实验一：球型载流线圈的场分布与自感
钟臻峰 3100103426
一．实验目的
1. 研究球型载流线圈（磁通球）的典型磁场分布及自感系数。
2. 掌握工程上测量磁场的两种基本方法——感应电动势法和霍尔效应法。
3. 在理论分析与实验研究相结合的基础上，力求深化对磁场边值问题、自感参数和磁场测量方法等知识点的理解，熟悉霍尔效应高斯计的应用。
二．实验原理
1. 球形载流线圈的磁场分析
当在z 向具有均匀的匝数密度分布的球形线圈中通以正弦电流i 时，可等效看作为流经球表面层的面电流密度K 的分布。显然，其等效原则在于载流安匝不变，即如设沿球表面的线匝密度分布W ，则在与元长度dz 对应的球面弧元 Rd θ上，应有
N (WRd θ) i =(dz ) i 2R 因在球面上，z=Rcosθ，所以|dz|=|d(Rcosθ）|=Rsinθd θ，带入上式则有
N W =sin θ 2R
即沿球表面，该载流线圈的线匝密度分布W 正比于sin θ。经过分析可以得到待求的边值问题：
∇2ϕm 1(r , θ)=0(r
∇2ϕm 2(r , θ)=0(r
H t 1-H t 2=H θ1-H θ2=K n =N i sin θ(r =R )2R
B n 1=B n 2→μ0H r 1=μ0H r 2(r =R )
ϕm 1|r =0=0
H 2|r →∞=-∇ϕm 2|r →∞=0
由以上边值问题可以求解得到磁通球内外磁场强度为
Ni H 1=-∇ϕm 1=(cosθe r -sin θe θ) (r
Ni ⎛R ⎫H 2=-∇ϕm 2= ⎪(2cos θe r +sin θe θ) (r >R )6R ⎝r ⎭ 3
所以球内为均匀场，其取向与磁通球的对称轴（z 轴）一致，球外等同于球心处一个磁偶极子的磁场。
2. 球形载流线圈自感系数L 的分析计算
在已知磁通球的磁场分布的情况下，显然就不难计算出其自感系数L 。由计算可得位于球表面周向一匝线圈所交链的磁通为
2⎤φ=⎰B ⋅dS =μ0H 1⎡⎢π(R sin θ' )⎥⎣⎦S
然后，便可分析对应于球面上由弧元Rd θ' 所界定的线匝dW 所交链的磁通链为
⎛N ⎫d ψ=dW ⋅φ=φ⋅ sin θ' ⎪⋅Rd θ' ⎝2R ⎭
这样可由θ从0到π的积分求得总磁通链，最终得到自感系数L 的理论计算值为
2L =πN 2μ0R 9 3. 感应电动势法测磁感应强度
若把一个很小的测试线圈放置在由交变电流激磁的时变磁场中，则根据法拉第电磁感应定律，该测试线圈的感应电动势为
d ψ e =- dt
Ψ为与测试线圈交链的磁通链。
如果测试线圈的轴线与磁场方向相一致，且磁场由正弦交变电流激励，那么，对应于上式的有效值关系为
E =ωψ=2πfN 1φ
由于测试线圈所占据的空间范围很小，故测试线圈内的磁场可近似认为是均匀的，因此有Φ= BS=μ0HS ，从而，被测试的磁感应强度为
B =E
2πfSN 1
4. 霍尔效应法测磁感应强度
霍尔元件被制备成一块矩形半导体薄片，当在它的对应侧通以电流I ，并置于外磁场B 中，在其另一侧将呈现霍尔电压，两者满足函数关系式
V =R h ⎛l ⎫IBf ⎪d ⎝b ⎭
所以可由电压的大小来确定磁感应强度的大小。
三．实验内容
（1）测磁通球轴线上的磁感应强度B 的分布
i ）沿磁通球轴线方向上下调节磁通球实验装置中的测试线圈，在5kHz 正弦交变电流（I=1A）激励情况下，每移动1cm 由毫伏表读出测试线圈中感应电势的有效值E ，计算磁感应强度。
ii ）在上述激磁情况下，应用5070型高斯计及其探棒，通过调节探棒端头表面位
置，使之有最大霍尔电压的输出，此时，探针面应与磁场线正交。由此可以由高斯计直接读出磁通球北极和赤道处磁感应强度。
（2）探测磁通球外部磁场分布
i ）在5kHz 正弦交变电流（I=1A）激励情况下，继续探测磁通球外部磁场的分布。 ii ）在直流（I=1A）激励情况下，应用高斯计重复以上探测磁通球外部磁场分布。
（3）磁通球自感系数L 的实测值
在5kHz 正弦交变电流（I=0.5A)激励情况下，近似地将磁通球看做一个纯电感线圈。因此，通过应用示波器读出磁通球的激磁电压与电流的峰值，即可计算出其电感实测的近似值。
（4）观察电流、电压间的相位关系
应用示波器观察磁通球的激磁电压与电流间的相位关系。
四. 实验设备
磁通球（球半径为5cm ，线匝数为131匝，无感取样电阻0.5Ω）、磁通球激磁电源、交流毫伏表、测试线圈（内径1.0mm ，外径3.0mm ，宽度1.5mm ，线匝数
60）、高斯计、示波器
五．实验数据记录与处理
（1）磁通球轴线上磁感应强度B 的分布
正弦激磁电流I=1A，f=5kHz
i ）感应电势法测磁感应强度B
B =12. 27±0. 07Gs
由公式推出的理论值大小则为
Ni B =μ0=10. 97Gs 3R 因此可得其误差为
(11. 85±2. 5)%
（2）磁通球自感系数L 的分析
正弦激磁电流I=0.510A
，取样电阻R=0.5Ω
由示波器上观测得到磁通球上的电压峰峰值为6.2div*5V/div=31.0V，取样电阻上电压峰峰值为3.9div*2V/div=7.8V, ，周期为9.6div*20μs=0.196ms，计算得到正弦波真实频率f=5102Hz。
所以测量的误差为9.43%。
（3）观察电压、电流间的相位关系
由图形所观测，幅度较大的为磁通球上的电压波形，幅度较小的为未取反的取样电阻上电压波形。所以经过分析，磁通球上的电压比电流相位超前约90度。
实验一：球型载流线圈的场分布与自感
钟臻峰 3100103426
一．实验目的
1. 研究球型载流线圈（磁通球）的典型磁场分布及自感系数。
2. 掌握工程上测量磁场的两种基本方法——感应电动势法和霍尔效应法。
3. 在理论分析与实验研究相结合的基础上，力求深化对磁场边值问题、自感参数和磁场测量方法等知识点的理解，熟悉霍尔效应高斯计的应用。
二．实验原理
1. 球形载流线圈的磁场分析
当在z 向具有均匀的匝数密度分布的球形线圈中通以正弦电流i 时，可等效看作为流经球表面层的面电流密度K 的分布。显然，其等效原则在于载流安匝不变，即如设沿球表面的线匝密度分布W ，则在与元长度dz 对应的球面弧元 Rd θ上，应有
N (WRd θ) i =(dz ) i 2R 因在球面上，z=Rcosθ，所以|dz|=|d(Rcosθ）|=Rsinθd θ，带入上式则有
N W =sin θ 2R
即沿球表面，该载流线圈的线匝密度分布W 正比于sin θ。经过分析可以得到待求的边值问题：
∇2ϕm 1(r , θ)=0(r
∇2ϕm 2(r , θ)=0(r
H t 1-H t 2=H θ1-H θ2=K n =N i sin θ(r =R )2R
B n 1=B n 2→μ0H r 1=μ0H r 2(r =R )
ϕm 1|r =0=0
H 2|r →∞=-∇ϕm 2|r →∞=0
由以上边值问题可以求解得到磁通球内外磁场强度为
Ni H 1=-∇ϕm 1=(cosθe r -sin θe θ) (r
Ni ⎛R ⎫H 2=-∇ϕm 2= ⎪(2cos θe r +sin θe θ) (r >R )6R ⎝r ⎭ 3
所以球内为均匀场，其取向与磁通球的对称轴（z 轴）一致，球外等同于球心处一个磁偶极子的磁场。
2. 球形载流线圈自感系数L 的分析计算
在已知磁通球的磁场分布的情况下，显然就不难计算出其自感系数L 。由计算可得位于球表面周向一匝线圈所交链的磁通为
2⎤φ=⎰B ⋅dS =μ0H 1⎡⎢π(R sin θ' )⎥⎣⎦S
然后，便可分析对应于球面上由弧元Rd θ' 所界定的线匝dW 所交链的磁通链为
⎛N ⎫d ψ=dW ⋅φ=φ⋅ sin θ' ⎪⋅Rd θ' ⎝2R ⎭
这样可由θ从0到π的积分求得总磁通链，最终得到自感系数L 的理论计算值为
2L =πN 2μ0R 9 3. 感应电动势法测磁感应强度
若把一个很小的测试线圈放置在由交变电流激磁的时变磁场中，则根据法拉第电磁感应定律，该测试线圈的感应电动势为
d ψ e =- dt
Ψ为与测试线圈交链的磁通链。
如果测试线圈的轴线与磁场方向相一致，且磁场由正弦交变电流激励，那么，对应于上式的有效值关系为
E =ωψ=2πfN 1φ
由于测试线圈所占据的空间范围很小，故测试线圈内的磁场可近似认为是均匀的，因此有Φ= BS=μ0HS ，从而，被测试的磁感应强度为
B =E
2πfSN 1
4. 霍尔效应法测磁感应强度
霍尔元件被制备成一块矩形半导体薄片，当在它的对应侧通以电流I ，并置于外磁场B 中，在其另一侧将呈现霍尔电压，两者满足函数关系式
V =R h ⎛l ⎫IBf ⎪d ⎝b ⎭
所以可由电压的大小来确定磁感应强度的大小。
三．实验内容
（1）测磁通球轴线上的磁感应强度B 的分布
i ）沿磁通球轴线方向上下调节磁通球实验装置中的测试线圈，在5kHz 正弦交变电流（I=1A）激励情况下，每移动1cm 由毫伏表读出测试线圈中感应电势的有效值E ，计算磁感应强度。
ii ）在上述激磁情况下，应用5070型高斯计及其探棒，通过调节探棒端头表面位
置，使之有最大霍尔电压的输出，此时，探针面应与磁场线正交。由此可以由高斯计直接读出磁通球北极和赤道处磁感应强度。
（2）探测磁通球外部磁场分布
i ）在5kHz 正弦交变电流（I=1A）激励情况下，继续探测磁通球外部磁场的分布。 ii ）在直流（I=1A）激励情况下，应用高斯计重复以上探测磁通球外部磁场分布。
（3）磁通球自感系数L 的实测值
在5kHz 正弦交变电流（I=0.5A)激励情况下，近似地将磁通球看做一个纯电感线圈。因此，通过应用示波器读出磁通球的激磁电压与电流的峰值，即可计算出其电感实测的近似值。
（4）观察电流、电压间的相位关系
应用示波器观察磁通球的激磁电压与电流间的相位关系。
四. 实验设备
磁通球（球半径为5cm ，线匝数为131匝，无感取样电阻0.5Ω）、磁通球激磁电源、交流毫伏表、测试线圈（内径1.0mm ，外径3.0mm ，宽度1.5mm ，线匝数
60）、高斯计、示波器
五．实验数据记录与处理
（1）磁通球轴线上磁感应强度B 的分布
正弦激磁电流I=1A，f=5kHz
i ）感应电势法测磁感应强度B
B =12. 27±0. 07Gs
由公式推出的理论值大小则为
Ni B =μ0=10. 97Gs 3R 因此可得其误差为
(11. 85±2. 5)%
（2）磁通球自感系数L 的分析
正弦激磁电流I=0.510A
，取样电阻R=0.5Ω
由示波器上观测得到磁通球上的电压峰峰值为6.2div*5V/div=31.0V，取样电阻上电压峰峰值为3.9div*2V/div=7.8V, ，周期为9.6div*20μs=0.196ms，计算得到正弦波真实频率f=5102Hz。
所以测量的误差为9.43%。
（3）观察电压、电流间的相位关系
由图形所观测，幅度较大的为磁通球上的电压波形，幅度较小的为未取反的取样电阻上电压波形。所以经过分析，磁通球上的电压比电流相位超前约90度。