2015年9月 第 43 卷第 17 期
D O I
机床与液压
MACHINETOOL 3 HYDRAULICS
Sep . 2015Yol . 43 No . 17
： 10.3969/j . iss n . 1001-3881. 2015. 17. 050
突变理论的旋转机械突变故障研究进展
程敏\潘勇2 ! 刘保国3 ! 张雪松1
(1.中原工学院信息商务学院机械工程系，河南郑州451191$
2. 河南机电职业学院机械工程系，河南郑州451191$3. 河南工业大学机械电子工程研究所，河南郑州450001)
摘要：简要介绍突变理论的7种初等突变模型和5种突变指征，结合初等突变模型和突变指征指出突变理论在突变故 障中的3种应用方式。综述突变舰在碰摩、气流激振、油膜失稳等突变故障的机制、预测、控制等方面的研究进展，并 结合随机突变理论对突变故障的研究方向进行展望。
关键词！突变舰'旋转机械；突变故障；突变模型中图分类号：TH 17 文献标志码：A 文章编号：1001-3881 (2015) 17-203-4
Research Progress on Abrupt Faults for Rotating Machinery Based on Catastrophe Theory
C H E N G M i n
1，P A N Y o n g 2，L I U B a o g u o 3，Z H A N G X u e s o n g 1
(1. Mechanical Engineering D e p a r t m e n t ，College of I nformation & B u s i n e s ，Z h o n g y u a n University of T e c h n o l o g y ，
Z h e n g z h o u H e n a n 451191，C h i n a ； 2. Mech a n i ca l Engineering D e p a r t m e n t ，H e n a n Mechan ic al a n d Electrical Vocational College ，Z h e n g z h o u H e n a n 451191，C h i n a ； 3. Resear ch Institute of Mechatronic E ngineering ，
H e n a n University of T e c h n o l o g y ，Z h e n g z h o u H e n a n 450001，C h i n a )
Abstract ： The seven elem entary catastrophe
models and five catastrophe features w ere briefly introduced . Th m ethods about abrupt faults com bined elem entary catastrophe theory models and catastrophe featur on mechanism ，prediction and control about abrupt faults such as rub-impact ，gas flow exciting and film unstable w ere study direction of abrupt faults com bined w ith random catastrophe theory was prospected .
K e y w o r d s ： Catastrophe theory ； Rotating machinery ； Abrupt fault ； Catastrophe m odel 〇前言
旋转机械是国民经济支柱产业的关键设备，广泛 应用于石油、化工、交通、能源等领域。随着旋转机 械向着大型化、高速化和智能化方向发展，旋转机械 -旦出现故障将会造成严重后果。根据故障发生的速 度可将旋转机械故障分为渐变故障和突变故障[1]。渐 变故障的特点是故障特征参数在机械运转过程中连续 变化，直至达到或超过阈值。与渐变故障相比，突变 故障的特点是故障特征参数在机械运转过程中发生非 连续的“跃迁”，而且突破_值[2]。这种故障发生前 -般无明显征兆，无法依靠事前检查或监视进行控 制。正是由于旋转机械突变故障的产生机理比较复杂 且又无法准确预测，使得人们对机械突变故障的描 述、诊断和预测的研究举步维艰，直到1972年
R E N E T h 〇m [3]的突变理论正式诞生，这一局面才有所
学、奇点理论、分叉理论、稳定性理论等数学工具分 析突变现象的理论，该理论通过描述系统在临界点的
状态来研究外部因素连续的微小改变引起系统突然变 化的规律[4]。凌复华[5-]、陈应天[7]等最早将突变理 论引人国内并尝试应用于力学问题中。经过40余年 的研究，突变理论已成功应用到社科、经管、石油、 船舶、生物、力学、机械、煤炭等领域[8_12]。在机械 工程领域，目前突变理论主要用細决突变故障的描 述、诊断和预测和控制问题[13]。-般分为定性和定 量两个研究层次，定性研究主要織突变故障的描述 和诊断问题，定量研究主要織突变故障的预测和控 制问题。鉴于机械系统突变故障的复杂性、破坏性和 危险性，文中综述了突变理论在机械突变故障诊断中 的应用与发展现状。1
突变理论的工程应用
突变故障是机械领域中广泛存在的一种现象，利1. 1初等突变模型
改变。
突变理论（Catastrophe Theory ，CT ) 是利用拓扑
收稿日期！ 2014-07-25
基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点项目（14A 460011);国家自然科学基金资助项目（10872064) 作者简介：程敏（1984—)男，硕士，讲师，主要研究方向为机械设备振动与控制、机械故障诊断。E -mail : chengminhap -
py 2006@163. com 。
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机床与液压
第43卷
用牛顿经典微分方程无法对这种现象进行描述，而突 变理论可以合理描述这种过程连续而结果不连续的跃 迁、突然质变现象。Rene Thom 证明：当控制变量维 数不大于5时，有折叠、尖拐、燕尾、蝴蝶、椭圆 脐、双曲脐、拋物脐等7种基本突变模型[14]，如表1 所示。其中，>、R 为状态变量，*、？、A 、7为控制 变量。
表1初等突变模型
突变类型状态变量控制变量 势函数
不同的状态。
⑵不可达性。系统至少存在一个不稳定的平 衡位置。由于微扰动的存在，此平衡位置在数学上不 可微。
⑶突跳。因控制变量穿越分叉集时的微小变 化而导致系统从一个局部极小值临界点跳跃到另一个 局部极小值临界点的现象。
(4) 发散。控制变量数值的有限变化会导致态变量平衡位置数值的有限变化，但在临界退化点附 折叠型 11 x 3+ux
尖点型 12 >4+u >2+? 燕尾型 13 >5+u >3+? 2+a >蝴蝶型 14 >6 +74 +ux 3 +? 2 +wx双曲脐点型 23 >3 +r 3 +wxy~ux ~vy 椭圆脐点型 23 1/3> ->2 +w " >2 +g2 # -u >?
拋物脐点型
2
4
R 4 +g2R +W >2 g R 2 ~ux ~vj
下面以应用范围最广泛，最易于理解的尖点型突 变模型来介绍突变模型的突变流形和分叉集。尖点型 突变的势函数为
h >4+u >2+?
(1)其突变流形G 为-/(>) =4>3+2 3
u x +v -, (2)
、
dx
其分叉集8为8u 3+27? = 0
(3)
根据式（2) 、⑶可得突变流形和分叉集的曲
面和曲线图形，如图1所示。
图1尖点型突变的突变流形和分叉集
在控制变量已知时，根据突变流形可以确定系统 的状态（平衡或非平衡）。突变流形也可用于分析突 变故障的形成机制及各控制参数所起的作用。分叉集 可用于突变故障预测及控制[2]。1. 2突变指征
根据尖点型突变模型的流形和分叉集，可以得到
初等突变模型的5个基本突变指征：
⑴多模态。随着控制变量的变化，系统的势 函数具有两个或两个以上局部极小值，使系统表现出
近，控制变量初值的微小变化却可能导致状态变量值
的很大变化，这种不稳定性称为发散。(5) 滞后。当物理过程并非严格可逆时，出现滞后现象。即由第一个局部极小值越向第二个局 部极小值时的控制参数位置与由第二个局部极小值越 向第一个局部极小值时的控制参数位置不同。1.3 应用方式
根据机械系统已知突变故障信息和系统动力学特 性的不同，突变理论在机械突变故障中的应用方式主 要有分析法、类比法和经验法3种。
⑴分析法[2]。如果对机械系统动力学特性及 突变故障机制有充足的了解，且易于求出系统的势函 数或势函数的微分形式时，可以从基本突变模型表中 确定系统的突变模型，进而采用分析法来确定系统的 突变流形和分叉集。在确定系统的突变流形和分叉集 时，首先对势函数进行泰勒级数展开，略去高阶小
项；其次进行正则变换，获得正则突变势函数，对正 则突变势函数进行一次微分，获得突变流形，然后再 进行二次微分并结合突变流形可获得分叉集。
(2) 类比法[13]。当机械系统的势函数不易直
求得时，一般可以建立系统的非线性动力学模型。分 析系统的动力学模型可以得到系统的支配代数方程。
如果系统的某些支配代数方程恰为势系统的突变流形 方程或分叉集方程时，可以采用类比方法确定系统的 突变类型、状态变量和控制变量。这样就可以把复杂 突变系统转化为一个简单的基本突变模型，有利于定 性、定量分析。目前，这种方法在机械突变故障诊断
领域使用较广。
(3) 拟合法[2’13]。如果对机械系统突变故障机理缺乏充分的认识，且很难用数学或物理方程进行描 述时，可以采用拟合法。拟合法也称为经验法。当机 械系统出现上述5个突变指征的一部分或全部时，可 以选定上述7种基本突变模型中的某一个突变模型来 描述这种系统。拟合法分为定性拟合和数据拟合两 种。定性拟合是根据突变指征建立一个适合的突变模 型，然后作定性预测与分析。数据拟合是把实验数据
或故障监测数据用一个突变曲面方程或分叉集方程来
就
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D O I
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MACHINETOOL 3 HYDRAULICS
Sep . 2015Yol . 43 No . 17
： 10.3969/j . iss n . 1001-3881. 2015. 17. 050
突变理论的旋转机械突变故障研究进展
程敏\潘勇2 ! 刘保国3 ! 张雪松1
(1.中原工学院信息商务学院机械工程系，河南郑州451191$
2. 河南机电职业学院机械工程系，河南郑州451191$3. 河南工业大学机械电子工程研究所，河南郑州450001)
摘要：简要介绍突变理论的7种初等突变模型和5种突变指征，结合初等突变模型和突变指征指出突变理论在突变故 障中的3种应用方式。综述突变舰在碰摩、气流激振、油膜失稳等突变故障的机制、预测、控制等方面的研究进展，并 结合随机突变理论对突变故障的研究方向进行展望。
关键词！突变舰'旋转机械；突变故障；突变模型中图分类号：TH 17 文献标志码：A 文章编号：1001-3881 (2015) 17-203-4
Research Progress on Abrupt Faults for Rotating Machinery Based on Catastrophe Theory
C H E N G M i n
1，P A N Y o n g 2，L I U B a o g u o 3，Z H A N G X u e s o n g 1
(1. Mechanical Engineering D e p a r t m e n t ，College of I nformation & B u s i n e s ，Z h o n g y u a n University of T e c h n o l o g y ，
Z h e n g z h o u H e n a n 451191，C h i n a ； 2. Mech a n i ca l Engineering D e p a r t m e n t ，H e n a n Mechan ic al a n d Electrical Vocational College ，Z h e n g z h o u H e n a n 451191，C h i n a ； 3. Resear ch Institute of Mechatronic E ngineering ，
H e n a n University of T e c h n o l o g y ，Z h e n g z h o u H e n a n 450001，C h i n a )
Abstract ： The seven elem entary catastrophe
models and five catastrophe features w ere briefly introduced . Th m ethods about abrupt faults com bined elem entary catastrophe theory models and catastrophe featur on mechanism ，prediction and control about abrupt faults such as rub-impact ，gas flow exciting and film unstable w ere study direction of abrupt faults com bined w ith random catastrophe theory was prospected .
K e y w o r d s ： Catastrophe theory ； Rotating machinery ； Abrupt fault ； Catastrophe m odel 〇前言
旋转机械是国民经济支柱产业的关键设备，广泛 应用于石油、化工、交通、能源等领域。随着旋转机 械向着大型化、高速化和智能化方向发展，旋转机械 -旦出现故障将会造成严重后果。根据故障发生的速 度可将旋转机械故障分为渐变故障和突变故障[1]。渐 变故障的特点是故障特征参数在机械运转过程中连续 变化，直至达到或超过阈值。与渐变故障相比，突变 故障的特点是故障特征参数在机械运转过程中发生非 连续的“跃迁”，而且突破_值[2]。这种故障发生前 -般无明显征兆，无法依靠事前检查或监视进行控 制。正是由于旋转机械突变故障的产生机理比较复杂 且又无法准确预测，使得人们对机械突变故障的描 述、诊断和预测的研究举步维艰，直到1972年
R E N E T h 〇m [3]的突变理论正式诞生，这一局面才有所
学、奇点理论、分叉理论、稳定性理论等数学工具分 析突变现象的理论，该理论通过描述系统在临界点的
状态来研究外部因素连续的微小改变引起系统突然变 化的规律[4]。凌复华[5-]、陈应天[7]等最早将突变理 论引人国内并尝试应用于力学问题中。经过40余年 的研究，突变理论已成功应用到社科、经管、石油、 船舶、生物、力学、机械、煤炭等领域[8_12]。在机械 工程领域，目前突变理论主要用細决突变故障的描 述、诊断和预测和控制问题[13]。-般分为定性和定 量两个研究层次，定性研究主要織突变故障的描述 和诊断问题，定量研究主要織突变故障的预测和控 制问题。鉴于机械系统突变故障的复杂性、破坏性和 危险性，文中综述了突变理论在机械突变故障诊断中 的应用与发展现状。1
突变理论的工程应用
突变故障是机械领域中广泛存在的一种现象，利1. 1初等突变模型
改变。
突变理论（Catastrophe Theory ，CT ) 是利用拓扑
收稿日期！ 2014-07-25
基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点项目（14A 460011);国家自然科学基金资助项目（10872064) 作者简介：程敏（1984—)男，硕士，讲师，主要研究方向为机械设备振动与控制、机械故障诊断。E -mail : chengminhap -
py 2006@163. com 。
• 204 •
机床与液压
第43卷
用牛顿经典微分方程无法对这种现象进行描述，而突 变理论可以合理描述这种过程连续而结果不连续的跃 迁、突然质变现象。Rene Thom 证明：当控制变量维 数不大于5时，有折叠、尖拐、燕尾、蝴蝶、椭圆 脐、双曲脐、拋物脐等7种基本突变模型[14]，如表1 所示。其中，>、R 为状态变量，*、？、A 、7为控制 变量。
表1初等突变模型
突变类型状态变量控制变量 势函数
不同的状态。
⑵不可达性。系统至少存在一个不稳定的平 衡位置。由于微扰动的存在，此平衡位置在数学上不 可微。
⑶突跳。因控制变量穿越分叉集时的微小变 化而导致系统从一个局部极小值临界点跳跃到另一个 局部极小值临界点的现象。
(4) 发散。控制变量数值的有限变化会导致态变量平衡位置数值的有限变化，但在临界退化点附 折叠型 11 x 3+ux
尖点型 12 >4+u >2+? 燕尾型 13 >5+u >3+? 2+a >蝴蝶型 14 >6 +74 +ux 3 +? 2 +wx双曲脐点型 23 >3 +r 3 +wxy~ux ~vy 椭圆脐点型 23 1/3> ->2 +w " >2 +g2 # -u >?
拋物脐点型
2
4
R 4 +g2R +W >2 g R 2 ~ux ~vj
下面以应用范围最广泛，最易于理解的尖点型突 变模型来介绍突变模型的突变流形和分叉集。尖点型 突变的势函数为
h >4+u >2+?
(1)其突变流形G 为-/(>) =4>3+2 3
u x +v -, (2)
、
dx
其分叉集8为8u 3+27? = 0
(3)
根据式（2) 、⑶可得突变流形和分叉集的曲
面和曲线图形，如图1所示。
图1尖点型突变的突变流形和分叉集
在控制变量已知时，根据突变流形可以确定系统 的状态（平衡或非平衡）。突变流形也可用于分析突 变故障的形成机制及各控制参数所起的作用。分叉集 可用于突变故障预测及控制[2]。1. 2突变指征
根据尖点型突变模型的流形和分叉集，可以得到
初等突变模型的5个基本突变指征：
⑴多模态。随着控制变量的变化，系统的势 函数具有两个或两个以上局部极小值，使系统表现出
近，控制变量初值的微小变化却可能导致状态变量值
的很大变化，这种不稳定性称为发散。(5) 滞后。当物理过程并非严格可逆时，出现滞后现象。即由第一个局部极小值越向第二个局 部极小值时的控制参数位置与由第二个局部极小值越 向第一个局部极小值时的控制参数位置不同。1.3 应用方式
根据机械系统已知突变故障信息和系统动力学特 性的不同，突变理论在机械突变故障中的应用方式主 要有分析法、类比法和经验法3种。
⑴分析法[2]。如果对机械系统动力学特性及 突变故障机制有充足的了解，且易于求出系统的势函 数或势函数的微分形式时，可以从基本突变模型表中 确定系统的突变模型，进而采用分析法来确定系统的 突变流形和分叉集。在确定系统的突变流形和分叉集 时，首先对势函数进行泰勒级数展开，略去高阶小
项；其次进行正则变换，获得正则突变势函数，对正 则突变势函数进行一次微分，获得突变流形，然后再 进行二次微分并结合突变流形可获得分叉集。
(2) 类比法[13]。当机械系统的势函数不易直
求得时，一般可以建立系统的非线性动力学模型。分 析系统的动力学模型可以得到系统的支配代数方程。
如果系统的某些支配代数方程恰为势系统的突变流形 方程或分叉集方程时，可以采用类比方法确定系统的 突变类型、状态变量和控制变量。这样就可以把复杂 突变系统转化为一个简单的基本突变模型，有利于定 性、定量分析。目前，这种方法在机械突变故障诊断
领域使用较广。
(3) 拟合法[2’13]。如果对机械系统突变故障机理缺乏充分的认识，且很难用数学或物理方程进行描 述时，可以采用拟合法。拟合法也称为经验法。当机 械系统出现上述5个突变指征的一部分或全部时，可 以选定上述7种基本突变模型中的某一个突变模型来 描述这种系统。拟合法分为定性拟合和数据拟合两 种。定性拟合是根据突变指征建立一个适合的突变模 型，然后作定性预测与分析。数据拟合是把实验数据
或故障监测数据用一个突变曲面方程或分叉集方程来
就