课 题： 1．2几种常见函数的导数 教学目的：
1. 掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2. 学会利用公式，求一些函数的导数.
3. 理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题 教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．
教学难点：公式(x n )' =nx n -1(n ∈Q ) 的推导． 授课类型：新授课课时安排：1课时 教学方法：讲授法 教学过程：
一、复习引入：
1. 导数的定义：设函数y =f (x ) 在x =x 0处附近有定义，当自变量在x =x 0处有增量∆x 时，则函数
y =f (x ) 相应地有增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ，如果∆x →0时，∆y 与∆x 的比
均变化率）有极限即
∆y
（也叫函数的平∆x
∆y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y =f (x ) 在x →x 0处的导数，∆x
f (x 0+∆x ) -f (x 0) //
记作y x =x 0，即f (x 0) =lim
∆x →0∆x
2. 导数的几何意义：是曲线y =f (x ) 上点（x 0, f (x 0) y =f (x ) 在点
x 0可导，则曲线y =f (x ) 在点（x 0, f (x 0) ）处的切线方程为y -f (x 0) =f /(x 0)(x -x 03. 导函数(导数):如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a , b ) ，都对应着一个确定的导数f /(x ) ，从而构成了一个新的函数f /(x ) , 称这个函数f /(x ) 为函数y =f (x ) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y /，即f /(x ) ＝y /＝
∆y f (x +∆x ) -f (x ) lim =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
//
函数y =f (x ) 在x 0处的导数y x =x 0就是函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) (x ∈(a , b )) 上导数f (x )
在x 0处的函数值，即y
/x =x 0＝f /(x 0y =f (x ) 在x 0处的导数也记作f /(x 0导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定y =f (x ) 在点x 0处的导数就是导函数f /(x ) 在点x 0
4. 可导: 如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内每一点都有导数，则称函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导，那么函数y =f (x ) 在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.
6. 求函数y =f (x ) 的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x ∆y =∆x ∆y /
（3）取极限，得导数y ＝f '(x ) =lim ∆x →0∆x
（2）求平均变化率
二、讲解新课：
1. C ' =0(C 为常数)
说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数y =C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.
证明：y =f (x ) =C ，∴Δy =f (x +Δx ) －f (x )=C －C =0∴2. (x n )' =nx n -1(n ∈Q )
∆y ∆y
=0，y '=C ′=lim =0，∴y '=0.
∆x →0∆x ∆x
*
说明：实际上，此公式对n ∈R 都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了n ∈N 证明：y =f (x ) =x
∴Δy =f (x +Δx ) －f (x )=(x +∆x ) n -x n =x +C n x =C n x
1
n -1
n
n
1n -1
Δx +C n x
2n -2
(Δx ) +…+C n (∆x ) n －x
2
n n
Δx +C n x
2n -2
(Δx ) +…+C n ·(∆x ) n
2
n
∆y 1n -12n -2n
=C n x +C n x Δx +…+C n ·(∆x ) n -1 ∆x
∆y 12n -2n 1n -1n -1n -1
∴y '=(x n ) '=lim =lim （C n x +C n x Δx +…+C n ·(∆x ) n -1)=C n x =n x
∆x →0∆x ∆x →0
∴y '=(x n )' =nx n -1
3. (sinx )' =cos x
证明方法一：y =sinx ，Δy =sin(x +Δx ) －sin x =sinx cos Δx +cosx sin Δx －sin x
∆y sin x cos ∆x +cos x sin ∆x -sin x = ∆x ∆x
∆y sin x cos ∆x +cos x sin ∆x -sin x sin x (cos∆x -1) +cos x sin ∆x
=lim =lim ∴y '=lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x
∆x ∆x
sin 2)
⋅∆x +cos x +lim cos x sin ∆x =lim(-2sin x ) ⋅=lim
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x () 24
2
=－2sin x ·1·0+cosx =cosx ∴y '=cosx 证明方法二：y =sin x ，
(x +∆x ) +x (x +∆x ) -x ∆x ⎫∆x ⎛
∆y =sin(x +∆x ) -sin x =2cos sin =2cos x +， ⎪sin
2222⎝⎭
∆x sin
∆y ∆x ⎫⎛， =cos x +⎪∆x 2⎭∆x ⎝
2
∆x ∆x sin sin
∆y ∆x ⎫∆x ⎫⎛ =lim cos ⎛=cos x ． ∴ y ' =(sinx )' =lim =lim cos x +x +lim ⎪ ⎪∆x →0∆x ∆x →0∆x →02⎭∆x 2⎭∆x →0∆x ⎝⎝
22
4. (cosx )' =-sin x
sin x (-2sin 2
证明方法一：y =cosx ，
Δy =cos(x +Δx ) －cos x =cosx cos Δx －sin x sin Δx －cos x
y '=lim
∆y cos x cos ∆x -sin x sin ∆x -cos x cos x (cos∆x -1) -sin x sin ∆x
=lim =lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x
cos x (-2sin 2
∆x
∆x
)
-lim sin x sin ∆x
∆x →0∆x
=lim
∆x →0
∆x
⋅∆x -sin x ⋅1=-2cos x ⋅1⋅0-sin x =-sin x =lim(-2cos x )
∆x →0∆x
() 242
∴y '=－sin x
证明方法二：y =cos x ，
(x +∆x ) +x (x +∆x ) -x ∆x ⎫∆x ⎛
∆y =cos(x +∆x ) -cos x =-2sin sin ， =-2sin x +⎪sin
2222⎝⎭
∆x sin
∆y ∆x ⎫⎛， =-sin x +⎪∆x 2⎭∆x ⎝
2
∆x sin
∆y ∆x ⎫⎛ ∴ y ' =(cosx )' =lim =-lim sin x +⎪∆x →0∆x ∆x →02⎭⎝
2
∆x sin
∆x ⎫⎛=-sin x ． ∴y '=－sin x . =-lim sin x +lim ⎪∆x →02⎭∆x →0∆x ⎝
2
sin 2
第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程. 我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可三、讲解范例：
例1 求 (1)(x 3) ′ (2)(
－
解：(1) (x 3) ′=3x 31=3x 2； (2) (
1
) ′ (3)(x ) ′ 2x
1－－－－
) ′=(x 2) ′=－2x 21=－2x 3 2x
1
-1111-1122
(3) (x ) '=(x ) '=x =x 2=
222x
1
, 求质点在t =2时的速度． t 5
115-5-6-6
解：∵ s =5， ∴ s '=(5) '=(t ) '=-5t , ∴ s 't =2=-5⨯2=-．
64t t
5
答：质点在t =2时的速度是-．
64π1
例3求曲线y =sin x 在点A (, ) 的切线方程．
62
π3
解：∵ y =sin x ∴ y '=(sinx ) '=cos x ∴ y 'x =π=cos =
626
例2质点运动方程是s =
313π
∴ 所求切线的方程为 y -=(x -) ， 2226
即 6x -12y +6-=0
∴ 所求切线的斜率k =
答：曲线y =sin x 在点A (
π1
, ) 的切线方程为6x -12y +6-=0． 62
四、课堂练习：
1． (口答) 求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sint (4)u =cosϕ 答案： (1)y ′=(x 5) ′=5x 4； (2)y ′=(x 6) ′=6x 5；
(3)x ′=(sint ) ′=cost ； (4)u ′=(cosϕ) ′=－sin ϕ 2. 求下列函数的导数：(1)y =
1
(2)y =x 3x
1
-11111-2－3－3－1－4 333
答案：(1) y′=(3) ′=(x ) ′=－3x =－3x (2y '=(x ) '=(x ) '=x =x 3
x 33
3. 质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s) ，求质点在t =3时的速度.
－
解：v =s ′=(t 3) ′=3t 31=3t 2
当t =3时，v =3×32=27 m/s，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4. 物体自由落体的运动方程是s =s (t )=解：v =s ′(t )=(
12
gt ，(s单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s2) ，求t =3时的速度. 2
121－
gt ) ′=g ·2t 21=gt . 22
t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s，∴t =3时的速度为29.4 m/s.
5. 求曲线y =x 4在点P (2，16) 处的切线方程.
－
解：y ′=(x 4) ′=4x 41=4x 3. ∴y ′|x =2=4·23=32
∴点P (2，16) 处的切线方程为y －16=32(x －2) ，即32x －y －－
五、小结 ：这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数) ，②(x n ) ′=nx n 1(n ∈R ) ，③(sinx ) ′=cosx ，④(cosx ) ′=－sin 六、课后作业：
七、板书设计
课 题： 1．2几种常见函数的导数 教学目的：
1. 掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2. 学会利用公式，求一些函数的导数.
3. 理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题 教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．
教学难点：公式(x n )' =nx n -1(n ∈Q ) 的推导． 授课类型：新授课课时安排：1课时 教学方法：讲授法 教学过程：
一、复习引入：
1. 导数的定义：设函数y =f (x ) 在x =x 0处附近有定义，当自变量在x =x 0处有增量∆x 时，则函数
y =f (x ) 相应地有增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ，如果∆x →0时，∆y 与∆x 的比
均变化率）有极限即
∆y
（也叫函数的平∆x
∆y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y =f (x ) 在x →x 0处的导数，∆x
f (x 0+∆x ) -f (x 0) //
记作y x =x 0，即f (x 0) =lim
∆x →0∆x
2. 导数的几何意义：是曲线y =f (x ) 上点（x 0, f (x 0) y =f (x ) 在点
x 0可导，则曲线y =f (x ) 在点（x 0, f (x 0) ）处的切线方程为y -f (x 0) =f /(x 0)(x -x 03. 导函数(导数):如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a , b ) ，都对应着一个确定的导数f /(x ) ，从而构成了一个新的函数f /(x ) , 称这个函数f /(x ) 为函数y =f (x ) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y /，即f /(x ) ＝y /＝
∆y f (x +∆x ) -f (x ) lim =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
//
函数y =f (x ) 在x 0处的导数y x =x 0就是函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) (x ∈(a , b )) 上导数f (x )
在x 0处的函数值，即y
/x =x 0＝f /(x 0y =f (x ) 在x 0处的导数也记作f /(x 0导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定y =f (x ) 在点x 0处的导数就是导函数f /(x ) 在点x 0
4. 可导: 如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内每一点都有导数，则称函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x ) 在点x 0处可导，那么函数y =f (x ) 在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.
6. 求函数y =f (x ) 的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x ∆y =∆x ∆y /
（3）取极限，得导数y ＝f '(x ) =lim ∆x →0∆x
（2）求平均变化率
二、讲解新课：
1. C ' =0(C 为常数)
说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数y =C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.
证明：y =f (x ) =C ，∴Δy =f (x +Δx ) －f (x )=C －C =0∴2. (x n )' =nx n -1(n ∈Q )
∆y ∆y
=0，y '=C ′=lim =0，∴y '=0.
∆x →0∆x ∆x
*
说明：实际上，此公式对n ∈R 都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了n ∈N 证明：y =f (x ) =x
∴Δy =f (x +Δx ) －f (x )=(x +∆x ) n -x n =x +C n x =C n x
1
n -1
n
n
1n -1
Δx +C n x
2n -2
(Δx ) +…+C n (∆x ) n －x
2
n n
Δx +C n x
2n -2
(Δx ) +…+C n ·(∆x ) n
2
n
∆y 1n -12n -2n
=C n x +C n x Δx +…+C n ·(∆x ) n -1 ∆x
∆y 12n -2n 1n -1n -1n -1
∴y '=(x n ) '=lim =lim （C n x +C n x Δx +…+C n ·(∆x ) n -1)=C n x =n x
∆x →0∆x ∆x →0
∴y '=(x n )' =nx n -1
3. (sinx )' =cos x
证明方法一：y =sinx ，Δy =sin(x +Δx ) －sin x =sinx cos Δx +cosx sin Δx －sin x
∆y sin x cos ∆x +cos x sin ∆x -sin x = ∆x ∆x
∆y sin x cos ∆x +cos x sin ∆x -sin x sin x (cos∆x -1) +cos x sin ∆x
=lim =lim ∴y '=lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x
∆x ∆x
sin 2)
⋅∆x +cos x +lim cos x sin ∆x =lim(-2sin x ) ⋅=lim
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x () 24
2
=－2sin x ·1·0+cosx =cosx ∴y '=cosx 证明方法二：y =sin x ，
(x +∆x ) +x (x +∆x ) -x ∆x ⎫∆x ⎛
∆y =sin(x +∆x ) -sin x =2cos sin =2cos x +， ⎪sin
2222⎝⎭
∆x sin
∆y ∆x ⎫⎛， =cos x +⎪∆x 2⎭∆x ⎝
2
∆x ∆x sin sin
∆y ∆x ⎫∆x ⎫⎛ =lim cos ⎛=cos x ． ∴ y ' =(sinx )' =lim =lim cos x +x +lim ⎪ ⎪∆x →0∆x ∆x →0∆x →02⎭∆x 2⎭∆x →0∆x ⎝⎝
22
4. (cosx )' =-sin x
sin x (-2sin 2
证明方法一：y =cosx ，
Δy =cos(x +Δx ) －cos x =cosx cos Δx －sin x sin Δx －cos x
y '=lim
∆y cos x cos ∆x -sin x sin ∆x -cos x cos x (cos∆x -1) -sin x sin ∆x
=lim =lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x
cos x (-2sin 2
∆x
∆x
)
-lim sin x sin ∆x
∆x →0∆x
=lim
∆x →0
∆x
⋅∆x -sin x ⋅1=-2cos x ⋅1⋅0-sin x =-sin x =lim(-2cos x )
∆x →0∆x
() 242
∴y '=－sin x
证明方法二：y =cos x ，
(x +∆x ) +x (x +∆x ) -x ∆x ⎫∆x ⎛
∆y =cos(x +∆x ) -cos x =-2sin sin ， =-2sin x +⎪sin
2222⎝⎭
∆x sin
∆y ∆x ⎫⎛， =-sin x +⎪∆x 2⎭∆x ⎝
2
∆x sin
∆y ∆x ⎫⎛ ∴ y ' =(cosx )' =lim =-lim sin x +⎪∆x →0∆x ∆x →02⎭⎝
2
∆x sin
∆x ⎫⎛=-sin x ． ∴y '=－sin x . =-lim sin x +lim ⎪∆x →02⎭∆x →0∆x ⎝
2
sin 2
第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程. 我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可三、讲解范例：
例1 求 (1)(x 3) ′ (2)(
－
解：(1) (x 3) ′=3x 31=3x 2； (2) (
1
) ′ (3)(x ) ′ 2x
1－－－－
) ′=(x 2) ′=－2x 21=－2x 3 2x
1
-1111-1122
(3) (x ) '=(x ) '=x =x 2=
222x
1
, 求质点在t =2时的速度． t 5
115-5-6-6
解：∵ s =5， ∴ s '=(5) '=(t ) '=-5t , ∴ s 't =2=-5⨯2=-．
64t t
5
答：质点在t =2时的速度是-．
64π1
例3求曲线y =sin x 在点A (, ) 的切线方程．
62
π3
解：∵ y =sin x ∴ y '=(sinx ) '=cos x ∴ y 'x =π=cos =
626
例2质点运动方程是s =
313π
∴ 所求切线的方程为 y -=(x -) ， 2226
即 6x -12y +6-=0
∴ 所求切线的斜率k =
答：曲线y =sin x 在点A (
π1
, ) 的切线方程为6x -12y +6-=0． 62
四、课堂练习：
1． (口答) 求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sint (4)u =cosϕ 答案： (1)y ′=(x 5) ′=5x 4； (2)y ′=(x 6) ′=6x 5；
(3)x ′=(sint ) ′=cost ； (4)u ′=(cosϕ) ′=－sin ϕ 2. 求下列函数的导数：(1)y =
1
(2)y =x 3x
1
-11111-2－3－3－1－4 333
答案：(1) y′=(3) ′=(x ) ′=－3x =－3x (2y '=(x ) '=(x ) '=x =x 3
x 33
3. 质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s) ，求质点在t =3时的速度.
－
解：v =s ′=(t 3) ′=3t 31=3t 2
当t =3时，v =3×32=27 m/s，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4. 物体自由落体的运动方程是s =s (t )=解：v =s ′(t )=(
12
gt ，(s单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s2) ，求t =3时的速度. 2
121－
gt ) ′=g ·2t 21=gt . 22
t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s，∴t =3时的速度为29.4 m/s.
5. 求曲线y =x 4在点P (2，16) 处的切线方程.
－
解：y ′=(x 4) ′=4x 41=4x 3. ∴y ′|x =2=4·23=32
∴点P (2，16) 处的切线方程为y －16=32(x －2) ，即32x －y －－
五、小结 ：这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数) ，②(x n ) ′=nx n 1(n ∈R ) ，③(sinx ) ′=cosx ，④(cosx ) ′=－sin 六、课后作业：
七、板书设计