使已知再多的数据也无法正确的计算出另一条抛物线。
计算相交相切的抛物线
已知左侧开口向上的抛物线方程f 1，左右抛物线的交点坐标(x 0, y 0) ，求右抛物线方程f 2。假设左侧抛物线方程和交点已知：
⎧左抛物线⇒f 1=a 1x 2+b 1x +c 1⎪ ⎨抛物线交点⇒(x 0, y 0)
⎪交点的导数⇒k =2a x +b 101⎩
根据“计算一条抛物线参数”小节中的计算方法，采用方法2或方法3即可计算出右抛物线方程f 2=a 2x 2+b 2x +c 2，且需要的数据最少。 ◆ 方法2：给定右抛物线的极大点x 坐标x max
⎧k ⎪a 2=2k (x 0-x max ) ⎧y 0=a 2x 02+b 2x 0+c 2⎪⎪kx max ⎪⎨2a 2x 0+b 2=k =2a 1x 0+b 1⇒⎨b 2=-x 0-x max ⎪2a x +b =0⎪22max 2⎩⎪kx 0-2kx 0x max -2(x 0-x max ) y 0c =-⎪22(x 0-x max ) ⎩
◆ 方法3：给定右抛物线任意一点坐标(x k , y k )
⎧k (x 0-x k ) -(y 0-y k ) a =⎪222(x -x ) 0k ⎧y 0=a 2x 0+b 2x 0+c 2⎪22⎪k (x 0-x k ) -2x 0(y 0-y k ) ⎪ ⎨2a 2x 0+b 2=k =2a 1x 0+b 1⇒⎨b 2=-2(x -x ) 0k ⎪y =a x 2+b x +c ⎪222k 2k 2k 2⎩⎪kx 0x k -(kx k +y k ) x 0+(2x 0x k -x k ) y 0⎪c 2=-(x 0-x k ) 2⎩