碰 撞
★新课标要求
★教学过程 （一）引入新课
碰撞过程是物体之间相互作用时间非常短暂的一种特殊过程，因而碰撞具有如下特点： 1．碰撞过程中动量守恒．
提问：守恒的原因是什么？（因相互作用时间短暂，因此一般满足F 内>>F外的条件） 2．碰撞过程中，物体没有宏观的位移，但每个物体的速度可在短暂的时间内发生改变． 3．碰撞过程中，系统的总动能只能不变或减少，不可能增加．
提问：碰撞中，总动能减少最多的情况是什么？（在发生完全非弹性碰撞时总动能减少最多）
熟练掌握碰撞的特点，并解决实际的物理问题，是学习动量守恒定律的基本要求． （二）进行新课
1．展示投影片1，内容如下：
如图所示，质量为M 的重锤自h 高度由静止开始下落，砸到质量为m 的木楔上没有弹起，二者一起向下运动．设地层给它们的平均阻力为F ，则木楔可进入的深度L 是多少？
组织学生认真读题，并给三分钟时间思考．
（1）提问学生解题方法，可能出现的错误是：认为过程中只有地层阻力F 做负功使机械能损失，因而解之为
Mg （h +L ）+mgL -FL =0．
将此结论写在黑板上，然后再组织学生分析物理过程．
（2）引导学生回答并归纳：第一阶段，M 做自由落体运动机械能守恒．m 不动，直到M 开始接触m 为止．再下面一个阶段，M 与m 以共同速度开始向地层内运动．阻力F 做负功，系统机械能损失．
提问：第一阶段结束时，M 有速度，v M =
2gh ，而m 速度为零。下一阶段开始时，
M 与m 就具有共同速度，即m 的速度不为零了，这种变化是如何实现的呢？
引导学生分析出来，在上述前后两个阶段中间，还有一个短暂的阶段，在这个阶段中，M 和m 发生了完全非弹性碰撞，这个阶段中，机械能（动能）是有损失的．
（3）让学生独立地写出完整的方程组． 第一阶段，对重锤有：
Mgh =
12Mv
2
第二阶段，对重锤及木楔有 Mv +0=（M+m）v '． 第三阶段，对重锤及木楔有
(M +m ) hL -FL =0-
12
(M +m ) v '
2
（4）小结：在这类问题中，没有出现碰撞两个字，碰撞过程是隐含在整个物理过程之中的，在做题中，要认真分析物理过程，发掘隐含的碰撞问题．
2．展示投影片2，其内容如下：
如图所示，在光滑水平地面上，质量为M 的滑块上用轻杆及轻绳悬吊质量为m 的小球，此装置一起以速度v 0向右滑动．另一质量也为M 的滑块静止于上述装置的右侧．当两滑块相撞后，便粘在一起向右运动，则小球此时的运动速度是多少？
组织学生认真读题，并给三分钟思考时间．
（1）提问学生解答方案，可能出现的错误有：在碰撞过程中水平动量守恒，设碰后共同速度为v ，则有
（M+m）v 0+0＝（2M+m）v ． 解得，小球速度 v =
M +m 2M +m
v 0
（2）教师明确表示此种解法是错误的，提醒学生注意碰撞的特点：即宏观没有位移，速度发生变化，然后要求学生们寻找错误的原因．
（3）总结归纳学生的解答，明确以下的研究方法：
①碰撞之前滑块与小球做匀速直线运动，悬线处于竖直方向．
②两个滑块碰撞时间极其短暂，碰撞前、后瞬间相比，滑块及小球的宏观位置都没有发生改变，因此悬线仍保持竖直方向．
③碰撞前后悬线都保持竖直方向，因此碰撞过程中，悬线不可能给小球以水平方向的作用力，因此小球的水平速度不变．
④结论是：小球未参与滑块之间的完全非弹性碰撞，小球的速度保持为v 0．
（4）小结：由于碰撞中宏观无位移，所以在有些问题中，不是所有物体都参与了碰撞过程，在遇到具体问题时一定要注意分析与区别．
3．展示投影片3，其内容如下：
在光滑水平面上，有A 、B 两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正，两球的动量分别是p A =5kgm/s，p B =7kgm/s，如图所示．若能发生正碰，则碰后两球的动量增量△p A 、△p B 可能是 （ ）
A ．△p A =-3kgm/s；△p B =3kgm/s B ．△p A =3kgm/s；△p B
=3kgm/s
C ．△p A =-10kgm/s；△p B =10kgm/s D ．△p A =3kgm/s；△p B =-3kgm/s 组织学生认真审题．
（1）提问：解决此类问题的依据是什么？ 在学生回答的基础上总结归纳为：
①系统动量守恒；②系统的总动能不能增加；③系统总能量的减少量不能大于发生完全非弹性碰撞时的能量减少量；④碰撞中每个物体动量的增量方向一定与受力方向相同；⑤如碰撞后向同方向运动，则后面物体的速度不能大于前面物体的速度．
（2）提问：题目仅给出两球的动量，如何比较碰撞过程中的能量变化？ 帮助学生回忆E k =
p
2
2m
的关系。
（3）提问：题目没有直接给出两球的质量关系，如何找到质量关系？ 要求学生认真读题，挖掘隐含的质量关系，即A 追上B 并相碰撞， 所以，v A >v B ，即
5m A
>
7m B
，
m A m B
57
（4）最后得到正确答案为A ． 4．展示投影片4，其内容如下：
如图所示，质量为m 的小球被长为L 的轻绳拴住，轻绳的一端固定在O 点，将小球拉到绳子拉直并与水平面成θ角的位置上，将小球由静止释放，则小球经过最低点时的即时速度是多大？
组织学生认真读题，并给三分钟思考时间．
（1）提问学生解答方法，可能出现的错误有：认为轻绳的拉力不做功，因此过程中机械能守恒，以最低点为重力势能的零点，有
mgL (1+sin θ) =
12mv
2
得v =2gL (1+sin θ)
（2）引导学生分析物理过程．
第一阶段，小球做自由落体运动，直到轻绳位于水平面以下，与水平面成θ角的位置处为止．在这一阶段，小球只受重力作用，机械能守恒成立．
下一阶段，轻绳绷直，拉住小球做竖直面上的圆周运动，直到小球来到最低点，在此过程中，轻绳拉力不做功，机械能守恒成立．
提问：在第一阶段终止的时刻，小球的瞬时速度是什么方向？在下一阶段初始的时刻，小球的瞬时速度是什么方向？
在学生找到这两个速度方向的不同后，要求学生解释其原因，总结归纳学生的解释，
明
确以下观点：
在第一阶段终止时刻，小球的速度竖直向下，既有沿下一步圆周运动轨道切线方向（即与轻绳相垂直的方向）的分量，又有沿轨道半径方向（即沿轻绳方向）的分量．在轻绳绷直的一瞬间，轻绳给小球一个很大的冲量，使小球沿绳方向的动量减小到零，此过程很类似于悬挂轻绳的物体（例如天花板）与小球在沿绳的方向上发生了完全非弹性碰撞，由于天花板的质量无限大（相对小球），因此碰后共同速度趋向于零．在这个过程中，小球沿绳方向分速度所对应的一份动能全部损失了．因此，整个运动过程按机械能守恒来处理就是错误的．
（3）要求学生重新写出正确的方程组．
2mgL sin θ=
12mv
2
v //=v cos θ． 12
v //+mgL (1-sin θ) =
2
12
m v '
3
2
解得v '=2gL (sinθ-2sin θ+1)
（4）小结：很多实际问题都可以类比为碰撞，建立合理的碰撞模型可以很简洁直观地解决问题．下面继续看例题．
5．展示投影片5，其内容如下：
如图所示，质量分别为m A 和m B 的滑块之间用轻质弹簧相连，水平地面光滑．m A 、m B
原来静止，在瞬间给m B 一很大的冲量，使m B 获得初速度v 0，则在以后的运动中，弹簧的最大势能是多少？
在学生认真读题后，教师引导学生讨论．
（1）m A 、m B 与弹簧所构成的系统在下一步运动过程中能否类
比为一个m A 、m B 发生碰撞的模型？（因系统水平方向动量守恒，所以可类比为碰撞模型）
（2）当弹性势能最大时，系统相当于发生了什么样的碰撞？（势能最大，动能损失就最大，因此可建立完全非弹性碰撞模型）
经过讨论，得到正确结论以后，要求学生据此而正确解答问题，得 到结果为E p =
m A m B v 0
2
2(m A +m B )
（三）课堂小结
教师活动：让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容。
学生活动：认真总结概括本节内容，并把自己这节课的体会写下来、比较黑板上的小结和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方。
点评：总结课堂内容，培养学生概括总结能力。
教师要放开，让学生自己总结所学内容，允许内容的顺序不同，从而构建他们自己的知识框架。（四）作业
“问题与练习”1～5题★教学体会
思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，离开了思维方法和实践活动，物理教学就成了无源之水、无本之木。学生素质的培养就成了镜中花，水中月。
★教学资料
一维弹性碰撞的普适性结论
新课标人教版选修3-5第15页讨论了一维弹性碰撞中的一种特殊情况（运动的物体撞击静止的物体），本文旨在在此基础之上讨论一般性情况，从而总结出普遍适用的一般性结论。
在一光滑水平面上有两个质量分别为m 1、m 2的刚性小球A 和B ，以初速度v 1、v 2运
'
动，若它们能发生碰撞（为一维弹性碰撞），碰撞后它们的速度分别为v 1' 和v 2。我们的任
' 务是得出用m 1、m 2、v 1、v 2表达v 1' 和v 2的公式。
v 1、v 2、v 1、v 2是以地面为参考系的，将A 和B 看作系统。
'
由碰撞过程中系统动量守恒，有m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1' +m 2v 2 ①
' '
有弹性碰撞中没有机械能损失，有由①得m 1(v 1-v 1)=m 2(v 2-v 2)
'
'
12
m 1v 1+
2
12
m 2v 2=
2
12
m 1v 1+
' 2
12
m 2v 2 ②
' 2
2' 由②得m 1v 1' -v 12=m 2v 2-v 2
(
2
)(
2
)
'
将上两式左右相比，可得v 1+v 1=v 2+v 2
即v 2-v 1=-(v 2-v 1)或v 1-v 2=-(v 1-v 2) ③
'
'
'
'
'
碰撞前B 相对于A 的速度为v 21=v 2-v 1，碰撞后B 相对于A 的速度为v 21=v 2-v 1，同理碰撞前A 相对于B 的速度为v 12=v 1-v 2，碰撞后A 相对于B 的速度为v 12=v 1-v 2，故③式为v 21=-v 21或v 12=-v 12，其物理意义是：
碰撞后B 相对于A 的速度与碰撞前B 相对于A 的速度大小相等，方向相反； 碰撞后A 相对于B 的速度与碰撞前A 相对于B 的速度大小相等，方向相反；
'
'
'
'
'
' ' '
故有
[结论1]对于一维弹性碰撞，若以其中某物体为参考系，则另一物体碰撞前后速度大小不变，方向相反（即以原速率弹回）。
联立①②两式，解得 v 1=
'
2m 2v 2+(m 1-m 2)v 1
m 1+m 2
2m 1v 1+(m 2-m 1)v 2
m 1+m 2
④
v 2=
'
⑤
下面我们对几种情况下这两个式子的结果做些分析。 ●若m 1=m 2，即两个物体质量相等
v 1=v 2 ， v 2=v 1 ，表示碰后A 的速度变为v 2，B 的速度变为v 1 。
'
'
故有
[结论2] 对于一维弹性碰撞，若两个物体质量相等，则碰撞后两个物体互换速度（即碰后A 的速度等于碰前B 的速度，碰后B 的速度等于碰前A 的速度）。
●若m 1>>m 2，即A 的质量远大于B 的质量 这时m 1-m 2≈m 1，m 1+m 2≈m 1，
'
有 v 1' =v 1 ， v 2=2v 1-v 2
m 2m 1+m 2
≈0。根据④、⑤两式，
表示质量很大的物体A （相对于B 而言）碰撞前后速度保持不变。 ⑥ ●若m 1
'
'
m 1m 1+m 2
≈0。根据④、⑤两式，
有 v 2=v 2 ， v 1=2v 2-v 1
表示质量很大的物体B （相对于A 而言）碰撞前后速度保持不变。 ⑦ 综合⑥⑦，可知：
[结论3] 对于一维弹性碰撞，若其中某物体的质量远大于另一物体的质量，则质量大的物体碰撞前后速度保持不变。
至于质量小的物体碰后速度如何，可结合[结论1]和[结论3]得出。
以m 1>>m 2为例，由[结论3]可知v 1=v 1，由[结论1]可知v 21=-v 21，即
'
'
' ' ' '
v 2-v 1=-(v 2-v 1)，将v 1=v 1代入，可得v 2=2v 1-v 2，与上述所得一致。
以上结论就是关于一维弹性碰撞的三个普适性结论。
[练习]如图所示，乒乓球质量为m ，弹性钢球质量为M （M >>m ），它们一起自高度h 高处自由下落，不计空气阻力，设地面上铺有弹性钢板，球与钢板之间的碰撞及乒乓球与钢球之间的碰撞均为弹性碰撞，试计算钢球着地后乒乓球能够上升的最大高度。
解析：
乒乓球和弹性钢球自状态1自由下落，至弹性钢球刚着地（状态2）时，两者速度相等
v
2
=2gh 则v =2gh
弹性钢球跟弹性钢板碰撞后瞬间（状态3），弹性钢球速率仍为v ，方向变为竖直向上 紧接着，弹性钢球与乒乓球碰，碰后瞬间（状态4）乒乓球速率变为v ′
由[结论3]可知，弹性钢球与乒乓球碰后弹性钢球速度保持不变（速率仍为v ，方向为竖直向上）；
由[结论1]可知，弹性钢球与乒乓球碰前瞬间（状态3）乒乓球相对于弹性钢球的速度为2v ，方向为竖直向下，弹性钢球与乒乓球碰后瞬间（状态4）乒乓球相对于弹性钢球的速度为2v ，方向为竖直向上。
则v ′=3v 由v ' =2gH 得
v
' 2
2
H =
2g
=
(3v )2
2g
=9h
碰 撞
★新课标要求
★教学过程 （一）引入新课
碰撞过程是物体之间相互作用时间非常短暂的一种特殊过程，因而碰撞具有如下特点： 1．碰撞过程中动量守恒．
提问：守恒的原因是什么？（因相互作用时间短暂，因此一般满足F 内>>F外的条件） 2．碰撞过程中，物体没有宏观的位移，但每个物体的速度可在短暂的时间内发生改变． 3．碰撞过程中，系统的总动能只能不变或减少，不可能增加．
提问：碰撞中，总动能减少最多的情况是什么？（在发生完全非弹性碰撞时总动能减少最多）
熟练掌握碰撞的特点，并解决实际的物理问题，是学习动量守恒定律的基本要求． （二）进行新课
1．展示投影片1，内容如下：
如图所示，质量为M 的重锤自h 高度由静止开始下落，砸到质量为m 的木楔上没有弹起，二者一起向下运动．设地层给它们的平均阻力为F ，则木楔可进入的深度L 是多少？
组织学生认真读题，并给三分钟时间思考．
（1）提问学生解题方法，可能出现的错误是：认为过程中只有地层阻力F 做负功使机械能损失，因而解之为
Mg （h +L ）+mgL -FL =0．
将此结论写在黑板上，然后再组织学生分析物理过程．
（2）引导学生回答并归纳：第一阶段，M 做自由落体运动机械能守恒．m 不动，直到M 开始接触m 为止．再下面一个阶段，M 与m 以共同速度开始向地层内运动．阻力F 做负功，系统机械能损失．
提问：第一阶段结束时，M 有速度，v M =
2gh ，而m 速度为零。下一阶段开始时，
M 与m 就具有共同速度，即m 的速度不为零了，这种变化是如何实现的呢？
引导学生分析出来，在上述前后两个阶段中间，还有一个短暂的阶段，在这个阶段中，M 和m 发生了完全非弹性碰撞，这个阶段中，机械能（动能）是有损失的．
（3）让学生独立地写出完整的方程组． 第一阶段，对重锤有：
Mgh =
12Mv
2
第二阶段，对重锤及木楔有 Mv +0=（M+m）v '． 第三阶段，对重锤及木楔有
(M +m ) hL -FL =0-
12
(M +m ) v '
2
（4）小结：在这类问题中，没有出现碰撞两个字，碰撞过程是隐含在整个物理过程之中的，在做题中，要认真分析物理过程，发掘隐含的碰撞问题．
2．展示投影片2，其内容如下：
如图所示，在光滑水平地面上，质量为M 的滑块上用轻杆及轻绳悬吊质量为m 的小球，此装置一起以速度v 0向右滑动．另一质量也为M 的滑块静止于上述装置的右侧．当两滑块相撞后，便粘在一起向右运动，则小球此时的运动速度是多少？
组织学生认真读题，并给三分钟思考时间．
（1）提问学生解答方案，可能出现的错误有：在碰撞过程中水平动量守恒，设碰后共同速度为v ，则有
（M+m）v 0+0＝（2M+m）v ． 解得，小球速度 v =
M +m 2M +m
v 0
（2）教师明确表示此种解法是错误的，提醒学生注意碰撞的特点：即宏观没有位移，速度发生变化，然后要求学生们寻找错误的原因．
（3）总结归纳学生的解答，明确以下的研究方法：
①碰撞之前滑块与小球做匀速直线运动，悬线处于竖直方向．
②两个滑块碰撞时间极其短暂，碰撞前、后瞬间相比，滑块及小球的宏观位置都没有发生改变，因此悬线仍保持竖直方向．
③碰撞前后悬线都保持竖直方向，因此碰撞过程中，悬线不可能给小球以水平方向的作用力，因此小球的水平速度不变．
④结论是：小球未参与滑块之间的完全非弹性碰撞，小球的速度保持为v 0．
（4）小结：由于碰撞中宏观无位移，所以在有些问题中，不是所有物体都参与了碰撞过程，在遇到具体问题时一定要注意分析与区别．
3．展示投影片3，其内容如下：
在光滑水平面上，有A 、B 两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正，两球的动量分别是p A =5kgm/s，p B =7kgm/s，如图所示．若能发生正碰，则碰后两球的动量增量△p A 、△p B 可能是 （ ）
A ．△p A =-3kgm/s；△p B =3kgm/s B ．△p A =3kgm/s；△p B
=3kgm/s
C ．△p A =-10kgm/s；△p B =10kgm/s D ．△p A =3kgm/s；△p B =-3kgm/s 组织学生认真审题．
（1）提问：解决此类问题的依据是什么？ 在学生回答的基础上总结归纳为：
①系统动量守恒；②系统的总动能不能增加；③系统总能量的减少量不能大于发生完全非弹性碰撞时的能量减少量；④碰撞中每个物体动量的增量方向一定与受力方向相同；⑤如碰撞后向同方向运动，则后面物体的速度不能大于前面物体的速度．
（2）提问：题目仅给出两球的动量，如何比较碰撞过程中的能量变化？ 帮助学生回忆E k =
p
2
2m
的关系。
（3）提问：题目没有直接给出两球的质量关系，如何找到质量关系？ 要求学生认真读题，挖掘隐含的质量关系，即A 追上B 并相碰撞， 所以，v A >v B ，即
5m A
>
7m B
，
m A m B
57
（4）最后得到正确答案为A ． 4．展示投影片4，其内容如下：
如图所示，质量为m 的小球被长为L 的轻绳拴住，轻绳的一端固定在O 点，将小球拉到绳子拉直并与水平面成θ角的位置上，将小球由静止释放，则小球经过最低点时的即时速度是多大？
组织学生认真读题，并给三分钟思考时间．
（1）提问学生解答方法，可能出现的错误有：认为轻绳的拉力不做功，因此过程中机械能守恒，以最低点为重力势能的零点，有
mgL (1+sin θ) =
12mv
2
得v =2gL (1+sin θ)
（2）引导学生分析物理过程．
第一阶段，小球做自由落体运动，直到轻绳位于水平面以下，与水平面成θ角的位置处为止．在这一阶段，小球只受重力作用，机械能守恒成立．
下一阶段，轻绳绷直，拉住小球做竖直面上的圆周运动，直到小球来到最低点，在此过程中，轻绳拉力不做功，机械能守恒成立．
提问：在第一阶段终止的时刻，小球的瞬时速度是什么方向？在下一阶段初始的时刻，小球的瞬时速度是什么方向？
在学生找到这两个速度方向的不同后，要求学生解释其原因，总结归纳学生的解释，
明
确以下观点：
在第一阶段终止时刻，小球的速度竖直向下，既有沿下一步圆周运动轨道切线方向（即与轻绳相垂直的方向）的分量，又有沿轨道半径方向（即沿轻绳方向）的分量．在轻绳绷直的一瞬间，轻绳给小球一个很大的冲量，使小球沿绳方向的动量减小到零，此过程很类似于悬挂轻绳的物体（例如天花板）与小球在沿绳的方向上发生了完全非弹性碰撞，由于天花板的质量无限大（相对小球），因此碰后共同速度趋向于零．在这个过程中，小球沿绳方向分速度所对应的一份动能全部损失了．因此，整个运动过程按机械能守恒来处理就是错误的．
（3）要求学生重新写出正确的方程组．
2mgL sin θ=
12mv
2
v //=v cos θ． 12
v //+mgL (1-sin θ) =
2
12
m v '
3
2
解得v '=2gL (sinθ-2sin θ+1)
（4）小结：很多实际问题都可以类比为碰撞，建立合理的碰撞模型可以很简洁直观地解决问题．下面继续看例题．
5．展示投影片5，其内容如下：
如图所示，质量分别为m A 和m B 的滑块之间用轻质弹簧相连，水平地面光滑．m A 、m B
原来静止，在瞬间给m B 一很大的冲量，使m B 获得初速度v 0，则在以后的运动中，弹簧的最大势能是多少？
在学生认真读题后，教师引导学生讨论．
（1）m A 、m B 与弹簧所构成的系统在下一步运动过程中能否类
比为一个m A 、m B 发生碰撞的模型？（因系统水平方向动量守恒，所以可类比为碰撞模型）
（2）当弹性势能最大时，系统相当于发生了什么样的碰撞？（势能最大，动能损失就最大，因此可建立完全非弹性碰撞模型）
经过讨论，得到正确结论以后，要求学生据此而正确解答问题，得 到结果为E p =
m A m B v 0
2
2(m A +m B )
（三）课堂小结
教师活动：让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容。
学生活动：认真总结概括本节内容，并把自己这节课的体会写下来、比较黑板上的小结和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方。
点评：总结课堂内容，培养学生概括总结能力。
教师要放开，让学生自己总结所学内容，允许内容的顺序不同，从而构建他们自己的知识框架。（四）作业
“问题与练习”1～5题★教学体会
思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，离开了思维方法和实践活动，物理教学就成了无源之水、无本之木。学生素质的培养就成了镜中花，水中月。
★教学资料
一维弹性碰撞的普适性结论
新课标人教版选修3-5第15页讨论了一维弹性碰撞中的一种特殊情况（运动的物体撞击静止的物体），本文旨在在此基础之上讨论一般性情况，从而总结出普遍适用的一般性结论。
在一光滑水平面上有两个质量分别为m 1、m 2的刚性小球A 和B ，以初速度v 1、v 2运
'
动，若它们能发生碰撞（为一维弹性碰撞），碰撞后它们的速度分别为v 1' 和v 2。我们的任
' 务是得出用m 1、m 2、v 1、v 2表达v 1' 和v 2的公式。
v 1、v 2、v 1、v 2是以地面为参考系的，将A 和B 看作系统。
'
由碰撞过程中系统动量守恒，有m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1' +m 2v 2 ①
' '
有弹性碰撞中没有机械能损失，有由①得m 1(v 1-v 1)=m 2(v 2-v 2)
'
'
12
m 1v 1+
2
12
m 2v 2=
2
12
m 1v 1+
' 2
12
m 2v 2 ②
' 2
2' 由②得m 1v 1' -v 12=m 2v 2-v 2
(
2
)(
2
)
'
将上两式左右相比，可得v 1+v 1=v 2+v 2
即v 2-v 1=-(v 2-v 1)或v 1-v 2=-(v 1-v 2) ③
'
'
'
'
'
碰撞前B 相对于A 的速度为v 21=v 2-v 1，碰撞后B 相对于A 的速度为v 21=v 2-v 1，同理碰撞前A 相对于B 的速度为v 12=v 1-v 2，碰撞后A 相对于B 的速度为v 12=v 1-v 2，故③式为v 21=-v 21或v 12=-v 12，其物理意义是：
碰撞后B 相对于A 的速度与碰撞前B 相对于A 的速度大小相等，方向相反； 碰撞后A 相对于B 的速度与碰撞前A 相对于B 的速度大小相等，方向相反；
'
'
'
'
'
' ' '
故有
[结论1]对于一维弹性碰撞，若以其中某物体为参考系，则另一物体碰撞前后速度大小不变，方向相反（即以原速率弹回）。
联立①②两式，解得 v 1=
'
2m 2v 2+(m 1-m 2)v 1
m 1+m 2
2m 1v 1+(m 2-m 1)v 2
m 1+m 2
④
v 2=
'
⑤
下面我们对几种情况下这两个式子的结果做些分析。 ●若m 1=m 2，即两个物体质量相等
v 1=v 2 ， v 2=v 1 ，表示碰后A 的速度变为v 2，B 的速度变为v 1 。
'
'
故有
[结论2] 对于一维弹性碰撞，若两个物体质量相等，则碰撞后两个物体互换速度（即碰后A 的速度等于碰前B 的速度，碰后B 的速度等于碰前A 的速度）。
●若m 1>>m 2，即A 的质量远大于B 的质量 这时m 1-m 2≈m 1，m 1+m 2≈m 1，
'
有 v 1' =v 1 ， v 2=2v 1-v 2
m 2m 1+m 2
≈0。根据④、⑤两式，
表示质量很大的物体A （相对于B 而言）碰撞前后速度保持不变。 ⑥ ●若m 1
'
'
m 1m 1+m 2
≈0。根据④、⑤两式，
有 v 2=v 2 ， v 1=2v 2-v 1
表示质量很大的物体B （相对于A 而言）碰撞前后速度保持不变。 ⑦ 综合⑥⑦，可知：
[结论3] 对于一维弹性碰撞，若其中某物体的质量远大于另一物体的质量，则质量大的物体碰撞前后速度保持不变。
至于质量小的物体碰后速度如何，可结合[结论1]和[结论3]得出。
以m 1>>m 2为例，由[结论3]可知v 1=v 1，由[结论1]可知v 21=-v 21，即
'
'
' ' ' '
v 2-v 1=-(v 2-v 1)，将v 1=v 1代入，可得v 2=2v 1-v 2，与上述所得一致。
以上结论就是关于一维弹性碰撞的三个普适性结论。
[练习]如图所示，乒乓球质量为m ，弹性钢球质量为M （M >>m ），它们一起自高度h 高处自由下落，不计空气阻力，设地面上铺有弹性钢板，球与钢板之间的碰撞及乒乓球与钢球之间的碰撞均为弹性碰撞，试计算钢球着地后乒乓球能够上升的最大高度。
解析：
乒乓球和弹性钢球自状态1自由下落，至弹性钢球刚着地（状态2）时，两者速度相等
v
2
=2gh 则v =2gh
弹性钢球跟弹性钢板碰撞后瞬间（状态3），弹性钢球速率仍为v ，方向变为竖直向上 紧接着，弹性钢球与乒乓球碰，碰后瞬间（状态4）乒乓球速率变为v ′
由[结论3]可知，弹性钢球与乒乓球碰后弹性钢球速度保持不变（速率仍为v ，方向为竖直向上）；
由[结论1]可知，弹性钢球与乒乓球碰前瞬间（状态3）乒乓球相对于弹性钢球的速度为2v ，方向为竖直向下，弹性钢球与乒乓球碰后瞬间（状态4）乒乓球相对于弹性钢球的速度为2v ，方向为竖直向上。
则v ′=3v 由v ' =2gH 得
v
' 2
2
H =
2g
=
(3v )2
2g
=9h