1．1.2 瞬时变化率——导数(二)
一、基础过关
1．下列说法正确的是________(填序号) ．
①若f ′(x 0) 不存在，则曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处就没有切线；
②若曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处有切线，则f ′(x 0) 必存在；
③若f ′(x 0) 不存在，则曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线斜率不存在；
④若曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处没有切线，则f ′(x 0) 有可能存在．
2．已知y ＝f (x ) 的图象如图所示，则f ′(x A ) 与f ′(x B ) 的大小关系是________．
f (2＋Δx )－f (2)13．已知f (x ) ＝，则当Δx →0时，无限趋近于________． x Δx
4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为____________．
5．设函数f (x ) ＝ax 3＋2，若f ′(－1) ＝3，则a ＝________.
6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v (t ) ＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s2，则t 0＝________ s.
二、能力提升
17．已知函数y ＝f (x ) 的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 2
8．若函数y ＝f (x ) 的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x ) 在区间[a ，b ]上的图象可能是________．(填序号
)
9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.
110．用导数的定义，求函数y ＝f (x ) 在x ＝1处的导数． x
11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10. 求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
12．设函数f (x ) ＝x 3＋ax 2－9x －1(a
行，求a 的值．
三、探究与拓展
13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s 关于时间t 的函数图象的大致形状：
(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；
(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
答案
1．③
2．f ′(x A )
134
4．4x －y －4＝0或4x －y ＝0
5．1
368
7．3
8．①
9．3
10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx ) －f (1)＝11 11＋Δx 11＋Δx －Δx 1＋Δx 1＋Δx ·(11＋Δx )
－1Δy ∴＝ Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )
－1∴当Δx 无限趋近于0时，1＋Δx ·(11＋Δx )
1 2
1∴f ′(1). 2
2⎧⎪y ＝x ＋4，11．解 (1)由⎨ ⎪y ＝x ＋10，⎩
⎧⎧⎪x ＝－2⎪x ＝3⎨解得或⎨. ⎪y ＝8⎪⎩⎩y ＝13
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8) 或(3,13)．
(2)∵y ＝x 2＋4，
22Δy (x ＋Δx )＋4－(x ＋4)Δx Δx
(Δx )2＋2x ·Δx ＝Δx ＋2x ， Δx
Δy ∴Δx →0时，2x . Δx
∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8) 处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8) 处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.
12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx ) －f (x 0)
2＝(x 0＋Δx ) 3＋a (x 0＋Δx ) 2－9(x 0＋Δx ) －1－(x 30＋ax 0－9x 0－1)
23＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx ) ＋(Δx ) ，
Δy 2∴＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx ) . Δx
当Δx 无限趋近于零时，
Δy
Δx 3x 20＋2ax 0－9.
即f ′(x 0) ＝3x 20＋2ax 0－9
(x a 0) ＝3(x 02a 2∴f ′3－9－3当x a 3f ′(x 9－a 20＝－0) 取最小值－3∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.
－a 2∴－9312.
解得a ＝±3. 又a
∴a ＝－3.
13．解 相应图象如下图所示．
1．1.2 瞬时变化率——导数(二)
一、基础过关
1．下列说法正确的是________(填序号) ．
①若f ′(x 0) 不存在，则曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处就没有切线；
②若曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处有切线，则f ′(x 0) 必存在；
③若f ′(x 0) 不存在，则曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线斜率不存在；
④若曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处没有切线，则f ′(x 0) 有可能存在．
2．已知y ＝f (x ) 的图象如图所示，则f ′(x A ) 与f ′(x B ) 的大小关系是________．
f (2＋Δx )－f (2)13．已知f (x ) ＝，则当Δx →0时，无限趋近于________． x Δx
4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为____________．
5．设函数f (x ) ＝ax 3＋2，若f ′(－1) ＝3，则a ＝________.
6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v (t ) ＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s2，则t 0＝________ s.
二、能力提升
17．已知函数y ＝f (x ) 的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 2
8．若函数y ＝f (x ) 的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x ) 在区间[a ，b ]上的图象可能是________．(填序号
)
9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.
110．用导数的定义，求函数y ＝f (x ) 在x ＝1处的导数． x
11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10. 求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
12．设函数f (x ) ＝x 3＋ax 2－9x －1(a
行，求a 的值．
三、探究与拓展
13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s 关于时间t 的函数图象的大致形状：
(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；
(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
答案
1．③
2．f ′(x A )
134
4．4x －y －4＝0或4x －y ＝0
5．1
368
7．3
8．①
9．3
10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx ) －f (1)＝11 11＋Δx 11＋Δx －Δx 1＋Δx 1＋Δx ·(11＋Δx )
－1Δy ∴＝ Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )
－1∴当Δx 无限趋近于0时，1＋Δx ·(11＋Δx )
1 2
1∴f ′(1). 2
2⎧⎪y ＝x ＋4，11．解 (1)由⎨ ⎪y ＝x ＋10，⎩
⎧⎧⎪x ＝－2⎪x ＝3⎨解得或⎨. ⎪y ＝8⎪⎩⎩y ＝13
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8) 或(3,13)．
(2)∵y ＝x 2＋4，
22Δy (x ＋Δx )＋4－(x ＋4)Δx Δx
(Δx )2＋2x ·Δx ＝Δx ＋2x ， Δx
Δy ∴Δx →0时，2x . Δx
∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8) 处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8) 处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.
12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx ) －f (x 0)
2＝(x 0＋Δx ) 3＋a (x 0＋Δx ) 2－9(x 0＋Δx ) －1－(x 30＋ax 0－9x 0－1)
23＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx ) ＋(Δx ) ，
Δy 2∴＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx ) . Δx
当Δx 无限趋近于零时，
Δy
Δx 3x 20＋2ax 0－9.
即f ′(x 0) ＝3x 20＋2ax 0－9
(x a 0) ＝3(x 02a 2∴f ′3－9－3当x a 3f ′(x 9－a 20＝－0) 取最小值－3∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.
－a 2∴－9312.
解得a ＝±3. 又a
∴a ＝－3.
13．解 相应图象如下图所示．